?2021-2022學(xué)年福建省寧德市九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1．（4分）若＝，則的值為（　?。?br /> A．1 B． C． D．
2．（4分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是邊AB的中點(diǎn)，若AB＝12，則CD的長(zhǎng)是（　　）

A．12 B．6 C．4 D．3
3．（4分）已知一個(gè)幾何體如圖所示，則該幾何體的俯視圖是（　?。?br />
A． B．
C． D．
4．（4分）已知∠α為銳角，且sinα＝，則∠α＝（　?。?br /> A．30° B．45° C．60° D．90°
5．（4分）如圖，在△ABC中，DE∥BC，AD＝9，DB＝3，CE＝2，則AE的長(zhǎng)為（　?。?br />
A．4 B．5 C．6 D．7
6．（4分）關(guān)于二次函數(shù)y＝（x﹣1）2﹣2，下列說法正確的是（　　）
A．有最大值1 B．有最小值﹣1 C．有最大值2 D．有最小值﹣2
7．（4分）關(guān)于x的一元二次方程x2﹣6x+m＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則m的值可能是（　?。?br /> A．8 B．9 C．10 D．11
8．（4分）如圖，△ABC與△DEF位似，位似中心是點(diǎn)P，其位似比為1：2，則△ABC與△DEF的面積比是（　?。?br />
A．1：2 B．1：4 C．1： D．1：8
9．（4分）已知點(diǎn)A（﹣7，y1），B（﹣4，y2），C（5，y3）在反比例函數(shù)y＝（k＞0）的圖象上，則y1，y2，y3的大小關(guān)系是（　?。?br /> A．y1＜y3＜y2 B．y1＜y2＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3
10．（4分）如圖，在四邊形ABCD中，∠DAB＝∠CBA＝90°，E為邊AB的黃金分割點(diǎn)（AE＞BE），AD＝AE，BC＝BE．AC，DE將四邊形分為四個(gè)部分，它們的面積分別用S1，S2，S3，S4表示，則下列判斷正確的是（　　）

A．S1＝4S2 B．S4＝3S2 C．S1＝S3 D．S3＝S4
二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分
11．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，則sinA＝　 　．
12．（4分）一元二次方程x2﹣2x＝0的解是　 ?。?br /> 13．（4分）若拋物線y＝x2﹣kx+1的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，2），則k的值是 　 ?。?br /> 14．（4分）如圖，將正方形OABC放在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)是（3，2），則點(diǎn)A的坐標(biāo)是 　 ?。?br />
15．（4分）如圖，已知在電線桿AB上有一個(gè)光源，身高1.8m的小明站在與電線桿底部A距離3m的點(diǎn)C處，其影長(zhǎng)CE＝1m，若他沿AC方向走3m到達(dá)點(diǎn)F處，此時(shí)他的影長(zhǎng)是 　 　m．（圖中CD，F(xiàn)G均表示小明身高）

16．（4分）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a＞0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（﹣2，y1），（m﹣3，n），（﹣1，0），（3，y2），（7﹣m，n）．則下列四個(gè)結(jié)論①y1＞y2；②5a+c＝0；③方程ax2+bx+c＝0的解為x1＝﹣1，x2＝5；④對(duì)于任意實(shí)數(shù)t，總有at2+bt+c≥﹣3a中，正確結(jié)論是 　 ?。ㄌ顚懶蛱?hào)）．
三、解答題：本題共9小題，共86分。
17．（8分）解方程：x2+4x﹣2＝0．
18．（8分）如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)在BD上，BE＝DF．求證：AE＝AF．

19．（8分）已知變量y與x成反比例函數(shù)關(guān)系，其部分對(duì)應(yīng)數(shù)值如表格所示：
x
…
1
2
3
4
6
…
y
…
6
a
2
1.5
1
…
（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式，及表中a的值；
（2）根據(jù)表格中對(duì)應(yīng)數(shù)值，在所給坐標(biāo)系上畫出該反比例函數(shù)在第一象限上的圖象．

20．（8分）為杜絕家禽散養(yǎng)，美化環(huán)境，鄉(xiāng)村振興幫扶小組幫助一農(nóng)戶利用房屋旁邊的空地，圍出一個(gè)如圖所示的矩形地塊作家禽圈養(yǎng)場(chǎng)所，并用隔欄隔成兩個(gè)等寬的矩形，圈養(yǎng)場(chǎng)一邊利用長(zhǎng)為8m的墻，另外三邊及隔欄用總長(zhǎng)15m的籬笆圍成．已知該場(chǎng)所的總面積為18m2，求與墻平行的邊BC的長(zhǎng)．

