第12章全等三角形（知識(shí)清單）（14個(gè)考點(diǎn)梳理+典型例題+核心素養(yǎng)提升+中考熱點(diǎn)聚焦）-2023-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期中期末考點(diǎn)大串講（人教版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

【知識(shí)清單】
考點(diǎn)1.全等形的概念（重點(diǎn)）
形狀、大小相同的圖形放在一起能夠完全重合.能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等形.
要點(diǎn)詮釋?zhuān)阂粋€(gè)圖形經(jīng)過(guò)平移、翻折、旋轉(zhuǎn)后，位置變化了，但形狀、大小都沒(méi)有改變，即平移、翻折、旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等.兩個(gè)全等形的周長(zhǎng)相等，面積相等.
【例1】（2022秋?西鄉(xiāng)塘區(qū)校級(jí)期末）下列四個(gè)圖形中，屬于全等圖形的是（）
A．①和②B．②和③C．①和③D．全部
【解答】解：①、②、③和④可以完全重合的，因此全等的圖形是①和②③④．
故選：D．
考點(diǎn)2.全等三角形的概念和表示方法（重點(diǎn)）
1.全等三角形的定義
能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫全等三角形.
2. 對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)角定義
兩個(gè)全等三角形重合在一起，重合的頂點(diǎn)叫對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，重合的邊叫對(duì)應(yīng)邊，重合的角叫對(duì)應(yīng)角.
要點(diǎn)詮釋?zhuān)?br>在寫(xiě)兩個(gè)三角形全等時(shí)，通常把對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫(xiě)在對(duì)應(yīng)位置上，這樣容易找出對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角.如下圖，△ABC與△DEF全等，記作△ABC≌△DEF，其中點(diǎn)A和點(diǎn)D，點(diǎn)B和點(diǎn)E，點(diǎn)C和點(diǎn)F是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)；AB和DE，BC和EF，AC和DF是對(duì)應(yīng)邊；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是對(duì)應(yīng)角.
3. 找對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角的方法
（1）全等三角形對(duì)應(yīng)角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊，兩個(gè)對(duì)應(yīng)角所夾的邊是對(duì)應(yīng)邊；
（2）全等三角形對(duì)應(yīng)邊所對(duì)的角是對(duì)應(yīng)角，兩條對(duì)應(yīng)邊所夾的角是對(duì)應(yīng)角；
（3）有公共邊的，公共邊是對(duì)應(yīng)邊；
（4）有公共角的，公共角是對(duì)應(yīng)角；
（5）有對(duì)頂角的，對(duì)頂角一定是對(duì)應(yīng)角；
（6）兩個(gè)全等三角形中一對(duì)最長(zhǎng)的邊（或最大的角）是對(duì)應(yīng)邊（或角），一對(duì)最短的邊（或最小的角）是對(duì)應(yīng)邊（或角），等等.
【例2】（2022秋·遼寧大連·八年級(jí)統(tǒng)考期中）下列說(shuō)法正確的是（）
A．兩個(gè)直角三角形一定全等B．形狀相同的兩個(gè)三角形全等
C．全等三角形的面積一定相等D．面積相等的兩個(gè)三角形全等
【答案】C
【詳解】解：A、兩個(gè)直角三角形不一定全等，故錯(cuò)誤，不符合題意；
B、形狀相同的兩個(gè)三角形不一定全等，故錯(cuò)誤，不符合題意；
C、全等三角形的面積一定相等，故正確，符合題意；
D、面積相等的兩個(gè)三角形不一定全等，故錯(cuò)誤，不符合題意；
考點(diǎn)3全等三角形的性質(zhì)（重點(diǎn)）
全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等；
全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等.
要點(diǎn)詮釋?zhuān)喝热切螌?duì)應(yīng)邊上的高相等，對(duì)應(yīng)邊上的中線(xiàn)相等，周長(zhǎng)相等，面積相等.全等三角形的性質(zhì)是今后研究其它全等圖形的重要工具.
【例3】（2023春·山東濟(jì)南·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，，若，則的長(zhǎng)度為（）

