1．（2分）剪紙文化是中國最古老的民間藝術(shù)之一，下列剪紙圖案中，不是軸對稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2分）正八邊形的外角和為（ ）
A．540°B．360°C．720°D．1080°
3．（2分）在下列長度的四根木棒中，能與5cm、9cm長的兩根木棒釘成一個三角形的是（ ）
A．3cmB．4cmC．5cmD．14cm
4．（2分）在平面直角坐標(biāo)系中，點P（﹣2，3）關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)是（ ）
A．（2，3）B．（﹣2，3）C．（2，﹣3）D．（﹣2，﹣3）
5．（2分）根據(jù)下列已知條件，不能畫出唯一△ABC的是（ ）
A．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4B．∠A＝30°，AB＝5，BC＝3
C．∠B＝60°，AB＝6，BC＝10D．∠C＝90°，AB＝5，BC＝3
6．（2分）若等腰三角形的兩邊長分別為2和5，則它的周長為（ ）
A．9B．7C．12D．9或12
7．（2分）如圖，已知△ABC≌△BDE，∠ABC＝∠ACB＝70°，則∠ABE的度數(shù)為（ ）
A．25°B．30°C．35°D．40°
8．（2分）如圖，BD是∠ABC的平分線，DE⊥AB于E，S△ABC＝36cm2，AB＝18cm，BC＝12cm，則DE的長為（ ）
A．2cmB．cmC．cmD．3cm
9．（2分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＜BC．分別以點A，B為圓心；大于的長為半徑畫弧，兩弧交于D，E兩點，直線DE交BC于點F，連接AF．以點A為圓心，AF為半徑畫弧，交BC延長線于點H，連接AH．若BC＝3，則△AFH的周長為（ ）
A．3B．4C．5D．6
10．（2分）如圖，△ABC≌△DEF，F(xiàn)H⊥BC，垂足為E．若∠A＝α，∠CHE＝β，則∠BED的大小為（ ）
A．α﹣βB．90°+α﹣βC．β﹣αD．90°﹣α+β
二、填空題（本題共6小題，每小題3分，共18分）
11．（3分）如圖，△ABC中，∠B＝35°，∠ACD＝120°，則∠A＝ ．
12．（3分）如圖，四邊形ABCD是軸對稱圖形，直線AC是它的對稱軸，若∠BAC＝65°，∠B＝50°，則∠BCD的大小為 ．
13．（3分）一個n邊形的每個內(nèi)角都等于144°，則n＝ ．
14．（3分）如圖，在△ABC中，∠B＝∠C＝30°，AD⊥AB交BC于點D，BC＝6，則AD＝ ．
15．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC．過點A作BC的平行線交∠ABC的角平分線于點D，連接CD．若∠BAD＝140°，則∠ACD＝ °．
16．（3分）如圖，在等邊△ABC中，BF是AC上中線且BF＝4，點D在線段BF上，連接AD，在AD的右側(cè)作等邊△ADE，連接EF，則AE+EF的最小值為 ．
三、解答題（本題共4小題，其中17題6分，18、19、20題各8分，共30分）
17．（6分）如圖，點A，B，C，D在同一條直線上，CE∥DF，EC＝BD，AC＝FD．求證：AE＝FB．
18．（8分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為BC邊上一點，AD＝BD，AC＝DC．求∠BAC的度數(shù)．
19．（8分）如圖為某單擺裝置示意圖，擺線長OA＝OB＝OC，當(dāng)擺線位于OB位置時，過點B作BD⊥OA于點D，測得OD＝15cm，當(dāng)擺線位于OC位置時，OB與OC恰好垂直，求此時擺球到OA的水平距離CE的長（CE⊥OA）．
20．（8分）如答題卡中的圖，方格紙中的每個小方格都是邊長為1個單位的正方形，在建立平面直角坐標(biāo)系后，△ABC的頂點均在格點上，點C的坐標(biāo)為（4，﹣1）．
（1）請以x軸為對稱軸，畫出與△ABC對稱的△A1B1C1，并直接寫出點A1、B1、C1的坐標(biāo)；
（2）點P（a+1，b﹣2）與點C關(guān)于y軸對稱，則a＝ ，b＝ ．
四、解答題（本題共2小題，其中21題8分，22題10分，共18分）
21．（8分）如圖，在△ABC中，∠BAC的平分線與BC的中垂線DE交于點E，過點E作AC邊的垂線，垂足N，過點E作AB延長線的垂線，垂足為M．
（1）求證：BM＝CN；
（2）若AB＝2，AC＝8，求BM的長．
22．（10分）已知：如圖，AC∥BD，請先作圖再解決問題．
（1）利用尺規(guī)完成以下作圖，并保留作圖痕跡，（不要求寫作法）
①作BE平分∠ABD交AC于點E；
②在BA的延長線上截取AF＝BA，連接EF；
（2）判斷△BEF的形狀，并說明理由．
五、解答題（本題共2小題，其中23題10分，24題12分，共22分）
23．（10分）如圖，長方形ABCD中，AB＝4cm，BC＝6cm，現(xiàn)有一動點P從A出發(fā)以2cm/秒的速度，沿矩形的邊A﹣B﹣C﹣D﹣A返回到點A停止，設(shè)點P運動的時間為t秒．
（1）當(dāng)t＝3時，BP＝ cm；
（2）當(dāng)t為何值時，連接CP，DP，△CDP是等腰三角形；
（3）Q為AD邊上的點，且DQ＝5，當(dāng)t為何值時，以長方形的兩個頂點及點P為頂點的三角形與△DCQ全等．
