廣東省深圳市南山區(qū)桃源中學2022-2023學年九年級數(shù)學上學期第一次月考（21.1

?2022-2023學年人教版廣東省深圳市南山區(qū)桃源中學九年級數(shù)學上冊
第一次月考（21.1—23.3）數(shù)學測試題（附答案）
一、選擇題（每題3分，共36分）
1．下列四個銀行標志中，既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形的是（　?。?br /> A． B． C． D．
2．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)至△A′B′C，使點A′恰好落在AB上，則旋轉(zhuǎn)角度為（　?。?br />
A．30° B．90° C．60° D．150°
3．對于二次函數(shù)y＝x2﹣2mx﹣3，下列結(jié)論錯誤的是（　?。?br /> A．它的圖象與x軸有兩個交點 B．方程x2﹣2mx＝3的兩根之積為﹣3
C．它的圖象的對稱軸在y軸的右側(cè) D．x＜m時，y隨x的增大而減小
4．已知m、n、4分別是等腰三角形（非等邊三角形）三邊的長，且m、n是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣6x+k+2＝0的兩個根，則k的值等于（　?。?br /> A．7 B．7或6 C．6或﹣7 D．6
5．為了美觀，在加工太陽鏡時降下半部分輪廓制作成拋物線的形狀（如圖），對應的兩條拋物線關(guān)于y軸對稱，AE∥x軸，AB＝4cm，最低點C在x軸上，高CH＝1cm，BD＝2cm．則右輪廓線DFE所在拋物線的函數(shù)解析式為（　?。?br />
A．y＝（x+3）2 B．y＝﹣（x﹣3）2
C．y＝﹣（x+3）2 D．y＝（x﹣3）2
6．若（m2+n2）（1﹣m2﹣n2）+6＝0，則m2+n2的值為（　　）
A．3 B．﹣2 C．3或﹣2 D．﹣3或2
7．（非課改）已知α，β是關(guān)于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2＝0的兩個不相等的實數(shù)根，且滿足+＝﹣1，則m的值是（　?。?br /> A．3 B．1 C．3或﹣1 D．﹣3或1
8．在同一平面直角坐標系中，函數(shù)y＝ax2+bx與y＝bx+a的圖象可能是（　?。?br /> A．B．C．D．
9．當x＝1或﹣3時，代數(shù)式ax2+bx+c與mx+n的值相等，則函數(shù)y＝ax2+（b﹣m）x+c﹣n與x軸的交點為（　?。?br /> A．（1，0）和（﹣3，0） B．（﹣1，0）
C．（3，0） D．（﹣1，0）和（3，0）
10．如圖，正方形ABCD的邊長為4cm，動點p，Q同時從點A出發(fā)，以1cm/s的速度分別沿A→B→C和A→D→C的路徑向點C運動，設運動時間為x（單位：s），四邊形PBDQ的面積為y（單位：cm2），則y與x（0≤x≤8）之間函數(shù)關(guān)系可以用圖象表示為（　?。?br />
A． B．
C． D．

