?2022-2023學年九年級上學期期末測試卷01
數(shù)學
班級___________ 姓名___________ 分數(shù)____________
（考試時間：120分鐘 試卷滿分：120分）
【考試范圍：蘇教九年級上冊全部】
一、選擇題(本大題共6小題，每小題2分，共12分．在每小題所給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的，請將正確選項前的字母代號填涂在答題卡相應位置上)
1．下列方程中是關(guān)于x的一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】解：A、，時，不是一元二次方程，不符合題意；B、原式整理為：，不是一元二次方程，不符合題意；C、，是一元二次方程，符合題意；D、，不是一元二次方程，不符合題意；故選：C．
2．有下列說法：①半徑是弦；②任意一個三角形有且只有一個外接圓；③平分弦的直徑垂直于弦；④半圓所對的圓周角是90°；⑤相等的圓周角所對的弧相等，其中正確的個數(shù)有（　?。?br /> A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
【答案】A
【解析】解：①半徑不是弦，故①錯誤；②任意三角形都有且只有一個外接圓，故②正確；③平分弦（不是直徑）的直徑垂直于這條弦，故③錯誤；④半圓所對的圓周角是90°，故④正確；⑤在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等，故⑤錯誤；故正確的有②④，共2個故選：A．
3．如圖，正六邊形內(nèi)接于圓，半徑為4，則這個正六邊形的邊心距為（ ）

A．2 B． C． D．
【答案】B
【解析】解：連接，如圖所示：

則，
∵，
∴是等邊三角形，
∴，
∵，
∴
∴，
故選：B．
4．已知一組數(shù)據(jù)85，80，x，90的平均數(shù)是85，那么x等于（ ）
A．80 B．85 C．90 D．95
【答案】B
【解析】解：由題意得：（85+x+80+90）÷4=85
解得：x=85．
故選：B．
5．如圖，一個正六邊形轉(zhuǎn)盤被分成6個全等的正三角形，任意旋轉(zhuǎn)這個轉(zhuǎn)盤1次，當旋轉(zhuǎn)停止時，指針指向陰影區(qū)域的概率是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：如圖：轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤被均勻分成6部分，陰影部分占2份，轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時指針指向陰影部分的概率是2÷6＝．故選：B．
6．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，以點A為圓心，3為半徑作圓，在圓上取一點D，連接BD并取中點M，連接CM．則CM長度的取值范圍（　?。?br />
A．3.5＜CM＜6.5 B．3＜CM＜7 C．5＜CM＜10 D．4.5＜CM＜9.5
【答案】A
【解析】解：取AB的中點E，連接AD、EM、CE．
在直角△ABC中，AB=，

∵E是直角△ABC斜邊AB上的中點，
∴CE=AB=5．
∵M是BD的中點，E是AB的中點，
∴ME=AD=1.5．
∵5-1.5＜CM＜5+1.5，
即3.5＜CM＜6.5．
故選：A．
二、填空題(本大題共10小題，每小題2分，共20分．請把答案填寫在答題卡相應位置上)
7．若一個三角形的三邊長均滿足方程x2﹣6x+8=0，則此三角形的周長為____．
【答案】10
【解析】∵x2﹣6x+8=0
解得x1=2，x2=4
∴ 三角形三邊長可能為：2，2，4或2，4，4
∵ 2+2=4，即2，2，4不能構(gòu)成三角形，舍去
∴ 此三角形三邊長為2，4，4
∴ 此三角形的周長為2+4+4=10
故答案為：10．
8．小明同學5次數(shù)學單元測試的平均成績是90分，中位數(shù)是91分，眾數(shù)是94分，則兩次最低成績之和是__分．
【答案】171
【解析】解：∵五次數(shù)學單元測驗的平均成績是90分，
∴5次數(shù)學單元測驗的總成績是450分，
∵中位數(shù)是91分，眾數(shù)是94分，
∴最低兩次測試成績?yōu)?50-91-2×94=171．
故填171．
9．有七張正面分別標有數(shù)字﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3的卡片，它們除數(shù)字不同外其余全部相同．現(xiàn)將它們背面朝上，洗勻后從中隨機抽取一張，記卡片上的數(shù)字為a，則使關(guān)于x的一元二次方程ax2﹣2（a﹣1）x+（a﹣3）＝0有兩個不相等的實數(shù)根，且使反比例函數(shù)y＝的圖象分布在一、三象限的概率是_____．
【答案】
【解析】解：令Δ＝[﹣2（a﹣1）]2﹣4a（a﹣3）＝4a+4＞0且a≠0，
解得：a＞﹣1且a≠0，
∴使關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a（a﹣3）＝0有兩個不相等的實數(shù)根的數(shù)有1，2，3．
∵反比例函數(shù)y＝ 的圖象分布在一、三象限，
∴3﹣a＞0，
∴a＜3，
∴符合題意的數(shù)字為1，2，
∴該事件的概率為．
故答案為：．
10．設(shè)x1，x2是一元二次方程2x2﹣3x﹣10＝0的兩根，則＝_____．
【答案】11.5
【解析】解：根據(jù)題意得x1+x2＝，x1?x2＝﹣5，
∵x1是一元二次方程2x2﹣3x﹣10＝0的根，
∴，
則，
＝10+3x1 ﹣2x1 +x2，
＝10+x1 +x2，
＝10+，
＝11.5．
故答案為：11.5．
11．如圖，矩形ABCD中，AB＝20，AD＝15，P，Q分別是AB，AD邊上的動點，PQ＝16，以PQ為直徑的⊙O與BD交于點M，N，則MN的最大值為_______．

