第14講相似三角形單元分類總復(fù)習(xí)（原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?第14講相似三角形單元分類總復(fù)習(xí)
考點(diǎn)一比例線段
【知識點(diǎn)睛】
v 比例的基本概念中，a、b、c、d成比例（或）；其中要特別注意：
①　需要看清楚是數(shù)字之間的成比例，還是線段成比例，數(shù)字可以為負(fù)數(shù)，線段只能是正數(shù)；
②　比例線段是有順序的，線段a、b、c、d成比例，只能得到
③　在求線段比時(shí)，線段單位要統(tǒng)一，單位不統(tǒng)一應(yīng)先化成同一單位
v 比例的基本性質(zhì)：；比例中項(xiàng)：
v 平行線分線段成比例定理：兩條直線被一組平行線（不少于3條）所截，所得的對應(yīng)線段成比例
v 當(dāng)題目中有若干個(gè)比例相等的條件是時(shí)，一般采用“設(shè)k法”解題；如：已知，則設(shè)，故有
【類題訓(xùn)練】
1．若2x＝5y，則的值是（　?。?br /> A． B． C． D．
【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)直接解答即可．
【解答】解：∵2x＝5y，
∴＝．
故選：A．
2．若＝（a≠0，b≠0），則＝（　?。?br /> A． B． C． D．
【分析】直接把已知代入進(jìn)而化簡得出答案．
【解答】解：∵＝（a≠0，b≠0），
∴4a＝3b，
故a＝b，
則＝＝．
故選：D．
3．下列四組線段中，是成比例線段的一組是（　?。?br /> A．3，6，4，7 B．5，6，7，8 C．2，4，6，8 D．10，15，8，12
【分析】根據(jù)比例線段的概念，讓最小的和最大的相乘，另外兩條相乘，看它們的積是否相等即可得出答案．
【解答】解：A、∵3×7≠4×6，∴四條線段不成比例；
B、∵5×8≠6×7，∴四條線段不成比例；
C、∵8×8≠4×6，∴四條線段不成比例；
D、∵15×8＝10×12，∴四條線段成比例；
故選：D．
4．已知線段a，b，c，如果a：b：c＝1：2：3，那么：的值是（　?。?br /> A．： B．： C．： D．：
【分析】直接利用已知條件進(jìn)而表示出a，b，c，進(jìn)而代入求出答案．
【解答】解：∵a：b：c＝1：2：3，
∴設(shè)a＝x，b＝2x，c＝3x，
∴：＝：＝：．
故選：C．
5．若線段AB＝2，且點(diǎn)C是AB的黃金分割點(diǎn)，則BC等于（　?。?br /> A． B． C．或 D．或
【分析】由于線段AB的黃金分割點(diǎn)有兩個(gè)，則AC＝AB或BC＝AB，當(dāng)AC＝AB＝﹣1，則BC＝3﹣．
【解答】解：∵點(diǎn)C是AB的黃金分割點(diǎn)，
∴AC＝AB或BC＝AB＝﹣1，
當(dāng)AC＝AB＝×2＝﹣1，此時(shí)BC＝2﹣（﹣1）＝3﹣，
綜上所述，BC的長為﹣1或3﹣．
故選：D．
6．大自然是美的設(shè)計(jì)師，即使是一片小小的樹葉，也蘊(yùn)含著“美學(xué)”．如圖，的值接近黃金比，則黃金比（參考數(shù)據(jù)：2.12＝4.41，2.22＝4.84，2.32＝5.29，2.42＝5.76）（　?。?br />
A．在0.1到0.3之間 B．在0.3到0.5之間
C．在0.5到0.7之間 D．在0.7到0.9之間
【分析】先估計(jì)，再求黃金比．
【解答】解：∵2.22＝4.84，2.32＝5.29，
2.2＜＜2.3，
∴1.2＜﹣1＜1.3，
∴0.6＜＜0.65，
故選：C．
7．已知a＝4，b＝9，則這兩個(gè)數(shù)a，b的比例中項(xiàng)為　 ?。?br /> 【分析】根據(jù)比例中項(xiàng)的概念，得c2＝ab，再利用比例的基本性質(zhì)計(jì)算得到c的值．
【解答】解：設(shè)c是a，b的比例中項(xiàng)，
∴c2＝ab，
又∵a＝4，b＝9，
∴c2＝ab＝36，
解得c＝±6．
故答案為：±6．
8．如圖，已知AB∥CD∥EF，那么下列結(jié)論正確的是（　　）

A． B． C． D．
【分析】利用平行線分線段成比例定理判斷即可．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴＝，＝，＝，＝，
故選項(xiàng)A，C，D錯(cuò)誤，
故選：B．
9．如圖，l1∥l2∥l3，直線a、b與l1、l2、l3分別相交于A、B、C和點(diǎn)D、E、F，若，DE＝6，則EF的長是　　．