24．（12分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，射線AD，AE的夾角為，過點B作BF⊥AD于點F，直線BF交AE于點G，連結(jié)CG．
（1）如圖1，射線AD，AE都在∠BAC內(nèi)部．
①若α＝120°，∠CAE＝20°，則∠CBG＝ °；
②作點B關(guān)于直線AD的對稱點H，在圖1中找出與線段GH相等的線段，并證明．
（2）如圖2，射線AD在∠BAC的內(nèi)部，射線AE在∠BAC的外部，其它條件不變，探究線段BF，BG，CG之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．
六、解答題（本題12分）
25．（12分）綜合與實踐
閱讀材料：
材料1：如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，以C為圓心，CA長為半徑畫弧，交AB邊于點D，連結(jié)CD，則△ACD是等邊三角形，△BCD是等腰三角形．
材料2：如圖2，△ABC是等邊三角形，D為直線BD上一點，以AD為邊在AD右側(cè)作等邊△ADE，連結(jié)CE，隨著D點位置的改變，始終有△ABD≌△ACE．
根據(jù)上述閱讀材料，解決下面的問題．
已知，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，D為AB邊上一點，以CD為邊在CD右側(cè)作等邊△CDE．
特例探究：（1）如圖3，當(dāng)點E在AB邊上時，求證：DE＝BE．
感悟應(yīng)用：（2）如圖4，當(dāng)點E在△ABC內(nèi)部時，連結(jié)BE，求證：DE＝BE．
拓展延伸：（3）當(dāng)點E在△ABC的外部時，過點E作EH⊥AB于H，EF∥AB交射線AC于F，CF＝2，BH＝3，請畫出圖形，并求AB的長．
參考答案與試題解析
一、選擇題（本題共10小題，每小題2分，共20分，在每小題給出的四個選項中，只有一個選項正確）
1．（2分）剪紙文化是中國最古老的民間藝術(shù)之一，下列剪紙圖案中，不是軸對稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念逐項分析判斷即可，軸對稱圖形的概念：平面內(nèi)，一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形．
【解答】解：選項A、B、D均能找到這樣的一條直線，使直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形，所以是軸對稱圖形；
選項C，不能找到這樣的一條直線，使直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形，所以不是軸對稱圖形；
故選：C．
【點評】本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．
2．（2分）正八邊形的外角和為（ ）
A．540°B．360°C．720°D．1080°
【分析】根據(jù)多邊形的外角和等于360°解答即可．
【解答】解：∵任意多邊形的外角和等于360°，
∴正八邊形的外角和等于360°，
故選：B．
【點評】本題考查了多邊形的外角，掌握多邊形的外角和等于360°是解題的關(guān)鍵．
3．（2分）在下列長度的四根木棒中，能與5cm、9cm長的兩根木棒釘成一個三角形的是（ ）
A．3cmB．4cmC．5cmD．14cm
【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系確定第三邊的范圍，判斷即可．
【解答】解：設(shè)第三邊的長為xcm，
則9﹣5＜x＜9+5，即4＜x＜14，
∴四根木棒中，長度為5cm的木棒，能與5cm、9cm長的兩根木棒釘成一個三角形，
故選：C．
【點評】本題考查的是三角形的三邊關(guān)系，熟記三角形兩邊之和大于第三邊、三角形的兩邊差小于第三邊是解題的關(guān)鍵．
4．（2分）在平面直角坐標(biāo)系中，點P（﹣2，3）關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)是（ ）
A．（2，3）B．（﹣2，3）C．（2，﹣3）D．（﹣2，﹣3）
【分析】根據(jù)“關(guān)于x軸對稱的點，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)”解答即可．
【解答】解：點P（﹣2，3）關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)為（﹣2，﹣3）．
故選：D．
【點評】本題考查了關(guān)于x軸、y軸對稱的點的坐標(biāo)，解決本題的關(guān)鍵是掌握好對稱點的坐標(biāo)規(guī)律：
（1）關(guān)于x軸對稱的點，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；
（2）關(guān)于y軸對稱的點，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)．
5．（2分）根據(jù)下列已知條件，不能畫出唯一△ABC的是（ ）
