高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第一冊(cè)5.1 任意角和弧度制課文課件ppt

這是一份高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第一冊(cè)5.1 任意角和弧度制課文課件ppt，共18頁(yè)。PPT課件主要包含了學(xué)習(xí)目標(biāo)，新知學(xué)習(xí)，弧度數(shù)角度數(shù)×，角度數(shù)弧度數(shù)×，即時(shí)鞏固，隨堂小測(cè)等內(nèi)容，歡迎下載使用。
1.了解弧度制，體會(huì)引入弧度制的必要性.2.理解1弧度的角及弧度的定義.3.掌握角度與弧度的換算公式，能進(jìn)行角度與弧度的換算，并熟記幾個(gè)特殊角的弧度數(shù).4.掌握弧度制中扇形的弧長(zhǎng)公式和面積公式.核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算
【探究】度量長(zhǎng)度可以用米、英尺、碼等單位制，度量質(zhì)量可以用千克、磅等不同 的單位制.不同的單位制能給解決問(wèn)題帶來(lái)方便.角的度量是否也能用不同 的單位制呢？能否像度量長(zhǎng)度那樣，用十進(jìn)制的實(shí)數(shù)來(lái)度量角的大小呢？
【導(dǎo)入】我們知道，角可以用度為單位進(jìn)行度量，1度的角等于周角的 .這種 用度作單位來(lái)度量角的單位制叫做角度制.
【定義】如圖，射線OA繞著端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到OB形成角α.在旋 轉(zhuǎn)過(guò)程中，射線OA上的一點(diǎn)P(不同于點(diǎn)O)的軌跡 是一條圓弧，這條圓弧對(duì)應(yīng)于圓心角α. 設(shè)α=n°，OP=r，點(diǎn)P形成的圓弧PP1的長(zhǎng)為 ，由初中所學(xué)知識(shí)可知：
【探究】如圖，在射線OA上任取一點(diǎn)Q(不同于點(diǎn)O)，OQ=r，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，點(diǎn)Q 所形成的圓弧QQ1的長(zhǎng)為 ， 與r的比值是多少?我們能得出什么結(jié)論？
【結(jié)論】可以發(fā)現(xiàn)，圓心角α所對(duì)的弧長(zhǎng)與半徑的比值， 只與α的大小有關(guān).也就是說(shuō)，這個(gè)比值隨α的確 定而唯一確定.這就啟發(fā)我們，可以利用圓的弧長(zhǎng) 與半徑的關(guān)系度量圓心角.
我們規(guī)定：長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度，記作1rad，讀作1弧度.我們把半徑為1的圓叫做單位圓，如圖，在單位元O中，AB的長(zhǎng)度等于1，∠AOB就是1弧度的角.
根據(jù)上述規(guī)定：在半徑為r的圓中，弧長(zhǎng)為 的的弧所對(duì)的圓心角為α rad，那么有：
對(duì)這個(gè)式子進(jìn)行變形，可以得到如下結(jié)論：
其中，α的正負(fù)由角α的終邊的旋轉(zhuǎn)方向決定，即逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)為正，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)為負(fù).當(dāng)角的終邊旋轉(zhuǎn)一周后繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，就可以得到弧度數(shù)大于2π或者小于-2π的角.這樣就可以得到弧度為任意大小的角.
一般地，正角的弧度數(shù)是正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是復(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0.
不管以弧度還是以角度為單位的角的大小，都是一個(gè)與半徑的大小無(wú)關(guān)的定值，比如圖中，半徑為任意值，只要∠AOB所對(duì)弧的長(zhǎng)等于半徑，∠AOB就是1弧度的角.
用角度作為單位來(lái)度量角的制度
用弧度作為單位來(lái)度量角的制度
單位“ ° ”不能省略
單位“rad”不能省略
【問(wèn)題】不管以角度制和弧度制之間怎么換算呢？
【答】用角度制解弧度制倆度量零角，單位不同，但量數(shù)相同(都是0)；用角度制和 弧度制度量任一非零角，單位不同，數(shù)量也不同.因?yàn)橹芙堑幕《戎剖?π， 而在角度制下的度數(shù)是360，所以有： 360°=2π rad，180°=π rad，
就可以進(jìn)行角度和弧度的換算了.
【1】把67°30′化成弧度.
【解】因?yàn)?7°30′= ，所以
【2】把1.5π化成角度.
【注意】角度中含有分 (‘)秒(‘’)時(shí)，化成 弧度制之前，要先化成 度(°).
常見(jiàn)特殊角的角度與弧度對(duì)應(yīng)表：
角的概念推廣后，在弧度制下，角的集合與實(shí)數(shù)集R之間建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系：每個(gè)角都有唯一的實(shí)數(shù)(等于這個(gè)叫的弧度)；同樣地，每個(gè)實(shí)數(shù)也都有唯一一個(gè)對(duì)應(yīng)的角(弧度數(shù)等于這個(gè)實(shí)數(shù)).
弧長(zhǎng)公式與扇形面積公式
【1】若用R表示圓的半徑，α(0＜α＜2π)為圓心角， 是扇形弧長(zhǎng)，S是扇形面積. 則有：
顯然，弧度制下的弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式簡(jiǎn)單了.在今后的學(xué)習(xí)中，我們還將進(jìn)一步看到弧度制帶來(lái)的便利.
【1】把下列角度化成弧度.
【解】（1）22°30′=
（1）22°30′ （2）-210° （3）1200°
【2】把下列弧度化成角度.
【3】用弧度表示： （1）終邊在 軸上的角的集合 （2）終邊在 軸上的角的集合
1.下列說(shuō)法正確的是 A.1弧度就是1度的圓心角所對(duì)的弧B.1弧度是長(zhǎng)度為半徑的弧C.1弧度是1度的弧與1度的角之和D.1弧度是長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角的大小
解析　由弧度的定義可知D正確.
2.把 化為角度是 A.270° B.280° C.288° D.318°
3.若θ＝－5，則角θ的終邊在 A.第四象限 B.第三象限C.第二象限 D.第一象限
解析　2π－5與－5的終邊相同，
∴2π－5是第一象限角，則－5也是第一象限角.
4.(2021·浙江省91聯(lián)盟聯(lián)考)如圖，以正方形ABCD的頂點(diǎn)A為圓心，邊AB的長(zhǎng)為半徑作扇形EAB，若圖中兩塊陰影部分的面積相等，則∠EAD的弧度數(shù)大小為_(kāi)_______.
解析　設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a，∠EAD＝α，