【典例1】在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，CA＝CB，點D是△ABC外一動點（點B，點D位于AC兩側），連接CD，AD．
（1）如圖1，點O是AB的中點，連接OC，OD，當△AOD為等邊三角形時，∠ADC的度數(shù)是 ；
（2）如圖2，連接BD，當∠ADC＝135°時，探究線段BD，CD，DA之間的數(shù)量關系，并說明理由；
（3）如圖3，⊙O是△ABC的外接圓，點D在AC上，點E為AB上一點，連接CE，DE，當AE＝1，
BE＝7時，直接寫出△CDE面積的最大值及此時線段BD的長．
【思路點撥】
（1）由等腰直角三角形的性質得∠COA＝90°，CO＝OA，再由等邊三角形的性質得OD＝OA，∠ODA＝∠DOA＝60°，然后求出∠ODC＝75°，即可求解；
（2）過點C作CH⊥CD交AD的延長線于點H，證△ACH≌△BCD（SAS），得BD＝AH＝HD+DA=2CD+AD；
（3）連接OC，由勾股定理得CE＝5，過點O作ON⊥CE于N，延長ON交⊙O于點D，此時點D到CE的距離最大，△CDE面積的面積最大，然后由三角形面積求出ON=125，則DN＝OD﹣ON=85，即可求解三角形CDE的面積最大值，最后用勾股定理借助（2）的結論求出AD，即可求出BD．
【解題過程】
解：（1）∵∠BCA＝90°，BC＝AC，點O是AB的中點，
∴∠COA＝90°，CO=12AB＝OA，
∵△AOD是等邊三角形，
∴OD＝OA，∠ODA＝∠DOA＝60°，
∴OC＝OD，∠COD＝∠COA﹣∠DOA＝90°﹣60°＝30°，
∴∠ODC=12（180°﹣∠COD）=12×（180°﹣30°）＝75°，
∴∠ADC＝∠ODC+∠ODA＝75°+60°＝135°，
故答案為：135°；
（2）解：線段BD，CD，DA之間的數(shù)量關系為：BD=2CD+DA，
理由如下：過點C作CH⊥CD交AD的延長線于點H，如圖2所示：
則∠CDH＝180°﹣∠ADC＝180°﹣135°＝45°，
∴△DCH是等腰直角三角形，
∴CH＝CD，HD=2CD，
∵∠BCA＝90°，
∴∠ACH＝∠BCD，
∴△ACH≌△BCD（SAS），
∴BD＝AH＝HD+DA=2CD+AD；
（3）解：連接OC，如圖3所示：
∵∠BCA＝90°，BC＝AC，
∴△ACB是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝45°，
∵⊙O是△ABC的外接圓，
∴O是AB的中點，
∴OC⊥AB，OC＝OA=12AB=12（AE+BE）=12×（1+7）＝4，
∴OE＝OA﹣AE＝4﹣1＝3，
在Rt△COE中，由勾股定理得：CE=OC2+OE2=42+32=5，
∵CE是定值，
∴點D到CE的距離最大時，△CDE面積的面積最大，
∵AB是⊙O的直徑，
過點O作ON⊥CE于N，延長ON與⊙O的交點恰好是點D時，點D到CE的距離最大，△CDE面積的面積最大，
∵S△OCE=12OC?OE=12CE?ON，
∴ON=OC?OECE=4×35=125，
∵OD＝OC＝4，
∴DN＝OD﹣ON＝4?125=85，
此時，在Rt△CNO中，CN=OC2?ON2=42?(125)2=165，
在Rt△CND中，CD=CN2+DN2=(165)2+(85)2=855，
在Rt△ABD中，BD2＝AB2﹣AD2＝82﹣AD2，
由（ 2）知，BD=2CD+AD=2×855+AD=8105+AD，
∴82﹣AD2＝（8105+AD）2，
∴AD=6105，
∴BD=8105+AD=8105+6105=14105，
即△CDE面積的面積最大值為4，此時，BD=14105．
1．（2022·全國·九年級專題練習）已知AB為⊙O的直徑，AB=6，C為⊙O上一點，連接CA,CB．
(1)如圖①，若C為AB的中點，求∠CAB的大小和AC的長；
(2)如圖②，若AC=2,OD為⊙O的半徑，且OD⊥CB，垂足為E，過點D作⊙O的切線，與AC的延長線相交于點F，求FD的長．
【思路點撥】
（1）由圓周角定理得∠ACB=90°，由C為AB的中點，得AC=BC，從而AC=BC，即可求得∠CAB的度數(shù)，通過勾股定理即可求得AC的長度；
（2）證明四邊形ECFD為矩形，F(xiàn)D=CE= 12CB，由勾股定理求得BC的長，即可得出答案．
【解題過程】
解：（1）∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
由C為AB的中點，得AC=BC，
∴AC=BC，得∠ABC=∠CAB，
在Rt△ABC中，∠ABC+∠CAB=90°，
∴∠CAB=45°；
根據勾股定理，有AC2+BC2=AB2，
又AB=6，得2AC2=36，
∴AC=32；
（2）∵FD是⊙O的切線，
∴OD⊥FD，即∠ODF=90°，
∵OD⊥CB，垂足為E，
∴∠CED=90°,CE=12CB，
同（1）可得∠ACB=90°，有∠FCE=90°，
∴∠FCE=∠CED=∠ODF=90°，
∴四邊形ECFD為矩形，
∴FD=CE，于是FD=12CB，
在Rt△ABC中，由AB=6,AC=2，得CB=AB2?AC2=42，
∴FD=22．
2．（2022·山西·九年級專題練習）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC

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