?第二課時(shí)——直接開方法與配方法（答案卷）

知識(shí)點(diǎn)一：直接開方法：
直接開平方法：根據(jù) 平方根 的意義將一元二次方程“降次”為 一元一次方程 進(jìn)行求解。
①解形如的方程
當(dāng)時(shí)，方程有 兩個(gè)相等 的實(shí)數(shù)根，即 。
當(dāng)時(shí)，方程有 兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即 。
當(dāng)時(shí)，方程 沒有 實(shí)數(shù)根。
特別提醒：①形如的一元二次方程若有解，則兩個(gè)解互為相反數(shù)。

【類型一：直接開方法解的方程】
1．方程x2＝4的根為（　?。?br /> A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x＝0 D．x＝±2
【分析】利用直接開平方法求解即可．
【解答】解：∵x2＝4，
∴x＝±2，
故選：D．
2．方程x2﹣16＝0的解為 　 ?。?br /> 【分析】移項(xiàng)，再直接開平方求解．
【解答】解：方程x2﹣16＝0，
移項(xiàng)，得x2＝16，
開平方，得x＝±4，
故答案為：x1＝4，x2＝﹣4．
3．一元二次方程9x2﹣1＝0的根是（　?。?br /> A．x1＝x2＝3 B．x1＝3，x2＝﹣3
C．x1＝，x2＝﹣ D．x1＝x2＝
【分析】利用直接開平方法求解可得．
【解答】解：∵9x2﹣1＝0，
∴9x2＝1，
則x2＝，
解得x1＝，x2＝﹣，
故選：C．
4．解方程：
（1）x2＝9； （2）4x2﹣25＝0．
【分析】利用直接開平方法求解即可．
【解答】解：（1）∵x2＝9，
∴x1＝3，x2＝﹣3；
（2）∵4x2﹣25＝0，
∴4x2＝25，
則x2＝，
∴x1＝，x2＝﹣．
【類型二：兩根關(guān)系求值】
5．如果2是方程x2﹣m＝0的一個(gè)根，則m的值為（　　）
A．2 B． C．3 D．4
【分析】根據(jù)方程的解的定義即可求出m的值．
【解答】解：將x＝2代入x2﹣m＝0，
∴4﹣m＝0，
∴m＝4，
故選：D．
6．若x1，x2是方程x2＝16的兩根，則x1+x2的值是（　　）
A．16 B．8 C．4 D．0
【分析】先利用直接開平方法求解得出x1，x2的值，再計(jì)算加法即可．
【解答】解：∵x2＝16，
∴x1＝4，x2＝﹣4，
則x1+x2＝0，
故選：D．
7．如果一元二次方程x2﹣9＝0的兩根分別是a，b，且a＞b，那么a的值是 　 　．
【分析】根據(jù)平方根的定義解方程x2﹣9＝0即可求得a．
【解答】解：解方程x2﹣9＝0，
移項(xiàng)得，x2＝9，
解得，x1＝3，x2＝﹣3，
因?yàn)閍＞b，
所以a＝3，
故答案為：3．
8．若關(guān)于x的一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的兩根分別是m+1與2m﹣4，則式子的值是　 ．
【分析】利用方程特點(diǎn)得到關(guān)于x的一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的兩根互為相反數(shù)，所以m+1+2m﹣4＝0，解方程得到方程ax2＝b（ab＞0）的兩根分別為2或﹣2，所以x2＝＝4，然后利用整體的方法計(jì)算代數(shù)式的值．
【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的兩根互為相反數(shù)，
∴m+1+2m﹣4＝0，解得m＝1，
∴關(guān)于x的一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的兩根分別為2或﹣2，
∴x2＝＝4，
∴原式＝2﹣3×＝2﹣3×4＝﹣10．
故答案為﹣10．

②解形如的方程
當(dāng)時(shí)，一元二次方程降次為 和 。方程的兩個(gè)根為： 。
當(dāng)時(shí)，一元二次方程降次為 。方程的兩個(gè)根為 。
當(dāng)時(shí)，一元二次方程 無解 。

【類型一：直接開方法解的方程】
9．若一元二次方程（x+6）2＝64可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程，其中一個(gè)一元一次方程是x+6＝8，則另一個(gè)一元一次方程是（　?。?br /> A．x﹣6＝﹣8 B．x﹣6＝8 C．x+6＝8 D．x+6＝﹣8
