第三課時(shí)——公式法、根與系數(shù)的關(guān)系知識(shí)點(diǎn)一：根的判別式：根的判別式：一般地，在一元二次方程中，我們把           叫做一元二次方程的跟的判別式。用符號(hào)“”表示，即           。一元二次方程根的情況與的具體關(guān)系如下：①                  方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。②                  方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根。③                  方程沒有實(shí)數(shù)根。【類型一：判斷根的情況】1．下列一元二次方程中，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根的是（　?。?/span>A．x2﹣x+＝0 B．x2+2x+4＝0 C．x2﹣x+2＝0 D．x2﹣3x＝02．一元二次方程2x2﹣7x﹣1＝0的根的情況是（　?。?/span>A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 C．沒有實(shí)數(shù)根 D．不能確定3．定義運(yùn)算：m⊕n＝mn2﹣m n+1．例如：1⊕2＝1×22﹣1×2+1＝3．則方程1⊕x＝0的根的情況為（　?。?/span>A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 C．無實(shí)數(shù)根 D．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根4．關(guān)于x的方程x2﹣2mx﹣m﹣1＝0的根的情況（　?。?/span>A．沒有實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 C．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 D．不能確定【類型一：根據(jù)根的情況求字母的取值范圍】5．關(guān)于x的一元二次方程ax2﹣2x﹣1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是（　?。?/span>A．a＞﹣1且a≠0 B．a＜1且a≠0 C．a＜1 D．a＞﹣1 6．若關(guān)于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2x+1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（　?。?/span>A．k＞3 B．k＜3 C．k＞﹣3且k≠2 D．k＜3且k≠27．若關(guān)于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣2＝0沒有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　?。?/span>A．m＜ B．m＞ C．m＞且m≠1 D．m≠18．關(guān)于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx+k﹣6＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（　?。?/span>A．k≥0 B．k≥0且k≠2 C．k≥ D．k≥且k≠2知識(shí)點(diǎn)一：求根公式：求根公式：當(dāng)時(shí)，一元二次方程方程的實(shí)數(shù)很可寫為                       ，這個(gè)式子叫做一元二次方程的求根公式。①當(dāng)時(shí)，一元二次方程的兩個(gè)跟可以分別寫為：                   ，                 。②當(dāng)時(shí)，一元二次方程的兩個(gè)跟可以寫為：                。利用公式法解一元二次方程的過程：   步驟一：將一元二次方程化成            。并確定出         的值。   步驟二：計(jì)算               的值確定根的情況。步驟三：若方程有根，利用求根公式求解。【類型一：系數(shù)判斷】9．用公式法解一元二次方程3x2﹣4x＝8時(shí)，化方程為一般式，當(dāng)中的a，b，c依次為（　?。?/span>A．3，﹣4，8 B．3，﹣4，﹣8 C．3，4，﹣8 D．3，4，810．用公式法解方程x2+x＝2時(shí)，求根公式中的a，b，c的值分別是（　　）A．a＝1，b＝1，c＝2 B．a＝1，b＝﹣1，c＝﹣2 C．a＝1，b＝1，c＝﹣2 D．a＝1，b＝﹣1，c＝2 【類型二：求根公式的熟悉】11．以x＝為根的一元二次方程可能是（　?。?/span>A．x2+bx+c＝0 B．x2+bx﹣c＝0 C．x2﹣bx+c＝0 D．x2﹣bx﹣c＝012．用公式法解方程3x2+5x+1＝0，正確的是（　?。?/span>A． B． C． D．13．用公式法解一元二次方程，得：x＝，則該一元二次方程是　               ．【類型三：利用公式法解方程】14．用公式法解下列方程：（1）x2﹣5x＝6；                       （2）3x2﹣11x﹣4＝0；    （3）3x2+10x+3＝0；                   （4）6t2﹣13t+5＝0．     知識(shí)點(diǎn)一：根與系數(shù)的關(guān)系：從公式法可知，一元二次方程若有解，則求根公式分別為：                      和                  。分別把兩個(gè)式子相加和相乘即可得出根與系數(shù)的關(guān)系。根與系數(shù)的關(guān)系：若一元二次方程的兩根分別是，則    ，         。      特別提醒：一元二次方程的兩根分別是，則滿足：      ，變形公式：①                    ；（利用完全平方式轉(zhuǎn)換）      ②                 ；（提公因式）            ③                    ；（分式通分運(yùn)算）      ④                    ；（分式通分運(yùn)算與完全平方公式）            ⑤                ；（整式乘法運(yùn)算）     ⑥                   。（利用完全平方式轉(zhuǎn)換）【類型一：求根與系數(shù)的基本式子】15．方程x2﹣4x+3＝0的兩根為x1、x2，則x1+x2等于（　?。?/span>A．4 B．﹣4 C．3 D．﹣316．設(shè)x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的兩根，則x1x2＝（　?。?/span>A．﹣2 B．2 C．3 D．﹣317．一元二次方程x2﹣3x+2＝0的兩根為x1，x2，則x1+x2﹣x1x2＝　    　．18．已知a2+3a＝7，b2+3b＝7，且a≠b，則a+b＝　     　．【類型二：求根與系數(shù)的推廣式子】19．已知x1，x2是方程x2﹣3x﹣2＝0的兩根，則x12+x22的值為（　?。?/span>A．5 B．10 C．11 D．1320．若x1和x2為一元二次方程x2+2x﹣1＝0的兩個(gè)根．則x12x2+x1x22值為（　　）A．4 B．2 C．4 D．321．已知x1，x2是一元二次方程2x2﹣3x﹣4＝0的兩根，則＝　          　．22．已知實(shí)數(shù)滿足a2﹣6a+4＝0，b2﹣6b+4＝0，且a≠b，則的值是         　．23．設(shè)x1、x2是一元二次方程2x2﹣7x+5＝0的兩根，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，求下列各式的值．