第10講   二次函數(shù)與相似三角形存在性問題題型訓(xùn)練1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，y＝﹣x+2與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C．拋物線y＝ax2+x+c過B、C兩點(diǎn)，且與x軸交于另一點(diǎn)A．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）拋物線的對稱軸與直線BC相交于點(diǎn)M，點(diǎn)N為x軸上一點(diǎn)，當(dāng)以M、N、B為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似時，求線段BN的長度．   2．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原點(diǎn)O，頂點(diǎn)為C．（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式及頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）設(shè)該拋物線上一動點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t．①在圖1中，當(dāng)﹣3＜t＜0時，求△PBO的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式，并求S的最大值；②在圖2中，若點(diǎn)P在該拋物線上，點(diǎn)E在該拋物線的對稱軸上，且以A，O，P，E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；③在圖3中，若P是y軸左側(cè)該拋物線上的動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PM⊥x軸，垂足為M，是否存在點(diǎn)P使得以點(diǎn)P，M，A為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．3．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c交x軸于A（﹣1，0），B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C（0，3），頂點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為1．（1）求拋物線的解析式；（2）在y軸的負(fù)半軸上是否存在點(diǎn)P使∠APB+∠ACB＝180°，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；（3）過點(diǎn)C作直線l與y軸垂直，與拋物線的另一個交點(diǎn)為E，連接AD，AE，DE，在直線l下方的拋物線上是否存在一點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MF⊥l，垂足為F，使以M，F，E三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與△ADE相似？若存在，請求出M點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．  4．如圖，拋物線過點(diǎn)O（0，0）、A（4，0）、B（3，4），連結(jié)OB、AB，點(diǎn)P以每秒1個單位長的速度從點(diǎn)O運(yùn)動到點(diǎn)B．同時點(diǎn)Q以相同的速度從點(diǎn)A出發(fā)沿著射線AO運(yùn)動，點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時P、Q兩點(diǎn)同時停止運(yùn)動，設(shè)P點(diǎn)運(yùn)動時間為t．（1）求拋物線的解析式；（2）當(dāng)t為何值時，△POQ與△AOB相似；（3）點(diǎn)P運(yùn)動過程中，△POQ的面積為S．求S與t的函數(shù)關(guān)系，并求出S的最大值．5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，拋物線y＝ax2+bx+3與y軸交于點(diǎn)A，且經(jīng)過B（4，1）、C（3，0）．（1）求拋物線的解析式；（2）連接AC、BC、AB，求∠BAC的正切值；（3）在第一象限內(nèi)，拋物線上是否存在一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PG上AP交y軸于點(diǎn)G，當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)A的上方時，△APG與△ABC相似，若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．   6．拋物線y＝ax2﹣2x+c經(jīng)過點(diǎn)A（3，0），點(diǎn)C（0，﹣3），直線y＝﹣x+b經(jīng)過點(diǎn)A，交拋物線于點(diǎn)E．拋物線的對稱軸交AE于點(diǎn)B，交x軸于點(diǎn)D，交直線AC于點(diǎn)F．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖①，點(diǎn)P為直線AC下方拋物線上的點(diǎn)，連接PA，PC，△BAF的面積記為S1，△PAC的面積記為S2，當(dāng)S2＝S1時．求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；（3）如圖②，連接CD，點(diǎn)Q為平面內(nèi)直線AE下方的點(diǎn)，以點(diǎn)Q，A，E為頂點(diǎn)的三角形與△CDF相似時（AE與CD不是對應(yīng)邊），請直接寫出符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)． 7．如圖1，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸正半軸、y軸分別交于A（3，0）、B（0，3）兩點(diǎn)，點(diǎn)P為拋物線的頂點(diǎn)，連接AB、BP．（1）求拋物線的解析式；（2）求∠PBA的度數(shù)；（3）如圖2，點(diǎn)M從點(diǎn)O出發(fā)，沿著OA的方向以1個單位/秒的速度向A勻速運(yùn)動，同時點(diǎn)N從點(diǎn)A出發(fā)，沿著AB的方向以個單位/秒的速度向B勻速運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為t秒，ME⊥x軸交AB于點(diǎn)E，NF⊥x軸交拋物線于點(diǎn)F，連接MN、EF．①當(dāng)EF∥MN時，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；②在M、N運(yùn)動的過程中，存在t使得△BNP與△BMN相似，請直接寫出t的值．              8．如圖1，平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝﹣x﹣2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C．拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A、點(diǎn)C，且與x軸交于另一點(diǎn)B，連接BC．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P是拋物線上一動點(diǎn)．①當(dāng)點(diǎn)P在直線AC下方的拋物線上運(yùn)動時，如圖2，連接AP，CP．求四邊形ABCP面積的最大值及此時點(diǎn)P的坐標(biāo)；②當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方的拋物線上運(yùn)動時，過點(diǎn)P作PM⊥x軸于點(diǎn)M，連接BP．是否存在點(diǎn)P，使△PMB與△AOC相似？若存在，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
 

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