2023屆高三開學摸底考試文科數(shù)學本試卷滿分150分，考試用時120分鐘．注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．4．做選考題時，考生須按照題目要求作答，并用2B鉛筆在答題卡上把所選題目的題號涂黑．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．設(shè)集合，，則（    ）A．  B．C．  D．2．若復(fù)數(shù)的實部與虛部相等，則b的值為（    ）A． B． C．1 D．23．如圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩種商品連續(xù)10天的銷售數(shù)據(jù)，則下列說法錯誤的是（    ）A．甲銷售數(shù)據(jù)的中位數(shù)為92 B．甲銷售數(shù)據(jù)的眾數(shù)為93C．乙銷售數(shù)據(jù)的極差為24 D．乙銷售數(shù)據(jù)的均值比甲大4．閱讀下面的程序框圖，運行相應(yīng)的程序，輸出S的值為（    ）A．15 B．105 C．245 D．9455．有一副去掉了大小王的撲克牌（每副撲克牌有4種花色，每種花色13張牌），充分洗牌后，從中隨機抽取一張，則抽到的牌為“紅桃”或“A”的概率為（    ）A． B． C． D．6．已知函數(shù)，若把的圖象向左平移個單位后為偶函數(shù)，則（    ）A． B． C． D．7．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積是（    ）A．14 B．20 C． D．8．已知函數(shù)有兩個極值點，，且，則的極大值為（    ）A． B． C． D．9．函數(shù)在區(qū)間上的圖象大致為（    ）A． B．C． D．10．已知雙曲線C：（，）的右焦點為F，直線與雙曲線C交于A，B兩點，若，且△OAF的面積為，則雙曲線C的離心率為（    ）A． B． C．2 D．311．在長方體中，，，點E，F分別是棱AB，的中點，E，F，平面，直線平面，則直線BP與直線所成角的余弦值為（    ）A． B． C． D．12．設(shè)實數(shù)，，e為自然對數(shù)的底數(shù)，若，則（    ）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知向量，，，若A，C，D三點共線，則________．14．已知是橢圓上任何一點，則的最大值為________．15．在平面直角坐標系xOy中，直線與直線被圓截得弦長之比為2：1，則________．16．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，則角________，當時，的取值范圍是________．三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17．（12分）晨跑是指在早晨以跑步為主的進行身體鍛煉的一種運動方式，某機構(gòu)隨機抽取了某社區(qū)200名運動愛好者進行問卷調(diào)查，其中男、女生的人數(shù)之比為3：2，得到如下的列聯(lián)表． 喜歡晨跑不喜歡晨跑合計男生 40 女生50  合計   （1）完成表中數(shù)據(jù)并判斷是否有90%的把握認為喜歡晨跑與性別有關(guān)？（2）若從這200名運動愛好者中任意選取了5人，其中女生3人．再從這5人中隨機抽取2人做進一步調(diào)查，求這2人中男生與女生都有的概率．參考公式：，其中．參考數(shù)據(jù)：0.100.050.0100.0012.063.8416.63510.82818．（12分）已知是數(shù)列的前n項和，且．（1）求的通項公式；（2）若，是的前n項和，求．19．（12分）如圖，在三棱柱中，平面ABC，，，，點D，E分別在棱和棱上，且，，M為棱的中點．（1）求證：；（2）求三棱錐的體積．20．（12分）已知函數(shù)的圖象在點處的切線方程為．（1）求在內(nèi)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)函數(shù)，證明：．21．（12分）已知拋物線E的頂點在原點，焦點為，過焦點且斜率為k的直線交拋物線于P，Q兩點，（1）求拋物線方程；（2）若，求k的值；（3）過點作兩條互相垂直的直線分別交拋物線E于A，B，C，D四點，且M，N分別為線段AB，CD的中點，求△TMN面積的最小值．（二）選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計分．22．[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]（10分）在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以坐標原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為．（1）求曲線C的普通方程和直線l的直角坐標方程；（2）已知點P的直角坐標為，直線l與曲線C相交于A，B兩點，求．23．