【分析】利用平行線分線段成9比例定理求解即可．
【解答】解：∵l1∥l2∥l3，
∴＝＝，
∵DE＝6，
∴EF＝9，
故答案為：9．
10．（1）計(jì)算：4×（﹣3）+|﹣8|﹣+（）0；
（2）已知：＝，求的值．
【分析】（1）先利用算術(shù)平方根的定義、絕對值的意義和零指數(shù)冪的意義計(jì)算，然后計(jì)算有理數(shù)的加減運(yùn)算；
（2）設(shè)＝＝k，利用k表示x、y、z得到x＝2k，y＝3k，z＝5k，然后把它們代入所求的代數(shù)式中進(jìn)行分式的加減運(yùn)算即可．
【解答】解：（1）原式＝﹣12+8﹣3+1
＝﹣6；
（2）設(shè)＝＝k，
∴x＝2k，y＝3k，z＝5k，
∴＝＝＝﹣．

考點(diǎn)二相似三角形的判定和性質(zhì)
【知識點(diǎn)睛】
v 相似三角形的性質(zhì)：
①　相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例；
②　相似三角形的對應(yīng)高線、對應(yīng)角平分線、對應(yīng)中線之比=相似比
③　相似三角形的周長之比=相似比；面積之比=相似比的平方
v 相似三角形的判定：
①　預(yù)備定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似
②　有兩個(gè)角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似
③　兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似
④　三邊對應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似
v 相似三角形的對應(yīng)頂點(diǎn)需要寫在對應(yīng)的位置，當(dāng)對應(yīng)點(diǎn)、對應(yīng)邊不明確時(shí)，常常需要分類討論
【類題訓(xùn)練】
1．如圖，△ABC∽△ADE，且BC＝2DE，則S四邊形BEDC：S△ABC的值為（　?。?br />
A．1：4 B．3：4 C．2：3 D．1：2
【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答即可．
【解答】解：∵△ABC∽△ADE，且BC＝2DE，
∴＝（）2＝，
∴S△ABC＝4S△ADE，S四邊形BEDC＝3S△ADE，
∴S四邊形BEDC：S△ABC＝3：4．
故選：B．
2．如圖，已知△ADE和△ABC的相似比是1：2，且△ADE的面積是1，則四邊形DBCE的面積是　 ?。?br />
【分析】由△ADE和△ABC的相似比是1：2及△ADE的面積是1，利用相似三角形的性質(zhì)可得出S△ABC的值，再利用S四邊形DBCE＝S△ABC﹣S△ADE，即可求出四邊形DBCE的面積．
【解答】解：∵△ADE和△ABC的相似比是1：2，且△ADE的面積是1，
∴＝（）2＝，
∴S△ABC＝4S△ADE＝4，
∴S四邊形DBCE＝S△ABC﹣S△ADE＝4﹣1＝3．
故答案為：3．
3．如圖，已知△ABC∽△A′B′C′，則圖中角度α和邊長x分別為（　　）
A．40°，9 B．40°，6 C．30°，9 D．30°，6
【分析】根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等，對應(yīng)角相等解答．
【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′，
∴∠α＝40°，x＝，
故選：A．
4．已知△ABC∽△DEF，且面積比為1：9，若△ABC的周長為8cm，則△DEF的周長是　　cm．
【分析】根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方、相似三角形周長的比等于相似比解答即可．
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且面積比為1：9，
∴△ABC與△DEF的相似比1：3，
∴△ABC與△DEF的周長比1：3，
∵△ABC的周長為8cm，
∴△DEF的周長是3×8＝24（cm），
故答案為：24．
5．如圖，△ABC∽△ADE，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝6，AC＝8，點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)D從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)．
（1）當(dāng)BD＝1時(shí)，則CE＝　 ??；
（2）設(shè)P為線段DE的中點(diǎn)，在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過程中，CP的最小值是　　．

【分析】（1）證明△BAD∽△CAE，推出＝＝，可得結(jié)論；
（2）證明∠DCE＝90°，推出CP＝DE，求出DE的最小值，可得結(jié)論．
【解答】解：（1）∵△ABC∽△ADE，
∴＝，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，＝，
∴△BAD∽△CAE，
∴＝＝，
∵BD＝1．
∴CE＝，
故答案為：；

（2）∵△BAD∽△CAE，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABD+∠ACB＝90°，
∴∠ACB+∠ACE＝90°，
∴∠DCE＝90°，
∵DP＝PE，
∴CP＝DE，
∵△ABC∽△ADE，
∴AD的值最小時(shí)，DE的值最小，此時(shí)CP的值最小，
∵AB＝6，AC＝8，∠BAC＝90°，
∴BC＝＝＝10，
根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)AD⊥BC時(shí)，AD的值最小，此時(shí)AD＝＝＝，
∴DE＝AD＝8，
∴CP的最小值為×8＝4，
故答案為：4．
6．如圖，在?ABCD中，AE⊥BC于點(diǎn)E，點(diǎn)F在線段DE上，且△ADF∽△DEC，若DC＝4cm，AD＝cm，AF＝cm．
（1）求DE的長；
（2）求?ABCD的面積．

