寧夏長(zhǎng)慶高級(jí)中學(xué)2020-2021學(xué)年第一學(xué)期高二年級(jí)數(shù)學(xué)（理科）期中試卷第Ⅰ卷一、選擇題1. 命題“若，則”的逆否命題是A. “若，則” B. “若，則”C. “若x，則” D. “若，則”【答案】C【解析】因?yàn)槊}“若，則”的逆否命題是若，則”選C2. “(2x－1)x＝0”是“x＝0”的(　)A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件【答案】B【解析】，所以答案選擇B【考點(diǎn)定位】考查充分條件和必要條件，屬于簡(jiǎn)單題. 3. 命題“”的否定是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題即可得出.【詳解】根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題，則命題“”的否定是“”.故選：C.4. 方程表示的曲線是()A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】因?yàn)?/span>,所以圖像在二,四象限, 結(jié)合表示圓心在原點(diǎn),半徑為1的圓，即可得解.【詳解】因?yàn)?/span>表示圓心在原點(diǎn),半徑為1的圓,又,說(shuō)明圖像在二,四象限,故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了曲線與方程,屬基礎(chǔ)題.5. 已知直線，橢圓，則直線與橢圓的位置關(guān)系是（    ）A. 相交 B. 相切 C. 相離 D. 相切或相交【答案】C【解析】【分析】將直線方程和橢圓方程聯(lián)立，解方程組，由解的個(gè)數(shù)即可判斷直線與橢圓的位置關(guān)系【詳解】解：由，得，化簡(jiǎn)得，因?yàn)?/span>，所以方程無(wú)解，所以直線與橢圓的位置關(guān)系是相離，故選：C6. 若直線的方向向量為，平面的法向量為，則（    ）A.  B. C.  D. 與斜交【答案】B【解析】分析】由的方向向量 ，平面的法向量 可得，從而得解.【詳解】∵ ，，∴ ，即.∴.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查利用直線的方向向量與平面的法向量關(guān)系判斷線面位置關(guān)系.屬于基礎(chǔ)題.7. 焦點(diǎn)在x軸上，右焦點(diǎn)到短軸端點(diǎn)的距離為2，到左頂點(diǎn)的距離為3的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(　)A. ＋＝1 B. ＋y2＝1C. ＋＝1 D. x2＋＝1【答案】A【解析】【分析】設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，由題意可得，解得a，c，利用b2＝a2﹣c2得到b2,從而得到標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】設(shè)橢圓的方程為（a>b>0），由右焦點(diǎn)到短軸端點(diǎn)的距離為2知a=2, 右焦點(diǎn)到左頂點(diǎn)的距離為3知a+c=3,解得a＝2，c＝1，∴b2＝a2﹣c2＝3，因此橢圓的方程為＋＝1．故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬基礎(chǔ)題．8. 拋物線的焦點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離是（   ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】拋物線的焦點(diǎn)為 ，雙曲線的一條漸近線為 ，所以所求距離為，選D.9. 已知拋物線：的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，點(diǎn)在上且，則的面積為（ ）A. 4 B. 8 C. 16 D. 32【答案】B【解析】【詳解】F（2，0）,K（-2，0），過(guò)A作AM⊥準(zhǔn)線，則|AM|=|AF|，∴|AK|=|AM|，三角形APM為等腰直角三角形，設(shè)A（m2，2m）（m＞0）,由得，解得則△AFK的面積=4×2m?=4m=8, 故選B. 10. 如圖，是橢圓與雙曲線的公共焦點(diǎn)，分別是在第二、四象限的公共點(diǎn)，若四邊形為矩形，則的離心率是（   ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【詳解】試題分析：由橢圓與雙曲線的定義可知，|AF2|＋|AF1|＝4，|AF2|－|AF1|＝2a(其中2a為雙曲線的長(zhǎng)軸長(zhǎng))，∴|AF2|＝a＋2，|AF1|＝2－a，又四邊形AF1BF2是矩形，∴|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2＝(2)2，∴a＝，∴e＝＝.考點(diǎn)：橢圓的幾何性質(zhì)．11. 在平行六面體中，為與的交點(diǎn)，若，，，則下列向量中與相等的向量是（ ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】利用空間向量的加法運(yùn)算法則求解.【詳解】如圖，由空間向量的線性運(yùn)算可得：，，故選：A12. 已知A，B為雙曲線E的左，右頂點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，?ABM為等腰三角形，且頂角為120°，則E的離心率為（ ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】設(shè)雙曲線方程為，如圖所示，，，過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為，在中，，，故點(diǎn)的坐標(biāo)為，代入雙曲線方程得，即，所以，故選D．