21．（8分）自卸式貨車可以實(shí)現(xiàn)自動(dòng)卸貨，其原理是通過液壓臂的伸縮來改變貨廂的傾斜角度，如圖1、圖2是某款自卸式貨車卸貨時(shí)的截面示意圖，其液壓臂底座A與車廂轉(zhuǎn)軸O的距離AO＝2.4m，伸縮臂支點(diǎn)B與車廂轉(zhuǎn)軸O的距離BO＝2m，當(dāng)車廂底座與車架底座的夾角∠AOB＝37°時(shí)，求液壓臂AB的長(zhǎng)．（結(jié)果保留根號(hào)，參考數(shù)據(jù)sin37°＝，cos37°＝，tan37°＝）

22．（10分）某小商販以摸球的方式在校門口擺攤摸彩，吸引了大量學(xué)生參與．規(guī)則是：付3元錢摸彩一次，每次從獎(jiǎng)箱中摸出兩個(gè)球，若兩個(gè)球中一個(gè)是紅球，則獎(jiǎng)勵(lì)3元；若兩個(gè)球都是紅球則獎(jiǎng)勵(lì)10元；若摸到的兩個(gè)球都是白球則無獎(jiǎng)金．為了揭示摸彩的危害性，經(jīng)打探得知獎(jiǎng)箱中共有6個(gè)球，其中4個(gè)是白球，2個(gè)是紅球．
（1）若花3元錢摸一次彩，求能獲獎(jiǎng)的概率；
（2）從所獲獎(jiǎng)金平均數(shù)的角度分析摸彩對(duì)參與的學(xué)生是否合算．
23．（10分）如圖，已知?ABCD，點(diǎn)F在AB延長(zhǎng)線上，CF⊥AB．
（1）尺規(guī)作圖：在BC邊上找一點(diǎn)E，使得△DCE∽△CBF（保留作圖痕跡，不寫作法，不必證明）；
（2）在（1）條件下，若點(diǎn)E為BC中點(diǎn)，AD＝8，BF＝3，求AB的長(zhǎng)．

24．（13分）如圖，在矩形ABCD中，AB＜BC，點(diǎn)E是AD邊上的動(dòng)點(diǎn)，將矩形ABCD沿BE折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)F處，連接FC，F(xiàn)D．
（1）當(dāng)點(diǎn)E是AD中點(diǎn)時(shí)，求證：∠AEB＝∠EDF；
（2）當(dāng)AB＝6，BC＝10時(shí)，求sin∠FCB的最大值；
（3）當(dāng)AB2＝AE?BC時(shí)，求證：點(diǎn)F在線段AC上．

25．（13分）已知拋物線G1：y＝﹣x2+2mx+m和G2：y＝﹣x2+2nx+n（n＞m）相交于點(diǎn)A，過點(diǎn)A的直線l：y＝kx+b與拋物線G1交于另一點(diǎn)B，與拋物線G2交于另一點(diǎn)C，拋物線G1的頂點(diǎn)為點(diǎn)M，拋物線G2的頂點(diǎn)為點(diǎn)N．
（1）直接寫出頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；（用含m的式子表示）
（2）當(dāng)m＝﹣3，n＝2，且直線l∥x軸時(shí)，求證：MB＝NA；
（3）當(dāng)k≠0時(shí)，若AB＝AC，求直線l的表達(dá)式．（用含m，n的式子表示）