【分析】（1）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答即可；
（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和勾股定理以及四邊形的面積公式解答即可．
【解答】解：（1）∵△ADF∽△DEC，
∴，
∴，
∴DE＝6；
（2）∵四邊形ABCD為平行四邊形，∠EAD＝∠AEB＝90°，
∴在Rt△EAD中，，
∴AE＝3（cm），
∴S?ABCD＝BC?AE＝．
7．從三角形（不是等腰三角形）一個(gè)頂點(diǎn)引起一條射線與對邊相交，頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)小三角形，如果分得的兩個(gè)小三角形中一個(gè)為等腰三角形，另一個(gè)與原三角形相似，我們把這條線段叫做這個(gè)三角形的完美分割線．

（1）如圖1，在△ABC中，∠A＝48°，CD是△ABC的完美分割線，且AD＝CD，求∠ACB的度數(shù)．
（2）如圖2，在△ABC中，AC＝2，BC＝，CD是△ABC的完美分割線，且△ACD是以CD為底邊的等腰三角形，找出CD與BD的關(guān)系．
【分析】（1）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到∠BCD＝∠A＝48°，再根據(jù)角的和差關(guān)系求出∠ACB即可．
（2）利用△BCD∽△BAC，得＝，可得結(jié)論．
【解答】解：（1）當(dāng)AD＝CD時(shí)，∠ACD＝∠A＝48°，
∵△BDC∽△BCA，
∴∠BCD＝∠A＝48°，
∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝96°．

（2）結(jié)論：CD＝BD．
理由：∵△BCD∽△BAC，
∴＝，
∴＝＝，
∴CD＝BD．
8．如圖，在△ABC，D，E分別是AB，AC上的點(diǎn)，△ADE∽△ACB，相似比為AD：AC＝2：3，△ABC的角平分線AF交DE于點(diǎn)G，交BC于點(diǎn)F，求AG與GF的比．

【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出∠ADE＝∠ACB，∠AED＝∠ABC，因?yàn)锳F是∠BAC的平分線，所以∠BAF＝∠CAF，然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求得∠AGD＝∠AFC，即可判定△AGD∽△AFC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得＝＝，即可求得AG：GF＝2：1．
【解答】解：∵△ADE∽△ACB，
∴∠ADE＝∠ACB，∠AED＝∠ABC，
∵AF是∠BAC的平分線，
∴∠BAF＝∠CAF，
∵∠AGD＝∠CAF+∠AED，∠AFC＝∠BAF+∠ABC，
∴∠AGD＝∠AFC，
∴△AGD∽△AFC，
∴＝＝，
∴AG：GF＝2：1．

考點(diǎn)三相似三角形的基本模型
【知識點(diǎn)睛】
1.平行線型——A字圖、8字圖：常見的有如下兩種，當(dāng)CD∥AB時(shí)，則有△OCD∽△OAB

2.斜線型——如圖，當(dāng)∠1=∠A時(shí)，則有△OCD∽△OAB

3.一線三等角型——如圖，當(dāng)∠B=∠ADE=∠C時(shí)，則有△ABD∽△DCE

4.旋轉(zhuǎn)型——如圖，當(dāng)∠1=∠2，且OD：OA=OC：OB（或∠D=∠A）時(shí)，則有△OCD∽△OBA

【類題訓(xùn)練】
1．直角三角形ABC中，∠C＝90°，三個(gè)正方形如圖放置，邊長分別為a，b，c，已知a＝2，b＝3，則c值為（　?。?br />
A．4 B．2 C．5 D．6
【分析】根據(jù)△CEF∽△OME∽△PFN，得，代入即可．
【解答】解：直角三角形ABC中，∠C＝90°，放置邊長分別為a，b，c的正方形，且a＝2，b＝3，
∴△CEF∽△OME∽△PFN，
∴，
∵M(jìn)O＝2，PN＝3，EF＝c，
∴OE＝c﹣2，PF＝C﹣3，
∴，
解得：c＝5或0（舍去），
∴c＝5，
故選：C．
2．如圖，點(diǎn)E是?ABCD的邊AD上的一點(diǎn)，且，連接BE并延長交CD的延長線于點(diǎn)F，若DE＝3，DF＝4，則?ABCD的周長為　 ?。?br />
【分析】先由四邊形ABCD是平行四邊形推得AB＝CD，AD＝BC，CD∥AB，再證明△DFE∽△ABE，分別求出CD、BC的長即可．
【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB＝CD，AD＝BC，CD∥AB，
∵DF∥AB，
∴△DFE∽△ABE，
∴＝＝，
∴DF＝AB＝CD＝4，
∴AB＝CD＝8，
∵，
∴DE＝AD＝3，
∴BC＝AD＝9，
∴AB+CD+BC+AD＝8×2+9×2＝34，
∴?ABCD的周長為34，
故答案為34．

3．如圖，在△ABC中，D是BC上的點(diǎn)，E是AD上一點(diǎn)，且，∠BAD＝∠ECA．
（1）求證：∠DAC＝∠B；
（2）若AD是△ABC的中線，AC＝4，求CD的長．