A．2B．5C．10D．15
【答案】C
【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到即可求解．
【詳解】∵，，
∴，
∴，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)，熟記全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等是解題的關(guān)鍵．
考點(diǎn)4.三角形全等的基本事實(shí)：邊邊邊（重點(diǎn)）
三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.（可以簡(jiǎn)寫(xiě)成“邊邊邊”或“SSS”）.
要點(diǎn)詮釋?zhuān)喝鐖D，如果＝AB，＝AC，＝BC，則△ABC≌△.
【例4】（2022秋·福建龍巖·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，，，求證：．

【分析】根據(jù)三條邊都對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形是等邊三角形即可證明．
【詳解】證明：在和中，
，
∴
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定——邊邊邊，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
考點(diǎn)5.用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角等于已知角
【例5】（2023春·安徽宿州·八年級(jí)?？计谥校┮阎?，求作．(不要求寫(xiě)作法，但是必須保留作圖痕跡)

【分析】（1）首先畫(huà)射線(xiàn)，（2）以頂點(diǎn)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交兩邊于E、D，（3）以O(shè)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交與點(diǎn)N，（4）再以N為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交前弧于點(diǎn)M，畫(huà)射線(xiàn)．
【詳解】解：如圖所示：．
．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了作一個(gè)角等于已知角的基本作圖，關(guān)鍵是熟練掌握基本作圖的方法．
考點(diǎn)6.三角形全等的基本事實(shí)：邊角邊（重點(diǎn)）
1. 全等三角形判定——“邊角邊”
兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫(xiě)成“邊角邊”或“SAS”）.
要點(diǎn)詮釋?zhuān)喝鐖D，如果AB ＝，∠A＝∠，AC ＝，則△ABC≌△. 注意：這里的角，指的是兩組對(duì)應(yīng)邊的夾角.
2. 有兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形不一定全等.
如圖，△ABC與△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC與△ABD不完全重合，故不全等，也就是有兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形不一定全等.
【例6】（2023春·四川達(dá)州·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，由，，，得的根據(jù)是（）
A．SASB．ASAC．AASD．SSS
【答案】A
【分析】由已知得到，即可利用“”證明．
【詳解】解：，
，
，
在和中，
，
，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的一般判定方法是解題關(guān)鍵．
考點(diǎn)7.三角形全等的基本事實(shí)：角邊角（重點(diǎn)）
兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫(xiě)成“角邊角”或“ASA”）.
要點(diǎn)詮釋?zhuān)喝鐖D，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，則△ABC≌△.

考點(diǎn)8.三角形全等的推論：角角邊（重點(diǎn)）
1.全等三角形判定——“角角邊”
兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫(xiě)成“角角邊”或“AAS”）
要點(diǎn)詮釋?zhuān)河扇切蔚膬?nèi)角和等于180°可得兩個(gè)三角形的第三對(duì)角對(duì)應(yīng)相等.這樣就可由“角邊角”判定兩個(gè)三角形全等，也就是說(shuō)，用角邊角條件可以證明角角邊條件，后者是前者的推論.
2.三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等.
如圖，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.這說(shuō)明，三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等.
【例7】（2021秋·遼寧盤(pán)錦·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，，，連接交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)在線(xiàn)段上，且．求證：．

【分析】利用已知條件證明，推出，由，得到，即．
【詳解】證明：∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
即．
【點(diǎn)睛】此題考查全等三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是證明．
考點(diǎn)9.直角三角形全等的判定方法：HL（重點(diǎn)）
【例8】．（2023春·廣東梅州·八年級(jí)?？计谥校┮阎喝鐖D，、是的高，且．求證：．