【分析】利用直接開平方法求解即可．
【解答】解：∵（x+6）2＝64，
∴x+6＝8或x+6＝﹣8，
故選：D．
10．方程（x+1）2＝9的解為（　　）
A．x＝2，x＝﹣4 B．x＝﹣2，x＝4 C．x＝4，x＝2 D．x＝﹣2，x＝﹣4
【分析】方程利用平方根定義開方即可求出解．
【解答】解：方程（x+1）2＝9，
開方得：x+1＝3或x+1＝﹣3，
解得：x1＝2，x2＝﹣4．
故選：A．
11．一元二次方程（x﹣22）2＝0的根為（　?。?br /> A．x1＝x2＝22 B．x1＝x2＝﹣22
C．x1＝0，x2＝22 D．x1＝﹣22，x2＝22
【分析】根據(jù)方程得出兩個(gè)一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：∵（x﹣22）2＝0，
∴x﹣22＝0或x﹣22＝0，
解得：x1＝x2＝22，
故選：A．
12．用直接開平方的方法解方程（3x+1）2＝（2x﹣5）2，做法正確的是（　?。?br /> A．3x+1＝2x﹣5 B．3x+1＝﹣（2x﹣5）
C．3x+1＝±（2x﹣5） D．3x+1＝±2x﹣5
【分析】一元二次方程（3x+1）2＝（2x﹣5）2，表示兩個(gè)式子的平方相等，因而這兩個(gè)數(shù)相等或互為相反數(shù)，據(jù)此即可把方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程，即可求解．
【解答】解：（3x+1）2＝（2x﹣5）2
開方得3x+1＝±（2x﹣5），
故選：C．
13． 解方程：
（1）（2x+3）2﹣25＝0 （2）（3x﹣1）2＝（x+1）2．
【分析】（1）先移項(xiàng)，寫成（x+a）2＝b的形式，然后利用數(shù)的開方解答．
（2）方程兩邊直接開方，再按解一元一次方程的方法求解．
【解答】解：（1）移項(xiàng)得，（2x+3）2＝25，
開方得，2x+3＝±5，
解得x1＝1，x2＝﹣4．
（2）方程兩邊直接開方得：
3x﹣1＝x+1，或3x﹣1＝﹣（x+1），
∴2x＝2，或4x＝0，
解得：x1＝1，x2＝0．
【類型一：根據(jù)根的情況求取值范圍】
14．若關(guān)于x的方程x2﹣m＝0有實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是（　?。?br /> A．m＜0 B．m≤0 C．m＞0 D．m≥0
【分析】根據(jù)直接開平方法求解可得．
【解答】解：∵x2﹣m＝0，
∴x2＝m，
由x2﹣m＝0知m≥0，
故選：D．
15．若方程（x﹣2）2＝k﹣5可以直接用開平方法解，則k的取值范圍是（　?。?br /> A．k＞0 B．k≥0 C．k≥5 D．k＞5
【分析】若方程（x﹣2）2＝k﹣5可以直接用開平方法解，則k﹣5≥0．
【解答】解：由題意知，k﹣5≥0．
解得k≥5．
故選：C．
16．用直接開平方法解方程（x+h）2＝k，方程必須滿足的條件是（　?。?br /> A．k≥0 B．h≥0 C．h k＞0 D．k＜0
【分析】根據(jù)一個(gè)數(shù)的平方是非負(fù)數(shù)，可得k≥0．
【解答】解：∵（x+h）2≥0，
∴k≥0．
故選：A．

知識(shí)點(diǎn)二：配方法：
1. 完全平方公式：我們把形如 或 的式子叫做完全平方式。
特別提示：完全平方公式的特點(diǎn)：有兩項(xiàng)為平方項(xiàng)，第三項(xiàng)是平方兩項(xiàng)的底數(shù)的乘積的兩倍或底數(shù)的乘積的兩倍的相反數(shù)。

【類型一：判斷完全平方公式】
17．下列各式是完全平方式的是（　?。?br /> A．x2﹣x+ B．1+4x2 C．a(chǎn)2+ab+b2 D．x2+2x﹣1
【分析】完全平方式有兩個(gè)，是a2+2ab+b2和a2﹣2ab+b2，據(jù)此即可判斷．
【解答】解：A、是完全平方式，故本選項(xiàng)正確；
B、不是完全平方式，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、不是完全平方式，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、不是完全平方式，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選：A．