【分析】（1）由已知條件可證得△ABD∽△CAE，由相似三角形的性質(zhì)可得∠DAC＝∠B；
（2）由（1）得∠DAC＝∠B，結(jié)合∠BCA＝∠ACD，即有△ABC∽△DAC，從而得AC2＝BC?CD，再結(jié)合AD是△ABC的中線，從而可求解．
【解答】（1）證明：∵，∠BAD＝∠ECA，
∴△ABD∽△CAE，
∴∠DAC＝∠B；
（2）解：由（1）得∠DAC＝∠B，
∵∠BCA＝∠ACD，
∴△ABC∽△DAC，
∴，即AC2＝BC?CD，
∵AD是△ABC的中線，
∴BC＝2DC，
∵AC＝4，
∴42＝2DC?DC，
解得：DC＝．
4．如圖，在矩形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，連接AC，EC，EF，F(xiàn)C，且EC⊥EF．
（1）求證：△AEF∽△BCE；
（2）若AC＝，求AB的長．

【分析】（1）由矩形的性質(zhì)得∠FAE＝∠EBC＝90°，再根據(jù)∠CEF＝90°及同角的余角相等證明∠AEF＝∠BCE，即可證明△AEF∽△BCE；
（2）由△AEF∽△BCE得＝，再由E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，得AF＝AD＝BC，AE＝BE＝AB，可以得到，由勾股定理得AB2+BC2＝AC2，其中AC＝，可以求出AB的長．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠FAE＝∠EBC＝90°，
又∵EC⊥EF，
∴∠CEF＝90°，
∴∠AEF+∠BEC＝90°，
∵∠BCE+∠BEC＝90°，
∴∠AEF＝∠BCE，
∴△AEF∽△BCE．
（2）解：由（1）得△AEF∽△BCE，
∴＝，
∵E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，且AD＝BC，
∴AF＝AD＝BC，AE＝BE＝AB，
∴，
∴，
∵AC＝，
∴AB2+BC2＝AC2＝（）2＝12，
∴，
解得AB＝，
∴AB的長為．
5．如圖，在矩形ABCD中，E是CD上一點(diǎn)，AE＝AB，作BF⊥AE．
（1）求證：△ADE≌△BFA；
（2）連接BE，若△BCE與△ADE相似，求．

【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得出∠D＝∠DAB＝90°，求出∠DAE+∠FAB＝90°，∠FBA+∠FAB＝90°，求出∠D＝∠AFB，∠DAE＝∠FBA，再根據(jù)全等三角形的判定推出即可；
（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)得出∠C＝∠D＝90°，DC∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠CEB＝∠ABE，
設(shè)∠CEB＝∠ABE＝x°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠AEB＝∠EBA＝x°，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出兩種情況：①∠DEA＝∠CEB＝x°，根據(jù)∠DEA+∠AEB+∠CEB＝180°得出x+x+x＝180，求出x，再解直角三角形求出AE和AD，再求出答案即可；②∠DEA＝∠EBC，設(shè)∠DEA＝∠EBC＝y(tǒng)°，求出∠DEA+∠AEB+∠CEB＝（y+2x）°＝180°，∠EBC+∠CEB＝（y+x）°＝90°，求出x，再得出答案即可．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠DAB＝90°，
∴∠DAE+∠FAB＝90°，
∵BF⊥AE，
∴∠AFB＝90°，
∴∠D＝∠AFB，∠FBA+∠FAB＝90°，
∴∠DAE＝∠FBA，
在△ADE和△BFA中
，
∴△ADE≌△BFA（AAS）；

（2）解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠D＝90°，DC∥AB，
∴∠CEB＝∠ABE，
設(shè)∠CEB＝∠ABE＝x°，
∵AE＝AB，
∴∠AEB＝∠EBA＝x°，
當(dāng)△BCE與△ADE相似時(shí)，有兩種情況：
①∠DEA＝∠CEB＝x°，
∵∠DEA+∠AEB+∠CEB＝180°，
∴x+x+x＝180，
解得：x＝60，
即∠DEA＝60°，
∴∠DAE＝90°﹣60°＝30°，
∴AE＝2DE，由勾股定理得：AD＝＝＝DE，
∵AE＝AB，
∴＝＝＝；
②∠DEA＝∠EBC，
設(shè)∠DEA＝∠EBC＝y(tǒng)°，
∵∠CEB＝∠EBA＝∠AEB＝x°，
則∠DEA+∠AEB+∠CEB＝y(tǒng)°+x°+x°＝（y+2x）°＝180°，
在Rt△BCE中，∠EBC+∠CEB＝y(tǒng)°+x°＝（y+x）°＝90°，
即，
解得：x＝90°，
即∠CEB＝90°，
此時(shí)點(diǎn)E和點(diǎn)C重合，△BEC不存在，舍去；
所以＝．

