?2022-2023學(xué)年浙江省溫州市瑞安市集云實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級第一學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題（本題有10小題，每小題4分，共40分）
1．拋物線y＝（x﹣3）2+4的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（　?。?br /> A．（﹣3，4） B．（﹣3，﹣4） C．（3，4） D．（3，﹣4）
2．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，CA＝CB，若∠C＝40°，則的度數(shù)為（　?。?br />
A．70° B．100° C．140° D．160°
3．將拋物線y＝x2+3向右平移5個單位，得到新拋物線的表達(dá)式是（　　）
A．y＝（x+5）2+3 B．y＝（x﹣5）2+3 C．y＝x2+8 D．y＝x2﹣2
4．如圖，在⊙O中，AB是⊙O直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)H．若AH＝5，HB＝1，則CD的長為（　　）

A． B． C．2 D．2
5．如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，過點(diǎn)O作OM⊥邊BC于點(diǎn)M，若⊙O的半徑為4，則邊心距OM的長為（　?。?br />
A． B． C．2 D．
6．拋物線y＝x2+n經(jīng)過點(diǎn)（n+2，n2），則n的值是（　　）
A． B．﹣ C． D．﹣
7．如圖，⊙O中，點(diǎn)C在上，∠ADC，∠BEC分別為所對的圓周角．若∠AOB＝110°，∠ADC＝20°，則∠BEC的度數(shù)為（　?。?br />
A．35° B．36° C．37° D．38°
8．如圖，扇形AOB圓心角為直角，OA＝10，點(diǎn)C在上，以O(shè)A，CA為鄰邊構(gòu)造?ACDO，邊CD交OB于點(diǎn)E，若OE＝8，則圖中兩塊陰影部分的面積和為（　?。?br />
A．10π﹣8 B．5π﹣8 C．25π﹣64 D．50π﹣64
9．如圖，點(diǎn)A（1，16），B（2，12），C（3，8），D（4，4）均在函數(shù)l圖象上，P為該函數(shù)在第一象限內(nèi)圖象上一點(diǎn)，PE⊥x軸于點(diǎn)E，當(dāng)△OEP的面積取最大值時，OE的長為（　　）

A．1.5 B．2.5 C．3.5 D．4.5
10．已知（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）為雙曲線y＝上的三個點(diǎn)，且x1＜x2＜x3，則以下判斷正確的是（　　）
A．若x1x3＞0，則y2y3＜0 B．若x1x2＞0，則y2y3＞0
C．若x1x3＜0，則y2y3＞0 D．若x1x2＜0，則y1y3＜0
非選擇題部分二、填空題（本題有6小題，每小題5分，共30分）
11．拋物線y＝3x2+8x﹣4與y軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)是 　 ?。?br /> 12．請寫出一個開口向下，且經(jīng)過點(diǎn)（1，2）的拋物線表達(dá)式 　 ?。?br /> 13．如圖，點(diǎn)A在半圓O上，BC為直徑．若∠ABC＝40°，BC＝2，則的長是 　 ?。?br />
14．二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的部分對應(yīng)值列表如表：
x
…
﹣3
0
1
3
5
…
y
…
7
﹣8
﹣9
﹣5
7
…
則一元二次方程a（3x+5）2+b（3x+5）+c＝﹣8的解為 　 　．
15．在⊙O中，點(diǎn)C，D在⊙O上，且分布在直徑AB異側(cè)，延長CO交弦BD于點(diǎn)E，若∠DEC＝120°，且點(diǎn)A為中點(diǎn)，則的度數(shù)為 　 ?。?br />
16．在半徑為5的圓內(nèi)放置正方形ABCD，E為AB的中點(diǎn)，EF⊥AB交圓于點(diǎn)F，直線DC分別交圓于點(diǎn)G，H，如圖所示．若AB＝4，EF＝DG＝CH，則GH的長為 　 ?。?br />
三、解答題（本題有8小題，共80分）
17．已知拋物線y＝ax2﹣12x+8的對稱軸為直線x＝2．
（1）求該拋物線的表達(dá)式．
（2）求該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，及與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．
18．如圖，已知給定等邊△ABC及邊AB上點(diǎn)D．
（1）作經(jīng)過點(diǎn)B，C，D的⊙O（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡并寫出結(jié)論）．
（2）若BC＝6，BD＝4，求OA的長．（說明：O為（1）小題所作圓的圓心）
注：給定等邊△ABC及邊AB上點(diǎn)D在答題卡上．