18．下列各式是完全平方式的是（　?。?br /> A．x2﹣x+ B．1+x2 C．x+x y+1 D．x2+2x﹣1
【分析】完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．最后一項(xiàng)為乘積項(xiàng)除以2，除以第一個(gè)底數(shù)的結(jié)果的平方．
【解答】解：A、x2﹣x+是完全平方式；
B、缺少中間項(xiàng)±2x，不是完全平方式；
C、不符合完全平方式的特點(diǎn)，不是完全平方式；
D、不符合完全平方式的特點(diǎn)，不是完全平方式．
故選：A．
【類型一：利用完全平方式的特點(diǎn)求值】
19．已知x2+k x y+64y2是一個(gè)完全平方式，則k的值是（　?。?br /> A．8 B．±8 C．16 D．±16
【分析】根據(jù)完全平方公式的特點(diǎn)求解．
【解答】解：根據(jù)題意，原式是一個(gè)完全平方式，
∵64y2＝（±8y）2，
∴原式可化成＝（x±8y）2，
展開可得x2±16xy+64y2，
∴kxy＝±16xy，
∴k＝±16．
故選：D．
20．若x2+2（m﹣1）x+16是完全平方式，則m的值為（　?。?br /> A．±8 B．﹣3或5 C．﹣3 D．5
【分析】由于x2+2（m﹣1）x+16是完全平方式，而16＝42，然后根據(jù)完全平方公式即可得到關(guān)于m的方程，解方程即可求解．
【解答】解：∵x2+2（m﹣1）x+16是完全平方式，而16＝42，
∴m﹣1＝4或m﹣1＝﹣4，
∴m＝5或﹣3．
故選：B．
21．若x2﹣4x+k是完全平方式，則k的值是（　?。?br /> A．2 B．4 C．8 D．16
【分析】利用完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征解答即可．
【解答】解：∵x2﹣4x+k是一個(gè)完全平方式，
∴k＝（）2＝4，
故選：B．
22．若x2﹣6xy+N是一個(gè)完全平方式，那么N是（　?。?br /> A．9y2 B．y2 C．3y2 D．6y2
【分析】首項(xiàng)是x的平方，中間項(xiàng)可寫成2?x?3y，所以，末項(xiàng)是3y的平方，即可得出完全平方式；
【解答】解：x2﹣6xy+N是一個(gè)完全平方式，
∴x2﹣6xy+N＝（x﹣3y）2，
整理得，x2﹣6xy+N＝x2﹣6xy+9y2，
∴N＝9y2．
故選：A．

2. 配方法解方程：
通過把一元二次方程配方成 完全平方公式 的形式來解一元二次方程的方法叫做配
方法。具體方法步驟如下：
第一步：化——將一元二次方程化為一般形式，并將二次項(xiàng)系數(shù)化為1。方程左右兩邊同時(shí)除以 二次項(xiàng)系數(shù) 。
第二步：移——將常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的右邊。
注意：有時(shí)先將常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)右邊再將系數(shù)化為1。
第三步：配——配一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方。方程的左右兩邊都 加上 一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，得到完全平方公式。
第四步：開方——按照直接開平方法求解一元二次方程。

【類型一：配方變形】
23. 下列用配方法解方程x2﹣x﹣2＝0的四個(gè)步驟中，出現(xiàn)錯(cuò)誤的是（　　）
x2﹣x﹣2＝0 x2﹣2x＝4 x2﹣2x+1＝5 （x﹣1）2＝5 x＝+1
A．① B．② C．③ D．④
【分析】觀察解方程步驟，找出出錯(cuò)的步驟即可．
【解答】解：用配方法解方程x2﹣x﹣2＝0的四個(gè)步驟中，x2﹣x﹣2＝0x2﹣2x＝4x2﹣2x+1＝5（x﹣1）2＝5x＝+1，
出現(xiàn)錯(cuò)誤的是④．
故選：D．
24．下列是小明同學(xué)用配方法解方程2x2﹣12x﹣1＝0的過程：
解：2x2﹣12x＝1，??第1步
x2﹣6x＝1，??第2步
x2﹣6x+9＝1+9，……第3步
（x﹣3）2＝10，x﹣3＝±??第4步
∴x1＝3+，x2＝3﹣．