11．二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分圖象如圖所示，圖象過點（﹣1，0），對稱軸為直線x＝2，下列結(jié)論：（1）4a+b＝0；（2）9a+c＞3b；（3）8a+7b+2c＞0；（4）若點A（﹣3，y1）、點B（﹣，y2）、點C（，y3）在該函數(shù)圖象上，則y1＜y3＜y2；（5）若方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣3的兩根為x1和x2，且x1＜x2，則x1＜﹣1＜5＜x2．其中正確的結(jié)論有（　?。?br />
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
12．已知二次函數(shù)y＝﹣x2+x+6及一次函數(shù)y＝﹣x+m，將該二次函數(shù)在x軸上方的圖象沿x軸翻折到x軸下方，圖象的其余部分不變，得到一個新函數(shù)，當直線y＝﹣x+m與新圖象有4個交點時，m的取值范圍是（　?。?br /> A．2＜m＜3 B．3＜m＜6 C．﹣2＜m＜3 D．﹣6＜m＜﹣2
二、填空題（每個小題4分，共16分）
13．關(guān)于x的二次函數(shù)y＝x2﹣mx+5，當x≥1時，y隨取x的增大而增大，則實數(shù)m的取值范圍是　　．
14．已知m，n是方程x2+2x﹣1＝0的兩根，則m3+5n﹣3nm+6＝　 ?。?br /> 15．二次函數(shù)y＝x2+2ax+a在﹣1≤x≤2上有最小值﹣4，則a的值為　 ?。?br /> 擴展：已知二次函數(shù)y＝（x﹣h）2+1（h為常數(shù)），在自變量x的值滿足1≤x≤3的情況下，與其對應的函數(shù)值y得最小值為5，則h的值為　 ?。?br /> 16．如圖，將矩形ABCD繞點A旋轉(zhuǎn)至矩形AB′C′D′位置，此時AC′的中點恰好與D點重合，AB′交CD于點E．若AB＝3，則△AEC的面積為　 ?。?br />
三、解答題（共68分）
17．選擇適當?shù)姆椒ń庖辉畏匠蹋?br /> （1）（3x﹣1）2＝2（3x﹣1）；
（2）．
18．已知關(guān)于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣2＝0．
（1）若該方程有兩個實數(shù)根，求m的最小整數(shù)值；
（2）若方程的兩個實數(shù)根為x1，x2，且（x1﹣x2）2+m2＝21，求m的值．
19．如圖，P是正三角形ABC內(nèi)的一點，且PA＝6，PB＝8，PC＝10，將△APB繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度后，可得到△CQB．
（1）求點P與點Q之間的距離；
（2）求∠APB的度數(shù)．

20．超市銷售某種兒童玩具，如果每件利潤為40元（市場管理部門規(guī)定，該玩具每件利潤不能超過60元），每天可售出50件，根據(jù)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，銷售單價每增加2元，每天銷售量會減少1件，設銷售單價增加x元，每天售出y件．
（1）請直接寫出y與x之間的函數(shù)表達式，并注明自變量x的取值范圍．
（2）當x為多少時，超市每天銷售這種玩具可獲利潤2250元？
（3）設超市每天銷售這種玩具可獲利w元，當x為多少時w最大，最大值是多少？
21．一座拱橋的輪廓是拋物線型（如圖（1）所示），拱高6m，跨度20m，相鄰兩支柱間的距離均為5m．

（1）將拋物線放在所給的直角坐標系中（如圖（2）所示），請根據(jù)所給的數(shù)據(jù)求出拋物線的解析式；
（2）求支柱EF的長度；（3）拱橋下地平面是雙向行車道（正中間是一條寬2m的隔離帶），其中的一條行車道能否并排行駛寬2m、高3m的三輛汽車（汽車間的間隔忽略不計）？請說說你的理由．
22．如圖，一次函數(shù)分別交y軸、x軸于A、B兩點，拋物線y＝﹣x2+bx+c過A、B兩點．
（1）求這個拋物線的解析式；
（2）作垂直x軸的直線x＝t，在第一象限交直線AB于M，交這個拋物線于N．求當t取何值時，MN有最大值？最大值是多少？
（3）在（2）的情況下，以A、M、N、D為頂點作平行四邊形，求第四個頂點D的坐標．

23．已知拋物線y＝ax2+bx﹣4經(jīng)過點A（2，0）、B（﹣4，0），與y軸交于點C．
（1）求這條拋物線的解析式；
（2）如圖1，點P是第三象限內(nèi)拋物線上的一個動點，當四邊形ABPC的面積最大時，求點P的坐標；
（3）如圖2，線段AC的垂直平分線交x軸于點E，垂足為D，M為拋物線的頂點，在直線DE上是否存在一點G，使△CMG的周長最??？若存在，求出點G的坐標；若不存在，請說明理由．