19．如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)（﹣8，0），（0，0）．
（1）求該拋物線的表達(dá)式．
（2）點(diǎn)A沿A→B→C→D→E運(yùn)動，其中AB∥CD∥y軸，BC∥DE∥x軸，AB＝CD＝m，BC＝DE＝4．若點(diǎn)A，E均落在拋物線上，且拋物線的對稱軸恰好平分BC，求m的值．

20．如圖，AB，CD為⊙O直徑，弦DE，BF分別交半徑AO，CO于點(diǎn)G，H，且∠FBA＝∠EDC．
（1）求證：DE＝BF．
（2）若＝＝，且∠DOB＝∠EGO，求的度數(shù)．

21．函數(shù)y＝ax2+2ax+c（a，c為常數(shù)，且a＜0）在自變量x的值滿足﹣4≤x≤1時，其對應(yīng)的函數(shù)值y滿足﹣5≤y≤．
（1）求拋物線的對稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）當(dāng)x＝1時，求y的值．
22．如圖，AB為⊙O直徑，CD是弦，以AC，CD為邊構(gòu)造?ACDE，點(diǎn)E在半徑OB上．
（1）已知∠D＝75°．求證：＝4．
（2）延長CO分別交DE，⊙O于點(diǎn)F，G．求證：EB＝FG．

23．總公司將一批襯衫由甲、乙兩家分店共同銷售，因地段不同，甲店一天可售出30件，每件盈利30元；乙店一天可售出40件，每件盈利20元．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每件襯衫每降價1元，甲、乙兩家店一天分別可多售出2，4件．設(shè)甲店每件襯衫降價m元時，一天可盈利y1元，乙店每件襯衫降價n元時，一天可盈利y2元．
（1）當(dāng)m＝3時，求y1的值．
（2）求y2關(guān)于n的函數(shù)表達(dá)式．
（3）若總公司規(guī)定：m﹣n＝6（m，n為正整數(shù)），請求出每件襯衫下降多少元時，兩家分店一天的盈利和最大，最大是多少元？
24．如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在邊CB延長線上，AG⊥AE，交BC延長線于點(diǎn)G，邊AG，DC交于點(diǎn)F，CF＝BE，以AD為半徑的⊙D交邊BG于點(diǎn)P，Q，交AG于點(diǎn)M，延長DM交邊QG于點(diǎn)N．
（1）求證：CG＝AB．
（2）若AD＝6，∠E＝70°，求扇形ADM的面積．
（3）延長DC交⊙D于點(diǎn)H，且CH＝NG，記AB＝x，四邊形AECF的面積為S，求S關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式．



參考答案
一、選擇題（本題有10小題，每小題4分，共40分）
1．拋物線y＝（x﹣3）2+4的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（　?。?br /> A．（﹣3，4） B．（﹣3，﹣4） C．（3，4） D．（3，﹣4）
【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式可以直接寫出函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，本題得以解決．
解：∵y＝（x﹣3）2+4，
∴該函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（3，4），
故選：C．
2．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，CA＝CB，若∠C＝40°，則的度數(shù)為（　?。?br />
A．70° B．100° C．140° D．160°
【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和圓周角定理即可得到結(jié)論．
解：∵CA＝CB，∠C＝40°，
∴∠A＝∠B＝（180°﹣40°）＝70°，
∴的度數(shù)為140°，
故選：C．
3．將拋物線y＝x2+3向右平移5個單位，得到新拋物線的表達(dá)式是（　?。?br /> A．y＝（x+5）2+3 B．y＝（x﹣5）2+3 C．y＝x2+8 D．y＝x2﹣2
【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象平移的規(guī)律，即左加右減，上加下減求解即可．
解：將拋物線y＝x2+3向右平移5個單位，得到新拋物線的表達(dá)式是y＝（x﹣5）2+3，
故選：B．
4．如圖，在⊙O中，AB是⊙O直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)H．若AH＝5，HB＝1，則CD的長為（　?。?br />
A． B． C．2 D．2
【分析】連接OD，根據(jù)垂徑定理求出DH＝CD，根據(jù)圓的性質(zhì)及線段的和差求出OD＝OA＝3，OH＝2，根據(jù)勾股定理求出DH＝，據(jù)此即可得解．
解：連接OD，

