第1單元  勾股定理（易錯(cuò)47題6個(gè)考點(diǎn)）一．勾股定理（共25小題）1．在△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC上的高AD長(zhǎng)為12，則△ABC的面積為（　　）A．84 B．24 C．24或84 D．42或842．如圖所示，AB＝BC＝CD＝DE＝1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，則AE＝（　?。?/span>A．1 B． C． D．23．如圖，網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，以A為圓心，AB為半徑畫(huà)弧，交最上方的網(wǎng)格線于點(diǎn)D，則CD的長(zhǎng)為（　　）A． B．0.8 C．3﹣ D．4．直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3厘米，4厘米，則這個(gè)直角三角形的周長(zhǎng)為（　?。?/span>A．12厘米 B．15厘米 C．12或15厘米 D．12或（7+）厘米5．如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5，D為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接CD，△ACD與△A′CD關(guān)于直線CD軸對(duì)稱，連接BA′，則BA′的最小值為（　?。?/span>A． B．1 C． D．6．如圖，以Rt△ABC的三條邊作三個(gè)正三角形，則S1、S2、S3、S4的關(guān)系為（　　）A．S1+S2+S3＝S4 B．S1+S2＝S3+S4 C．S1+S3＝S2+S4 D．不能確定7．如圖，OP＝1，過(guò)點(diǎn)P作PP1⊥OP，得OP1＝；再過(guò)點(diǎn)P1作P1P2⊥OP1，且P1P2＝1，得OP2＝；又過(guò)點(diǎn)P2作P2P3⊥OP2，且P2P3＝1，得OP3＝2，依此法繼續(xù)做下去，得OP2018＝（　?。?/span>A． B．2018 C． D．18．如圖，是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形，如果正方形的面積是13，小正方形的面積是1，直角三角形的兩條邊是分別是a，b，則a+b和的平方的值（　?。?/span>A．13 B．19 C．25 D．1699．如圖是由4個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形構(gòu)成的“田字格”．只用沒(méi)有刻度的直尺在這個(gè)“田字格”中最多可以作出以格點(diǎn)為端點(diǎn)、長(zhǎng)度為的線段　   　條．10．已知一個(gè)直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為5cm和12cm，則第三邊為　                  　． 11．如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長(zhǎng)為10cm，正方形A2的邊長(zhǎng)為6cm，正方形B的邊長(zhǎng)為5cm，正方形C的邊長(zhǎng)為5cm，則正方形D的面積是　     　cm2．12．如圖，要將樓梯鋪上地毯，則需要　   　米的地毯．13．如圖，分別以直角三角形三邊向外作三個(gè)半圓，若S1＝30，S2＝40，則S3＝　     　．14．對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美”四邊形ABCD，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O．若AD＝5，BC＝12，則AB2+CD2＝　      　．15．如圖，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16，D是AC上的一點(diǎn)，CD＝3，點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)沿射線BC方向以每秒2個(gè)單位的速度向右運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t．過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AP于點(diǎn)E．在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)t為 　       　時(shí)，能使DE＝CD？ 16．如圖，由圖中的信息可知點(diǎn)P表示的數(shù)是 　                 　．17．