最開始出現(xiàn)錯(cuò)誤的是（　?。?br /> A．第1步 B．第2步 C．第3步 D．第4步
【分析】將常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊，再把二次項(xiàng)系數(shù)化為1，繼而兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方配成完全平方式后，再開方即可得．
【解答】解：2x2﹣12x＝1，??第1步，
x2﹣6x＝，??第2步，
x2﹣6x+9＝+9，……第3步，
（x﹣3）2＝，x﹣3＝±??第4步，
∴x1＝3+，x2＝3﹣．
所以原解答過程從第2步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，
故選：B．
25．一元二次方程x2﹣6x＝﹣5配方后可變形為（　?。?br /> A．（x﹣3）2＝4 B．（x+3）2＝4 C．（x﹣3）2＝13 D．（x+3）2＝13
【分析】根據(jù)完全平方公式配方，再得出選項(xiàng)即可．
【解答】解：x2﹣6x＝﹣5，
配方得：x2﹣6x+9＝﹣5+9，
（x﹣3）2＝4，
故選：A．
26．一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0，用配方法解該方程，配方后的方程為（　　）
A．（x﹣1）2＝m2+1 B．（x﹣1）2＝m﹣1
C．（x﹣1）2＝1﹣m D．（x﹣1）2＝m+1
【分析】此題考查了配方法解一元二次方程，解題時(shí)要注意解題步驟的準(zhǔn)確使用．
【解答】解：∵x2﹣2x﹣m＝0，
∴x2﹣2x＝m，
∴x2﹣2x+1＝m+1，
∴（x﹣1）2＝m+1．
故選：D．
【類型一：利用配方變形求字母】
27．用配方法解一元二次方程2x2+3x+1＝0，變形為（x+h）2＝k，則h＝　 　，k＝　 ?。?br /> 【分析】配方法的一般步驟：
（1）把常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的右邊；
（2）把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1；
（3）等式兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方．
【解答】解：原方程可以化為：
，
移項(xiàng)，得
x2+x＝﹣，
等式的兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，得
x2+x+＝﹣+，
配方，得
（x+）2＝
比較對(duì)應(yīng)系數(shù)，有：；
故答案是：、．
28．若一元二次方程﹣x2+bx﹣5＝0配方后為（x﹣3）2＝k，則b，k的值分別是（　?。?br /> A．6，4 B．6，5 C．﹣6，5 D．﹣6，4
【分析】先把方程的二次項(xiàng)系數(shù)化成1，再根據(jù)完全平方公式把（x﹣3）2展開，得出﹣b＝﹣6，9﹣k＝5，再求出b和k即可．
【解答】解：∵﹣x2+bx﹣5＝0，
∴方程兩邊都除以﹣1得：x2﹣bx+5＝0，
（x﹣3）2＝k，
x2﹣6x+9＝k，
x2﹣6x+9﹣k＝0，
∵一元二次方程﹣x2+bx﹣5＝0配方后為（x﹣3）2＝k，
∴﹣b＝﹣6，9﹣k＝5，
解得：b＝6，k＝4，
故選：A．
29．將一元二次方程x2﹣8x﹣5＝0化成（x+a）2＝b（a，b為常數(shù)）的形式，則a，b的值分別是（　?。?br /> A．﹣4，21 B．﹣4，11 C．4，21 D．﹣8，69
【分析】將常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊，兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．
【解答】解：∵x2﹣8x﹣5＝0，
∴x2﹣8x＝5，
則x2﹣8x+16＝5+16，即（x﹣4）2＝21，
∴a＝﹣4，b＝21，
故選：A．
【類型一：利用配方法解方程】
30. 解方程：
（1） x2+2＝2x． （2）2x2﹣3x+1＝0．
（3）2x2+4x﹣1＝0 （4）x2﹣8x+1＝0．
【分析】根據(jù)一元二次方程的配方法即可求出答案．
【解答】解：（1）∵x2+2＝2x，
∴x2﹣2x+2＝0，
（x﹣）2＝0，
∴x1＝x2＝．
（2）x2﹣x＝﹣，