【答案】
【解析】解：過A點作AH⊥BD于H，連接OM，如圖：

∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，
在Rt△ABD中，BD＝＝＝25，
∵×AH×BD＝×AD×AB，
∴AH＝＝12，
∵⊙O的直徑為16，
∴⊙O的半徑為8，
∴點O在AH上時，OH最短，
∵HM＝，
∴此時HM有最大值，OH＝AH﹣OA＝4，
則最大值為＝4，
∵OH⊥MN，
∴MN＝2MH，
∴MN的最大值為2×4＝8．
故答案為：8．
12．若直角三角形兩直角邊為5cm、12cm，則其外接圓和內(nèi)切圓半徑之和為 ___cm．
【答案】8.5
【解析】解：設(shè)內(nèi)切圓半徑為r，
∴內(nèi)切圓圓心到這個直角三角形的三邊的距離相等，都為r，
由勾股定理得：直角三角形的斜邊，
∴此直角三角形的外接圓的半徑（外接圓圓心即為斜邊的中點）；
∵，
∴，
∴其外接圓和內(nèi)切圓半徑之和為8.5cm．
故答案為：8.5．
13．如圖，圓錐母線長BC＝18cm，若底面圓的半徑OB＝4cm，則側(cè)面展開扇形圖的圓心角為______．

【答案】80°
【解析】解：設(shè)圓錐的側(cè)面展開扇形圖的圓心角為n°，
根據(jù)題意得，
解得n＝80，
即圓錐的側(cè)面展開扇形圖的圓心角為80°．
故答案為：80°．
14．如圖，點P是線段AB上一動點（不包括端點），過點P作PQ⊥AB交以AB為直徑的半圓于點Q，連結(jié)AQ，過點P作PSAQ交該半圓于點S，連結(jié)SB．當△PSB是以PS為腰的等腰三角形時，為_________．

【答案】
【解析】解：①時，過點作于，

，
，
，
，
，，
，，
平分，，，
，，
，
=，
=，
，
在和中，
，
，
，
，
，
；
②時，過點作于，連接，

為直徑，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案為：或．
15．商場某種商品進價為120元/件，售價130元/件時，每天可銷售70件；售價單價高于130元時，每漲價1元，日銷售量就減少1件，據(jù)此，若銷售單價為　 __________元時，商場每天盈利達1500元．
【答案】150或170或150
【解析】解：設(shè)漲價x元，根據(jù)題意得：（130+x－120）（70－x）=1500，
整理得：x2－60x+800=0，
解得：x1=20，x2=40，
所以銷售單價為130+20=150元或130+40=170元，
故答案為：150或170．
16．如圖，在矩形中，，，延長AD至點F，使得，以點A為圓心，AD的長為半徑畫弧，交AB于點E，P為上一動點，連接FP并延長交AB于點G，當BG的長度最短時，陰影部分的周長為____________．