如圖，等腰△ABC的底邊長(zhǎng)為16cm，腰長(zhǎng)為10cm，D是BC上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)DA與腰垂直時(shí)，則AD＝　      　cm．18．如圖，在學(xué)習(xí)勾股定理時(shí)，某學(xué)習(xí)小組用八個(gè)全等的30°直角三角形紙片拼出了如圖形，在圖形中出現(xiàn)了三個(gè)正方形，那么＝　                　．19．如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，AB＝16，分別以AB、AC、BC為邊在AB的同側(cè)作正方形ABDE、ACFG、BCIH，則圖中陰影部分的面積之和為 　               　． 20．如圖，已知四邊形ABCD中，AC和BD相交于點(diǎn)O，且∠AOD＝90°，若BC＝2AD，AB＝12，CD＝9，四邊形ABCD的周長(zhǎng)是　                 　．21．如圖，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16，D是AC上的一點(diǎn)，CD＝3，點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)沿射線BC方向以每秒2個(gè)單位的速度向右運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t．連接AP．（1）當(dāng)t＝3秒時(shí)，求AP的長(zhǎng)度（結(jié)果保留根號(hào)）；（2）當(dāng)△ABP為等腰三角形時(shí)，求t的值；（3）過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AP于點(diǎn)E．在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)t為何值時(shí)，能使DE＝CD？22．在等腰△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于D．（1）若∠A＝40°，求∠DCB的度數(shù)；（2）若BC＝15，CD＝12，求AC的長(zhǎng)．     23．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15，AC＝20，CD是高．（1）求AB的長(zhǎng)；（2）求△ABC的面積；（3）求CD的長(zhǎng)．24．定義：若某三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足ab+a2＝c2，則稱該三角形為“類勾股三角形”．請(qǐng)根據(jù)以上定義解決下列問(wèn)題：（1）判斷等邊三角形是否為“類勾股三角形”，并說(shuō)明理由；（2）若等腰三角形ABC是“類勾股三角形”，其中AC＝BC，AB＞AC，求∠A的度數(shù)；（2）如圖，在△ABC中，∠C＝2∠A，且∠B＞∠A．證明：△ABC為“類勾股三角形”．25．問(wèn)題再現(xiàn)：數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種重要的思想方法，借助這種方法可將抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)變得直觀，從而可以幫助我們快速解題，初中數(shù)學(xué)里的一些代數(shù)公式，很多都可以通過(guò)表示幾何圖形面積的方法進(jìn)行直觀推導(dǎo)和解釋．（1）如圖1，是一個(gè)重要公式的幾何解釋，請(qǐng)你寫(xiě)出這個(gè)公式；（2）如圖2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，以Rt△ABC的三邊長(zhǎng)向外作正方形的面積分別為S1，S2，S3，試猜想S1，S2，S3之間存在的等量關(guān)系，直接寫(xiě)出結(jié)論．（3）如圖3，如果以Rt△ABC的三邊長(zhǎng)a，b，c為直徑向外作半圓，那么第（2）問(wèn)的結(jié)論是否成立？請(qǐng)說(shuō)明理由．（4）如圖4，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，三邊分別為5，12，13，分別以它的三邊為直徑向上作半圓，求圖4中陰影部分的面積．    二．勾股定理的證明（共3小題）26．如圖是由“趙爽弦圖”變化得到的，它由八個(gè)全等的直角三角形拼接而成，記圖中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNPQ的面積分別為S1、S2、S3．若S1+S2+S3＝60，則S2的值是（　?。?/span>A．12 B．15 C．20 D．3027．觀察“趙爽弦圖”（如圖），若圖中四個(gè)全等的直角三角形的兩直角邊分別為a，b，a＞b，根據(jù)圖中圖形面積之間的關(guān)系及勾股定理，可直接得到等式（　?。?