參考答案與試題解析
一、選擇題（每題3分，共36分）
1．解：A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項錯誤；
B、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項錯誤；
C、既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故本選項正確；
D、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項錯誤．
故選：C．
2．解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，
∴∠A＝60°，
∵△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)至△A′B′C，使得點A′恰好落在AB上，
∴CA′＝CA，∠ACA′等于旋轉(zhuǎn)角，
∴△ACA′為等邊三角形，
∴∠ACA′＝60°，
即旋轉(zhuǎn)角度為60°．
故選：C．
3．解：A、∵b2﹣4ac＝（2m）2+12＝4m2+12＞0，
∴二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點，故此選項正確，不合題意；
B、方程x2﹣2mx＝3的兩根之積為：＝﹣3，故此選項正確，不合題意；
C、m的值不能確定，故它的圖象的對稱軸位置無法確定，故此選項錯誤，符合題意；
D、∵a＝1＞0，對稱軸x＝m，
∴x＜m時，y隨x的增大而減小，故此選項正確，不合題意；
故選：C．
4．解：∵m、n、4分別是等腰三角形（非等邊三角形）三邊的長，
∴當m＝4或n＝4時，即x＝4，
∴方程為42﹣6×4+k+2＝0，
解得：k＝6，此時有x2﹣6x+8＝0，
解得x＝4或x＝2，∵2+4＝6＞4，能構(gòu)成等腰三角形，
∴k＝6符合題意；
當m＝n時，
即Δ＝（﹣6）2﹣4×（k+2）＝0，
解得：k＝7，此時有x2﹣6x+9＝0，
解得x1＝x2＝3，
∵3+3＝6＞4，能構(gòu)成等腰三角形，
∴k＝7符合題意．
綜上所述，k的值等于6或7，故選：B．
5．解：∵高CH＝1cm，BD＝2cm，
而B、D關(guān)于y軸對稱，
∴D點坐標為（1，1），
∵AB∥x軸，AB＝4cm，最低點C在x軸上，
∴AB關(guān)于直線CH對稱，
∴左邊拋物線的頂點C的坐標為（﹣3，0），
∴右邊拋物線的頂點F的坐標為（3，0），
設右邊拋物線的解析式為y＝a（x﹣3）2，
把D（1，1）代入得1＝a×（1﹣3）2，解得a＝，
故右邊拋物線的解析式為y＝（x﹣3）2．
故選：D．
6．解：∵（m2+n2）（1﹣m2﹣n2）+6＝0，
∴（m2+n2）[1﹣（m2+n2）]+6＝0，
∴（m2+n2）﹣（m2+n2）2+6＝0，
∴[（m2+n2）﹣3][（m2+n2）+2]＝0，
解得m2+n2＝3或m2+n2＝﹣2，
∵m2+n2≥0，
∴m2+n2＝3，
故選：A．
7．解：根據(jù)條件知：
α+β＝﹣（2m+3），αβ＝m2，
∴＝﹣1，
即m2﹣2m﹣3＝0，
所以，得，
解得m＝3．
故選：A．
8．解：A、對于直線y＝bx+a來說，由圖象可以判斷，a＞0，b＞0；而對于拋物線y＝ax2+bx來說，對稱軸x＝﹣＜0，應在y軸的左側(cè)，故不合題意，圖形錯誤．
B、對于直線y＝bx+a來說，由圖象可以判斷，a＜0，b＜0；而對于拋物線y＝ax2+bx來說，圖象應開口向下，故不合題意，圖形錯誤．
C、對于直線y＝bx+a來說，由圖象可以判斷，a＜0，b＞0；而對于拋物線y＝ax2+bx來說，圖象開口向下，對稱軸x＝﹣位于y軸的右側(cè)，故符合題意，
D、對于直線y＝bx+a來說，由圖象可以判斷，a＞0，b＞0；而對于拋物線y＝ax2+bx來說，圖象開口向下，a＜0，故不合題意，圖形錯誤．
故選：C．
9．解：代數(shù)式ax2+bx+c與mx+n的值相等，即ax2+bx+c＝mx+n，則ax2+（b﹣m）x+c﹣n＝0，
則y＝ax2+（b﹣m）x+c﹣n與x軸的交點為（1，0）和（﹣3，0），
故選：A．
10．解：①0≤x≤4時，
∵正方形的邊長為4cm，
∴y＝S△ABD﹣S△APQ，
＝×4×4﹣?x?x，
＝﹣x2+8，
②4≤x≤8時，
y＝S△BCD﹣S△CPQ，
＝×4×4﹣?（8﹣x）?（8﹣x），
＝﹣（8﹣x）2+8，
所以，y與x之間的函數(shù)關(guān)系可以用兩段二次函數(shù)圖象表示，縱觀各選項，只有B選項圖象符合．
故選：B．
11．解：（1）正確．∵﹣＝2，
∴4a+b＝0．故正確．
（2）錯誤．∵x＝﹣3時，y＜0，
∴9a﹣3b+c＜0，
∴9a+c＜3b，故（2）錯誤．
（3）正確．由圖象可知拋物線經(jīng)過（﹣1，0）和（5，0），
∴解得，
∴8a+7b+2c＝8a﹣28a﹣10a＝﹣30a，
∵a＜0，
∴8a+7b+2c＞0，故（3）正確．
（4）錯誤，∵點A（﹣3，y1）、點B（﹣，y2）、點C（，y3），
∵﹣2＝，2﹣（﹣）＝，
∴＜
∴點C離對稱軸的距離近，
∴y3＞y2，
∵a＜0，﹣3＜﹣＜2，
∴y1＜y2
∴y1＜y2＜y3，故（4）錯誤．
（5）正確．∵a＜0，
∴（x+1）（x﹣5）＝﹣3/a＞0，
即（x+1）（x﹣5）＞0，
故x＜﹣1或x＞5，故（5）正確．
∴正確的有三個，
故選：B．