A．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4B．∠A＝30°，AB＝5，BC＝3
C．∠B＝60°，AB＝6，BC＝10D．∠C＝90°，AB＝5，BC＝3
【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理逐個判斷即可．
【解答】解：A．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4，符合全等三角形的判定定理ASA，能畫出唯一的△ABC，故本選項不符合題意；
B．∠A＝30°，AB＝5，BC＝3，不符合全等三角形的判定定理，不能畫出唯一的△ABC，故本選項符合題意；
C．∠B＝60°，AB＝6，BC＝10，符合全等三角形的判定定理SAS，能畫出唯一的△ABC，故本選項不符合題意；
D．∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，符合全等直角三角形的判定定理HL，能畫出唯一的△ABC，故本選項不符合題意；
故選：B．
【點評】本題考查了全等三角形的判定定理，能熟記全等三角形的判定定理是解此題的關(guān)鍵，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，兩直角三角形全等還有HL．
6．（2分）若等腰三角形的兩邊長分別為2和5，則它的周長為（ ）
A．9B．7C．12D．9或12
【分析】求等腰三角形的周長，即是確定等腰三角形的腰與底的長求周長；題目給出等腰三角形有兩條邊長為2和5，而沒有明確腰、底分別是多少，所以要進行討論，還要應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系驗證能否組成三角形．
【解答】解：（1）若2為腰長，5為底邊長，
由于2+2＜5，則三角形不存在；
（2）若5為腰長，則符合三角形的兩邊之和大于第三邊．
所以這個三角形的周長為5+5+2＝12．
故選：C．
【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；題目從邊的方面考查三角形，涉及分類討論的思想方法．求三角形的周長，不能盲目地將三邊長相加起來，而應(yīng)養(yǎng)成檢驗三邊長能否組成三角形的好習(xí)慣，把不符合題意的舍去．
7．（2分）如圖，已知△ABC≌△BDE，∠ABC＝∠ACB＝70°，則∠ABE的度數(shù)為（ ）
A．25°B．30°C．35°D．40°
【分析】先根據(jù)三角形內(nèi)角和計算出∠A＝40°，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠DBE＝∠A＝40°，然后計算∠ABC﹣∠DBE即可．
【解答】解：∵∠ABC＝∠ACB＝70
∴∠A＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∵△ABC≌△BDE，
∴∠DBE＝∠A＝40°，
∴∠ABE＝∠ABC﹣∠DBE＝70°﹣40°＝30°．
故選：B．
【點評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對應(yīng)角相等．
8．（2分）如圖，BD是∠ABC的平分線，DE⊥AB于E，S△ABC＝36cm2，AB＝18cm，BC＝12cm，則DE的長為（ ）
A．2cmB．cmC．cmD．3cm
【分析】過點D作DF⊥BC于F，根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得DE＝DF，然后根據(jù)△ABC的面積列出方程求解即可得到DE．
【解答】解：如圖，過點D作DF⊥BC于F，
∵BD是∠ABC的平分線，DE⊥AB，
∴DE＝DF，
∵S△ABC＝36cm2，AB＝18cm，BC＝12cm，
∴S△ABC＝S△ABD+S△BCD＝AB?DE+BC?DF＝DE?（AB+BC）＝36cm2，
解得：DE＝（cm）．
故選：C．
【點評】此題考查了角平分線的性質(zhì)，三角形的面積公式，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
9．（2分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＜BC．分別以點A，B為圓心；大于的長為半徑畫弧，兩弧交于D，E兩點，直線DE交BC于點F，連接AF．以點A為圓心，AF為半徑畫弧，交BC延長線于點H，連接AH．若BC＝3，則△AFH的周長為（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】直接利用基本作圖方法得出DE垂直平分AB，AF＝AH，再利用等腰三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)得出AF+FC＝BF+FC＝BC，即可得出答案．
【解答】解：由基本作圖方法得出：DE垂直平分AB，
則AF＝BF，
∴AF+FC＝BF+FC＝BC＝3，
而AF＝AH，AC⊥FH，
∴FC＝CH，
∴AF+FC＝AH+HC＝BC＝3，
∴△AFH的周長為：AF+FC+CH+AH＝2BC＝6．
故選：D．