（1）x12x2+x1x22；                  （2）（x1﹣x2）2．     【類型三：利用兩個(gè)根滿足的方程轉(zhuǎn)化求式子】24．設(shè)a，b分別是方程x2+x﹣2022＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則a2+2a+b的值是　      　．25．設(shè)α，β是一元二次方程x2+3x﹣7＝0的兩個(gè)根，則α2+5α+2β＝　     　．26．已知a，b是方程x2+x﹣3＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則a2﹣b+2019的值是（　?。?/span>A．2023 B．2021 C．2020 D．201927．設(shè)x1，x2是一元二次方程x2+x﹣3＝0的兩根，則x13﹣4x22+20等于（　?。?/span>A．1 B．5 C．11 D．1328．設(shè)m，n是方程x2﹣x﹣2019＝0的兩實(shí)數(shù)根，則m3+2020n﹣2019＝　     　．【類型二：利用根與系數(shù)的關(guān)系求字母的值】29．已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且滿足，則m的值是 　    　．30．若關(guān)于x的一元二次方程x2+m x+m2﹣3m+3＝0的兩根互為倒數(shù)，則m的值等于（　?。?/span>A．1 B．2 C．1或2 D．031．已知關(guān)于x的方程x2+（2k+1）x+k2＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和是7，則k＝        ．32．關(guān)于x的方程x2+（k2﹣4）x+k+1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根互為相反數(shù)，則k的值是（　?。?/span>A．k＝±2 B．k＝2 C．k≥﹣1 D．k＝﹣233．關(guān)于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1、x2．（1）求k的取值范圍；              （2）若x1+x2＝1﹣x1x2，求k的值．    一．選擇題（共10小題）1．下列一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根的是（　?。?/span>A．x2+x+3＝0 B．x2+2x+1＝0 C．x2﹣2＝0 D．x2﹣2x﹣3＝02．關(guān)于x的一元二次方程x2+m x﹣1＝0的根的情況為（　?。?/span>A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 C．沒有實(shí)數(shù)根 D．不能確定3．已知關(guān)于x的一元二次方程ax2﹣4x﹣2＝0有實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是（　　）A．a≥﹣2 B．a＞﹣2 C．a≥﹣2且a≠0 D．a＞﹣2且a≠04．一元二次方程3x﹣1﹣2x2＝0在用求根公式x＝求解時(shí)，a，b，c的值是（　?。?/span>A．3，﹣1，﹣2 B．﹣2，﹣1，3 C．﹣2，3，1 D．﹣2，3，﹣15．一元二次方程x2+x﹣1＝0的根是（　?。?/span>A．x＝1﹣ B．x＝ C．x＝﹣1+ D．x＝6．用公式法解方程（x+2）2＝6（x+2）﹣4時(shí)，b2﹣4ac的值為（　?。?/span>A．52 B．32 C．20 D．﹣127．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x＝2的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（　　）A．x1≠x2 B．x12﹣2x1＝2 C．x1+x2＝2 D．x1?x2＝28．關(guān)于x的方程（a﹣1）x2+2ax+a﹣1＝0，下列說法正確的是（　?。?/span>A．一定是一個(gè)一元二次方程 B．a＝﹣1時(shí)，方程的兩根x1和x2滿足x1+x2＝﹣1 C．a＝3時(shí)，方程的兩根x1和x2滿足x1?x2＝1 D．a＝1時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根9．若x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程x2+bx﹣4＝0的兩個(gè)根，x1x2﹣x1﹣x2＝﹣7且，則b的值為（　?。?/span>A．﹣3 B．3 C．﹣5 D．510．已知一個(gè)三角形的兩條直角邊的長恰好是方程2x2+k x+7＝0的兩個(gè)根，且這個(gè)直角三角形的斜邊長是3，則k的值是（　?。?/span>A．8 B．﹣8 C．8或﹣8 D．4或﹣4二．填空題（共6小題）11．根據(jù)a＝1，b＝10，c＝﹣15．可求得代數(shù)式的值為 　      　．12．若關(guān)于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有實(shí)根，則m的取值范圍是　         　．13．關(guān)于x的一元二次方程x2﹣10x+m＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別是x1，x2，且以x1，x2，6為三邊的三角形恰好是等腰三角形，則m的值為 　      　．14．已知代數(shù)式7x（x+5）+10與代數(shù)式9x﹣9的值互為相反數(shù)，則x＝　        　．15．已知x1，x2是方程x2+6x+3＝0的兩實(shí)數(shù)根，則的值為　    　．16．已知x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣5x+a＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且x12﹣x22＝10，則a＝　    　．三．解答題（共4小題）17．用公式法解一元二次方程（1）x2﹣x﹣4＝0；                 （2）（2x+3）（x﹣6）＝16．     18．已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣m x+2m﹣4＝0．（1）求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）若方程有一個(gè)實(shí)數(shù)根為負(fù)數(shù)，求正整數(shù)m的值．        19．已知關(guān)于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣2＝0．（1）若該方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍；（2）若該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1，x2，且（x1﹣x2）2+m2＝21，求m的值．          20．已知關(guān)于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．（1）求證：k取任何實(shí)數(shù)值，方程總有實(shí)數(shù)根；（2）若Rt△ABC斜邊長a＝3，另兩邊長b，c恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)根，求△ABC的周長．
 

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