12．解：如圖，當y＝0時，﹣x2+x+6＝0，解得x1＝﹣2，x2＝3，則A（﹣2，0），B（3，0），

將該二次函數(shù)在x軸上方的圖象沿x軸翻折到x軸下方的部分圖象的解析式為y＝（x+2）（x﹣3），
即y＝x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3），
當直線y＝﹣x+m經(jīng)過點A（﹣2，0）時，2+m＝0，解得m＝﹣2；
當直線y＝﹣x+m與拋物線y＝x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3）有唯一公共點時，方程x2﹣x﹣6＝﹣x+m有相等的實數(shù)解，解得m＝﹣6，
所以當直線y＝﹣x+m與新圖象有4個交點時，m的取值范圍為﹣6＜m＜﹣2．
故選：D．
二、填空題（每個小題4分，共16分）
13．解：函數(shù)的對稱軸為：x＝m，
x≥1時，y隨取x的增大而增大，
則m≤1，
解得：m≤2，
故答案為：m≤2．
14．解：∵m是方程x2+2x﹣1＝0的根，
∴m2+2m﹣1＝0，
∴m2＝﹣2m+1，
∴m3+5n﹣3nm+6
＝m（﹣2m+1）+5n﹣3nm+6
＝﹣2m2+m+5n﹣3nm+6
＝﹣2（﹣2m+1）+m+5n﹣3nm+6
＝5m+5n﹣3mn+4
＝5（m+n）﹣3mn+4，
∵m，n是方程x2+2x﹣1＝0的兩根，
∴m+n＝﹣2，mn＝﹣1，
原式＝﹣10+3+4＝﹣3．
故答案為：﹣3．
15．解：分三種情況：
當﹣a＜﹣1，即a＞1時，二次函數(shù)y＝x2+2ax+a在﹣1≤x≤2上為增函數(shù)，
所以當x＝﹣1時，y有最小值為﹣4，把（﹣1，﹣4）代入y＝x2+2ax+a中解得：a＝5；
當﹣a＞2，即a＜﹣2時，二次函數(shù)y＝x2+2ax+a在﹣1≤x≤2上為減函數(shù)，
所以當x＝2時，y有最小值為﹣4，把（2，﹣4）代入y＝x2+2ax+a中解得：a＝﹣＞﹣2，舍去；
當﹣1≤﹣a≤2，即﹣2≤a≤1時，此時拋物線的頂點為最低點，
所以頂點的縱坐標為＝﹣4，解得：a＝或a＝＞1，舍去．
綜上，a的值為5或．
故答案為：5或．
拓展：∵當x＞h時，y隨x的增大而增大，當x＜h時，y隨x的增大而減小，
∴①若h＜1≤x≤3，x＝1時，y取得最小值5，
可得：（1﹣h）2+1＝5，
解得：h＝﹣1或h＝3（舍）；
②若1≤x≤3＜h，當x＝3時，y取得最小值5，
可得：（3﹣h）2+1＝5，
解得：h＝5或h＝1（舍）．
綜上，h的值為﹣1或5．
故答案為：﹣1或5．
16．解：如圖，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：AC＝AC'，
∵D為AC'的中點，
∴AD＝，