考點(diǎn)四相似三角形的應(yīng)用
【知識點(diǎn)睛】
當(dāng)物體的高度和寬度不能直接測量時(shí)，一般思路是先根據(jù)題意建立相關(guān)的相似三角形模型，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)以及比例關(guān)系等列式求解
【類題訓(xùn)練】
1．如圖，圖1是裝了液體的高腳杯，加入一些液體后如圖2所示，則此時(shí)液面AB為（　?。?br />
A．5.6cm B．6.4cm C．8cm D．10cm
【分析】根據(jù)相似三角形的高之比等于相似比即可．
【解答】解：由題意根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得：，
解得：AB＝6.4，
故選：B．
2．如圖，在某一時(shí)刻測得1米長的竹竿豎直放置時(shí)影長1.2米，在同一時(shí)刻旗桿AB的影長不全落在水平地面上，有一部分落在樓房的墻上，他測得落在地面上影長為BD＝9.6米，留在墻上的影長CD＝2米，則旗桿的高度（　?。?br />
A．9米 B．9.6米 C．10米 D．10.2米
【分析】作CE⊥AB于E點(diǎn)，如圖，則四邊形BDCE為矩形，BD＝CE＝9.6，BE＝CD＝2，利用“在同一時(shí)刻物高與影長的比相等得到”＝，求出AE從而可得到AB的長．
【解答】解：作CE⊥AB于E點(diǎn)，如圖，則四邊形BDCE為矩形，BD＝CE＝9.6，BE＝CD＝2，
根據(jù)題意得＝，即＝，解得AE＝8，
所以AB＝AE+BE＝8+2＝10（m）．
答：旗桿的高度為10m．
故選：C．

3．某天小明和小亮去某影視基地游玩，當(dāng)小明給站在城樓上的小亮照相時(shí)，發(fā)現(xiàn)他自己的眼睛、涼亭頂端、小亮頭頂三點(diǎn)恰好在一條直線上（如圖）．已知小明的眼睛離地面的距離AB為1.6米，涼亭頂端離地面的距離CD為1.9米，小明到?jīng)鐾さ木嚯xBD為2米，涼亭離城樓底部的距離DF為38米，小亮身高為1.7米．那么城樓的高度為（　?。?br />
A．7.6米 B．5.9米 C．6米 D．4.3米
【分析】根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形，進(jìn)而利用相似三角形的判定與性質(zhì)求出即可．
【解答】解：過點(diǎn)A作AM⊥EF于點(diǎn)M，交CD于點(diǎn)N，

由題意得：AN＝2米，CN＝1.9﹣1.6＝0.3（米），MN＝38米，
∵CN∥EM，
∴△ACN∽△AEM，
∴＝，
∴＝，
∴EM＝6，
∵AB＝MF＝1.7米，
∴城樓的高度為：6+1.6﹣1.7＝5.9（米）．
故選：B．
4．《九章算術(shù)》是中國古代的數(shù)學(xué)專著，它奠定了中國古代數(shù)學(xué)的基本框架，以計(jì)算為中心，密切聯(lián)系實(shí)際，以解決人們生產(chǎn)、生活中的數(shù)學(xué)問題為目的．書中記載了這樣一個(gè)問題：“今有勾五步，股十二步，問勾中容方幾何．”其大意是：如圖，Rt△ABC的兩條直角邊的長分別為5和12，則它的內(nèi)接正方形CDEF的邊長為（　　）

A． B． C． D．
【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得：DE∥BC，則△ADE∽△ACB，列比例式可得結(jié)論．
【解答】解：∵四邊形CDEF是正方形，
∴CD＝ED，DE∥CF，
設(shè)ED＝x，則CD＝x，AD＝5﹣x，
∵DE∥CF，
∴∠ADE＝∠C，∠AED＝∠B，
∴△ADE∽△ACB，
∴＝，
∴＝，
∴x＝，
∴正方形CDEF的邊長為．
故選：B．

5．如圖，為了測量一棟樓的高度，王青同學(xué)在她腳下放了一面鏡子，然后向后退，直到她剛好在鏡子里看到樓的頂部，如果王青身高1.55m，她估計(jì)自己服睛距地面1.50m．同時(shí)量得LM＝30cm，MS＝2m，則這棟樓高　　m．

【分析】根據(jù)鏡面反射的性質(zhì)，△KLM∽△TSM，再根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求解即可．
【解答】解：根據(jù)題意，
∵∠KLM＝∠TSM＝90°，∠KML＝∠TMS（反射角等于入射角），
∴△KLM∽△TSM，
∴＝，即＝＝，
∴TS＝10（m），
所以這棟大樓高為10m，
故答案為：10．

6．如圖，小明在B時(shí)測得直立于地面的某樹的影長為12米，A時(shí)又測得該樹的影長為3米，若兩次日照的光線互相垂直，則樹的高度為　　米．

【分析】根據(jù)題意，畫出示意圖，易得：Rt△EDC∽Rt△FDC，進(jìn)而可得EC2＝ED?FE，代入數(shù)據(jù)可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，作△DFC，
則樹高為CE，∠DCF＝90°，ED＝3米，F(xiàn)E＝12米，
∵∠DCF＝90°，∠DEC＝∠FEC＝90°，
∴∠D+∠F＝∠D+∠DCE，
∴∠DCE＝∠F，
∴Rt△DEC∽Rt△CEF，
∴＝，即EC2＝ED?EF，
∴EC2＝3×12＝36，
∴EC＝6，
答：樹的高度為6米．
故答案為：6．