【點評】此題主要考查了基本作圖以及等腰三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)等知識，正確得出AF+FC＝BF+FC＝BC是解題關(guān)鍵．
10．（2分）如圖，△ABC≌△DEF，F(xiàn)H⊥BC，垂足為E．若∠A＝α，∠CHE＝β，則∠BED的大小為（ ）
A．α﹣βB．90°+α﹣βC．β﹣αD．90°﹣α+β
【分析】根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠C＝90°﹣∠CHE＝90°﹣β，由三角形內(nèi)角和定理得出∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝90°﹣α+β．根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等求出∠DEF＝∠C＝90°﹣α+β，根據(jù)∠BED＝∠BEF﹣∠DEF即可得出答案．
【解答】解：∵FH⊥BC，垂足為E，
∴∠CEH＝∠BEF＝90°，
∴∠C＝90°﹣∠CHE＝90°﹣β，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣α﹣（90°﹣β）＝90°﹣α+β．
∵△ABC≌△DEF，
∴∠DEF＝∠B＝90°﹣α+β，
∴∠BED＝∠BEF﹣∠DEF＝90°﹣（90°﹣α+β）＝α﹣β．
故選：A．
【點評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，垂直的定義，直角三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理．掌握相關(guān)性質(zhì)與定理是解題的關(guān)鍵．
二、填空題（本題共6小題，每小題3分，共18分）
11．（3分）如圖，△ABC中，∠B＝35°，∠ACD＝120°，則∠A＝ 85° ．
【分析】根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，得∠ACD＝∠B+∠A，那么∠A＝∠ACD﹣∠B＝85°．
【解答】解：∵∠ACD＝∠B+∠A，
∴∠A＝∠ACD﹣∠B＝120°﹣35°＝85°．
故答案為：85°．
【點評】本題主要考查三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握三角形外角的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．
12．（3分）如圖，四邊形ABCD是軸對稱圖形，直線AC是它的對稱軸，若∠BAC＝65°，∠B＝50°，則∠BCD的大小為 130° ．
【分析】直接利用軸對稱圖形的性質(zhì)得出∠DAC＝∠BAC＝65°，∠D＝∠B＝50°，再結(jié)合三角形內(nèi)角的定理得出答案．
【解答】解：∵四邊形ABCD是軸對稱圖形，直線AC是它的對稱軸，
∴∠DAC＝∠BAC＝65°，∠D＝∠B＝50°，
∴∠BCA＝∠DCA＝180°﹣65°﹣50°＝65°，
∴∠BCD的大小為：65°×2＝130°．
故答案為：130°．
【點評】此題主要考查了軸對稱圖形的性質(zhì)，正確得出對應(yīng)角度數(shù)是解題關(guān)鍵．
13．（3分）一個n邊形的每個內(nèi)角都等于144°，則n＝ 10 ．
【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理：（n﹣2）180°求解即可．
【解答】解：由題意可得：（n﹣2）180°＝n×144°，
解得n＝10．
故答案為：10．
【點評】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和定理．熟練掌握n邊形的內(nèi)角和為：（n﹣2）180°是關(guān)鍵．
14．（3分）如圖，在△ABC中，∠B＝∠C＝30°，AD⊥AB交BC于點D，BC＝6，則AD＝ 2 ．
【分析】由三角形的內(nèi)角和定理可求∠BAC＝120°，結(jié)合垂直的定義可求得∠CAD＝30°，BD＝2AD，進而可求得AD＝BC＝2，即可求解．
【解答】解：∵∠B＝∠C＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∵AD⊥AB，
∴∠BAD＝90°，
∴∠CAD＝∠C＝30°，BD＝2AD，
∴AD＝CD，
∴AD＝BC＝2．
故答案為：2．
【點評】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，證明AD＝CD是解題的關(guān)鍵．
15．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC．過點A作BC的平行線交∠ABC的角平分線于點D，連接CD．若∠BAD＝140°，則∠ACD＝ 70 °．
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)得出AB＝AD，進而得出AC＝AD，進而得出∠DAC＝∠ACB＝40°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解．
【解答】解：∵∠BAD＝140°，AD∥BC，
∴∠ABC＝40°，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC＝40°，