∵AB是⊙O直徑，弦CD⊥AB，
∴DH＝CD，
∵AH＝5，HB＝1，
∴AB＝AH＝HB＝6，
∴OD＝OA＝3，
∴OH＝AH﹣OA＝2，
在Rt△ODH中，DH＝＝＝，
∴CD＝2DH＝2，
故選：C．
5．如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，過點(diǎn)O作OM⊥邊BC于點(diǎn)M，若⊙O的半徑為4，則邊心距OM的長為（　?。?br />
A． B． C．2 D．
【分析】連接OB、OC．先證明△OBC是等邊三角形，求出BC、BM，再根據(jù)勾股定理求出OM即可．
解：如圖，連接OB、OC．

∵六邊形ABCDEF是正六邊形，
∴∠BOC＝60°，OB＝OC＝4，
∴△OBC是等邊三角形，
∴BC＝OB＝OC＝4，
∵OM⊥BC，
∴BM＝CM＝2，
在Rt△OBM中，OM＝＝＝2，
故選：A．
6．拋物線y＝x2+n經(jīng)過點(diǎn)（n+2，n2），則n的值是（　?。?br /> A． B．﹣ C． D．﹣
【分析】把（n+2，n2）代入拋物線y＝x2+n，解答即可．
解：把（n+2，n2）代入拋物線y＝x2+n，得
n2＝（n+2）2+n，
n2＝n2+4n+4+n，
n＝﹣．
故選：D．
7．如圖，⊙O中，點(diǎn)C在上，∠ADC，∠BEC分別為所對的圓周角．若∠AOB＝110°，∠ADC＝20°，則∠BEC的度數(shù)為（　?。?br />
A．35° B．36° C．37° D．38°
【分析】根據(jù)圓周角定理求出∠ADC+∠BEC＝∠AOB＝55°，再根據(jù)弧、圓周角的關(guān)系求解即可．
解：∵∠AOB＝110°，
∴∠ADC+∠BEC＝∠AOB＝55°，
∵∠ADC＝20°，
∴∠BEC＝35°，
故選：A．
8．如圖，扇形AOB圓心角為直角，OA＝10，點(diǎn)C在上，以O(shè)A，CA為鄰邊構(gòu)造?ACDO，邊CD交OB于點(diǎn)E，若OE＝8，則圖中兩塊陰影部分的面積和為（　　）

A．10π﹣8 B．5π﹣8 C．25π﹣64 D．50π﹣64
【分析】連接OC．利用勾股定理求出EC，根據(jù)S陰＝S扇形AOB﹣S梯形AOEC，計算即可．
解：連接OC．