【答案】
【解析】如圖，只有當FG與⊙A相切時，BG長度最短
連接AP，則AP⊥FG
∵AD=1
∴DF=AD=1
∴AF=2
∵AP=AD=1=AF
∴∠F=30°，∠FAP=60°
∵四邊形ABCD是矩形
∴∠FAB=90°
∴∠PAE=30°
∴
∵，AE=AP=1
∴BE=
作MNAB
∴四邊形ABMN是矩形，∠AMN=90°，MN=，∠APM=∠PAE=30°
∴AM=AP=，
∴MP=
∴PN=
∵DP=AD-AM=
∴CN=DM=
∴PC=
∵BC=AD=1
∴陰影部分的周長為+BE+BC+PC==
故答案為：．


三、解答題(本大題共11小題，共88分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
17.（7分）求不等式組的整數(shù)解．
【答案】0，1，2
【解析】解：原不等式組可化為．
解不等式①得：
解不等式②得：
所以原不等式組的解集為：，
故原不等式組的整數(shù)解為0，，．
18.（7分）解方程：2x2﹣x﹣6＝0．
【答案】x1＝﹣，x2＝2．
【解析】解：原式即（2x+3）（x﹣2）＝0，
則2x+3＝0或x﹣2＝0，
解得：x1＝﹣，x2＝2．
19.（7分）化簡：
【答案】1
【解析】解：


20.（8分）如圖，AB是⊙O的直徑，于點E，連接CO并延長交AD于點F，且．

（1）求證：E是OB的中點；
（2）若，求CD的長．
【答案】（1）見解析；（2）
【解析】解：直徑AB垂直于弦CD于點E，連接AC，

∴=，
∴，
∵過圓心O的線，
∴，即CF是AD的中垂線，
∴，
∴．
即：是等邊三角形，
∴，
在中， 有
∴，
∴點E為OB的中點；
（2）解： ，
∴，
又∵，
∴，
∴，

∴．
21.（8分）2020年東京奧運會于2021年7月23日至8月8日舉行，跳水比賽是大家最喜愛觀看的項目之一，其計分規(guī)則如下：
a．每次試跳的動作，按照其完成難度的不同對應一個難度系數(shù)H；
b．每次試跳都有7名裁判進行打分（0～10分，分數(shù)為0.5的整數(shù)倍），在7個得分中去掉2個最高分和2個最低分，剩下3個得分的平均值為這次試跳的完成分p；
c．運動員該次試跳的得分A＝難度系數(shù)H×完成分p×3
在比賽中，某運動員一次試跳后的打分表為：
難度系數(shù)
裁判
1
2
3
4
5
6
7
3.5
打分
7.5
8.5
7.5
9.0
7.5
8.5
8.0
（1）7名裁判打分的眾數(shù)是 　 ??；中位數(shù)是 　 ?。?br /> （2）該運動員本次試跳的得分是多少？
【答案】（1）7.5,8.0；（2）該運動員本次試跳得分為84分．
【解析】解：（1）7.5出現(xiàn)的次數(shù)最多，7名裁判打分的眾數(shù)是7.5；
將這組數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列得：7.5、7.5、7.5、8.0、8.5、8.5、9.0，根據(jù)中位數(shù)的定義可得，中位數(shù)為8.0；
故答案為：7.5,8.0；
（2）根據(jù)試跳得分公式可得：
（分），
故該運動員本次試跳得分為84分．
22.（8分）只有1和它本身兩個因數(shù)且大于1的正整數(shù)叫做素數(shù)．我國數(shù)學家陳景潤哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果．哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)都表示為兩個素數(shù)的和”．如20＝3＋17
（1）從7、11、13、17這4個素數(shù)中隨機抽取一個，則抽到的數(shù)是7的概率是 　 ?。?br /> （2）從7、11、13、17這4個素數(shù)中隨機抽取1個數(shù)，再從余下的3個數(shù)中隨機抽取1個數(shù)，用畫樹狀圖或列表的方法，求抽到的兩個素數(shù)之和等于24的概率．
【答案】（1）；（2）
【解析】解：（1）在7，11，13，17中隨機抽取一個數(shù)的結(jié)果可以為：7，11，13，17，一共有四種可能性，抽到7的結(jié)果數(shù)為1，
∴P抽到7；
故答案為：；
（2）列表如下：