x2﹣x+＝﹣+，
（x﹣）2＝
x﹣＝±，
所以x1＝，x2＝1．
（3）x2+2x﹣＝0，
x2+2x+1＝+1，
（x+1）2＝
x+1＝±，
所以x1＝，x2＝．
（4）∵x2﹣8x+1＝0，
∴x2﹣8x＝﹣1，
∴x2﹣8x+16＝﹣1+16，
∴（x﹣4）2＝15，
解得．

3. 配方法求二次三項(xiàng)式的最值：
利用配方法求將二次三項(xiàng)式配方成的形式從而求出二次三項(xiàng)式的最值。具體步驟如下：
第一步：提——提公因數(shù)，公因數(shù)為 二次項(xiàng)系數(shù) 。即 。
第二步：配——配一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方。式子加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，為了使式子
不發(fā)生變化，再減去一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方。即： 。
第三步：化——將式子化為的形式。即 。當(dāng)
時(shí)，二次三項(xiàng)式取得最值，最值為 。
特別提示：若，則二次三項(xiàng)式有最小值。若，則二次三項(xiàng)式有最大值。

【類型一：求式子的最值】
31．代數(shù)式x2﹣2x+5的最小值是（　?。?br /> A．1 B．4 C．6 D．10
【分析】先將代數(shù)式配方，根據(jù)完全平方式的非負(fù)性即可求得最小值．
【解答】解：x2﹣2x+5＝x2﹣2x+1+4＝（x﹣1）2+4，
∵（x﹣1）2≥0，
∴（x﹣1）2+4≥4，
∴代數(shù)式的最小值是4，
故選：B．
32．代數(shù)式x2﹣4x+3的最小值為（　　）
A．﹣1 B．0 C．3 D．5
【分析】利用完全平方公式把原式變形，根據(jù)偶次方的非負(fù)性解答．
【解答】解：x2﹣4x+3
＝x2﹣4x+4﹣1
＝（x﹣2）2﹣1，
則當(dāng)x＝2時(shí)，代數(shù)式x2﹣4x+3取得最小值，最小值是﹣1，
故選：A．
33．若實(shí)數(shù)x，y滿足條件2x2﹣6x+y2＝0，則x2+y2+2x的最大值是 　 ．
【分析】先將條件變形，得y2＝﹣2x2+6x，再將x2+y2+2x配方成﹣（x﹣4）2+16，根據(jù)y2＝﹣2x2+6x≥0，求出x的取值范圍，即可求出最大值．
【解答】解：∵2x2﹣6x+y2＝0，
∴y2＝﹣2x2+6x，
∴x2+y2+2x＝x2﹣2x2+6x+2x＝﹣x2+8x＝﹣（x2﹣8x+16）+16＝﹣（x﹣4）2+16，
∵（x﹣4）2≥0，
∴x2+y2+2x≤16，
∵y2＝﹣2x2+6x≥0，
解得0≤x≤3，
當(dāng)x＝3時(shí)，x2+y2+2x取得最大值為15，
故答案為：15．
【類型二：分組配方求值】
34．已知a、b滿足等式x＝a2+b2+5，y＝2（2b﹣a），則x、y的大小關(guān)系是（　　）
A．x＜y B．x＞y C．x≤y D．x≥y
【分析】把x與y代入x﹣y中，判斷差的正負(fù)即可得到大小關(guān)系．
【解答】解：∵x﹣y＝a2+b2+5﹣2（2b﹣a）＝a2+b2+5﹣4b+2a＝（a+1）2+（b﹣2）2≥0，
∴x≥y．
故選：D．
35．對(duì)于已知a2+2a+b2﹣4b+5＝0，則b2a＝（　?。?br /> A．2 B． C．﹣ D．
【分析】先將等式左邊配方，再求值．
【解答】解：∵a2+2a+b2﹣4b+5＝0，
∴a2+2a+1+b2﹣4b+4＝0．
∴（a+1）2+（b﹣2）2＝0．
∵（a+1）2≥0，（b﹣2）2≥0，
∴a+1＝0，b﹣2＝0，
∴a＝﹣1，b＝2，
∴b2a＝2﹣2＝．
故選：D．
36．已知x2+y2+13＝4y﹣6x，則化簡的結(jié)果是（　?。?br /> A．0 B．2 C．6 D．12
【分析】先將已知等式移項(xiàng)，使等式右邊為0，再將左邊配方，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出x、y，再代入，計(jì)算即可．
【解答】解：x2+y2+13＝4y﹣6x，
x2+6x+9+y2﹣4y+4＝0，
（x+3）2+（y﹣2）2＝0，
x+3＝0，y﹣2＝0，
x＝﹣3，y＝2，
∴＝＝2．
故選：B．















一、選擇題（10題）