7．疫情期間，小紅在家里在圖1所示的平板支架上網(wǎng)課，圖2是她觀看網(wǎng)課的側(cè)面示意圖，已知平板寬度AB＝20cm，支架底板寬度CD＝AB，支撐角∠ABC＝60°，支撐板CE＝BE＝6cm，小紅坐在距離支架底板20cm處觀看（即DF＝20cm），Q點(diǎn)是AB中點(diǎn)．當(dāng)視線PQ與屏幕AB垂直時(shí)，小紅的眼睛距離桌面的高度PF等于　　cm；當(dāng)落在屏幕中點(diǎn)的視線與屏幕構(gòu)成的夾角（指銳角或直角）不小于75°時(shí)，能使觀看平板視頻的效果最佳，為保證最佳的觀看效果，小紅眼睛距離桌面的最大高度和最小高度的差等于　　cm．

【分析】延長PQ交FC延長線于點(diǎn)M，先證明△BCE是等邊三角形，進(jìn)而可以求出PF的值；過點(diǎn)Q作QH⊥BM于點(diǎn)H，求出tan15°＝＝2+，進(jìn)而可以解決問題．
【解答】解：如圖，延長PQ交FC延長線于點(diǎn)M，

由題意可知：PM⊥AB，∠ABC＝60°，
∴∠QMB＝30°，
∵Q點(diǎn)是AB中點(diǎn)．
∴QB＝AB＝10cm，
∴BM＝2QB＝20cm，QM＝QB＝10cm，
∵CE＝BE＝6cm，∠ABC＝60°，
∴△BCE是等邊三角形，
∴BC＝6cm，
∴BD＝CD﹣BC＝20﹣6＝14cm，
∴FM＝BM+BD+DF＝20+14+20＝54（cm），
∴PF＝FM＝18（cm），
∴當(dāng)視線PQ與屏幕AB垂直時(shí)，小紅的眼睛距離桌面的高度PF等于18cm，
∴PM＝2PF＝36cm，
∴PQ＝PM﹣QM＝36﹣10＝26（cm），
當(dāng)∠P′QB＝75°時(shí)，P′F得最小高度，如圖，延長P′Q交FC延長線于點(diǎn)N，
∴∠N+∠QBN＝∠P′QB，
∴∠N＝75°﹣60°＝15°，
∵∠QMB＝30°，
∴∠MQN＝15°，
∴∠MQN＝∠N＝15°，
∴MQ＝MN＝10cm，
∴FN＝FM+MN＝（54+10）cm，
如圖，過點(diǎn)Q作QH⊥BM于點(diǎn)H，

設(shè)OH＝xcm，則QM＝MN＝2xcm，MH＝xcm，
∴NH＝MN+MH＝（2x+x）cm，
∴tan15°＝＝，
∴tan15°＝＝2+，
∴P′F＝（2+）（54+10）＝（78﹣34）cm，
∴PP′＝PF﹣P′F＝18﹣（78﹣34）＝（52﹣78）cm．
故答案為：18；（52﹣78）cm．
8．如圖，為了估測筆直的公路l旁邊矩形場地ABCD的面積，在公路l上依次確定點(diǎn)E，F(xiàn)，M，N，使AE⊥l，BF⊥l，點(diǎn)N，A，B在同一直線上，∠CMN＝∠AFE，并測得EF＝20米，F(xiàn)M＝10米，MN＝15米，∠ANE＝45°，則矩形場地ABCD的面積為　　米2．

【分析】根據(jù)已知可知△AEN和△BFN都是等腰直角三角形，從而求出AN與BN的長，即可求出AB的長，因?yàn)橐阎螩MN＝∠AFE，想到構(gòu)造這兩個(gè)角所在的三角形相似，所以過點(diǎn)C作CH⊥l，垂足為H，過點(diǎn)B作BQ⊥CH，垂足為Q，延長QB交AE于點(diǎn)P，然后證明△FAE∽△MCH，進(jìn)而得到CH與HM的關(guān)系，最后證明△CQB是等腰直角三角形即可解答．
【解答】解：過點(diǎn)C作CH⊥l，垂足為H，過點(diǎn)B作BQ⊥CH，垂足為Q，延長QB交AE于點(diǎn)P，