7
11
13
17
7

18
20
24
11
18

24
28
13
20
24

30
17
24
28
30

由表可以看出，分別從這4個素數(shù)中隨機抽取1個數(shù)，再從余下的3個數(shù)中隨機抽取1個數(shù)，可能出現(xiàn)的結(jié)果有12種，并且他們出現(xiàn)的可能性相等，抽到的兩個素數(shù)之和等于24的有4種情況．
∴抽到的兩個素數(shù)之和等于24的概率為P=．
23.（8分）拖拉機行駛過程中會對周圍產(chǎn)生較大的噪聲影響．如圖，有一臺拖拉機沿公路AB由點A向點B行駛，已知點C為一所學校，且點C與直線AB上兩點A，B的距離分別為150m和200m，又AB＝250m，拖拉機周圍130m以內(nèi)為受噪聲影響區(qū)域．
（1）學校C會受噪聲影響嗎？為什么？
（2）若拖拉機的行駛速度為每分鐘50米，拖拉機噪聲影響該學校持續(xù)的時間有多少分鐘？

【答案】（1）會受噪聲影響，理由見解析；（2）有2分鐘；
【解析】解：（1）學校C會受噪聲影響．
理由：如圖，過點C作CD⊥AB于D，


∵AC＝150m，BC＝200m，AB＝250m，
∴AC2+BC2＝AB2．
∴△ABC是直角三角形．
∴AC×BC＝CD×AB，
∴150×200＝250×CD，
∴CD＝＝120（m），
∵拖拉機周圍130m以內(nèi)為受噪聲影響區(qū)域，
∴學校C會受噪聲影響．
（2）當EC＝130m，F(xiàn)C＝130m時，正好影響C學校，
∵ED＝=50（m），
∴EF＝50×2=100（m），
∵拖拉機的行駛速度為每分鐘50米，
∴100÷50＝2（分鐘），
即拖拉機噪聲影響該學校持續(xù)的時間有2分鐘．
24.（8分）2021年是中國歷史上的超級航天年，渝飛航模專賣店看準商機，8月初推出了“天問一號”和“嫦娥五號”兩款模型．每個“天問一號”模型的售價是90元，每個“嫦娥五號”模型的售價是100元，該店在8月份售出“天問一號”模型400個，“嫦娥五號”模型200個．該店決定從9月1日起推出“逐夢航天、仰望星空”優(yōu)惠活動，9月份，每個“天問一號”模型的售價與8月份相同，銷量比8月份增加a%；每個“嫦娥五號”模型的售價在8月份的基礎(chǔ)上降價a%，銷量比8月份增加a%．
（1）用含有a的代數(shù)式填表（不需化簡）：

8月份銷量
銷量的增長率
9月份銷量
“天問一號”模型
400
a%

“嫦娥五號”模型
200


（2）據(jù)統(tǒng)計，該店在9月份的銷售總額比8月份的銷售總額增加a%，求a的值．
【答案】（1）400（1+a%）；a%；200（1+a%）；（2）a的值為10．
【解析】（1）∵9月份，“天問一號”模型的銷量比8月份增加，“嫦娥五號”模型的銷量比8月份增加，
∴9月份，“天問一號”模型的銷量為400（1+）個，“嫦娥五號”模型的銷量為200（1+）個．
故答案為：400（1+）；；200（1+）．
（2）依題意得：90×400（1+）+100（1﹣a%）×200（1+）＝（90×400+100×200）（1+），
整理得：3a2﹣30a＝0，
解得：a1＝10，a2＝0（不合題意，舍去）．
答：a的值為10．
25.（8分）請用無刻度直尺按要求畫圖，不寫畫法，保留畫圖痕跡．（用虛線表示畫圖過程，實線表示畫圖結(jié)果）

（1）如圖1，在正方形網(wǎng)格中，有一圓經(jīng)過了兩個小正方形的頂點A，B，請畫出這個圓的一條直徑；
（2）如圖2，BA，BD是⊙O中的兩條弦，C是BD上一點，∠BAC＝50°，在圖中畫一個含有50°角的直角三角形．
【答案】（1）見解析；（2）見解析．
【解析】解：（1）如圖1，線段EF即為所求；