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB＝40°，
∵BD是∠ABC的角平分線，
∴∠ABD＝∠DBC，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC＝20°，
∴∠ABD＝∠ADB＝20°，
∴AB＝AD，
∴AC＝AD，
∴∠ACD＝×（180°?∠CAD）＝×（180°?40°）＝70°．
故答案為：70．
【點評】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，三角形角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，證明AC＝AD是解題的關(guān)鍵．
16．（3分）如圖，在等邊△ABC中，BF是AC上中線且BF＝4，點D在線段BF上，連接AD，在AD的右側(cè)作等邊△ADE，連接EF，則AE+EF的最小值為 +4 ．
【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，據(jù)此得出∠ABD＝∠ACE，作點A關(guān)于CE的對稱點M，連接FM交CE于E′，此時AE+EF的值最小，此時AE+EF＝FM，證明△ACM是等邊三角形，得出FM＝FB＝4，于是得到結(jié)論．
【解答】解：∵△ABC、△ADE都是等邊三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∵AF＝CF，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠ACE＝30°，
∴點E在射線CE上運動（∠ACE＝30°），
作點A關(guān)于CE的對稱點M，連接FM交CE于E′，
此時AE+EF的值最小，此時AE+EF＝FM，
∵CA＝CM，∠ACM＝60°，
∴△ACM是等邊三角形，
∴△ACM≌△ACB，
∴FM＝FB＝4，
∴AB＝，
∴AE+EF的最小值是AF+FM＝+4，
故答案為：+4．
【點評】本題考查的是軸對稱的性質(zhì)﹣最短路徑問題，掌握軸對稱的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
三、解答題（本題共4小題，其中17題6分，18、19、20題各8分，共30分）
17．（6分）如圖，點A，B，C，D在同一條直線上，CE∥DF，EC＝BD，AC＝FD．求證：AE＝FB．
【分析】根據(jù)CE∥DF，可得∠ACE＝∠D，再利用SAS證明△ACE≌△FDB，得出對應(yīng)邊相等即可．
【解答】證明：∵CE∥DF，
∴∠ACE＝∠D，
在△ACE和△FDB中，
，
∴△ACE≌△FDB（SAS），
∴AE＝FB．
【點評】此題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)和平行線的性質(zhì)；熟練掌握平行線的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．
18．（8分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為BC邊上一點，AD＝BD，AC＝DC．求∠BAC的度數(shù)．
【分析】設(shè)∠B＝α，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠B＝∠C＝α，∠B＝∠BAD＝α，進而得∠CDA＝∠B+∠BAD＝2α，則∠CAD＝∠CDA＝2α，∠BAC＝3α，進而根據(jù)∠C+∠CAD+∠CDA＝180°可解得α＝36°，據(jù)此可得∠BAC的度數(shù)．
【解答】解：設(shè)∠B＝α，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝α，
∵AD＝BD，
∴∠B＝∠BAD＝α，
∴∠CDA＝∠B+∠BAD＝2α，
∵AC＝CD，
∴∠CAD＝∠CDA＝2α，
∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝3α，
在△CAD中，∠C+∠CAD+∠CDA＝180°，
∴α+2α+2α＝180°，
解得：α＝36°，
∴∠BAC＝3α＝3×36°＝108°．
【點評】此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，靈活三角形內(nèi)角和定理進行角度計算是解決問題的關(guān)鍵
19．（8分）如圖為某單擺裝置示意圖，擺線長OA＝OB＝OC，當(dāng)擺線位于OB位置時，過點B作BD⊥OA于點D，測得OD＝15cm，當(dāng)擺線位于OC位置時，OB與OC恰好垂直，求此時擺球到OA的水平距離CE的長（CE⊥OA）．
【分析】利用AAS證明△COE≌△OBD，得CE＝OD＝15cm．
【解答】解：∵OB⊥OC，
∴∠BOD+∠COE＝90°，
∵CE⊥OA，BD⊥OA，
∴∠CEO＝∠ODB＝90°，
∴∠BOD+∠B＝90°，
∴∠COE＝∠B，
在△COE和△OBD中，
，
∴△COE≌△OBD（AAS），
∴CE＝OD＝15cm，
∴擺球到OA的水平距離CE的長為15cm．