∵四邊形OACD是平行四邊形，
∴OA∥CD，
∴∠OEC+∠EOA＝90°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠OEC＝90°，
∴EC＝＝＝8，
∴S陰＝S扇形AOB﹣S梯形OECA＝﹣×（6+10）×8＝25π﹣64．
故選：C．
9．如圖，點(diǎn)A（1，16），B（2，12），C（3，8），D（4，4）均在函數(shù)l圖象上，P為該函數(shù)在第一象限內(nèi)圖象上一點(diǎn)，PE⊥x軸于點(diǎn)E，當(dāng)△OEP的面積取最大值時，OE的長為（　?。?br />
A．1.5 B．2.5 C．3.5 D．4.5
【分析】先根據(jù)待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，從而可判定C（3，8），D（4，4）均在直線AB上，設(shè)
解：設(shè)直線AB的解析式為：y＝kx+b
將A（1，16），B（2，12）代入得：
，
解得：，
∴直線AB的解析式為y＝﹣4x+20，
當(dāng)x＝3時，y＝﹣4x+20＝8，
∴C（3，8）在直線AB上，
當(dāng)x＝4時，y＝﹣4x+20＝4，
∴D（4，4）在直線AB上，
設(shè)P（p，﹣4p+20），則OE＝p，PE＝﹣4p+20，
∴S△OEP＝OE?PE＝p（﹣4p+20）＝﹣2p2+10p＝﹣2（p﹣）2+，
∴當(dāng)△OEP的面積取最大值時，OE的長為．
故選：B．
10．已知（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）為雙曲線y＝上的三個點(diǎn)，且x1＜x2＜x3，則以下判斷正確的是（　?。?br /> A．若x1x3＞0，則y2y3＜0 B．若x1x2＞0，則y2y3＞0
C．若x1x3＜0，則y2y3＞0 D．若x1x2＜0，則y1y3＜0
【分析】根據(jù)x1＜x2＜x3，可判斷各選項(xiàng)內(nèi)x1，x2，x3的取值范圍，進(jìn)而求解．
解：∵y＝，
∴雙曲線圖象在第二，四象限，
當(dāng)x1x3＞0時，不能判斷x2符號，
∴選項(xiàng)A不正確．
當(dāng)x1x2＞0時，不能判斷x3符號，
∴選項(xiàng)B不正確．
當(dāng)x1x3＜0時，不能判斷x2符號，
∴選項(xiàng)C不正確，
當(dāng)x1x2＜0時，則x1＜0＜x2＜x3，
∴（x1，y1）在第二象限，（x3，y3）在第四象限，
∴y1y3＜0，
故選：D．
非選擇題部分二、填空題（本題有6小題，每小題5分，共30分）
11．拋物線y＝3x2+8x﹣4與y軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)是 　（0，﹣4）?。?br /> 【分析】根據(jù)y軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，求自變量為0時的函數(shù)值即可．
解：把x＝0代入y＝3x2+8x﹣4得y＝﹣4，
所以拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣4）．
故答案為：（0，﹣4）．
12．請寫出一個開口向下，且經(jīng)過點(diǎn)（1，2）的拋物線表達(dá)式 　y＝﹣（x﹣1）2+2（答案不唯一）?。?br /> 【分析】可以把點(diǎn)（1，2）作為拋物線的頂點(diǎn)，則拋物線解析式為y＝a（x﹣1）2+2，然后a取一個負(fù)數(shù)即可．
解：把點(diǎn)（1，2）設(shè)頂點(diǎn)，則拋物線解析式為y＝a（x﹣1）2+2，
∵拋物線開口向下，
∴a可以取﹣1，
∴滿足條件的拋物線解析式可以為y＝﹣（x﹣1）2+2．
故答案為：y＝﹣（x﹣1）2+2（答案不唯一）．
13．如圖，點(diǎn)A在半圓O上，BC為直徑．若∠ABC＝40°，BC＝2，則的長是 　π　．