考點(diǎn)：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)． 第Ⅱ卷二、填空題13. 過(guò)橢圓的焦點(diǎn)的弦中最短弦長(zhǎng)是______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，以及橢圓方程，可直接得出結(jié)果.【詳解】由橢圓的幾何性質(zhì)可知，過(guò)橢圓焦點(diǎn)且與長(zhǎng)軸垂直的弦長(zhǎng)最短，弦長(zhǎng)為．故答案為：.14. 直線被拋物線截得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)是________.【答案】【解析】【分析】本道題可以設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo)，然后將直線方程代入拋物線方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系，即可得出交點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】設(shè)交點(diǎn)分別為，所以中點(diǎn)坐標(biāo)為        將直線方程代入拋物線方程中，得到，解得代入中點(diǎn)坐標(biāo)，故中點(diǎn)坐標(biāo)為【點(diǎn)睛】本道題考查了直線與拋物線綜合問題，設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo)，將直線方程代入拋物線方程，即可計(jì)算出結(jié)果，較容易．15. 如圖，在三棱柱中，所有棱長(zhǎng)均為1，且底面，則點(diǎn)到平面的距離為______． 【答案】【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出點(diǎn)到面的距離；【詳解】解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系： 則，，，，則，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則有令 ，解得，則所求距離為．故答案為：16. 已知點(diǎn)是平行四邊形所在平面外一點(diǎn)，如果，對(duì)于結(jié)論：①；②；③是平面的法向量；④.其中正確的說(shuō)法的序號(hào)是__________．【答案】①②③【解析】 由, 在①中，，所以，所以，所以是正確的；在②中，，所以，所以，所以是正確的；在③中，由于，，且，可知是平面的法向量，所以是正確的；在④中，,假設(shè)存在實(shí)數(shù)使得，則，此時(shí)無(wú)解，所以是不正確的， 所以正確命題的序號(hào)為①②③.點(diǎn)睛：本題主要考查了命題的真假判定問題，其中解答中涉及到空間向量的數(shù)量積的運(yùn)算，空間向量的坐標(biāo)表示，平面法向量的概念，同時(shí)考查了向量垂直、向量平行等基礎(chǔ)知識(shí)，著重考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題，解答中熟記向量的坐標(biāo)運(yùn)算的基本公式是解答的關(guān)鍵.三、解答題17. 斜率為的直線l經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)．求該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和準(zhǔn)線方程；求線段AB的長(zhǎng)．【答案】（1）拋物線的方程為，其準(zhǔn)線方程為；（2）【解析】【分析】根據(jù)焦點(diǎn)可求出p的值，從而求出拋物線的方程，即可得到準(zhǔn)線方程；設(shè)，將直線l的方程與拋物線方程聯(lián)立消去y，整理得，，得到根與系數(shù)的關(guān)系，由拋物線的定義可知，代入即可求出所求．【詳解】由焦點(diǎn)，得，解得所以拋物線方程為，其準(zhǔn)線方程為，設(shè)，直線l的方程為與拋物線方程聯(lián)立，得，消去y，整理得，由拋物線的定義可知，．所以，線段AB的長(zhǎng)為【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及過(guò)焦點(diǎn)的直線與拋物線相交的弦長(zhǎng)等問題，屬于中檔題．18. 已知命題p：(x＋1)(x－5)≤0，命題q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．（1）若p是q充分條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）若m＝5，p∨q為真命題，p∧q為假命題，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．【答案】（1）[4，＋∞)；（2）.【解析】【分析】（1）設(shè)使命題p成立的集合為A，命題q成立的集合為B，由題意可得A?B，根據(jù)集合的包含關(guān)系，列出方程，即可求得結(jié)果；（2）由題意可得：p，q命題，一真一假，分別求得當(dāng)p真q假時(shí)、 p假q真時(shí)x的范圍，即可得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)使命題p成立的集合為A，命題q成立的集合為B，則A＝{x|－1≤x≤5}，B＝{x|1－m≤x≤1＋m}，由題意得：A?B，所以，解得m≥4，故m的取值范圍為[4，＋∞)．（2）根據(jù)條件可得：p，q命題，一真一假，當(dāng)p真q假時(shí)，，無(wú)解；當(dāng)p假q真時(shí)，，解得－4≤x<－1或5<x≤6.故實(shí)數(shù)x的取值范圍為．【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)充分條件求參數(shù)范圍、利用復(fù)合命題真假求參數(shù)范圍，考查分析理解，計(jì)算求值的能力，屬中檔題.19. 如圖，正方體中，、分別為、中點(diǎn)．選用合適的方法證明以下問題：