1．方程（x﹣3）2＝4的根為（　　）
A．x1＝x2＝5 B．x1＝5，x2＝1 C．x1＝x2＝1 D．x1＝7，x2＝﹣1
【分析】方程利用平方根定義開方即可求出解．
【解答】解：方程（x﹣3）2＝4，
開方得：x﹣3＝2或x﹣3＝﹣2，
解得：x1＝5，x2＝1．
故選：B．
2．若2是關(guān)于x的方程x2﹣c＝0的一個(gè)根，則c＝（　　）
A．2 B．4 C．﹣4 D．﹣2
【分析】把x＝2代入方程x2﹣c＝0得4﹣c＝0，然后解關(guān)于c的方程．
【解答】解：把x＝2代入方程x2﹣c＝0得4﹣c＝0，
解得c＝4．
故選：B．
3．若關(guān)于x的方程（x+5）2＝m﹣1有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是（　?。?br /> A．m＞0 B．m≥1 C．m＞1 D．m≠1
【分析】由于方程（x+5）2＝m﹣1有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則m﹣1≥0，然后解不等式即可．
【解答】解：根據(jù)題意得m﹣1≥0，
所以m≥1．
故選：B．
4．對(duì)于方程（ax+b）2＝c下列敘述正確的是（　?。?br /> A．不論c為何值，方程均有實(shí)數(shù)根
B．方程的根是x＝
C．當(dāng)c≥0時(shí)，方程可化為：ax+b＝或ax+b＝﹣
D．當(dāng)c＝0時(shí)，x＝
【分析】討論：當(dāng)c＜0或c≥0，利用平方根的定義可判斷方程的根的情況，若有根，則可利用直接開平方法解方程，從而可對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．
【解答】解：當(dāng)c＜0，方程沒有實(shí)數(shù)解；當(dāng)c≥0時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根，則ax+b＝±，解得x1＝，x2＝，當(dāng)c＝0時(shí)，解得x1＝x2＝﹣．
故選：C．
5．用配方法解一元二次方程時(shí)，下列變形正確的是（　?。?br /> A． B．
C． D．
【分析】方程移項(xiàng)后，兩邊加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，利用完全平方公式變形后得到結(jié)果，即可作出判斷．
【解答】解：方程移項(xiàng)得：y2﹣y＝，
配方得：y2﹣y+＝，
整理得：（y﹣）2＝．
故選：B．
6．將一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0化成（x+h）2＝k的形式，則k等于（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】利用配方法進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【解答】解：x2﹣2x﹣3＝0，
x2﹣2x＝3，
x2﹣2x+1＝3+1，
（x﹣1）2＝4，
∴k＝4，
故選：D．
7．若x2+m x+5＝（x﹣3）2+n，則（　　）
A．m＝﹣3，n＝4 B．m＝﹣3，n＝﹣4 C．m＝﹣6，n＝4 D．m＝﹣6，n＝﹣4
【分析】先將（x﹣3）2+n展開為x2﹣6x+9+n，再根據(jù)題意可得m＝﹣6，5＝9+n，即可求出m和n的值．
【解答】解：（x﹣3）2+n＝x2﹣6x+9+n，
根據(jù)題意，得m＝﹣6，5＝9+n，
解得m＝﹣6，n＝﹣4，
故選：D．
8．已知x2+y2﹣2x+6y+10＝0，則x+y的值是（　?。?br /> A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2
【分析】配方后根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可得x和y的值，再代入x+y進(jìn)行計(jì)算即可．
【解答】解：∵x2+y2﹣2x+6y+10＝0，
∴x2﹣2x+1+（y2+6y+9）＝0，
∴（x﹣1）2+（y+3）2＝0，
∴x﹣1＝0，y+3＝0，
∴x＝1，y＝﹣3，
∴x+y＝1﹣3＝﹣2；
故選：B．