【分析】根據(jù)圓周角與圓心角的關(guān)系可求出∠AOC的度數(shù)，再根據(jù)弧長公式進(jìn)行計算即可．
解：∠AOC＝2∠ABC＝80°，由弧長公式得，
的長為＝π，
故答案為：π．
14．二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的部分對應(yīng)值列表如表：
x
…
﹣3
0
1
3
5
…
y
…
7
﹣8
﹣9
﹣5
7
…
則一元二次方程a（3x+5）2+b（3x+5）+c＝﹣8的解為 　x1＝﹣，x2＝﹣1　．
【分析】利用x＝﹣3時，y＝7；x＝5時，y＝7得到二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象的對稱軸為直線x＝1，再利用二次函數(shù)的對稱性得到x＝2時，y＝﹣8，所以方程一元二次方程ax2+bx+c＝﹣8的兩根為x1＝0，x2＝2，由于把一元二次方程a（3x+5）2+b（3x+5）+c＝﹣8可看作關(guān)于（3x+5）的一元二次方程，則3x+5＝0或3x+5＝2，然后解一次方程即可．
解：對于二次函數(shù)y＝ax2+bx+c，
∵x＝﹣3時，y＝7；x＝5時，y＝7，
∴二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象的對稱軸為直線x＝1，
∵x＝0時，y＝﹣8，
∴x＝2時，y＝﹣8，
即方程一元二次方程ax2+bx+c＝﹣8的兩根為x1＝0，x2＝2，
把一元二次方程a（3x+5）2+b（3x+5）+c＝﹣8看作關(guān)于（3x+5）的一元二次方程，
∴3x+5＝0或3x+5＝2，
解得x1＝﹣，x2＝﹣1．
故答案為：x1＝﹣，x2＝﹣1．
15．在⊙O中，點(diǎn)C，D在⊙O上，且分布在直徑AB異側(cè)，延長CO交弦BD于點(diǎn)E，若∠DEC＝120°，且點(diǎn)A為中點(diǎn)，則的度數(shù)為 　160°?。?br />
【分析】根據(jù)題意畫出圖形，連接OD，根據(jù)圓周角定理得出∠AOD＝2∠B，設(shè)∠B＝x，則∠AOC＝∠AOD＝2x，∠ODB＝∠B＝x，再根據(jù)外角的性質(zhì)得出∠COD＝∠DEC+∠ODB，列出關(guān)于x的方程求出∠B即可解答．
解：如圖，連接OD，
∵點(diǎn)A為中點(diǎn)，AB為直徑，
∴AB⊥CD，∠AOC＝∠AOD，
∴∠AOD＝2∠B，
設(shè)∠B＝x，則∠AOC＝∠AOD＝2x，∠ODB＝∠B＝x，
∵∠DEC＝120°，∠COD＝∠DEC+∠ODB，
∴4x＝x+120°，
解得x＝40°，
∴4x＝160°，
即∠COD＝160°，
∴的度數(shù)為160°．
故答案為：160°．

16．在半徑為5的圓內(nèi)放置正方形ABCD，E為AB的中點(diǎn)，EF⊥AB交圓于點(diǎn)F，直線DC分別交圓于點(diǎn)G，H，如圖所示．若AB＝4，EF＝DG＝CH，則GH的長為 　4+4?。?br />
【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)推出△FEB∽△BCH，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出EF＝2，根據(jù)線段的和差求解即可．
解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，∠BCD＝90°，
∴∠FBE＝∠H，∠BCH＝180°﹣90°＝90°，
∵EF⊥AB，
∴∠FEB＝90°，
∴∠FEB＝∠BCH，
∴△FEB∽△BCH，
∴＝，
∵AB＝4，E為AB的中點(diǎn)，
∴BE＝2，
∴＝，
∴EF?CH＝8，
∵EF＝CH，
∴EF2＝8，
∴EF＝2或EF＝﹣2（舍去），
∴EF＝DG＝CH＝2，
∴GH＝DG+DC+CH＝2+4+2＝4+4，
故答案為：4+4．
三、解答題（本題有8小題，共80分）
17．已知拋物線y＝ax2﹣12x+8的對稱軸為直線x＝2．
（1）求該拋物線的表達(dá)式．
（2）求該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，及與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．
【分析】（1）利用拋物線的對稱軸方程求出a的值，從而得到拋物線解析式；
（2）把一般式配成頂點(diǎn)式得到頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后解方程3（x﹣2）2﹣4＝0得到拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．
解：（1）∵拋物線的對稱軸為直線x＝2，
∴﹣＝2，
解得a＝3，
∴拋物線解析式為y＝3x2﹣12x+8；
（2）∵y＝3x2﹣12x+8＝3（x﹣2）2﹣4，
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，﹣4），
當(dāng)y＝0時，3（x﹣2）2﹣4＝0，
解得x1＝2﹣，x2＝2+，
∴拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（2﹣，0），（2+，0）．
18．如圖，已知給定等邊△ABC及邊AB上點(diǎn)D．
（1）作經(jīng)過點(diǎn)B，C，D的⊙O（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡并寫出結(jié)論）．
（2）若BC＝6，BD＝4，求OA的長．（說明：O為（1）小題所作圓的圓心）
注：給定等邊△ABC及邊AB上點(diǎn)D在答題卡上．

【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線的作圖方法，分別作線段BD，BC的垂直平分線，交于點(diǎn)O，再以點(diǎn)O為圓心，OB的長為半徑畫弧，即可得所求的⊙O．
（2）設(shè)線段BC的垂直平分線交BC于點(diǎn)E，線段BD的垂直平分線交BD于點(diǎn)F，可得BD＝DF＝2，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AB＝BC＝6，點(diǎn)A，O，E在同一條直線上，則∠BAE＝30°，AF＝4，在Rt△AOF中，利用銳角三角函數(shù)可求得OA．
解：（1）如圖，⊙O即為所求．