2021-2022學(xué)年福建省寧德市九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1．（4分）若＝，則的值為（　?。?br /> A．1 B． C． D．
【分析】根據(jù)合分比性質(zhì)求解．
【解答】解：∵＝，
∴＝＝．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】考查了比例性質(zhì)：常見比例的性質(zhì)有內(nèi)項(xiàng)之積等于外項(xiàng)之積；合比性質(zhì)；分比性質(zhì)；合分比性質(zhì)；等比性質(zhì)．
2．（4分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是邊AB的中點(diǎn)，若AB＝12，則CD的長(zhǎng)是（　?。?br />
A．12 B．6 C．4 D．3
【分析】根據(jù)在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半解答即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是邊AB的中點(diǎn)，AB＝12，
則CD＝AB＝×12＝6，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)，掌握在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．
3．（4分）已知一個(gè)幾何體如圖所示，則該幾何體的俯視圖是（　?。?br />
A． B．
C． D．
【分析】找到從上面看所得到的圖形即可．
【解答】解：從上面可看，是一個(gè)矩形，矩形的中間有一條縱向的實(shí)線，實(shí)線的兩側(cè)分別有一條縱向的虛線．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三視圖的知識(shí)，俯視圖是從物體的上面看得到的視圖．
4．（4分）已知∠α為銳角，且sinα＝，則∠α＝（　　）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值解答．
【解答】解：∵∠α為銳角，且sinα＝，
∴∠α＝30°．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是特殊角的三角函數(shù)值，屬較簡(jiǎn)單題目．
5．（4分）如圖，在△ABC中，DE∥BC，AD＝9，DB＝3，CE＝2，則AE的長(zhǎng)為（　?。?br />
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理，列出比例式求解即可得到答案．
【解答】解：∵DE∥BC，AD＝9，DB＝3，CE＝2，
∴，
∴，
解得：AE＝6，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平行線分線段成比例定理的運(yùn)用，熟練利用平行線分線段成比例定理是解題關(guān)鍵．
6．（4分）關(guān)于二次函數(shù)y＝（x﹣1）2﹣2，下列說法正確的是（　　）
A．有最大值1 B．有最小值﹣1 C．有最大值2 D．有最小值﹣2
【分析】由二次函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)的頂點(diǎn)式，可得頂點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得出答案．
【解答】解：∵二次函數(shù)y＝（x﹣1）2﹣2，
∴其圖象開口向上，其頂點(diǎn)為（1，﹣2）．
∴函數(shù)的最小值為﹣2．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的最值，明確二次函數(shù)的性質(zhì)及二次函數(shù)的頂點(diǎn)式是解題的關(guān)鍵．
7．（4分）關(guān)于x的一元二次方程x2﹣6x+m＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則m的值可能是（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
【分析】根據(jù)判別式的意義得到Δ＝（﹣6）2﹣4m＞0，然后解關(guān)于m的不等式，最后對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．
【解答】解：根據(jù)題意得Δ＝（﹣6）2﹣4m＞0，
解得m＜9．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：當(dāng)Δ＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＜0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根．
8．（4分）如圖，△ABC與△DEF位似，位似中心是點(diǎn)P，其位似比為1：2，則△ABC與△DEF的面積比是（　　）