∵AE⊥l，BF⊥l，
∴∠AEN＝∠BFN＝90°，
∴四邊形BFHQ和四邊形BPEF是矩形，
∴BF＝QH＝PE，BP＝EF，QB＝HF，
∵EF＝20米，F(xiàn)M＝10米，MN＝15米，
∴FN＝MN+FM＝25米，EN＝EF+FM+MN＝45米，
∵∠ANE＝45°，
∴△AEN和△BFN都是等腰直角三角形，
∴AE＝EN＝45米，BF＝FN＝25米，
∴AN＝AE＝45米，BN＝BF＝25米，
∴AB＝AN﹣BN＝45﹣25＝20米，
∵∠CMN＝∠AFE，∠AEF＝∠CHM＝90°，
∴△FAE∽△MCH，
∴＝＝＝，
∴設(shè)MH＝4x米，CH＝9x米，
∴CQ＝CH﹣QH＝（9x﹣25）米，QB＝HF＝HM+MF＝（4x+10）米，
∵AP＝AE﹣PE＝45﹣25＝20米，BP＝EF＝20米，∠APB＝90°，
∴△APB是等腰直角三角形，
∴∠ABP＝45°，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∴∠CBQ＝180°﹣∠ABP﹣∠ABC＝45°，
∵∠CQB＝90°，
∴△CQB是等腰直角三角形，
∴CQ＝QB，
∴9x﹣25＝4x+10，
∴x＝7，
∴CQ＝BQ＝38米，
∴BC＝BQ＝38米，
∴矩形ABCD的面積＝20×38＝1520平方米，
故答案為：1520．
9．如圖，在河對岸有一矩形場地ABCD，為了估測場地大小，在筆直的河岸l上依次取點(diǎn)E，F(xiàn)，N，使AE⊥l，BF⊥l，點(diǎn)N，A，B在同一直線上．在F點(diǎn)觀測A點(diǎn)后，沿FN方向走到M點(diǎn)，觀測C點(diǎn)發(fā)現(xiàn)∠1＝∠2．測得EF＝15米，F(xiàn)M＝2米，MN＝8米，∠ANE＝45°，則場地的邊AB為　　米，BC為　　米．

【分析】根據(jù)已知條件得到△ANE和△BNF是等腰直角三角形，求得AE＝EN＝15+2+8＝25（米），BF＝FN＝2+8＝10（米），于是得到AB＝AN﹣BN＝15（米）；過C作CH⊥l于H，過B作PQ∥l交AE于P，交CH于Q，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到PE＝BF＝QH＝10，PB＝EF＝15，BQ＝FH，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【解答】解：∵AE⊥l，BF⊥l，
∵∠ANE＝45°，
∴△ANE和△BNF是等腰直角三角形，
∴AE＝EN，BF＝FN，
∴EF＝15米，F(xiàn)M＝2米，MN＝8米，
∴AE＝EN＝15+2+8＝25（米），BF＝FN＝2+8＝10（米），
∴AN＝25（米），BN＝10（米），
∴AB＝AN﹣BN＝15（米）；
過C作CH⊥l于H，過B作PQ∥l交AE于P，交CH于Q，
∴AE∥CH，
∴四邊形PEHQ和四邊形PEFB是矩形，
∴PE＝BF＝QH＝10，PB＝EF＝15，BQ＝FH，
∵∠1＝∠2，∠AEF＝∠CHM＝90°，
∴△AEF∽△CHM，
∴＝＝＝，
∴設(shè)MH＝3x，CH＝5x，
∵CQ＝5x﹣10，BQ＝FH＝3x+2，
∵∠APB＝∠ABC＝∠CQB＝90°，
∴∠ABP+∠PAB＝∠ABP+∠CBQ＝90°，
∴∠PAB＝∠CBQ，
∴△APB∽△BQC，
∴，
∴＝，
∴x＝6，
∴BQ＝CQ＝20，
∴BC＝20（米），
方法二：∵∠ANE＝45°，
∴∠ABP＝45°，
∴∠CBQ＝45°，
∴CQ＝BQ，
∵CQ＝5x﹣10，BQ＝FH＝3x+2，
∴5x﹣10＝3x+2，
∴x＝6，
∴BQ＝CQ＝20，
∴BC＝20（米），
故答案為：15，20．

10．學(xué)完了《圖形的相似》這一章后，某中學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)踐小組決定利用所學(xué)知識去測量一古建筑AB的高度（如圖1）．如圖2，在地面BC上取E，G兩點(diǎn)，分別豎立兩根高為2m的標(biāo)桿EF和GH，兩標(biāo)桿間隔EG為23m，并且古建筑AB，標(biāo)桿EF和GH在同一豎直平面內(nèi)，從標(biāo)桿EF后退2m到D處，從D處觀察A點(diǎn)，A，F(xiàn)，D三點(diǎn)成一線；從標(biāo)桿GH后退4m到C處，從C處觀察A點(diǎn)，A，H，C三點(diǎn)也成一線．請根據(jù)以上測量數(shù)據(jù)，幫助實(shí)踐小組求出該古建筑的高度．

【分析】設(shè)BE＝y(tǒng)m，由題意可知兩組三角形相似，利用相似比找出關(guān)于y的方程，即可求出建筑物AB的高度．
【解答】解：設(shè)BE＝y(tǒng)m，由題意可知，
△ABD∽△FED，△ABC∽△HGC，
∴＝，＝，
∵EF＝HG＝2，
∴＝，
∴＝，
解得：y＝23（m），
則＝，即＝，
解得：AB＝25（m），
答：該古建筑的高度為25米．
11．如圖，由邊長為1的小正方形組成的6×6網(wǎng)格中，△ABC頂點(diǎn)在網(wǎng)格上，點(diǎn)D在BC邊上，且BD＝2CD．
（1）BD長等于　 ??；
（2）請你僅用無刻度的直尺在邊AB上找點(diǎn)E，使得△BDE與△ABC相似．（要求畫出兩種情形）