【分析】根據(jù)、是的高得到直角，再證明≌即可得到結(jié)論．
【詳解】證明：、是的高，
，，
，
在和中，
，
≌，
．
【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)和判定，利用證明直角三角形全等是本題關(guān)鍵．
考點(diǎn)10.常見(jiàn)全等三角形的基本圖形
1、截長(zhǎng)補(bǔ)短
有一類(lèi)幾何題其命題主要證明三條線(xiàn)段長(zhǎng)段的“和”或“差”及其比例關(guān)系，這一類(lèi)題目一般可以采取“截長(zhǎng)”或“補(bǔ)短”的方法來(lái)進(jìn)行求解。所謂“截長(zhǎng)”，就是將三者中最長(zhǎng)的那條線(xiàn)段一分為二，使其中的一條線(xiàn)段與已經(jīng)線(xiàn)段相等，然后證明其中的另一段與已知的另一段的大小關(guān)系。所謂“補(bǔ)短”，就是將一個(gè)已知的較短的線(xiàn)段延長(zhǎng)至與另一個(gè)已知的較短的長(zhǎng)度相等，然后求出延長(zhǎng)后的線(xiàn)段與最長(zhǎng)的已知線(xiàn)段關(guān)系。有的是采取截長(zhǎng)補(bǔ)短后，使之構(gòu)成某種特定的三角形進(jìn)行求解。
2、倍長(zhǎng)中線(xiàn)
圖一
圖二
圖三
3、過(guò)端點(diǎn)向中線(xiàn)作垂線(xiàn)
一線(xiàn)三等角
模型三垂直全等模型

圖一
如圖一，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC。結(jié)論：Rt△BDC≌Rt△CEA
圖二
如圖二，∠D=∠BCA=∠E，BC=AC。結(jié)論：△BEC≌△CDA
5、手拉手

圖一圖二

圖三圖四圖五
圖六圖七
手拉手模型的定義：
定義：有兩個(gè)頂角相等而且有公共頂點(diǎn)的等腰三角形開(kāi)成的圖形。
特別說(shuō)明：其中圖一、圖二為兩個(gè)基本圖形----等腰三角形，圖二至圖七為手拉手的基本模型，（左手拉左手，右手拉右手）
如右圖：手拉手模型的重要結(jié)論：
結(jié)論1：?ABC??A/B/C/（SAS）
BC=B/C/(左手拉左手等于右手拉右手)
結(jié)論2：∠BOB=∠BAB（利用三角形全等及頂角相等
的等腰三角形底角相等）
結(jié)論3：AO平分∠BOC/（利用三角形全等面積相等，再利用角平分線(xiàn)性質(zhì)定理證明）
【例9】（2023春·山東棗莊·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D（1），已知中，，，是過(guò)A的一條直線(xiàn)，且在的異側(cè)，于D，于E．

(1)試說(shuō)明：．
(2)若直線(xiàn)繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖2位置時(shí)（），其余條件不變，問(wèn)與的關(guān)系如何？請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)果；
(3)若直線(xiàn)繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖3位置時(shí)（），其余條件不變，問(wèn)與、的關(guān)系如何？請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)果，不需說(shuō)明．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)
(3)
【分析】（1）證明，即可證得，，而，即可證得；
（2）證明，即可證得，，而，即可證得；
（3）證明，即可證得，，而，即可證得．
【詳解】（1）證明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∴；
（2）解：；理由如下：
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∴；
（3）解：；理由如下：
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，余角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形全等的判定方法，證明．
【例10】（2022秋·湖北孝感·八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知：，，．
(1)如圖1當(dāng)點(diǎn)在上，______．
(2)如圖2猜想與的面積有何關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．（溫馨提示：兩三角形可以看成是等底的）
【答案】(1)
(2)，理由見(jiàn)解析
【分析】（1）由全等可知，所以當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，為等腰三角形，依據(jù)已知計(jì)算即可．
（2）因?yàn)閮蓚€(gè)三角形中有一邊相等，只要找到這兩個(gè)底對(duì)應(yīng)高之間的關(guān)系即可．
【詳解】（1）解：，
，
又，，
，
在中，，
故答案為：．
（2）解：如下圖所示：過(guò)點(diǎn)作的邊上的高，過(guò)點(diǎn)作的邊上的高，由作圖及知：
，，，
（同角的余角相等），
在與中有：
（），
，
，，
，，
，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形性質(zhì)和判定，關(guān)鍵是使用分析法找到:兩個(gè)三角形面積相等時(shí)，底相等則高相等，從而構(gòu)造全等證明對(duì)應(yīng)高相等．
考點(diǎn)11.作已知角的平分線(xiàn)（重點(diǎn)）
角平分線(xiàn)的尺規(guī)作圖
（1）以O(shè)為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交OA于D，交OB于E.
（2）分別以D、E為圓心，大于DE的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧在∠AOB內(nèi)部交于點(diǎn)C.
（3）畫(huà)射線(xiàn)OC.
射線(xiàn)OC即為所求.
【例11】（2023春·陜西榆林·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，已知，利用尺規(guī)，在邊上求作一點(diǎn)，使得.（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）