（2）如圖2，Rt△BEF即為所求．
26.（10分）定義：我們把關(guān)于的一元二次方程與（，）稱為一對“友好方程”．如的“友好方程”是．
（1）寫出一元二次方程的“友好方程”_______．
（2）已知一元二次方程的兩根為，，它的“友好方程”的兩根、________．根據(jù)以上結(jié)論，猜想的兩根、與其“友好方程”的兩根、之間存在的一種特殊關(guān)系為________，證明你的結(jié)論．
（3）已知關(guān)于的方程的兩根是，．請利用（2）中的結(jié)論，求出關(guān)于的方程的兩根．
【答案】（1）-10x2+3x+1=0；（2），互為倒數(shù)，證明見解析；（3）x5=0，x6=2022．
【解析】解：（1）一元二次方程x2+3x-10=0的“友好方程”為：-10x2+3x+1=0，
故答案為：-10x2+3x+1=0；
（2）-10x2+3x+1=0，
，
解得，，，
根據(jù)以上結(jié)論，猜想ax2+bx+c=0的兩根x1、x2與其“友好方程”cx2+bx+a=0的兩根x3、x4之間存在的一種特殊關(guān)系為互為倒數(shù)，
證明如下：
∵一元二次方程ax2+bx+c=0的兩根為，
“友好方程”cx2+bx+a=0的兩根為．
∴，
，
即原方程的兩根與“友好方程”的兩根互為倒數(shù)；
故答案為：，互為倒數(shù)；
（3）∵方程2021x2+bx-c=0的兩根是，
∴該方程的“友好方程”-cx2+bx+2021=0，即cx2-bx-2021=0的兩根為x3=-1，x4=2021，
則c（x-1）2-bx+b=2021，即c（x-1）2-b（x-1）-2021=0中x-1=-1或x-1=2021，
∴該方程的解為x5=0，x6=2022．
利用（2）中的結(jié)論，寫出關(guān)于x的方程（x-1）2-bx+b=2021的兩根為x5=0，x6=2022，
故答案為x5=0，x6=2022．
27.（9分）閱讀理解：小明熱愛數(shù)學，在課外書上看到了一個有趣的定理--“中線長定理”：三角形兩邊的平方和等于第三邊的一半與第三邊上的中線的平方和的兩倍．如圖1，在△ABC中，點D為BC的中點，根據(jù)“中線長定理”，可得：
AB2+AC2=2AD2+2BD2．小明嘗試對它進行證明，部分過程如下：
解：過點A作AE⊥BC于點E，如圖2，在Rt△ABE中，AB2=AE2+BE2，
同理可得：AC2=AE2+CE2，AD2=AE2+DE2，
為證明的方便，不妨設(shè)BD=CD=x，DE=y，
∴AB2+AC2=AE2+BE2+AE2+CE2=…
（1）請你完成小明剩余的證明過程；
理解運用：
（2）①在△ABC中，點D為BC的中點，AB=6，AC=4，BC=8，則AD= ；
②如圖3，⊙O的半徑為6，點A在圓內(nèi)，且OA=2，點B和點C在⊙O上，且∠BAC=90°，點E、F分別為AO、BC的中點，則EF的長為 ；
拓展延伸：
（3）小明解決上述問題后，聯(lián)想到如下的題目：
如圖4，已知⊙O的半徑為5，以A（-3，4）為直角頂點的△ABC的另兩個頂點B，C都在⊙O上，D為BC的中點，求AD長的最大值．
請你利用上面的方法和結(jié)論，求出AD長的最大值．

【答案】（1）見解析；（2）①；②4；（3）AD長的最大值為10．
【解析】解：（1）過點A作AE⊥BC于點E，如圖2，
在Rt△ABE中，AB2=AE2+BE2，
同理可得：AC2=AE2+CE2，AD2=AE2+DE2，
為證明的方便，不妨設(shè)BD=CD=x，DE=y，

∴AB2+AC2=2AE2+（x+y）2+（x-y）2=2AE2+2x2+2y2
=2AE2+2BD2+2DE2
=2AD2+2BD2；
（2）①∵AB2+AC2=2AD2+2BD2，
∴62+42=2AD2+2×42，
∴AD=；
②如圖3中，

∵AF是△ABC的中線，EF是△AEO的中線，OF是△BOC的中線，
∵2EF2+2AE2=AF2+OF2，
2AF2+2BF2=AB2+AC2，
OF2=OB2-BF2，
∴4EF2=2OB2-4AE2=2OB2-OA2，
∴EF2=OB2-OA2=16，
∴EF=4（負根舍棄），
故答案為：①；②4；
（3）如圖4中，連接OA，取OA的中點E，連接DE．

由（2）的②可知：DE2=OB2-OA2=，
∴DE=；
在△ADE中，AE=，DE=，
∵AD≤AE+DE，
∴AD長的最大值為+=10．


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