9．已知關(guān)于x的分式方程有增根，且ma2+b2+2ma﹣6b+11＝0，則a+b的值是（　?。?br /> A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根據(jù)分式方程有增根求出m的值，然后把m的值代入ma2+b2+2ma﹣6b+11＝0，利用配方法進(jìn)行計(jì)算即可解答．
【解答】解：，
x+m﹣3m＝3（x﹣4），
解得：x＝6﹣m，
∵分式方程有增根，
∴x＝4，
把x＝4代入x＝6﹣m中，
4＝6﹣m，
解得：m＝2，
當(dāng)m＝2時(shí)，ma2+b2+2ma﹣6b+11＝0，
∴2a2+b2+4a﹣6b+11＝0，
∴2a2+4a+2+b2﹣6b+9＝0，
∴2（a2+2a+1）+（b2﹣6b+9）＝0，
∴2（a+1）2+（b﹣3）2＝0，
∴a+1＝0，b﹣3＝0，
∴a＝﹣1，b＝3，
∴a+b＝﹣1+3＝2，
故選：B．
50．已知a，b，c滿足a2+2b＝7，b2﹣2c＝﹣1，c2﹣6a＝﹣17，則a+b﹣c的值為（　?。?br /> A．1 B．﹣5 C．﹣6 D．﹣7
【分析】題目中的式子相加，然后利用配方法變形為完全平方的形式，再利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)即可求得所求式子的值．
【解答】解：∵a2+2b＝7，b2﹣2c＝﹣1，c2﹣6a＝﹣17，
∴（a2+2b）+（b2﹣2c）+（c2﹣6a）＝7+（﹣1）+（﹣17），
∴a2+2b+b2﹣2c+c2﹣6a＝﹣11，
∴（a2﹣6a+9）+（b2+2b+1）+（c2﹣2c+1）＝0，
∴（a﹣3）2+（b+1）2+（c﹣1）2＝0，
∴a﹣3＝0，b+1＝0，c﹣1＝0，
解得，a＝3，b＝﹣1，c＝1，
∴a+b﹣c＝3﹣1﹣1＝1．
故選：A．
二、填空題（6題）
11．一元二次方程x2﹣9＝0的兩根分別是 　 ?。?br /> 【分析】根據(jù)平方根的定義即可求解．
【解答】解：x2﹣9＝0，
移項(xiàng)得，x2＝9，
解得，x1＝3，x2＝﹣3．
故答案為：x1＝3，x2＝﹣3．
12．若一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的兩個(gè)根是m+1與2m﹣7，則m的值是 　 　．
【分析】利用直接開平方法解方程得到一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的兩個(gè)根互為相反數(shù)，則m+1+2m﹣7＝0，然后解一次方程即可．
【解答】解：根據(jù)題意得m+1+2m﹣7＝0，
解得m＝2．
即m的值為2．
故答案為：2．
13．當(dāng)x滿足時(shí)，方程x2﹣2x﹣5＝0的根是 　 　．
【分析】分別求出不等式組中兩不等式的解集確定出x的范圍，求出方程的解判斷即可．
【解答】解：不等式組整理得：，
解得：2＜x＜6，
方程移項(xiàng)得：x2﹣2x＝5，
配方得：x2﹣2x+1＝6，即（x﹣1）2＝6，
開方得：x﹣1＝±，
解得：x＝1+或x＝1﹣（不合題意，舍去），
則方程的根是x＝1+．
14．對(duì)方程x2＋－＝0進(jìn)行配方，得，其中m＝　 　．
【分析】方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，依此可求m．
【解答】解：由題意得：m＝（÷2）2＝．
故答案為：．
15．當(dāng)a＝　 　時(shí)，代數(shù)式a2﹣6a﹣9有最小值為 　 ?。?br /> 【分析】將代數(shù)式中的﹣9變形為9﹣18，前三項(xiàng)利用完全平方公式變形，根據(jù)完全平方式的最小值為0，求出代數(shù)式的最小值，以及此時(shí)a的值．
【解答】解：a2﹣6a﹣9
＝a2﹣6a+9﹣18
＝（a﹣3）2﹣18，
∵（a﹣3）2≥0，
∴當(dāng)a﹣3＝0，即a＝3時(shí)，代數(shù)式a2﹣6a﹣9有最小值為﹣18．
故答案為：3，﹣18．
16．閱讀材料
例：求代數(shù)式2x2+4x﹣6的最小值．
解：2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x+1）2﹣8．可知當(dāng)x＝﹣1時(shí)，2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8．
根據(jù)上面的方法解決下列問題：