【詳解】解：如圖點(diǎn)即為所求.
.
考點(diǎn)12.角的平分線(xiàn)的性質(zhì)（重點(diǎn)）
角的平分線(xiàn)的性質(zhì)：角的平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.
要點(diǎn)詮釋?zhuān)?br>用符號(hào)語(yǔ)言表示角的平分線(xiàn)的性質(zhì)定理：
若CD平分∠ADB，點(diǎn)P是CD上一點(diǎn)，且PE⊥AD于點(diǎn)E，PF⊥BD于點(diǎn)F，則PE＝PF.
【例12】（2023春?普寧市校級(jí)期中）如圖，AD是△ABC的角平分線(xiàn)，且DE⊥AB，∠B＝50°，∠C＝60°．
（1）求∠ADC的度數(shù)．
（2）若DE＝5，點(diǎn)F是AC上的動(dòng)點(diǎn)，求DF的最小值．
【解答】解：（1）∵∠B＝50°，∠C＝60°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝70°，
∵AD是△ABC的角平分線(xiàn)，
∴，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝85°；
（2）∵點(diǎn)F是AC上的動(dòng)點(diǎn)，
∴當(dāng)DF⊥AC時(shí)，DF最小，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DF＝DE＝5．
考點(diǎn)13.證明幾何命題的一般步驟（難點(diǎn)）
(1)按題意畫(huà)出圖形.
(2)分清命題的條件和結(jié)論,結(jié)合圖形,在“已知”中寫(xiě)出條件,在“求證”中寫(xiě)出結(jié)論
(3)在“證明”中寫(xiě)出推理過(guò)程
在解決幾何問(wèn)題時(shí),有時(shí)需要添加輔助線(xiàn).添輔助線(xiàn)的過(guò)程要寫(xiě)人證明中.輔助線(xiàn)通常畫(huà)成虛線(xiàn)
【例13】（2022秋·山東德州·八年級(jí)?？计谥校┣笞C：三角形兩外角的平分線(xiàn)的交點(diǎn)到三角形三邊（或所在的直線(xiàn)）距離相等．
要求：畫(huà)圖，寫(xiě)出已知，求證，然后寫(xiě)出證明過(guò)程．
【詳解】解；已知：如圖，的外角平分線(xiàn)與外角平分線(xiàn)相交于點(diǎn)P．
求證：；
證明：如圖，過(guò)點(diǎn)P作于F，于G，于H，
∵的外角平分線(xiàn)與相交于點(diǎn)P，
∴，，
∴．
即點(diǎn)P到三邊、、所在直線(xiàn)的距離相等
∴三角形兩外角的平分線(xiàn)的交點(diǎn)到三角形三邊（或所在直線(xiàn)）的距離相等．
【例14】（2022春·甘肅酒泉·八年級(jí)統(tǒng)考期中）證明命題“角的平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等”，要根據(jù)題意，畫(huà)出圖形，并用符號(hào)表示已知和求證，寫(xiě)出證明過(guò)程，下面是小明同學(xué)根據(jù)題意畫(huà)出的圖形，并寫(xiě)出了不完整的已知和求證．
(1)已知：如圖，，點(diǎn)在上，______，求證：______．請(qǐng)你補(bǔ)全已知和求證．
(2)并寫(xiě)出證明過(guò)程．
【答案】(1)，，垂足分別為、；
(2)證明見(jiàn)解析
【詳解】（1）解：已知：如圖，，點(diǎn)在上，，垂足分別為、；
求證：．
（2）證明：∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
考點(diǎn)14.角的平分線(xiàn)的判定（重點(diǎn)）
角平分線(xiàn)的判定：角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線(xiàn)上.
要點(diǎn)詮釋?zhuān)?br>用符號(hào)語(yǔ)言表示角的平分線(xiàn)的判定：
若PE⊥AD于點(diǎn)E，PF⊥BD于點(diǎn)F，PE＝PF，則PD平分∠ADB
【例15】（2023春?達(dá)川區(qū)期中）如圖：AE⊥AB，AF⊥AC，AE＝AB，AF＝AC，
（1）圖中EC、BF有怎樣的數(shù)量和位置關(guān)系？試證明你的結(jié)論．
（2）連接AM，求證：MA平分∠EMF．
【解答】（1）解：結(jié)論：EC＝BF，EC⊥BF．
理由：∵AE⊥AB，AF⊥AC，
∴∠EAB＝∠CAF＝90°，
∴∠EAB+∠BAC＝∠CAF+∠BAC，
∴∠EAC＝∠BAF．
在△EAC和△BAF中，
，
∴△EAC≌△BAF（SAS），
∴EC＝BF．∠AEC＝∠ABF
∵∠AEG+∠AGE＝90°，∠AGE＝∠BGM，
∴∠ABF+∠BGM＝90°，
∴∠EMB＝90°，
∴EC⊥BF．
∴EC＝BF，EC⊥BF．
（2）證明：作AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q．
∵△EAC≌△BAF，
∴AP＝AQ（全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高相等）．
∵AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q，
∴AM平分∠EMF．
【核心素養(yǎng)提升】
邏輯推理——構(gòu)建全等三角形進(jìn)行證明
【例16】．（2023春·黑龍江佳木斯·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，，，，求的度數(shù)．