A．1：2 B．1：4 C．1： D．1：8
【分析】根據(jù)相似三角形的面積之比等于相似比的平方解答．
【解答】解：∵△ABC與△DEF是位似圖形，其位似比為1：2，
∴其位似比為1：4．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了位似的相關(guān)知識(shí)，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其對(duì)應(yīng)的面積比等于相似比的平方．
9．（4分）已知點(diǎn)A（﹣7，y1），B（﹣4，y2），C（5，y3）在反比例函數(shù)y＝（k＞0）的圖象上，則y1，y2，y3的大小關(guān)系是（　?。?br /> A．y1＜y3＜y2 B．y1＜y2＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3
【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)可以判斷y1，y2，y3的大小，從而可以解答本題．
【解答】解：∵點(diǎn)A（﹣7，y1），B（﹣4，y2），C（5，y3）在反比例函數(shù)y＝（k＞0）的圖象上，
∴該函數(shù)在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減小，函數(shù)圖象在第一、三象限，
∵﹣7＜﹣4，0＜5，
∴y2＜y1＜0＜y3，
即y2＜y1＜y3，
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用反比例函數(shù)的性質(zhì)解答．
10．（4分）如圖，在四邊形ABCD中，∠DAB＝∠CBA＝90°，E為邊AB的黃金分割點(diǎn)（AE＞BE），AD＝AE，BC＝BE．AC，DE將四邊形分為四個(gè)部分，它們的面積分別用S1，S2，S3，S4表示，則下列判斷正確的是（　?。?br />
A．S1＝4S2 B．S4＝3S2 C．S1＝S3 D．S3＝S4
【分析】設(shè)AB＝a．求出△ADE，△ABC的面積（用a表示），可得結(jié)論．
【解答】解：設(shè)AB＝a．
∵E是AB的黃金分割點(diǎn)，AE＞EB，
∴AD＝AE＝a，BE＝BC＝a（1﹣）＝a，
∴S△ADE＝?（a）2＝a2，S△ABC＝×a×a＝a2，
∴S△ADE＝S△ABC，
即S1+S2＝S2+S3，
∴S1＝S3，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查黃金分割，三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問題，屬于中考?？碱}型．
二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分。
11．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，則sinA＝　?。?br /> 【分析】根據(jù)正弦的定義解答．
【解答】解：在Rt△ABC中，sinA＝＝，
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是銳角三角函數(shù)的定義，銳角A的對(duì)邊a與斜邊c的比叫做∠A的正弦，記作sinA．
12．（4分）一元二次方程x2﹣2x＝0的解是　x1＝0，x2＝2?。?br /> 【分析】本題應(yīng)對(duì)方程左邊進(jìn)行變形，提取公因式x，可得x（x﹣2）＝0，將原式化為兩式相乘的形式，再根據(jù)“兩式相乘值為0，這兩式中至少有一式值為0．”，即可求得方程的解．
【解答】解：原方程變形為：x（x﹣2）＝0，
x1＝0，x2＝2．
故答案為：x1＝0，x2＝2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根據(jù)方程的特點(diǎn)靈活選用合適的方法．本題運(yùn)用的是因式分解法．
13．（4分）若拋物線y＝x2﹣kx+1的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，2），則k的值是 　0?。?br /> 【分析】由拋物線y＝x2﹣kx+1的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，2），利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得出2＝1﹣k+1，解之即可得出k值．
【解答】解：∵拋物線y＝x2﹣kx+1的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，2），
∴2＝1﹣k+1，
∴k＝0．
故答案為：0．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，牢記圖象上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．
14．（4分）如圖，將正方形OABC放在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)是（3，2），則點(diǎn)A的坐標(biāo)是 ?。ī?，3）?。?br />
【分析】作AD⊥y軸于點(diǎn)D，CE⊥x軸于點(diǎn)E，先證明△AOD≌△COE，因?yàn)镃（3，2），所以O(shè)D＝OE＝3，AD＝CE＝2，再根據(jù)點(diǎn)A在第二象限求出點(diǎn)A的坐標(biāo)．
【解答】解：如圖，作AD⊥y軸于點(diǎn)D，CE⊥x軸于點(diǎn)E，則∠ADO＝∠CEO＝90°，
∵四邊形OABC是正方形，
∴∠AOC＝∠DOE＝90°，OA＝OC，
∴∠AOD＝∠COE＝90°﹣∠COD，
在△AOD和△COE中，
，
△AOD≌△COE（AAS），
∵C（3，2），
∴OD＝OE＝3，AD＝CE＝2，
∵點(diǎn)A在第二象限，
∴A（﹣2，3），
故答案為：（﹣2，3）．

【點(diǎn)評(píng)】此題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定、圖形與坐標(biāo)等知識(shí)，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．
15．（4分）如圖，已知在電線桿AB上有一個(gè)光源，身高1.8m的小明站在與電線桿底部A距離3m的點(diǎn)C處，其影長(zhǎng)CE＝1m，若他沿AC方向走3m到達(dá)點(diǎn)F處，此時(shí)他的影長(zhǎng)是 　2　m．（圖中CD，F(xiàn)G均表示小明身高）

【分析】根據(jù)題意得到AB⊥AM．DC⊥AM，GF⊥AM，得到CD∥AB，GF∥AB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【解答】解：如圖，∵AB⊥AM．DC⊥AM，GF⊥AM，
∴CD∥AB，GF∥AB，
∴△EDC∽△EBA，△MGF∽△MBA，
∴＝，＝，
∴＝，＝，
解得：FM＝2，
答：此時(shí)他的影長(zhǎng)是2m，
故答案為：2．