【點評】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，證明△COE≌△OBD是解題的關(guān)鍵．
20．（8分）如答題卡中的圖，方格紙中的每個小方格都是邊長為1個單位的正方形，在建立平面直角坐標(biāo)系后，△ABC的頂點均在格點上，點C的坐標(biāo)為（4，﹣1）．
（1）請以x軸為對稱軸，畫出與△ABC對稱的△A1B1C1，并直接寫出點A1、B1、C1的坐標(biāo)；
（2）點P（a+1，b﹣2）與點C關(guān)于y軸對稱，則a＝ ﹣5 ，b＝ 1 ．
【分析】（1）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)作圖，即可得出答案．
（2）關(guān)于y軸對稱的點的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)相等，由此可得a+1＝﹣4，b﹣2＝﹣1，求出a，b的值即可．
【解答】解：（1）如圖，ΔA1B1C1 即為所求．
點A1（1，4），B1（5，4），C1（4，1）．
（2）∵點P與點C關(guān)于y軸對稱，C（4，﹣1），
∴點P的坐標(biāo)為（﹣4，﹣1），
∴a+1＝﹣4，b﹣2＝﹣1，
解得a＝﹣5，b＝1．
故答案為：﹣5；1．
【點評】本題考查作圖﹣軸對稱變換，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
四、解答題（本題共2小題，其中21題8分，22題10分，共18分）
21．（8分）如圖，在△ABC中，∠BAC的平分線與BC的中垂線DE交于點E，過點E作AC邊的垂線，垂足N，過點E作AB延長線的垂線，垂足為M．
（1）求證：BM＝CN；
（2）若AB＝2，AC＝8，求BM的長．
【分析】（1）連接BE，CE，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到EM＝EN，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到BE＝CE，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AM＝AN，設(shè)BM＝CN＝x，列方程即可得到結(jié)論．
【解答】（1）證明：連接BE，CE，
∵AE平分∠BAC，EM⊥AB，EN⊥AC，
∴EM＝EN，
∵DE垂直平分BC，
∴BE＝CE，
∴Rt△BEM≌Rt△CEN（HL），
∴BM＝CN；
（2）解：∵∠M＝∠ANE＝90°，
∴Rt△AME≌Rt△ANE（HL），
∴AM＝AN，
設(shè)BM＝CN＝x，
∵AB＝2，AC＝8，
∴x+2＝8﹣x，
∴x＝3，
∴BM＝3．
【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．
22．（10分）已知：如圖，AC∥BD，請先作圖再解決問題．
（1）利用尺規(guī)完成以下作圖，并保留作圖痕跡，（不要求寫作法）
①作BE平分∠ABD交AC于點E；
②在BA的延長線上截取AF＝BA，連接EF；
（2）判斷△BEF的形狀，并說明理由．
【分析】（1）①根據(jù)要求作出圖形即可；
②根據(jù)要求作出圖形即可；
（2）證明AE＝AF＝AB，再利用等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理證明即可．
【解答】解：（1）①如圖，射線BE即為所求；
②如圖，線段AE，EF即為所求；
（2）△BEF是直角三角形．
理由：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBD，
∵AC∥BD，
∴∠AEB＝∠EBD，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE，
∵AB＝AF，
∴AE＝AF＝AB，
∴∠AFE＝∠AEF，∠ABE＝∠AEB，
∵∠ABE+∠AFE+∠BEF＝180°，
∴2∠AEF+2∠AEB＝180°，
∴∠AEF+∠AEB＝90°，
∴∠BEF＝90°，
∴△BEF是直角三角形．
【點評】本題考查作圖﹣復(fù)雜作圖，直角三角形的判定，等腰三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題．
五、解答題（本題共2小題，其中23題10分，24題12分，共22分）
23．（10分）如圖，長方形ABCD中，AB＝4cm，BC＝6cm，現(xiàn)有一動點P從A出發(fā)以2cm/秒的速度，沿矩形的邊A﹣B﹣C﹣D﹣A返回到點A停止，設(shè)點P運動的時間為t秒．
（1）當(dāng)t＝3時，BP＝ 2 cm；
（2）當(dāng)t為何值時，連接CP，DP，△CDP是等腰三角形；
（3）Q為AD邊上的點，且DQ＝5，當(dāng)t為何值時，以長方形的兩個頂點及點P為頂點的三角形與△DCQ全等．
【分析】（1）當(dāng)t＝3時，點P運動到線段BC上，即可得到BP的長度；
（2）分三種情況討論，①當(dāng)點P在AB上時，②當(dāng)點P在BC上時，③當(dāng)點P在AD上時，根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)即可得到答案；
（3）根據(jù)題意，要使一個三角形與△DCQ全等，則點P的位置可以有四個，根據(jù)點P運動的位置，即可計算出時間．