（2）設(shè)線段BC的垂直平分線交BC于點(diǎn)E，線段BD的垂直平分線交BD于點(diǎn)F，
∴BD＝DF＝BD＝2，
∵△ABC為等邊三角形，
∴AB＝BC＝6，點(diǎn)A，O，E在同一條直線上，
∴∠BAE＝30°，AF＝4，
在Rt△AOF中，cos30°＝，
解得AO＝，
經(jīng)檢驗(yàn)，AO＝是原方程的解且符合題意，
∴OA的長為．
19．如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)（﹣8，0），（0，0）．
（1）求該拋物線的表達(dá)式．
（2）點(diǎn)A沿A→B→C→D→E運(yùn)動，其中AB∥CD∥y軸，BC∥DE∥x軸，AB＝CD＝m，BC＝DE＝4．若點(diǎn)A，E均落在拋物線上，且拋物線的對稱軸恰好平分BC，求m的值．

【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求解；
（2）求出拋物線的對稱軸為直線x＝﹣4，可得點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)為﹣6，點(diǎn)C、D的橫坐標(biāo)為﹣2，則點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為2，求出點(diǎn)A、E的坐標(biāo)，即可求解．
解：（1）由題意得，
解得，
∴該拋物線的表達(dá)式為y＝x2+4x；
（2）如圖：

∵y＝x2+4x＝（x+4）2﹣8，
∴拋物線的對稱軸為直線x＝﹣4，
∵AB∥CD∥y軸，BC∥DE∥x軸，BC＝DE＝4．拋物線的對稱軸恰好平分BC，
∴點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)為﹣6，點(diǎn)C、D的橫坐標(biāo)為﹣2，則點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為2，
∴點(diǎn)A（﹣6，﹣6）、E（2，10），
∵AB＝CD＝m．
∴2m＝10+6，解得m＝8．
∴m的值為8．
20．如圖，AB，CD為⊙O直徑，弦DE，BF分別交半徑AO，CO于點(diǎn)G，H，且∠FBA＝∠EDC．
（1）求證：DE＝BF．
（2）若＝＝，且∠DOB＝∠EGO，求的度數(shù)．

【分析】（1）連接AD，BD，根據(jù)圓周角定理得出∠A＝∠C，∠ADB＝∠CBD＝90°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到∠ABD＝∠CDB，根據(jù)弧、圓周角關(guān)系得出＝，＝，進(jìn)而得到＝，則＝，根據(jù)弧、弦的關(guān)系即可得解；
（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、圓周角定理推出∠3＝180°﹣4∠1，根據(jù)弧、圓周角的關(guān)系得出∠2+∠ADE+∠3＝90°，即∠1+×（180°﹣4∠1）+（180°﹣4∠1）＝90°，求出∠1＝36°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理、對頂角性質(zhì)求解即可．
【解答】（1）證明：如圖，連接AD，BD，

∵AB，CD為⊙O直徑，
∴∠ADB＝∠CBD＝90°，
∴∠A+∠ABD＝∠C+∠CDB＝90°，
∵∠A＝∠C，
∴∠ABD＝∠CDB，
∴＝，
∵∠FBA＝∠EDC，
∴＝，
∴﹣＝﹣，
即＝，
∴+＝+，
即＝，
∴DE＝BF；
（2）解：如圖，