【點(diǎn)評(píng)】本題看了相似三角形的應(yīng)用：利用桿或直尺測(cè)量物體的高度就是利用桿或直尺的高（長(zhǎng)）作為三角形的邊，利用視點(diǎn)和盲區(qū)的知識(shí)構(gòu)建相似三角形，用相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等的性質(zhì)求物體的高度．
16．（4分）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a＞0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（﹣2，y1），（m﹣3，n），（﹣1，0），（3，y2），（7﹣m，n）．則下列四個(gè)結(jié)論①y1＞y2；②5a+c＝0；③方程ax2+bx+c＝0的解為x1＝﹣1，x2＝5；④對(duì)于任意實(shí)數(shù)t，總有at2+bt+c≥﹣3a中，正確結(jié)論是 ?、佗冖邸。ㄌ顚懶蛱?hào)）．
【分析】利用拋物線的對(duì)稱性可求得拋物線的對(duì)稱軸，利用對(duì)稱軸方程可得a，b的關(guān)系，用待定系數(shù)法將（﹣1，0）代入，可得c與a的關(guān)系，利用配方法可求得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，由此可畫出函數(shù)的大致圖象，利用圖象可判定①正確；將a，b關(guān)系式代入a﹣b+c＝0可得②正確；令y＝0解方程即可判定③正確；利用函數(shù)的最小值可判定④不正確．
【解答】解：∵a＞0，
∴拋物線y＝ax2+bx+c開口向上．
∵二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a＞0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（m﹣3，n），（7﹣m，n），
∴拋物線y＝ax2+bx+c的對(duì)稱軸為直線x＝＝2．
∴﹣＝2．
∴b＝﹣4a．
∵二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a＞0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0．
∴a﹣（﹣4a）+c＝0．
∴5a+c＝0．
∴c＝﹣5a．
∴二次函數(shù)的解析式為：y＝ax2﹣4ax﹣5a．
∵y＝ax2﹣4ax﹣5a＝a（x﹣2）2﹣9a，
∴它的大致圖象如下圖：

由圖象可知：y1＞y2，
∴①的說法正確；
∵a﹣b+c＝0，b＝﹣4a，
∴5a+c＝0．
∴②的說法正確；
令y＝0，則ax2+bx+c＝0．
∵b＝﹣4a，c＝﹣5a，
∴ax2﹣4ax﹣5a＝0．
∵a＞0，
即x2﹣4x﹣5＝0．
解得：x1＝﹣1，x2＝5，
∴方程ax2+bx+c＝0的解為x1＝﹣1，x2＝5．
∴③的說法正確；
∵y＝ax2﹣4ax﹣5a＝a（x﹣2）2﹣9a，a＞0，
∴當(dāng)x＝2時(shí)，y有最小值為﹣9a，
∴對(duì)于任意實(shí)數(shù)t，總有at2+bt+c≥﹣9a．
∴④的說法不正確．
綜上，正確結(jié)論是：①②③，
故答案為：①②③．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，待定系數(shù)法，數(shù)形結(jié)合法，配方法，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，利用已知條件畫出函數(shù)的大致圖象是解題的關(guān)鍵
三、解答題：本題共9小題，共86分。
17．（8分）解方程：x2+4x﹣2＝0．
【分析】先移項(xiàng)，得x2+4x＝2，再在兩邊同時(shí)加上22，再利用平方法即可解出原方程．
【解答】解：移項(xiàng)，得x2+4x＝2，
兩邊同加上22，得x2+4x+22＝2+22，
即（x+2）2＝6，
利用開平方法，得或，
∴原方程的根是，．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了配方法解一元二次方程，解題時(shí)要注意解題步驟的準(zhǔn)確應(yīng)用，難度適中．
18．（8分）如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)在BD上，BE＝DF．求證：AE＝AF．

【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)得到OB＝OD，AC⊥BD，得到OF＝OE，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)即可得到AE＝AF．
【解答】證明：四邊形ABCD是菱形，
∴OB＝OD，AC⊥BD，
∵BE＝DF，
∴OB﹣BE＝OD﹣DF，
即OF＝OE，
∴AE＝AF．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
19．（8分）已知變量y與x成反比例函數(shù)關(guān)系，其部分對(duì)應(yīng)數(shù)值如表格所示：
x
…
1
2
3
4
6
…
y
…
6
a
2
1.5
1
…
（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式，及表中a的值；
（2）根據(jù)表格中對(duì)應(yīng)數(shù)值，在所給坐標(biāo)系上畫出該反比例函數(shù)在第一象限上的圖象．

【分析】（1）設(shè)y與x成反比例函數(shù)關(guān)系式為y＝（k≠0），再將（1，6）代入即可求出k，把x＝2代入關(guān)系式可求出a；
（2）描點(diǎn)，連線即可．
【解答】解：（1）設(shè)y與x成反比例函數(shù)關(guān)系式為y＝（k≠0），
由表格中的數(shù)據(jù)可知，當(dāng)x＝1時(shí)，y＝6，
∴6＝，解得k＝6，
∴y與x成反比例函數(shù)關(guān)系式為y＝，
當(dāng)x＝2時(shí)，y＝＝3，即a的值為3．
（2）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)在坐標(biāo)系上畫出函數(shù)圖象（x＞0），如下圖所示：