（1）m2﹣4m﹣5最小值是 　 ?。?br /> （2）多項(xiàng)式a2+b2﹣4a+6b+18最小值可以是 　 ?。?br /> 【分析】（1）將多項(xiàng)式加4再減4，利用配方法后可得結(jié)論；
（2）將多項(xiàng)式重新分組，改寫成（a2﹣4a+4）+（b2+6b+9）+5，配方后可得結(jié)論．
【解答】解：（1）∵m2﹣4m﹣5
＝m2﹣4m+4﹣9
＝（m﹣2）2﹣9，
∴當(dāng)m＝2時(shí)，m2﹣4m﹣5有最小值，最小值是﹣9．
故答案為：﹣9；
（2）∵a2+b2﹣4a+6b+18
＝（a2﹣4a+4）+（b2+6b+9）+5
＝（a﹣2）2+（b+3）2+5，
∴當(dāng)a＝2，b＝﹣3時(shí)，多項(xiàng)式a2+b2﹣4a+6b+18有最小值，最小值是5．
故答案為：5．
三、解答題（4題）
17．解下列方程：
（1）（x﹣3）2﹣4＝0； （2）x2﹣4x﹣8＝0．
【分析】（1）利用直接開平方法求解即可；
（2）利用配方法求解即可．
【解答】解：（1）∵（x﹣3）2＝4，
∴x﹣3＝2或x﹣3＝﹣2，
解得x1＝5，x2＝1；
（2）∵x2﹣4x﹣8＝0，
∴x2﹣4x＝8，
則x2﹣4x+4＝8+4，即（x﹣2）2＝12，
∴x﹣2＝，
∴x1＝2+2，x2＝2﹣2．
18．（1）化簡；（m+1）（m﹣1）﹣m2．
（2）小華在解方程（x+6）2﹣9＝0，解答過程如下；
解，移項(xiàng)，得（x+6）2＝9……第一步
兩邊開平方，得x+6＝3………第二步
所以x＝﹣3……第三步
小華的解答從第 　 　步開始出錯(cuò)，請(qǐng)寫出正確的解答過程．
【分析】（1）先利用平方差公式展開，然后合并即可；
（2）兩邊開方得到x+6＝±3，然后解兩個(gè)一次方程即可．
【解答】解：（1）原式＝m2﹣1﹣m2＝﹣1；
（2）小華的解答從第二步開始出錯(cuò)．
正確的解答過程為：
解，移項(xiàng)，得（x+6）2＝9，
兩邊開平方，得x+6＝±3，
所以x1＝﹣3，x2＝﹣9．
19．（1）請(qǐng)用配方法解方程2x2﹣6x+3＝0；
（2）請(qǐng)用配方法解一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）．
【分析】（1）方程二次項(xiàng)系數(shù)化為1，常數(shù)項(xiàng)移到右邊，兩邊加上一次項(xiàng)系數(shù)一半系數(shù)平方，利用完全平方公式變形，開方即可求出解；
（2）方程二次項(xiàng)系數(shù)化為1，常數(shù)項(xiàng)移到右邊，兩邊加上一次項(xiàng)系數(shù)一半系數(shù)平方，利用完全平方公式變形，開方即可求出解．
【解答】解：（1）方程整理得：x2﹣3x＝﹣，
配方得：x2﹣3x+＝﹣，即（x﹣）2＝，
開方得：x﹣＝±，
解得：x1＝+，x2＝﹣；
（2）方程整理得：x2+x＝﹣，
配方得：x2+x+＝﹣，即（x+）2＝，
開方得：x+＝±，
解得：x1＝，x2＝．
20．我們知道a2≥0，所以代數(shù)式a2的最小值為0．學(xué)習(xí)了多項(xiàng)式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用a2±2ab+b2＝（a+b）2來求一些多項(xiàng)式的最小值．
例如，求x2+6x+3的最小值問題．
解：∵x2+6x+3＝x2+6x+9﹣6＝（x+3）2﹣6，
又∵（x+3）2≥0，∴（x+3）2﹣6≥﹣6，∴x2+6x+3的最小值為﹣6．
請(qǐng)應(yīng)用上述思想方法，解決下列問題：
（1）探究：x2﹣4x+5＝（x　 ?。?+　 　；
（2）求2x2+4x的最小值．
（3）比較代數(shù)式：x2﹣1與2x﹣3的大小．
【分析】（1）根據(jù)完全平方式的特征求解．
（2）先配方，再求最值．
（3）作差后配方比較大小．
【解答】解：（1）x2﹣4x+5＝x2﹣4x+4+1＝（x﹣2）2+1．
故答案為：﹣2，1．
（2）2x2+4x＝2（x2+2x+1﹣1）＝2（x+1）2﹣2，
∵2（x+1）2≥0，
∴當(dāng)x+1＝0即x＝﹣1時(shí)，原式有最小值＝0﹣2＝﹣2．
（3）x2﹣1﹣（2x﹣3）＝x2﹣2x+1+1＝（x﹣1）2+1，
∵（x﹣1）2≥0，
∴（x﹣1）2+1＞0，
∴x2﹣1＞2x﹣3．


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