【答案】
【分析】連接，由，，以及公共邊，利用可得出三角形與三角形全等，由全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等得到，根據(jù)的度數(shù)即可求出的度數(shù)．
【詳解】解：連接，如圖所示：
在和中，
，
，
又，
．

【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．
【例17】（2022秋·福建龍巖·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，點(diǎn)E在線(xiàn)段AB上，，，.

求證：
(1)；
(2)．
【分析】（1）延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線(xiàn)于，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)和已知求出，推出，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出，證，求出即可．
（2）根據(jù)（1）可得，即可得到．
【詳解】（1）延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線(xiàn)于，

∵，
，
，
，
，
，
，
在和中
，
，
即．
（2）根據(jù)（1）可得，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線(xiàn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運(yùn)用定理進(jìn)行推理的能力，題目比較好，難度適中．
【例18】（2022秋·福建福州·八年級(jí)?？计谥校?）閱讀理解：課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問(wèn)題：
在中，，，求邊上的中線(xiàn)的取值范圍．
小明在組內(nèi)經(jīng)過(guò)合作交流，得到了如下的解決方法（如圖1）：

①延長(zhǎng)到Q，使得；
②再連接，把集中在中；
③利用三角形的三邊關(guān)系可得，則AD的取值范圍是．
感悟：解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線(xiàn)”等條件，可以考慮倍長(zhǎng)中線(xiàn)，構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個(gè)三角形中．
（2）請(qǐng)你寫(xiě)出圖1中與的位置關(guān)系并證明．
（3）思考：已知，如圖2，是的中線(xiàn)，，，．試探究線(xiàn)段與的數(shù)量和位置關(guān)系并加以證明．

【答案】（1）；（2），證明見(jiàn)解析；（3），，證明見(jiàn)解析
【分析】（1）先證，推出，再利用三角形三邊關(guān)系求解；
（2）根據(jù)可得，即可證明；
（3）同（1）可證，得出，，進(jìn)而可得，推出，可得，，即可求解．
【詳解】解：（1）是的中線(xiàn)，
，
又，，
，
，
在中，，
，即，
，
故答案為：；
（2），證明如下：
由（1）知，
，
；
（3），，證明如下：
如圖，延長(zhǎng)至點(diǎn)Q使得，連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)P，