/span>A．a（a﹣b）＝a2﹣ab B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（a+b）2＝a2+2ab+b228．勾股定理是人類最偉大的十個(gè)科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，西方國(guó)家稱之為畢達(dá)哥拉斯定理．在我國(guó)古書(shū)《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”（如圖1），后人稱之為“趙爽弦圖”，流傳至今．（1）①請(qǐng)敘述勾股定理；②勾股定理的證明，人們已經(jīng)找到了400多種方法，請(qǐng)從下列幾種常見(jiàn)的證明方法中任選一種來(lái)證明該定理；（以下圖形均滿足證明勾股定理所需的條件）（2）①如圖4、5、6，以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，這三個(gè)圖形中面積關(guān)系滿足S1+S2＝S3的有　   　個(gè)；②如圖7所示，分別以直角三角形三邊為直徑作半圓，設(shè)圖中兩個(gè)月形圖案（圖中陰影部分）的面積分別為S1，S2，直角三角形面積為S3，請(qǐng)判斷S1，S2，S3的關(guān)系并證明；（3）如果以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復(fù)這一過(guò)程就可以得到如圖8所示的“勾股樹(shù)”．在如圖9所示的“勾股樹(shù)”的某部分圖形中，設(shè)大正方形M的邊長(zhǎng)為定值m，四個(gè)小正方形A，B，C，D的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，d，已知∠1＝∠2＝∠3＝∠α，則當(dāng)∠α變化時(shí)，回答下列問(wèn)題：（結(jié)果可用含m的式子表示）①a2+b2+c2+d2＝　     　；②b與c的關(guān)系為　      　，a與d的關(guān)系為　        　．  三．勾股定理的逆定理（共5小題）29．若a、b、c為三角形三邊，則下列各項(xiàng)中不能構(gòu)成直角三角形的是（　　）A．a＝7，b＝24，c＝25 B．a＝5，b＝13，c＝12 C．a＝1，b＝2，c＝3 D．a＝30，b＝40，c＝5030．如圖是醫(yī)院、公園和超市的平面示意圖，超市在醫(yī)院的南偏東25°的方向，且到醫(yī)院的距離為300m，公園到醫(yī)院的距離為400m，若公園到超市的距離為500m，則公園在醫(yī)院的（　?。?/span>A．北偏東75°的方向上 B．北偏東65°的方向上 C．北偏東55°的方向上 D．無(wú)法確定   31．已知等腰三角形ABC的底邊BC＝20cm，D是腰AB上一點(diǎn)，且CD＝16cm，BD＝12cm．（1）求證：CD⊥AB；（2）求該三角形的腰的長(zhǎng)度．32．定義：如圖，點(diǎn)M、N把線段AB分割成AM、MN、NB，若以AM、MN、NB為邊的三角形是一個(gè)直角三角形，則稱點(diǎn)M、N是線段AB的勾股分割點(diǎn)．（1）已知M、N把線段AB分割成AM、MN、NB，若AM＝1.5，MN＝2.5，BN＝2，則點(diǎn)M、N是線段AB的勾股分割點(diǎn)嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．（2）已知點(diǎn)M、N是線段AB的勾股分割點(diǎn)，且AM為直角邊，若AB＝24，AM＝6，求BN的長(zhǎng)． 33．如圖，正方形網(wǎng)格的每個(gè)小方格邊長(zhǎng)均為1，△ABC的頂點(diǎn)在格點(diǎn)上．（1）判斷△ABC的形狀，并說(shuō)明理由；（2）求△ABC的面積及AC邊上的高．     四．勾股數(shù)（共2小題）34．如果正整數(shù)a、b、c滿足等式a2+b2＝c2，那么正整數(shù)a、b、c叫做勾股數(shù)，某同學(xué)將自己探究勾股數(shù)的過(guò)程列成下表，觀察表中每列數(shù)的規(guī)律，可知x+y的值為（　?。?/span>A．47 B．62 C．79 D．9835．勾股定理a2+b2＝c2本身就是一個(gè)關(guān)于a，b，c的方程，滿足這個(gè)方程的正整數(shù)解（a，b，c）通常叫做勾股數(shù)組．畢達(dá)哥拉斯學(xué)派提出了一個(gè)構(gòu)造勾股數(shù)組的公式，根據(jù)該公式可以構(gòu)造出如下勾股數(shù)組：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），…．