【解答】解：（1）當(dāng)t＝3時，點P走過的路程為：2×3＝6，
∵AB＝4，
∴點P運動到線段BC上，
∴BP＝6﹣4＝2，
故答案為：2；
（2）①當(dāng)點P在AB上時，△CDP是等腰三角形，
∴PD＝CP，
在矩形ABCD中，AD＝BC，∠A＝∠B＝90°，
∴△DAP≌△CBP（HL），
∴AP＝BP，
∴AP＝＝2，
∴t＝＝1，
②當(dāng)點P在BC上時，△CDP是等腰三角形，
∵∠C＝90°，
∴CD＝CP＝4，
∴BP＝CB﹣CD＝2，
∴t＝＝3，
③當(dāng)點P在AD上時，△CDP是等腰三角形，
∵∠D＝90°，
∴DP＝CD＝4，
∴t＝＝9，
綜上所述，t＝1或3或9時，△CDP是等腰三角形；
（3）根據(jù)題意，如圖，連接CQ，則AB＝CD＝4，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90，DQ＝5，
∴要使一個三角形與△DCQ全等，則另一條直角邊必須等于DQ，
①當(dāng)點P運動到P1時，CP1＝DQ＝5，此時△DCQ≌△CDP1，
∴點P的路程為：AB+BP1＝4+1＝5，
∴t＝5÷2＝2.5，
②當(dāng)點P運動到P2時，BP2＝DQ＝5，此時△CDQ≌△ABP2，
∴點P的路程為：AB+BP2＝4+5＝9，
∴t＝9÷2＝4.5，
③當(dāng)點P運動到P3時，AP3＝DQ＝5，此時△CDQ≌△ABP3，
∴點P的路程為：AB+BC+CD+DP3＝4+6+4+1＝15，
∴t＝15÷2＝7.5，
④當(dāng)點P運動到P4時，即P與Q重合時，DP4＝DQ＝5，此時△CDQ≌△CDP4，
∴點P的路程為：AB+BC+CD+DP4＝4+6+4+5＝19，
∴t＝19÷2＝9.5，
綜上所述，時間的值可以是：t＝2.5，4.5，7.5或9.5，
故答案為：2.5或4.5或7.5或9.5．
【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，線段的動點問題，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定與性質(zhì)及動點的運動狀態(tài)，從而進行分類討論．
24．（12分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，射線AD，AE的夾角為，過點B作BF⊥AD于點F，直線BF交AE于點G，連結(jié)CG．
（1）如圖1，射線AD，AE都在∠BAC內(nèi)部．
①若α＝120°，∠CAE＝20°，則∠CBG＝ 20 °；
②作點B關(guān)于直線AD的對稱點H，在圖1中找出與線段GH相等的線段，并證明．
（2）如圖2，射線AD在∠BAC的內(nèi)部，射線AE在∠BAC的外部，其它條件不變，探究線段BF，BG，CG之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．
【分析】（1）①先根據(jù)角的運算得出∠BAD的度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和求出∠ABC的度數(shù)；再根據(jù)直角三角形兩銳角互余可得出∠ABG的度數(shù)，作差可得結(jié)論；
②連接AH，可得出AB＝AH＝AC，再根據(jù)∠BAC＝α，∠DAE＝α，可得出∠BAF+∠CAE＝α，∠HAF+∠HAG＝α，所以∠CAE＝∠HAG；進而可得△AGH≌△AGC（SAS），再由全等三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；
（2）在BG延長線上取點H，使HF＝BF．連結(jié)AH．由垂直平分線的性質(zhì)可得AB＝AH，∠BAF＝∠HAF；設(shè)∠CAD＝x，∠CAE＝y(tǒng)，所以∠DAE＝x+y，由此表達∠BAC，∠BAF，∠HAF，由∠HAE＝∠DAE+∠HAE，可得x+2y＝x+y+∠HAE，所以∠HAE＝y(tǒng)，即∠HAE＝∠CAE；由此可得△ACG≌△AHG（SAS），所以CG＝HG，由此可得結(jié)論．
【解答】解：（1）①∵∠BAC＝α＝120°，∠DAE＝α＝60°，∠CAE＝20°，
∴∠BAD＝120°﹣60°﹣20°＝40°，
∵BF⊥AD，
∴∠AFB＝90°，
∴∠ABF＝90°﹣40°＝50°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABC＝30°，
∴∠CBG＝∠ABF﹣∠ABC＝50°﹣30°＝20°；
故答案為：20．
②GH＝GC，理由如下：
證明：如圖1，連結(jié)AH，
∵點B與點H關(guān)于直線AD對稱，AF⊥BH，
∴BF＝HF，
∴AD是BH的垂直平分線，
∴AB＝AH，∠BAF＝∠HAF，
∵AB＝AC，
∴AH＝AC，
∵∠BAC＝α，∠DAE＝α，
∴∠BAF+∠CAE＝α，∠HAF+∠HAG＝α，
∴∠CAE＝∠HAG；
∵AG＝AG，
∴△AGH≌△AGC（SAS）．
∴GH＝GC；
（2）BG＝2BF﹣CG；
證明：如圖2，在BG延長線上取點H，使HF＝BF．連結(jié)AH．
∵AF⊥BH，BF＝HF，
∴AB＝AH，∠BAF＝∠HAF；
設(shè)∠CAD＝x，∠CAE＝y(tǒng)，