同（1）可得，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
綜上可得，．
【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線(xiàn)的判定和性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用等，解題的關(guān)鍵是通過(guò)倍長(zhǎng)中線(xiàn)構(gòu)造全等三角形．
【中考熱點(diǎn)聚焦】
熱點(diǎn)1.三角形全等的判定
1．（2023?衢州）已知：如圖，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F(xiàn)在同一條直線(xiàn)上．下面四個(gè)條件：
①AB＝DE；②AC＝DF；③BE＝CF；④∠ABC＝∠DEF．
（1）請(qǐng)選擇其中的三個(gè)條件，使得△ABC≌△DEF（寫(xiě)出一種情況即可）．
（2）在（1）的條件下，求證：△ABC≌△DEF．
【分析】（1）根據(jù)兩三角形全等的判定定理，選擇合適的條件即可．
（2）根據(jù)（1）中所選條件，進(jìn)行證明即可．
【解答】解：（1）由題知，
選擇的三個(gè)條件是：①②③；
或者選擇的三個(gè)條件是：①③④．
證明：（2）當(dāng)選擇①②③時(shí)，
∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，
即BC＝EF．
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS）．
當(dāng)選擇①③④時(shí)，
∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，
即BC＝EF．
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的證明，熟知全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．
2．（2023?云南）如圖，C是BD的中點(diǎn)，AB＝ED，AC＝EC．求證：△ABC≌△EDC．
【分析】求出BC＝DC，根據(jù)全等三角形的判定定理證明即可．
【解答】證明：∵C是BD的中點(diǎn)，
∴BC＝DC，
在△ABC和△EDC中，
，
∴△ABC≌△EDC（SSS）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定定理，能熟記全等三角形的判定定理是解此題的關(guān)鍵，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，兩直角三角形全等還有HL．
熱點(diǎn)2.三角形全等的判定和性質(zhì)的綜合應(yīng)用
3．（2023?蘇州）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD為△ABC的角平分線(xiàn)．以點(diǎn)A圓心，AD長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與AB，AC分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接DE，DF．
（1）求證：△ADE≌△ADF；
（2）若∠BAC＝80°，求∠BDE的度數(shù)．
【分析】（1）由角平分線(xiàn)定義得出∠BAD＝∠CAD．由作圖知：AE＝AF．由SAS可證明△ADE≌△ADF；
（2）由作圖知：AE＝AD．得出∠AED＝∠ADE，由等腰三角形的性質(zhì)求出∠ADE＝70°，則可得出答案．
【解答】（1）證明：∵AD是△ABC的角平分線(xiàn)，
∴∠BAD＝∠CAD．
由作圖知：AE＝AF．
在△ADE和△ADF中，
，
∴△ADE≌△ADF（SAS）；
（2）解：∵∠BAC＝80°，AD為△ABC的角平分線(xiàn)，
∴∠EAD＝∠BAC＝40°，
由作圖知：AE＝AD．
∴∠AED＝∠ADE，
∴∠ADE＝×（180°﹣40°）＝70°，
∵AB＝AC，AD為△ABC的角平分線(xiàn)，
∴AD⊥BC．
∴∠BDE＝90°﹣∠ADE＝20°．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線(xiàn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定是解題的關(guān)鍵．
4．（2023?營(yíng)口）如圖，點(diǎn)A，B，C，D在同一條直線(xiàn)上，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在直線(xiàn)AB的兩側(cè)，且AE＝BF，∠A＝∠B，∠ACE＝∠BDF．
（1）求證：△ACE≌△BDF；
（2）若AB＝8，AC＝2，求CD的長(zhǎng)．
【分析】（1）根據(jù)全等三角形的判定定理證明△ACE≌△DBF即可；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【解答】（1）證明：在△ACE和△BDF中，
，
∴△ACE≌△BDF（AAS）；
（2）由（1）知△ACE≌△BDF，
∴BD＝AC＝2，