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是反比例函數(shù)的定義，即形如y＝（k為常數(shù)，k≠0）的函數(shù)稱為反比例函數(shù)．
20．（8分）為杜絕家禽散養(yǎng)，美化環(huán)境，鄉(xiāng)村振興幫扶小組幫助一農(nóng)戶利用房屋旁邊的空地，圍出一個(gè)如圖所示的矩形地塊作家禽圈養(yǎng)場(chǎng)所，并用隔欄隔成兩個(gè)等寬的矩形，圈養(yǎng)場(chǎng)一邊利用長(zhǎng)為8m的墻，另外三邊及隔欄用總長(zhǎng)15m的籬笆圍成．已知該場(chǎng)所的總面積為18m2，求與墻平行的邊BC的長(zhǎng)．

【分析】設(shè)與墻垂直的一邊長(zhǎng)AB＝xm，則與墻平行的一邊長(zhǎng)為BC＝（15﹣3x）m，根據(jù)花圃面積為18m2即可列出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．
【解答】解：設(shè)與墻垂直的一邊長(zhǎng)AB＝xm，則與墻平行的一邊長(zhǎng)為BC＝（15﹣3x）m，
根據(jù)題意得：AB?BC＝18，
即x（15﹣3x）＝18．
解得：x1＝2，x2＝3，
當(dāng)x＝2時(shí)，15﹣3x＝9＞8（舍去），
當(dāng)x＝3時(shí)，15﹣3x＝6＜8，
則15﹣3x＝6m．
答：與墻平行的邊BC的長(zhǎng)6m．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)場(chǎng)所的面積列出關(guān)于x的一元二次方程是解決問題的關(guān)鍵．
21．（8分）自卸式貨車可以實(shí)現(xiàn)自動(dòng)卸貨，其原理是通過液壓臂的伸縮來改變貨廂的傾斜角度，如圖1、圖2是某款自卸式貨車卸貨時(shí)的截面示意圖，其液壓臂底座A與車廂轉(zhuǎn)軸O的距離AO＝2.4m，伸縮臂支點(diǎn)B與車廂轉(zhuǎn)軸O的距離BO＝2m，當(dāng)車廂底座與車架底座的夾角∠AOB＝37°時(shí)，求液壓臂AB的長(zhǎng)．（結(jié)果保留根號(hào)，參考數(shù)據(jù)sin37°＝，cos37°＝，tan37°＝）

【分析】過點(diǎn)B作BC⊥OA于C，先在Rt△OBC中求出BC，OC，再求出AC，然后在Rt△ABC中求出AB即可解決問題．
【解答】解：過點(diǎn)B作BC⊥OA于C，如圖．
在Rt△OBC中，∠OCB＝90°，∠BOC＝37°，BO＝2，
∴BC＝OB?sin∠BOC＝2×＝，
OC＝OB?cos∠BOC＝2×＝，
∴AC＝OA﹣OC＝2.4﹣＝，
在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，
∴AB＝＝＝．
故液壓臂AB的長(zhǎng)為m．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形，解決此問題的關(guān)鍵在于正確理解題意的基礎(chǔ)上建立數(shù)學(xué)模型，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題．
22．（10分）某小商販以摸球的方式在校門口擺攤摸彩，吸引了大量學(xué)生參與．規(guī)則是：付3元錢摸彩一次，每次從獎(jiǎng)箱中摸出兩個(gè)球，若兩個(gè)球中一個(gè)是紅球，則獎(jiǎng)勵(lì)3元；若兩個(gè)球都是紅球則獎(jiǎng)勵(lì)10元；若摸到的兩個(gè)球都是白球則無獎(jiǎng)金．為了揭示摸彩的危害性，經(jīng)打探得知獎(jiǎng)箱中共有6個(gè)球，其中4個(gè)是白球，2個(gè)是紅球．
（1）若花3元錢摸一次彩，求能獲獎(jiǎng)的概率；
（2）從所獲獎(jiǎng)金平均數(shù)的角度分析摸彩對(duì)參與的學(xué)生是否合算．
【分析】（1）根據(jù)題意畫出樹狀圖得出所有等可能的情況數(shù)即可，找出符合條件的情況數(shù)，再根據(jù)概率公式即可得出答案；
（2）求出獎(jiǎng)金平均數(shù)，再與3進(jìn)行比較，即可得出答案．
【解答】解：（1）根據(jù)題意列表如下：

