寧大附中2020-2021學(xué)年第一學(xué)期期中考試高二數(shù)學(xué)（理）試卷一、選擇題1. 不等式的解集為（     ）A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】利用一元二次不等式的解法求解即可.【詳解】由，得，得，所以不等式的解集為；故選：A.2. 在中，若，則角（    ）A. 或 B. 或C. 或 D. 或【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理得到，即可得出結(jié)果.【詳解】由，得，由正弦定理可得：，在中，，則，所以，又，所以或.故選：D.3. 在中，若，則的形狀是（    ）A. 銳角三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 鈍角三角形【答案】B【解析】【分析】用正弦定理化邊為角，再由三角函數(shù)同角關(guān)系變形可得．【詳解】∵，由正弦定理得，顯然，∴，∴，三角形為等腰三角形，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查三角形形狀的判斷，掌握正弦定理的邊角互化是解題關(guān)鍵．4. 在中，，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】由正弦定理知，，利用余弦定理求解即可.【詳解】在中，，由正弦定理可知，，，故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：在中，.5. 設(shè)數(shù)列是單調(diào)遞增的等差數(shù)列，前三項(xiàng)的和為12，前三項(xiàng)的積為48，則它的首項(xiàng)是（ ）A. 1 B. 2 C.  D. 4【答案】B【解析】試題分析：設(shè)的前三項(xiàng)為，則由題意得考點(diǎn)：等差數(shù)列定義6. 設(shè)變量滿足約束條件，則的最小值為（    ）A.  B. 7 C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)線性約束條件作出可行域，由可得：，作 ，沿著可行域的方向平移，利用的幾何意義即可求解.【詳解】作出可行域如圖： 由可得：，作 ，沿著可行域的方向平移過點(diǎn)時(shí)，取得最小值，由得，所以，故選：C【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求直線的最值時(shí)，一般先化為的形式，為直線在軸上的截距，當(dāng)時(shí)將直線上移變大，當(dāng)時(shí)將直線下移變大.7. 若，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】利用不等式的性質(zhì)逐一判斷四個(gè)選項(xiàng)的正誤.【詳解】對于選項(xiàng)A：若，則，故選項(xiàng)A正確；對于選項(xiàng)B：若，則，故，故選項(xiàng)B不正確；對于選項(xiàng)C：若，則，故選項(xiàng)C不正確；對于選項(xiàng)D：舉例如：，，，，，，不滿足，故選項(xiàng)D不正確；故選：A8. 若為實(shí)數(shù)，且，且的最小值為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)基本不等式可知，結(jié)合條件求解出的最小值.【詳解】因?yàn)?/span>，取等號時(shí)，所以的最小值為，故選：B.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號成立的條件，若不能取等號則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.9. 若等差數(shù)列和的前項(xiàng)的和分別是和，且，則（     ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】分析】利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，由此能求出結(jié)果.【詳解】與是兩個(gè)等差數(shù)列，它們的前項(xiàng)和分別為和，又等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，且，； 故選：B．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式是解決本題的關(guān)鍵.10. 若則函數(shù)的最大值為（    ）A. 1 B. 2 C. 4 D. 5【答案】A【解析】【分析】利用基本不等式即可求解.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，故選：A【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：（1）“一正二定三相等”一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號成立的條件，若不能取等號則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.11. 已知關(guān)于的不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為（    ）A  B.  C.  D. .【答案】C【解析】【分析】分離參數(shù)得，小于或等于在的最小值即可.【詳解】由題意知：對恒成立，令，只需 則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，所以的最小值為，所以，實(shí)數(shù)的最大值為，故選：C【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：不等式恒成立問題，一般先考慮分離參數(shù)，若不等式，（為實(shí)參數(shù)），恒成立，轉(zhuǎn)化為或對于恒成立，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為或，求得最值即可.12. 已知數(shù)列中，，前項(xiàng)和為，且點(diǎn)在直線上，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】由點(diǎn)在直線上得到數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，根據(jù)公式特征利用裂項(xiàng)相消可得答案.【詳解】點(diǎn)在直線上，所以，即所以是以為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列，即，，所以，.故選：B.【點(diǎn)睛】裂項(xiàng)相消法：如果數(shù)列的通項(xiàng)可“分裂成兩項(xiàng)差”的形式，且相鄰項(xiàng)分裂后相關(guān)聯(lián)，那么常選用裂項(xiàng)相消法求和，注意通項(xiàng)“分裂成兩項(xiàng)差”的形式之后是不是還有系數(shù).二、填空題（每小題5分，共20分）13. 位于寧夏青銅峽市的108塔建于西夏時(shí)期，塔的排列順序自上而下，第一層1座，第二層3座，第三層3座，第四層5座，第五層5座，從第五層開始塔的數(shù)目構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為5，公差為2的等差數(shù)列，則該塔共有__________層.【答案】【解析】【分析】利用已知條件將第五層有的塔的數(shù)目設(shè)為，設(shè)從第五層開始自上而下，每一層的塔的數(shù)目為，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及前項(xiàng)和公式即可得出結(jié)果.