∵OB＝OD，
∴∠1＝∠2，
∴∠DOB＝180°﹣2∠1，
∵∠EGO＝∠EDB+∠ABD＝∠3+∠1+∠2＝∠3+2∠1，∠DOB＝∠EGO，
∴180°﹣2∠1＝∠3+2∠1，
∴∠3＝180°﹣4∠1，
∵＝＝，
∴∠3＝2∠ADE，
∴∠ADE＝∠3，
∵CD為⊙O直徑，
∴++＝180°，
∴∠2+∠ADE+∠3＝90°，
∴∠1+×（180°﹣4∠1）+（180°﹣4∠1）＝90°，
∴5∠1＝180°，
∴∠1＝36°，
∴∠DOB＝180°﹣36°×2＝108°，
∴∠AOC＝108°，
∴的度數(shù)為108°．
21．函數(shù)y＝ax2+2ax+c（a，c為常數(shù)，且a＜0）在自變量x的值滿足﹣4≤x≤1時，其對應(yīng)的函數(shù)值y滿足﹣5≤y≤．
（1）求拋物線的對稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）當(dāng)x＝1時，求y的值．
【分析】（1）先根據(jù)拋物線的對稱軸方程得到物線的對稱軸為直線x＝﹣1，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到x＝﹣1時，y有最大值，所以x＝﹣1時，y＝；x＝﹣4時，y＝﹣5，從而得到拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，）；
（2）利于待定系數(shù)法求得拋物線解析式為y＝﹣x2﹣x，然后計算自變量為1所對應(yīng)的函數(shù)值即可．
解：（1）∵拋物線的對稱軸為直線x＝﹣＝﹣1，
而a＜0，
∴x＝﹣1時，y有最大值，
∵﹣4≤x≤1時，其對應(yīng)的函數(shù)值y滿足﹣5≤y≤．
∴x＝﹣1時，y＝；x＝﹣4時，y＝﹣5，
即拋物線的對稱軸為直線＝﹣1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，）；
（2）把（﹣1，），（﹣4，5）代入y＝ax2+2ax+c得，
解得，
∴拋物線解析式為y＝﹣x2﹣x，
當(dāng)x＝1時，y＝﹣x2﹣x＝﹣﹣＝﹣．
22．如圖，AB為⊙O直徑，CD是弦，以AC，CD為邊構(gòu)造?ACDE，點(diǎn)E在半徑OB上．
（1）已知∠D＝75°．求證：＝4．
（2）延長CO分別交DE，⊙O于點(diǎn)F，G．求證：EB＝FG．

【分析】（1）連接OD，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)推出∠COD＝4∠AOC，根據(jù)同圓中，圓心角、弧的關(guān)系即可得解；
（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)、對頂角性質(zhì)、三角形內(nèi)角和推出∠OEF＝∠OFE，則OE＝OF，結(jié)合圓的性質(zhì)根據(jù)線段的和差即可得解．
【解答】證明：（1）如圖，連接OD，

∵四邊形ACDE是平行四邊形，∠CDE＝75°，
∴∠A＝∠CDE＝75°，AB∥CD，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠A＝75°，
∴∠AOC＝180°﹣75°﹣75°＝30°，
∴∠DCO＝∠AOC＝30°，
∵OC＝OD，
∴∠CDO＝∠DCO＝30°，
∴∠COD＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∴∠COD＝4∠AOC，
∴＝4；
（2）如圖，延長CO分別交DE，⊙O于點(diǎn)F，G，