【分析】（1）利用勾股定理求解即可；
（2）根據(jù)相似三角形的判定方法，作出圖形即可．
【解答】解：（1）BD＝＝2．
故答案為：2．

（2）如圖，△BDE即為所求．

12．如圖，在6×10的方格紙ABCD中有一個(gè)格點(diǎn)△EFG，請按要求畫線段．
（1）在圖1中，過點(diǎn)O畫一條格點(diǎn)線段PQ（端點(diǎn)在格點(diǎn)上），使點(diǎn)P，Q分別落在邊AD，BC上，且PQ與FG的一邊垂直．
（2）在圖2中，僅用沒有刻度的直尺找出EF上一點(diǎn)M，EG上一點(diǎn)N，連結(jié)MN，使△EMN和△EFG的相似比為2：5．（保留作圖痕跡）

【分析】（1）利用數(shù)形結(jié)合的思想畫出圖形即可；
（2）取格點(diǎn)J，K，連接OJ交EF于點(diǎn)M，連接OK交EG于點(diǎn)N，連接MN即可．
【解答】解：（1）如圖1中，線段PQ即為所求；
（2）如圖2中，線段MN即為所求．

13．如圖是由小正方形組成的8×7網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都是格點(diǎn)，邊AC上的D也是一個(gè)格點(diǎn)．僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成畫圖，畫圖過程用虛線表示．
（1）在圖（1）中，先將線段CB繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，畫出對應(yīng)線段CE，再在CE上畫點(diǎn)F，使△BCF∽△BDA；
（2）在圖（2）中，先在邊AB上畫點(diǎn)G，使DG∥BC，再在邊BC上畫點(diǎn)H，使AH+DH值最?。?br />
【分析】（1）利用旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)作出點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)E，取格點(diǎn)P，Q，連接PQ交EC于點(diǎn)F，連接BF即可；
（2）作點(diǎn)D關(guān)于BC的對稱點(diǎn)D′，連接AD′，交BC于點(diǎn)H，連接DH，點(diǎn)H即為所求．
【解答】解：（1）如圖，線段CE，點(diǎn)F即為所求；
（2）如圖2中，線段DG，點(diǎn)H即為所求．

14．如圖，△ABC是一塊銳角三角形余料，邊BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成矩形零件PQMN，使一邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在邊AB、AC上．
（1）求證：△APQ∽△ABC；
（2）若這個(gè)矩形的邊PN：PQ＝1：2，則這個(gè)矩形的長、寬各是多少？

【分析】（1）根據(jù)矩形的對邊平行得到BC∥PQ，利用“平行于三角形的一邊的直線截其他兩邊或其他兩邊的延長線，得到的三角形與原三角形相似”判定即可．
（2）設(shè)寬為xmm，則長為2xmm，同（1）列出比例關(guān)系求解即可．
【解答】解：（1）∵四邊形PNQM為矩形，
∴MN∥PQ，
即PQ∥BC，
∴△APQ∽△ABC；

（2）設(shè)邊寬為xmm，則長為2xmm，
∵四邊形PNMQ為矩形，
∴PQ∥BC，
∵AD⊥BC，
∴PQ⊥AD，
∵PN：PQ＝1：2，
∴PQ為長，PN為寬，
∵PQ∥BC，
∴△APQ∽△ABC，
∴＝，
由題意知PQ＝2xmm，AD＝80mm，BC＝120mm，PN＝xmm，
∴＝，
解得x＝，2x＝．
即長為mm，寬為mm．
答：矩形的長mm，寬為mm．

15．如圖，有一塊三角形余料，它的邊BC＝100m，高線AH＝80m，要把它加工成矩形零件，使矩形的一邊EF在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)D、G分別在邊AB、AC上，設(shè)矩形DEFG的一邊長DE＝xm，矩形DEFG的面積為Sm2．
（1）矩形DEFG的另一邊長DG是多少？（用關(guān)于x的代數(shù)式表示）
（2）求S關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式和自變量x的取值范圍．
（3）當(dāng)x為多少時(shí)，矩形DEFG的面積S有最大值？最大值是多少？

【分析】（1）利用矩形的性質(zhì)，DG∥EF，利用同位角相等，證△ADG∽△ABC，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可；
（2）由（1）可知，DG＝（80﹣x），然后即可求出用x表示的矩形面積的關(guān)系式．
（3）利用配方法求出最大值即可．
【解答】解：（1）∵四邊形DEFG是矩形，
∴DG∥EF，
∴∠ADG＝∠ABC，∠AGD＝∠ACB，
∴△ADG∽△ABC，
∴＝，
∴＝，
∴DG＝（80﹣x）（m）；

（2）矩形面積S＝x?（80﹣x）＝﹣x2+100x（0＜x＜80）；

（3）∵S＝﹣（x2﹣80x）＝﹣（x﹣40）2+2000，
∵﹣＜0，
∴x＝40時(shí)，S的值最大，最大值為2000．
答：當(dāng)x＝40時(shí)，S的值最大，最大值為2000m2．

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