白
白
白
白
紅
紅
白

（白，白）
（白，白）
（白，白）
（白，紅）
（白，紅）
白
（白，白）

（白，白）
（白，白）
（白，紅）
（白，紅）
白
（白，白）
（白，白）

（白，白）
（白，紅）
（白，紅）
白
（白，白）
（白，白）
（白，白）

（白，紅）
（白，紅）
紅
（紅，白）
（紅，白）
（紅，白）
（紅，白）

（紅，紅）
紅
（紅，白）
（紅，白）
（紅，白）
（紅，白）
（紅，紅）

共有30種等可能的情況數(shù)，其中能獲獎(jiǎng)的有18種，
則能獲獎(jiǎng)的概率是＝；

（2）摸彩對(duì)參與的學(xué)生不合算，
獎(jiǎng)金平均數(shù)是：×3+×10＝＜3，
則摸彩對(duì)參與的學(xué)生不合算．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率．列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
23．（10分）如圖，已知?ABCD，點(diǎn)F在AB延長(zhǎng)線上，CF⊥AB．
（1）尺規(guī)作圖：在BC邊上找一點(diǎn)E，使得△DCE∽△CBF（保留作圖痕跡，不寫作法，不必證明）；
（2）在（1）條件下，若點(diǎn)E為BC中點(diǎn)，AD＝8，BF＝3，求AB的長(zhǎng)．

【分析】（1）過點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E即可；
（2）根據(jù)勾股定理求出CB的長(zhǎng)，再根據(jù)△DCE∽△CBF，對(duì)應(yīng)邊成比例即可求解．
【解答】（1）解：如圖，點(diǎn)E即為所求；

（2）在?ABCD中，BC＝AD＝8，AB＝CD，
∵CF⊥AB，BF＝3，
∴CB＝＝＝，
∵點(diǎn)E為BC中點(diǎn)，
∴CE＝BE＝BC＝4，
∵△DCE∽△CBF，
∴＝，
∴＝，
∴DC＝，
∴AB＝DC＝．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖﹣復(fù)雜作圖，相似三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握基本作圖方法．
24．（13分）如圖，在矩形ABCD中，AB＜BC，點(diǎn)E是AD邊上的動(dòng)點(diǎn)，將矩形ABCD沿BE折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)F處，連接FC，F(xiàn)D．
（1）當(dāng)點(diǎn)E是AD中點(diǎn)時(shí)，求證：∠AEB＝∠EDF；
（2）當(dāng)AB＝6，BC＝10時(shí)，求sin∠FCB的最大值；
（3）當(dāng)AB2＝AE?BC時(shí)，求證：點(diǎn)F在線段AC上．

【分析】（1）利用中點(diǎn)、折疊的性質(zhì)和等腰三角形性質(zhì)即可證得結(jié)論；
（2）如圖2，過點(diǎn)B作BG⊥FC交CF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，則∠BGC＝90°，以點(diǎn)B為圓心、AB長(zhǎng)為半徑作⊙B，則點(diǎn)F在⊙B上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)sin∠FCB＝＝，可知：sin∠FCB的值隨BG的增大而增大，BG越大則sin∠FCB的值越大，當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)F重合時(shí)，BG＝FB＝6，此時(shí)BG最大，sin∠FCB的值也最大，再根據(jù)三角函數(shù)定義即可求得答案；
（3）由AB2＝AE?BC，可得＝，再由矩形性質(zhì)可得∠ABC＝∠EAB＝90°，可證得△ABC∽△EAB，BE⊥AC，再根據(jù)折疊可得AF⊥BE，根據(jù)過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知垂直，即可證得結(jié)論．
【解答】（1）證明：由折疊性質(zhì)得，AE＝EF，∠AEB＝∠BEF，
∵E是AD的中點(diǎn)，
∴AE＝ED，
∴ED＝EF，
∴∠EDF＝∠EFD，
∵∠FED+∠EDF+∠EFD＝180°，∠AEB+∠BEF+∠FED＝180°，
∴∠AEB＝∠EDF；
（2）解：如圖2，過點(diǎn)B作BG⊥FC交CF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，則∠BGC＝90°，
以點(diǎn)B為圓心、AB長(zhǎng)為半徑作⊙B，則點(diǎn)F在⊙B上運(yùn)動(dòng)，
∵sin∠FCB＝＝，
∴sin∠FCB的值隨BG的增大而增大，
∴BG越大則sin∠FCB的值越大，
∵BG≤FB，
∴當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)F重合時(shí)，BG＝FB＝6，此時(shí)BG最大，sin∠FCB的值也最大，
如圖3，當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)F重合時(shí)，則∠BFC＝90°，
此時(shí)sin∠FCB＝＝＝，
∴sin∠FCB的最大值為；
（3）證明：如圖3，
∵AB2＝AE?BC，
∴＝，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠EAB＝90°，
∴△ABC∽△EAB，
∴∠ACB＝∠EBA，
∵∠EBA+∠CBT＝∠ABC＝90°，
∴∠BTC＝90°，
∴BE⊥AC，
∵△BEA沿著BE折疊得到△BEF，
∴A、F關(guān)于BE對(duì)稱，
∴AF⊥BE，
∴點(diǎn)F在線段AC上．