∵AB＝8，
∴CD＝AB﹣AC﹣BD＝4，
故CD的長(zhǎng)為4．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握證明三角形全等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
5．（2023?南通）如圖，點(diǎn)D，E分別在AB，AC上，∠ADC＝∠AEB＝90°，BE，CD相交于點(diǎn)O，OB＝OC．
求證：∠1＝∠2．
小虎同學(xué)的證明過(guò)程如下：
（1）小虎同學(xué)的證明過(guò)程中，第二步出現(xiàn)錯(cuò)誤；
（2）請(qǐng)寫(xiě)出正確的證明過(guò)程．
【分析】（1）根據(jù)全等三角形的判定定理判斷；
（2）證明△DOB≌△EOC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到OD＝OE，再證明Rt△ADO≌Rt△AEO，得到∠1＝∠2．
【解答】（1）解：小虎同學(xué)的證明過(guò)程中，第二步出現(xiàn)錯(cuò)誤，
故答案為：二；
（2）證明：∵∠ADC＝∠AEB＝90°，
∴∠BDC＝∠CEB＝90°，
在△DOB和△EOC中，
，
∴△DOB≌△EOC（AAS），
∴OD＝OE，
在Rt△ADO和Rt△AEO中，
，
∴Rt△ADO≌Rt△AEO（HL），
∴∠1＝∠2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握三角形全等的判定定理是解題的關(guān)鍵．
6．（2023?陜西）如圖，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝20°．過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為E，延長(zhǎng)EA至點(diǎn)D．使AD＝AC．在邊AC上截取AF＝AB，連接DF．求證：DF＝CB．
【分析】利用三角形內(nèi)角和定理得∠CAB的度數(shù)，再根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)可得結(jié)論．
【解答】證明：在△ABC 中，∠B＝50°，∠C＝20°，
∴∠CAB＝180°﹣∠B﹣∠C＝110°．
∵AE⊥BC．
∴∠AEC＝90°．
∴∠DAF＝∠AEC+∠C＝110°，
∴∠DAF＝∠CAB．
在△DAF和△CAB中，
，
∴△DAF≌△CAB（SAS）．
∴DF＝CB．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握其性質(zhì)定理是解決此題的關(guān)鍵．
7．（2023?長(zhǎng)沙）如圖，AB＝AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分別為D，E．
（1）求證：△ABE≌△ACD；
（2）若AE＝6，CD＝8，求BD的長(zhǎng)．
【分析】（1）利用“AAS”可證明△ABE≌△ACD；
（2）先利用全等三角形的性質(zhì)得到AD＝AE＝6，再利用勾股定理計(jì)算出AC，從而得到AB的長(zhǎng)，然后計(jì)算AB﹣AD即可．
【解答】（1）證明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠AEB＝∠ADC＝90°，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（AAS）；
（2）解：∵△ABE≌△ACD，
∴AD＝AE＝6，
在Rt△ACD中，AC＝＝＝10，
∵AB＝AC＝10，
∴BD＝AB﹣AD＝10﹣6＝4．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線(xiàn)段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．
8．（2023?聊城）如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E是邊BC上一點(diǎn)，且BE＝CD，∠B＝∠AED＝∠C．
（1）求證：∠EAD＝∠EDA；
（2）若∠C＝60°，DE＝4時(shí)，求△AED的面積．
【分析】（1）利用AAS證明∴△ABE≌△ECD，即可證明結(jié)論；
（2）先證明△AED為等邊三角形，可得AE＝AD＝ED＝4，過(guò)A點(diǎn)作AF⊥ED于F，利用等邊三角形的性質(zhì)可得EF＝2，再根據(jù)勾股定理求得AF的長(zhǎng)，利用三角形的面積公式可求解．
【解答】（1）證明：∵∠B＝∠AED＝∠C，∠AEC＝∠B+∠BAE＝∠AED+∠CED，
∴∠BAE＝∠CED，
在△ABE和△ECD中，
，
∴△ABE≌△ECD（AAS），
∴AE＝ED，
∴∠EAD＝∠EDA；
（2）解：∵∠AED＝∠C＝60°，AE＝ED，
∴△AED為等邊三角形，
∴AE＝AD＝ED＝4，
過(guò)A點(diǎn)作AF⊥ED于F，
∴EF＝ED＝2，
∴AF＝，
∴S△AED＝ED?AF＝．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積等知識(shí)的綜合運(yùn)用，證明△ABE≌△ECD是解題的關(guān)鍵．