∵ABCD是矩形，
∴AD⊥CD，
∴∠ACD＝30°，
∵AB∥CD，
∴∠CAB＝30°，
∴∠C'AB'＝∠CAB＝30°，
∴∠EAC＝30°，
∴AE＝EC，
∴DE＝，
∴CE＝＝，
DE＝，
AD＝，
∴＝．
故答案為．
三、解答題（共68分）
17．解：（1）（3x﹣1）2＝2（3x﹣1），
（3x﹣1）2﹣2（3x﹣1）＝0，
（3x﹣1）（3x﹣1﹣2）＝0，
∴3x﹣1＝0或3x﹣3＝0，
∴x1＝，x2＝1；
（2）
（x﹣1）2＝0，
∴x1＝x2＝．
18．解：（1）根據(jù)題意得Δ＝（2m+1）2﹣4（m2﹣2）≥0，
解得m≥﹣，
所以m的最小整數(shù)值為﹣2；
（2）根據(jù)題意得x1+x2＝﹣（2m+1），x1x2＝m2﹣2，
∵（x1﹣x2）2+m2＝21，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2+m2＝21，
∴（2m+1）2﹣4（m2﹣2）+m2＝21，
整理得m2+4m﹣12＝0，解得m1＝2，m2＝﹣6，
∵m≥﹣，
∴m的值為2．
19．解：（1）連接PQ，

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)有：
BQ＝BP＝8，QC＝PA＝6，∠QBC＝∠ABP，∠BQC＝∠BPA，
∴∠QBC+∠PBC＝∠ABP+∠PBC
即∠QBP＝∠ABC，
∵△ABC是正三角形，
∴∠ABC＝60°，
∴∠QBP＝60°，
∴△BPQ是正三角形，
∴PQ＝BP＝BQ＝8．
（2）在△PQC中，PQ＝8，QC＝6，PC＝10
∴PQ2+QC2＝PC2，
∴∠PQC＝90°，
∴∠APB＝∠BQC＝∠BQP+∠PQC＝60°+90°＝150°．
20．解：（1）根據(jù)題意得，y＝﹣x+50（0＜x≤20）；
（2）根據(jù)題意得，（40+x）（﹣x+50）＝2250，
解得：x1＝50，x2＝10，
∵每件利潤不能超過60元，
∴x＝10，
答：當x為10時，超市每天銷售這種玩具可獲利潤2250元；
（3）根據(jù)題意得，w＝（40+x）（﹣x+50）＝﹣x2+30x+2000＝﹣（x﹣30）2+2450，
∵a＝﹣＜0，
∴當x＜30時，w隨x的增大而增大，
∴當x＝20時，w最大＝2400，
答：當x為20時w最大，最大值是2400元．
21．解：（1）根據(jù)題目條件A，B，C的坐標分別是（﹣10，0），（10，0），（0，6），
設拋物線的解析式為y＝ax2+c，
將B，C的坐標代入y＝ax2+c，
得，
解得．
所以拋物線的表達式y(tǒng)＝﹣x2+6；
（2）可設F（5，yF），于是yF＝﹣×52+6＝4.5，
從而支柱EF的長度是10﹣4.5＝5.5米；