[選修4-5：不等式選講]（10分）已知函數(shù)，，且的解集為．（1）求m的值；（2）設(shè)a，b，c為正數(shù)，且，求的最大值．2023屆高三開學摸底考試·文科數(shù)學參考答案、提示及評分細則1．B，．2．C∵的實部與虛部相等，∴，解得．3．A對于A，由圖可知，甲銷售數(shù)據(jù)的中位數(shù)為93，故A錯誤；對于B，甲銷售數(shù)據(jù)的眾數(shù)為93，故B正確；對于C，乙銷售數(shù)據(jù)的極差是，故C正確；對于D，甲銷售數(shù)據(jù)的均值：，乙銷售數(shù)據(jù)的均值：，∴乙銷售數(shù)據(jù)的均值比甲大，故D正確．4．B，，，，，，，，結(jié)束算法，輸出．5．C依題意，樣本空間包含樣本點為52，抽到的牌為“紅桃”或“A”包含的樣本點為16，所以抽到的牌為“紅桃”或“A”的概率為．6．A把的圖象向左平移個單位后，得到函數(shù)，因為該函數(shù)為偶函數(shù)，所以，，所以，，因為，所以．7．D由三視圖還原幾何體如圖，該幾何體為直四棱柱，底面為直角梯形．，，，，，，則該幾何體的表面積是．8．B因為，，所以有兩個不同的實數(shù)解，，且由根與系數(shù)的關(guān)系得，，由題意可得，解得，此時，，當，時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，故當時，取得極大值．9．B因為，所以為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱，排除A項；當時，，排除D項；因為，，所以，排除C項．10．D設(shè)雙曲線的左焦點，因為，由正比例函數(shù)圖象和雙曲線的對稱性，可知，四邊形為矩形，，設(shè)，，則，∵△OAF的面積為，∴△ABF的面積，且，聯(lián)立三式：得，∴，即．11．A如圖，連接EF并延長，交線段的延長線于點G，連接交于點P．知，連接，由正方體的結(jié)構(gòu)特征知，∴異面直線BP與所成的角為，在中，由已知得，，，則．12．C∵，∴，即，（*）∵，∴，．令，（*）式可化為，則恒成立，∴在上單調(diào)遞增，∴，即．13．，，∵A，C，D三點共線，∴與共線，∴，解得．14．∵在橢圓上，∴可設(shè)，，∴（其中，），∴當時，取得最大值．15．由題意知，，因為，所以，即，可得，解得：．16．  由正弦定理及，知，因為，所以，因為，所以，因為，所以．由正弦定理知，，所以，，所以，因為，所以，所以，故，所以．17．解：（1）由題意知，男生總?cè)藬?shù)為：，女生總?cè)藬?shù)為：， 喜歡晨跑不喜歡晨跑合計男生8040120女生503080合計13070200∴，故沒有90%的把握認為喜歡晨跑與性別有關(guān)．（2）由題意知5人中女生3人，記為A，B，C，男生2人，記為d，e；隨機抽取兩人，所有可能情況為，，，，，，，，，共10種，其中符合題意的有，，，，，共6種，故所求概率為．18．解：（1）已知是數(shù)列的前n項和，且，①則，②則，又，即（2）由（1）得：當時，，則．19．（1）證明：∵，，∴．∵平面，平面，∴．∵，∴．∵，，平面，∴平面，又平面，∴．（2）解：∵平面ABC，平面ABC，∴．又∵，，∴平面．，．20．（1）解：，∴．又∵，∴．∴，令，得，∴當時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，即在內(nèi)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）證明：，設(shè)函數(shù)，則，∴當時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，∴．設(shè)函數(shù)，則，設(shè)，則，令，得，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，則，∴，函數(shù)單調(diào)遞增，∴．又，，，∴．21．解：（1）∵拋物線E的頂點在原點，焦點為，∴．（2）如圖①，若，不妨設(shè)，則．設(shè)拋物線的準線為l，過點P作，垂足為H，過點Q作，垂足為G．，∴．在Rt△PQG中，，，得，∴，同理時，，∴．（3）根據(jù)題意得AB，CD斜率存在．設(shè)AB：，CD：，，，，，由得，∴，，，同理可得，∴，，∴，當且僅當時，面積取到最小值16．22．解：（1）曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），消去參數(shù)，可得曲線C的普通方程為．由，得，即，將，代入，得直線l的直角坐標方程為．（2）∵直線l的直角坐標方程為，∴它的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），代入C的直角坐標方程，得，即．由于，設(shè)，是上述方程的兩實根，則，，又直線l過點，所以．23．解：（1）由題意，由的解集為，得解得．（2）由（1）可得，由柯西不等式可得，∴．當且僅當，即時等號成立，∴的最大值為．

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