熱點(diǎn)3.三角形全等的實(shí)際應(yīng)用
9．（2022?揚(yáng)州）如圖，小明家仿古家具的一塊三角形狀的玻璃壞了，需要重新配一塊．小明通過(guò)電話(huà)給玻璃店老板提供相關(guān)數(shù)據(jù)，為了方便表述，將該三角形記為△ABC，提供下列各組元素的數(shù)據(jù)，配出來(lái)的玻璃不一定符合要求的是（）
A．AB，BC，CAB．AB，BC，∠BC．AB，AC，∠BD．∠A，∠B，BC
【分析】直接利用全等三角形的判定方法分析得出答案．
【解答】解：A．利用三角形三邊對(duì)應(yīng)相等，兩三角形全等，三角形形狀確定，故此選項(xiàng)不合題意；
B．利用三角形兩邊、且?jiàn)A角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形全等，三角形形狀確定，故此選項(xiàng)不合題意；
C．AB，AC，∠B，無(wú)法確定三角形的形狀，故此選項(xiàng)符合題意；
D．根據(jù)∠A，∠B，BC，三角形形狀確定，故此選項(xiàng)不合題意；
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了全等三角形的應(yīng)用，正確掌握全等三角形的判定方法是解題關(guān)鍵．
10．（2022?百色）校園內(nèi)有一塊四邊形的草坪造型，課外活動(dòng)小組實(shí)地測(cè)量，并記錄數(shù)據(jù)，根據(jù)造型畫(huà)如圖的四邊形ABCD，其中AB＝CD＝2米，AD＝BC＝3米，∠B＝30°．
（1）求證：△ABC≌△CDA；
（2）求草坪造型的面積．
【分析】（1）利用全等三角形的判定方法，結(jié)合三邊關(guān)系得出答案；
（2）直接利用全等三角形的性質(zhì)以及直角三角形中30度所對(duì)邊與斜邊的關(guān)系的得出對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)，進(jìn)而得出答案．
【解答】（1）證明：在△ABC和△CDA中，
∵，
∴△ABC≌△CDA（SSS）；
（2）解：過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，
∵AB＝2米，∠B＝30°，
∴AE＝1米，
∴S△ABC＝×3×1＝（平方米），
則S△CDA＝（平方米），
∴草坪造型的面積為：2×＝3（平方米）．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的應(yīng)用，正確掌握全等三角形的判定方法是解題關(guān)鍵．
熱點(diǎn)4.角的平分線(xiàn)的性質(zhì)
11．（2023?廣州）如圖，已知AD是△ABC的角平分線(xiàn)，DE，DF分別是△ABD和△ACD的高，AE＝12，DF＝5，則點(diǎn)E到直線(xiàn)AD的距離為．
【分析】過(guò)E作EH⊥AD于H，由角平分線(xiàn)的性質(zhì)得到DE＝DF＝5，由勾股定理求出AD＝＝13，由三角形面積公式得到13EH＝12×5，因此EH＝，即可得到點(diǎn)E到直線(xiàn)AD的距離．
【解答】解：過(guò)E作EH⊥AD于H，
∵AD是△ABC的角平分線(xiàn)，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE＝DF＝5，
∵AE＝12，
∴AD＝＝13，
∵△ADE的面積＝AD?EH＝AE?DE，
∴13EH＝12×5，
∴EH＝，
點(diǎn)E到直線(xiàn)AD的距離為．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查角平分線(xiàn)的性質(zhì)，三角形的面積，勾股定理，關(guān)鍵是由三角形的面積得到AD?EH＝AE?DE．
12．（2022?北京）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB．若AC＝2，DE＝1，則S△ACD＝．
【分析】過(guò)D點(diǎn)作DH⊥AC于H點(diǎn)，如圖，根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)得到DE＝DH＝1，然后根據(jù)三角形面積公式計(jì)算．
【解答】解：過(guò)D點(diǎn)作DH⊥AC于H點(diǎn)，如圖，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DH⊥AC，
∴DE＝DH＝1，
∴S△ACD＝×2×1＝1．
故答案為：1．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線(xiàn)的性質(zhì)：角的平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．
證明：∵∠ADC＝∠AEB＝90°，
∴∠DOB+∠B＝∠EOC+∠C＝90°．
∵∠DOB＝∠EOC，
∴∠B＝∠C．……第一步
又OA＝OA，OB＝OC，
∴△ABO≌△ACO．……第二步
∴∠1＝∠2．……第三步

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