 （1）證明：平面平面；（2）證明：面．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】【分析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量證明即可（1）求出兩個(gè)平面的法向量，若兩法向量共線，則可得證；（2）求出向量，若此向量與平面的法向量共線，則可得證【詳解】（1）建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則，，，，，，設(shè)平面的法向量為，∵，，∴，∴取，同理平面的法向量為，∴，∴平面平面；（2）∵、分別為、的中點(diǎn)，∴，∴，∴面．20. 如圖，設(shè)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是在軸上的投影，為上一點(diǎn)，且.（1）當(dāng)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)的軌跡的方程；（2）求過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線被所截線段的長(zhǎng)度.【答案】（1）.（2）.【解析】試題分析：（1）由題意可知：M的坐標(biāo)為（x，y），P的坐標(biāo)為（x'，y'），則，得，代入，整理得：.（2）設(shè)直線方程為：，代入橢圓方程，由韋達(dá)定理可知：x1+x2=3，x1?x2=-8，弦長(zhǎng)公式：丨AB丨=即可求得直線被C所截線段的長(zhǎng)度．試題解析：（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，由已知得.∵在圓上，，即，整理得，即的方程為.（2）過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線方程為，設(shè)直線與的交點(diǎn)為，，將直線方程代入的方程，得，即.∴x1+x2=3，x1?x2=-8∴線段的長(zhǎng)度為.∴直線被所截線段的長(zhǎng)度為. 21. 如圖，已知在四棱錐中，底面是矩形，且，，平面，，分別是線段，的中點(diǎn)，（1）證明：；（2）判斷并說(shuō)明上是否存在點(diǎn)，使得平面．【答案】（1）證明見解析；（2）存，說(shuō)明見解析.【解析】【分析】（1）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，分別求出直線與的平行向量，然后根據(jù)兩個(gè)向量的數(shù)量積為0，得到；（2）求出平面的法向量（含參數(shù)，及的方向向量，進(jìn)而根據(jù)線面平行，則兩個(gè)向量垂直數(shù)量積為0，構(gòu)造方程求出值，得到點(diǎn)位置；【詳解】∵平面，，，，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，．（1）不妨令，∴，，∴，∴，即；（2）設(shè)平面的法向量為，由，得，令，解得，∴，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，又，則，要使平面，只需，即，即，解得，從而滿足的點(diǎn)即為所求．【點(diǎn)睛】空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；（2）寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出相應(yīng)直線的方向向量；（3）設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）根據(jù)定理結(jié)論證明空集位置關(guān)系或求出相應(yīng)的角和距離.22. 已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，短軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為.（Ⅰ）若為等邊三角形，求橢圓的方程；（Ⅱ）若橢圓的短軸長(zhǎng)為，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，且，求直線的方程.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或．【解析】【詳解】試題分析：（1）由為等邊三角形可得a=2b，又c=1，集合可求，則橢圓C的方程可求；（2）由給出的橢圓C的短軸長(zhǎng)為2，結(jié)合c=1求出橢圓方程，分過(guò)點(diǎn)F2的直線l的斜率存在和不存在討論，當(dāng)斜率存在時(shí)，把直線方程和橢圓方程聯(lián)立，由根與系數(shù)關(guān)系寫出兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的和，把轉(zhuǎn)化為數(shù)量積等于0，代入坐標(biāo)后可求直線的斜率，則直線l的方程可求試題解析：（1）為等邊三角形，則橢圓的方程為：； （2）容易求得橢圓的方程為， 當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，其方程為，不符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，由得，設(shè)，則， ∵，∴，即解得，即，故直線的方程為或.考點(diǎn)：1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)；2.直線與橢圓的位置關(guān)系．  

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