（3）根據(jù)題意，三輛汽車最右邊到原點的距離為：1+3×2＝7，
當x＝7時，y＝﹣×49+6＝3.06＞3，
故可以并排行駛寬2m，高3m的三輛汽車．
22．解：（1）∵分別交y軸、x軸于A、B兩點，
∴A、B點的坐標為：A（0，2），B（4，0），
將x＝0，y＝2代入y＝﹣x2+bx+c得c＝2，
將x＝4，y＝0代入y＝﹣x2+bx+c得0＝﹣16+4b+2，解得b＝，
∴拋物線解析式為：y＝﹣x2+x+2；
（2）如答圖1，設MN交x軸于點E，
則E（t，0），則M（t，2﹣t），
又N點在拋物線上，且xN＝t，∴yN＝﹣t2+t+2，
∴MN＝y(tǒng)N﹣yM＝﹣t2+t+2﹣（2﹣t）＝﹣t2+4t，
∴當t＝2時，MN有最大值4；
（3）由（2）可知，A（0，2），M（2，1），N（2，5）．
以A、M、N、D為頂點作平行四邊形，D點的可能位置有三種情形，如答圖2所示．
（i）當D在y軸上時，設D的坐標為（0，a）
由AD＝MN，得|a﹣2|＝4，解得a1＝6，a2＝﹣2，
從而D為（0，6）或D（0，﹣2），
（ii）當D不在y軸上時，由圖可知D3為D1N與D2M的交點，
易得D1N的方程為y＝x+6，D2M的方程為y＝x﹣2，
由兩方程聯(lián)立解得D為（4，4）
故所求的D點坐標為（0，6），（0，﹣2）或（4，4）．

23．解：（1）∵拋物線y＝ax+bx﹣4經(jīng)過點A（2，0），B（﹣4，0），
∴，
解得，
∴拋物線解析式為y＝x2+x﹣4；
（2）如圖1，連接OP，設點P（x，），其中﹣4＜x＜0，四邊形ABPC的面積為S，由題意得C（0，﹣4），
∴S＝S△AOC+S△OCP+S△OBP
＝+，
＝4﹣2x﹣x2﹣2x+8，
＝﹣x2﹣4x+12，
＝﹣（x+2）2+16．
∵﹣1＜0，開口向下，S有最大值，
∴當x＝﹣2時，四邊形ABPC的面積最大，
此時，y＝﹣4，即P（﹣2，﹣4）．
因此當四邊形ABPC的面積最大時，點P的坐標為（﹣2，﹣4）．
（3），
∴頂點M（﹣1，﹣）．
如圖2，連接AM交直線DE于點G，此時，△CMG的周長最?。?br /> 設直線AM的解析式為y＝kx+b，且過點A（2，0），M（﹣1，﹣），
∴，
∴直線AM的解析式為y＝﹣3．
在Rt△AOC中，＝2．
∵D為AC的中點，
∴，
∴AE＝5，
∴OE＝AE﹣AO＝5﹣2＝3，
∴E（﹣3，0），
由圖可知D（1，﹣2）
設直線DE的函數(shù)解析式為y＝mx+n，
∴，
解得：，
∴直線DE的解析式為y＝﹣﹣．
∴，
解得：，
∴G（）．

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