分析上面勾股數(shù)組可以發(fā)現(xiàn)，4＝1×（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×（7+1），…分析上面規(guī)律，第5個(gè)勾股數(shù)組為 　             　．五．勾股定理的應(yīng)用（共9小題）36．如圖，一棵大樹(shù)在離地面3米處折斷，樹(shù)的頂端落在離樹(shù)干底部4米處，那么這棵樹(shù)折斷之前的高度是（　　）A．8米 B．12米 C．5米 D．5或7米37．如圖，學(xué)校有一塊長(zhǎng)方形花圃，有極少數(shù)人為了避開(kāi)拐角走“捷徑”，在花圃內(nèi)走出了一條“路”．他們僅僅少走了幾步路，卻踩傷了花草．他們少走的路長(zhǎng)為（　?。?/span>A．2m B．3m C．3.5m D．4m38．如圖，一棵大樹(shù)在一次強(qiáng)臺(tái)風(fēng)中于離地面3m處折斷倒下，樹(shù)干頂部在根部4米處，這棵大樹(shù)在折斷前的高度為 　   　m．39．在一棵樹(shù)的5米高B處有兩個(gè)猴子為搶吃池塘邊水果，一只猴子爬下樹(shù)跑到A處（離樹(shù)10米）的池塘邊．另一只爬到樹(shù)頂D后直接躍到A處，距離以直線計(jì)算，如果兩只猴子所經(jīng)過(guò)的距離相等，則這棵樹(shù)高 　      　米．40．一種盛飲料的圓柱形杯，測(cè)得內(nèi)部底面半徑為2.5cm，高為12cm，吸管放進(jìn)杯里（如圖所示），杯口外面至少要露出3.6cm，為節(jié)省材料，管長(zhǎng)a的取值范圍是 　              　cm．   41．一個(gè)零件的形狀如圖所示，工人師傅按規(guī)定做得∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，假如這是一塊鋼板，你能幫工人師傅計(jì)算一下這塊鋼板的面積嗎？42．位于沈陽(yáng)的紅河峽谷漂流項(xiàng)目深受歡迎，在景區(qū)游船放置區(qū)，工作人員把偏離的游船從點(diǎn)A拉回點(diǎn)B的位置（如圖）．在離水面高度為8m的岸上點(diǎn)C，工作人員用繩子拉船移動(dòng)，開(kāi)始時(shí)繩子AC的長(zhǎng)為17m，工作人員以0.35米/秒的速度拉繩子，經(jīng)過(guò)20秒后游船移動(dòng)到點(diǎn)D的位置，問(wèn)此時(shí)游船移動(dòng)的距離AD的長(zhǎng)是多少？43．【問(wèn)題背景】勾股定理是重要的數(shù)學(xué)定理，它有很多種證明方法【定理表述】（1）用文字語(yǔ)言敘述勾股定理的內(nèi)容：　                  　【定理證明】（2）以圖1中的直角三角形為基礎(chǔ)，延長(zhǎng)BE到點(diǎn)C，使CE＝a，過(guò)點(diǎn)C作：CD⊥CE，使CD＝b，連接DE，AD（如圖2），則AE⊥DE，AD＝c，四邊形ABCD是以a為底、（a+b）為高的直角梯形，請(qǐng)利用圖2證明勾股定理．【定理應(yīng)用】（3）當(dāng)a≠b時(shí)，利用圖2，可以證明a+b＜c．證明步驟如下：如圖3，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥CD于點(diǎn)F，則AF＜AD，∠AFC＝90°，∵又，∠ABC＝∠BCF＝90°，∴四邊形ABCF為 　     　，∴AF＝　     　，∴BC　   　AD，又∵BC＝a+b，AD＝c，∴a+b＜c．44．如圖，小巷左右兩側(cè)是豎著的墻，兩墻相距2.2米．一架梯子斜靠在左墻時(shí)，梯子頂端距離地面2.4米．如果保持梯子底端位置不動(dòng)，將梯子斜靠在右墻時(shí)，頂端距離地面2米．梯長(zhǎng)多少米？六．平面展開(kāi)-最短路徑問(wèn)題（共3小題）45．在一個(gè)長(zhǎng)為2米，寬為1米的矩形草地上，如圖堆放著一根長(zhǎng)方體的木塊，它的棱長(zhǎng)和場(chǎng)地寬AD平行且大于AD，木塊的正視圖是邊長(zhǎng)為0.2米的正方形，一只螞蟻從點(diǎn)A處，到達(dá)C處需要走的最短路程是　       　米．（精確到0.01米）46．長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為8cm，4cm，5cm．一只螞蟻沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B．則螞蟻爬行的最短路徑的長(zhǎng)是　               　cm．47．如圖，要從A點(diǎn)（圓柱底面一點(diǎn)）環(huán)繞圓柱形側(cè)面，建梯子到A點(diǎn)正上方的B點(diǎn)，若圓柱底面周長(zhǎng)為12m，高AB為5m，則所建梯子最短需　     　m．

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