【點(diǎn)評(píng)】本題是相似三角形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)及動(dòng)點(diǎn)問題中的最值問題等知識(shí)與方法，解題的關(guān)鍵是正確地作出所需要的輔助線，此題難度較大，屬于考試壓軸題．
25．（13分）已知拋物線G1：y＝﹣x2+2mx+m和G2：y＝﹣x2+2nx+n（n＞m）相交于點(diǎn)A，過點(diǎn)A的直線l：y＝kx+b與拋物線G1交于另一點(diǎn)B，與拋物線G2交于另一點(diǎn)C，拋物線G1的頂點(diǎn)為點(diǎn)M，拋物線G2的頂點(diǎn)為點(diǎn)N．
（1）直接寫出頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；（用含m的式子表示）
（2）當(dāng)m＝﹣3，n＝2，且直線l∥x軸時(shí)，求證：MB＝NA；
（3）當(dāng)k≠0時(shí)，若AB＝AC，求直線l的表達(dá)式．（用含m，n的式子表示）

【分析】（1）先將二次函數(shù)的解析式化為頂點(diǎn)式，然后得到點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）先將m＝﹣3，n＝2代入函數(shù)解析式得到拋物線G1和G2的解析式，然后得到點(diǎn)M和點(diǎn)N的坐標(biāo)，再求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，進(jìn)而得到直線l的解析式，然后求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，最后求MB和NA的長(zhǎng)度，即可得證；
（3）先求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后代入直線l的解析式得到k和b的關(guān)系，然后分別求得點(diǎn)B和點(diǎn)C的橫坐標(biāo)，再結(jié)合AB＝AC得到A、B、C三點(diǎn)間的橫坐標(biāo)之間的關(guān)系，即可得到m與k、m與b之間的關(guān)系，最后得到直線l的表達(dá)式．
【解答】（1）解：∵y＝﹣x2+2mx+m＝﹣（x﹣m）2+m2+m，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，m2+m）．
（2）證明：∵m＝﹣3，n＝2，
∴G1：y＝﹣x2﹣6x﹣3，G2：y＝﹣x2+4x+2，

∴M（﹣3，6），N（2，6），
由，得，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣，﹣），
∵直線l∥x軸，
∴l(xiāng)：y＝﹣，
令y＝﹣，則﹣x2﹣6x﹣3＝﹣，
解得：x＝﹣或x＝﹣，
∴B（﹣，﹣），
∴BM＝＝，AN＝＝，
∴BM＝AN．
（3）解：由，得，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣，﹣），
∵點(diǎn)A在直線y＝kx+b上，
∴﹣k+b＝﹣，
∴b＝k﹣，
∴直線l的表達(dá)式為y＝kx+k﹣，
由，得，
解得：x＝﹣或x＝﹣k+2m+，
∴點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為﹣k+2m+，
同理可得，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為﹣k+2n+，
∵AB＝AC，
∴點(diǎn)A是BC的中點(diǎn)，
∴﹣k+2m++（﹣k+2n+）＝2×（﹣），
∴k＝m+n+1，
∴b＝（m+n+1）﹣＝+，
∴直線l的表達(dá)式為y＝（m+n+1）x++．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)、一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、一次函數(shù)和二次函數(shù)的交點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是熟知二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．

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