∴∠DAE＝x+y，
∵∠DAE＝∠BAC．
∴∠BAC＝2x+2y，
∴∠BAF＝∠BAC﹣∠CAD＝2x+2y﹣x＝x+2y．
∴∠HAF＝∠BAF＝x+2y，
∵∠HAE＝∠DAE+∠HAE，
∴x+2y＝x+y+∠HAE，
∴∠HAE＝y(tǒng)，即∠HAE＝∠CAE；
∵AB＝AC，AB＝AH，
∴AC＝AH，
∵AG＝AG．
∴△ACG≌△AHG（SAS）．
∴CG＝HG；
∵BG＝BH﹣GH，BH＝2BF，
∴BG＝2BF﹣CG．
【點評】本題在三角形背景下考查旋轉(zhuǎn)的相關(guān)知識，屬于三角形的綜合應(yīng)用，熟練掌握三角形全等的判定及性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
六、解答題（本題12分）
25．（12分）綜合與實踐
閱讀材料：
材料1：如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，以C為圓心，CA長為半徑畫弧，交AB邊于點D，連結(jié)CD，則△ACD是等邊三角形，△BCD是等腰三角形．
材料2：如圖2，△ABC是等邊三角形，D為直線BD上一點，以AD為邊在AD右側(cè)作等邊△ADE，連結(jié)CE，隨著D點位置的改變，始終有△ABD≌△ACE．
根據(jù)上述閱讀材料，解決下面的問題．
已知，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，D為AB邊上一點，以CD為邊在CD右側(cè)作等邊△CDE．
特例探究：（1）如圖3，當(dāng)點E在AB邊上時，求證：DE＝BE．
感悟應(yīng)用：（2）如圖4，當(dāng)點E在△ABC內(nèi)部時，連結(jié)BE，求證：DE＝BE．
拓展延伸：（3）當(dāng)點E在△ABC的外部時，過點E作EH⊥AB于H，EF∥AB交射線AC于F，CF＝2，BH＝3，請畫出圖形，并求AB的長．
【分析】（1）根據(jù)題意可得∠B＝30°，結(jié)合△CDE是等邊三角形即可求出∠BDE＝∠B，從而得證．
（2）以C為圓心，CA長為半徑畫弧交AB邊于點M，連接CM，EM，則CM＝CA，即可得出△ACM是等邊三角形，然后證明△ACD≌△MCE，△MCE≌△MBE 即可得證；
（3）分兩種情況進行討論，當(dāng)點F在線段AC上時和點F在AC延長線上時，分別計算即可．
【解答】（1）證明：在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，
∴∠B＝30°，
∵△CDE是等邊三角形，
∴∠CED＝60°，
∵∠CED＝∠B+∠BDE，
∴∠BDE＝60°﹣30°＝30°，
∴∠BDE＝∠B，
∴DE＝BE．
（2）解：如圖，以C為圓心，CA長為半徑畫弧交AB邊于點M，連接CM，EM，則CM＝CA，
∵∠A＝60°，
∴△ACM是等邊三角形，
∴∠ACM＝∠AMC＝60°，
又∵△CDE是等邊三角形，
∴CD＝CE，∠DCE＝60°，
∴∠ACM＝∠DCE，
∴∠ACM﹣∠DCM＝∠DCE﹣∠DCM，即∠ACD＝∠MCE，
∴△ACD≌△MCE（SAS），
∴∠CME＝∠A＝60°，
∵∠AMC＝60°，
∴∠BME＝180°﹣∠AMC﹣∠CME＝180°﹣60°﹣60＝60°，
∴∠CME＝∠BME，
∵∠BCM＝∠ACB﹣∠ACM＝90°﹣60°＝30°，
∴∠BCM＝∠ABC，
∴MC＝MB，
又∵ME＝ME，
∴△MCE≌△MBE （SAS），
∴CE＝BE，
又∵△CDE是等邊三角形，
∴CE＝DE，
∴DE＝BE．
（3）解：如圖，當(dāng)點F在線段AC上時，以C為圓心，CA長為半徑畫弧，交AB邊于M，連結(jié)ME，BE，CM，則△ACM為等邊三角形，
∴△ACD≌△MCE（SAS），
∴∠CME＝∠A＝60°，∠EMB＝60°＝∠CME，
又∵CM＝BM，
∴△CME≌△BME（SAS），
∴BE＝CE，
∵CE＝DE，
∴BE＝DE，
∵EH⊥BD，
∴BD＝2BH，
∵BH＝3，
∴BD＝6，
∵EF∥AB，
∴∠CFE＝∠A＝60°，
∴∠CFE＝∠CMA．
∵∠ECF＝∠ECD+∠ACD＝60°+∠ACD，∠CDM＝∠A+∠ACD＝60°+∠ACD，
∴∠ECF＝∠CDM，
又∵∠ECF＝∠CDM，
∴△ECF≌△CDM（SAS），
∴DM＝CF＝2，
∴BM＝BD﹣DM＝6﹣2＝4，
∵CM＝AM，CM＝BM，
∴AM＝BM，
∴AB＝2BM＝8；
如圖，當(dāng)點F在AC延長線上時，同理可得 BD＝2BH＝6．
∵EF∥AB，
∴∠F+∠A＝180°，
∴∠F＝120°，
∵∠AMC＝60°，
∴∠CMD＝120°，
∴∠F＝∠CMD．
∵∠ACM＝∠DCE＝60°，
∴∠FCE+∠MCD＝180°﹣120°＝60°，∠MCD+∠MDC＝∠AMC＝60°．
∴∠FCE＝∠MDC．
又∵CD＝CE，
∴△FCE≌△MDC（AAS），
∴MD＝FC＝2，
∴MB＝BD+MD＝8．同理AM＝BM＝8，
∴AB＝2AM＝16．
綜上所述，AB的長為8或16．
【點評】本題考查等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確作出輔助線是解題關(guān)鍵．

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