∵AB∥CD，
∴∠OEF＝∠CDE＝75°，
∵∠EOF＝∠AOC＝30°，
∴∠OFE＝180°﹣30°﹣75°＝75°，
∴∠OEF＝∠OFE，
∴OE＝OF，
∵OB＝OG，
∴OB﹣OE＝OG﹣OF，
即EB＝FG．
23．總公司將一批襯衫由甲、乙兩家分店共同銷售，因地段不同，甲店一天可售出30件，每件盈利30元；乙店一天可售出40件，每件盈利20元．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每件襯衫每降價1元，甲、乙兩家店一天分別可多售出2，4件．設(shè)甲店每件襯衫降價m元時，一天可盈利y1元，乙店每件襯衫降價n元時，一天可盈利y2元．
（1）當(dāng)m＝3時，求y1的值．
（2）求y2關(guān)于n的函數(shù)表達(dá)式．
（3）若總公司規(guī)定：m﹣n＝6（m，n為正整數(shù)），請求出每件襯衫下降多少元時，兩家分店一天的盈利和最大，最大是多少元？
【分析】（1）m＝3時，y1＝（30﹣3）×（30+2×3）＝972（元）；
（2）根據(jù)題意得：y2＝（20﹣n）（40+4n）＝﹣4n2+40n+800；
（3）設(shè)兩家分店一天的盈利為w元，w＝y(tǒng)1+y2＝（30﹣m）（30+2m）+（﹣4n2+40n+800），根據(jù)m﹣n＝6，可得w＝﹣6n2+46n+1808＝﹣6（n﹣）2+，而m，n為正整數(shù)，由二次函數(shù)性質(zhì)得甲店每件襯衫降價10元，乙店每件襯衫降價4元，兩家分店一天的盈利和最大，最大是1896元．
解：（1）m＝3時，y1＝（30﹣3）×（30+2×3）＝972（元），
∴y1的值為972；
（2）根據(jù)題意得：y2＝（20﹣n）（40+4n）＝﹣4n2+40n+800，
∴y2關(guān)于n的函數(shù)表達(dá)式為：y2＝﹣4n2+40n+800；
（3）設(shè)兩家分店一天的盈利為w元，
根據(jù)題意得w＝y(tǒng)1+y2＝（30﹣m）（30+2m）+（﹣4n2+40n+800），
∵m﹣n＝6，
∴m＝n+6，
∴w＝（30﹣n﹣6）（30+2n+12）+（﹣4n2+40n+800）＝﹣6n2+46n+1808＝﹣6（n﹣）2+，
∵﹣6＜0，m，n為正整數(shù)，
∴n＝4時，w取最大值，最大值為﹣6×+＝1896，
此時m＝n+6＝10，
∴甲店每件襯衫降價10元，乙店每件襯衫降價4元，兩家分店一天的盈利和最大，最大是1896元．
24．如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在邊CB延長線上，AG⊥AE，交BC延長線于點(diǎn)G，邊AG，DC交于點(diǎn)F，CF＝BE，以AD為半徑的⊙D交邊BG于點(diǎn)P，Q，交AG于點(diǎn)M，延長DM交邊QG于點(diǎn)N．
（1）求證：CG＝AB．
（2）若AD＝6，∠E＝70°，求扇形ADM的面積．
（3）延長DC交⊙D于點(diǎn)H，且CH＝NG，記AB＝x，四邊形AECF的面積為S，求S關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式．

【分析】（1）根據(jù)AAS證明△ABE≌△GCF，可得結(jié)論；
（2）計算∠ADM＝140°，根據(jù)扇形的面積公式計算即可；
（3）根據(jù)△ABE≌△GCF可知：S＝S△ABG，設(shè)CH＝NG＝y(tǒng)，表示CN，DH，DN的長，根據(jù)勾股定理列方程可得：y1＝（﹣1+）x，最后由三角形面積公式可得結(jié)論．
【解答】（1）證明：∵AG⊥AE，
∴∠EAG＝90°，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴∠ABE＝∠FCG＝90°，
∴∠BAG+∠G＝∠BAG+∠BAE＝90°，
∴∠G＝∠BAE，
∵CF＝BE，
∴△ABE≌△GCF（AAS），
∴CG＝AB；
（2）解：∵∠DAB＝∠EAG＝90°，
∴∠DAF＝∠BAE，
在Rt△ABE中，∵∠E＝70°，
∴∠BAE＝20°，
∴∠DAF＝20°，
∴AD＝DM＝6，
∴∠DAF＝∠DMA＝20°，
∴∠ADM＝140°，
∴扇形ADM的面積＝＝14π；
（3）解：∵△ABE≌△GCF，
∴S△ABE＝S△GCF，AB＝CG＝x，
∴S＝S△ABG，
∵AD＝DM，
∴∠DAM＝∠DMA，
∵AD∥CE，
∴∠G＝∠DAM，
∵∠NMG＝∠AMD，
∴∠G＝∠NMG，
∴MN＝NG，
設(shè)CH＝NG＝y(tǒng)，
∵AB＝CD＝x，

∴CN＝x﹣y，DH＝AD＝BC＝x+y，DN＝DM+MN＝DH+NG＝x+y+y＝x+2y，
∵DC2+CN2＝DN2，
∴x2+（x﹣y）2＝（x+2y）2，
∴y1＝（﹣1+）x，y2＝﹣1﹣（舍），
∴S＝?AB?BG
＝?x?（x+x+x﹣x）
＝（1+）x2
＝x2．

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