【詳解】已知從第五層開始塔的數(shù)目構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為5，公差為2的等差數(shù)列，將第五層有的塔的數(shù)目設(shè)為，設(shè)從第五層開始自上而下，每一層的塔的數(shù)目為，，則，設(shè)前項(xiàng)和為,，前四層共有塔的數(shù)目為：（座），（座），令，即又，解得，所以該塔共有（層）.故答案為：.14. 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則=_________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)等差中項(xiàng)以及，即可容易求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，又，故可得，解得；由，得.故答案為：.15. 在中，若，且，則__________．【答案】【解析】，即，所以為鈍角，又，，故答案為.【思路點(diǎn)睛】本題主要考查余弦定理及特殊角的三角函數(shù)，屬于簡單題.對余弦定理一定要熟記兩種形式：（1）；（2），同時(shí)還要熟練掌握運(yùn)用兩種形式的條件.另外，在解與三角形、三角函數(shù)有關(guān)的問題時(shí)，還需要記住等特殊角的三角函數(shù)值，以便在解題中直接應(yīng)用.16. 已知實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為______.【答案】【解析】【分析】先把已知條件轉(zhuǎn)化為，代入，配方即可求最值.【詳解】由，得，，則，所以的最大值為.故答案為：.三、解答題：17. 已知集合，若不等式的解集是，求實(shí)數(shù)的值.【答案】【解析】【分析】首先求出集合，之后求得，根據(jù)一元二次不等式的解集的特征，建立關(guān)于的等量關(guān)系式，求得結(jié)果.【詳解】由題意得：，，所以，因?yàn)椴坏仁?/span>的解集是，所以是方程的兩根，所以，解得，【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：該題考查有關(guān)一元二次不等式的問題，思路如下：（1）利用一元二次不等式的解法求得集合，進(jìn)而求得，得到的解集；（2）根據(jù)一元二次不等式與一元二次方程的關(guān)系，建立關(guān)于的等量關(guān)系式，求得結(jié)果. 18. 當(dāng)都為正數(shù)且時(shí)，試比較代數(shù)式與的大小.【答案】【解析】【分析】用作差的方法，因式分解，利用，化簡可得，進(jìn)而得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?/span>，所以因此因?yàn)?/span>為正數(shù)，所以因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立【點(diǎn)睛】本題考查了用作差方法比較大小，考查了運(yùn)算求解能力，屬于中檔題目.19. 已知等比數(shù)列中，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)等差數(shù)列中，，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由已知得到等比數(shù)列的公比，再代入等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得答案；（2）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由求出，利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求出【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由得，解得.（2）由（1）知，得，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則解得，.【點(diǎn)睛】解決本題的關(guān)鍵點(diǎn)是熟練掌握等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，考查計(jì)算能力.20. 在中，內(nèi)角對邊的邊長分別是，已知，．（Ⅰ）若的面積等于，求；（Ⅱ）若，求的面積．【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）．【解析】【詳解】試題分析：（1）由余弦定理及已知條件得，， 又因?yàn)?/span>△ABC的面積等于，所以，得. 聯(lián)立方程組解得.（Ⅱ），由正弦定理得，聯(lián)立方程組解得，所以的面積點(diǎn)評：本題考查正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，三角形內(nèi)角和定理，考查了函數(shù)方程思想，在兩道小題中，均通過建立方程組，以便求的等． 21. 已知關(guān)于的不等式.（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若實(shí)數(shù)滿足且，求不等式的解集.【答案】（1）；（2）①當(dāng)時(shí)，解集為；②當(dāng)或時(shí)，解集為.【解析】【分析】（1）當(dāng)時(shí)，不等式是一個(gè)不含參的二次不等式，分解因式，即可得解；（2）對參數(shù)進(jìn)行分類討論，從而確定不等式的解集.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，原不等式為，故其解集為；（2）令，則方程兩根為，因?yàn)?/span>所以①當(dāng)即時(shí)，解集為；②當(dāng)即或時(shí)，解集為.綜上可得：①當(dāng)時(shí)，解集為；②當(dāng)或時(shí)，解集為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解含參數(shù)一元二次不等式的步驟：若二次項(xiàng)系數(shù)含有參數(shù)，則應(yīng)討論參數(shù)是等于，小于，還是大于，然后將不等式轉(zhuǎn)化為二次項(xiàng)系數(shù)為正的形式；判斷方程根的個(gè)數(shù)，討論判別式與的關(guān)系；確定無根式可直接寫出解集，確定方程有兩根時(shí)，要討論兩根的大小關(guān)系，從而確定不等式的解集.22. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和，滿足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足，為數(shù)列的前項(xiàng)和，求.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)，得到，證明數(shù)列是等比數(shù)列，由等比數(shù)列通項(xiàng)公式，即可求出結(jié)果；（2）由（1）求得，設(shè)，利用錯(cuò)位相減法求和即可得出結(jié)果.【詳解】（1）由得：，即， 當(dāng)，由得：，兩式相減得: ，即，，所以即數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，  則， 所以數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）知：， 設(shè)，則 ，①，② ①-②得：，所以.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和是重點(diǎn)也是難點(diǎn)，相減時(shí)注意最后一項(xiàng)的符號，最后結(jié)果一定不能忘記等式兩邊同時(shí)除以. 

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