2019新教材A版數(shù)學(xué)學(xué)科高二年級(jí)選擇性必修第二冊(cè)4.4《數(shù)學(xué)歸納法》同步練習(xí) 一、     單選題：1.用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)為正奇數(shù)時(shí)，能被整除”時(shí)，第二步歸納假設(shè)應(yīng)寫成（    ）A．假設(shè)當(dāng)時(shí)成立，再推出當(dāng)時(shí)成立B．假設(shè)當(dāng)時(shí)成立，再推出當(dāng)時(shí)成立C．假設(shè)當(dāng)時(shí)成立，再推出當(dāng)時(shí)成立D．假設(shè)當(dāng)時(shí)成立，再推出當(dāng)時(shí)成立2.若命題在時(shí)命題成立，則有時(shí)命題成立，現(xiàn)知命題對(duì)時(shí)命題成立，則有（    ）．A．命題對(duì)所有正整數(shù)都成立B．命題對(duì)小于的正整數(shù)不成立，對(duì)大于或等于的正整數(shù)都成立C．命題對(duì)小于的正整數(shù)成立與否不能確定，對(duì)大于或等于的正整數(shù)都成立D．以上說(shuō)法都不正確3.設(shè)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且滿足：當(dāng)成立時(shí)，總有成立.則下列命題總成立的是（    ）A．若成立，則成立 B．若成立，則當(dāng)時(shí)，均有成立C．若成立，則成立 D．若成立，則當(dāng)時(shí)，均有成立4. 現(xiàn)有命題“，，用數(shù)學(xué)歸納法去探究此命題的真假情況，下列說(shuō)法正確的是（    ）A．不能用數(shù)學(xué)歸納法判斷此命題的真假B．此命題一定為真命題C．此命題加上條件后才是真命題，否則為假命題D．存在一個(gè)很大的常數(shù)，當(dāng)時(shí)，此命題為假命題5.證明：當(dāng)時(shí)，能被64整除．則下列選項(xiàng)不正確的是(    ）A.當(dāng)時(shí)，能被64整除．B.假設(shè)當(dāng)時(shí)，能被64整除，C.當(dāng)時(shí)，．     故也能被64整除．      D.以上答案都不對(duì).二、填空題:6.用數(shù)學(xué)歸納法證明，假設(shè)n=k時(shí),不等式成立,則當(dāng)n=k+1時(shí),應(yīng)推證的目標(biāo)不等式是_______________________.7.用數(shù)學(xué)歸納法證明：，第一步應(yīng)驗(yàn)證的等式是__________；從“”到“”左邊需增加的等式是_________.8.用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋≤1＋≤＋n(n∈N*)時(shí)，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，應(yīng)該證明那個(gè)式子                                                     .三、多選題：9. 對(duì)于不等式，某同學(xué)運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法的證明過(guò)程如下：①當(dāng)時(shí)，，不等式成立.②假設(shè)當(dāng)時(shí)，不等式成立，即，則當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，不等式成立.上述證法（    ）A．過(guò)程全部正確 B．時(shí)證明正確C．過(guò)程全部不正確 D．從到的推理不正確10.如果命題對(duì)成立，則它對(duì)也成立.則下列結(jié)論正確的是（    ）A．若對(duì)成立，則對(duì)所有正整數(shù)都成立B．若對(duì)成立，則對(duì)所有正偶數(shù)都成立C．若對(duì)成立，則對(duì)所有正奇數(shù)都成立D．若對(duì)成立，則對(duì)所有自然數(shù)都成立四、拓展題：11.用數(shù)學(xué)歸納法證明：，其中.  .           12.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且.（1）求、、；（2）由（1）猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明.            五、創(chuàng)新題：13. 已知數(shù)列滿足，函數(shù)，，.（1）求證：；       （2）求證：當(dāng)時(shí)，.
 同步練習(xí)答案 一、 選擇題：1.答案：B解析：第二步假設(shè)當(dāng)時(shí)成立，再推出當(dāng)時(shí)成立. 故選B.2.答案:C解析：由已知可得時(shí)命題成立，則有時(shí)命題成立，在時(shí)命題成立的前提下，可推得時(shí)命題也成立，以此類推可知命題對(duì)大于或等于的正整數(shù)都成立，但命題對(duì)小于的正整數(shù)成立與否不能確定．    故選C.3.答案:D解析：選項(xiàng)A、C與已知條件不等號(hào)方向不同，故A、C錯(cuò)誤；選項(xiàng)B中，若f(3)≥4成立，則當(dāng)k≥3時(shí)，均有f(k)≥k+1成立，故B錯(cuò)誤；根據(jù)題意，若成立，則成立，即 成立，結(jié)合，所以當(dāng)時(shí)，均有成立. 故選D.4.答案:B解析：①當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，左邊右邊，即時(shí)，等式成立；②假設(shè)時(shí)，等式成立，即，則當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，等式成立．綜上，對(duì)任意，等式恒成立，故選：B．5.答案：D.二、填空題：6.答案:解析：假設(shè)時(shí)，不等式成立，則當(dāng)時(shí)，應(yīng)推證的目標(biāo)不等式是，    .7. 答案:  ;      解析：當(dāng)時(shí)，應(yīng)當(dāng)驗(yàn)證的第一個(gè)式子是，從“”到“”左邊需增加的式子是8.答案：1＋<1＋＋＋…＋＋＋＋…＋<＋(k＋1)  解析：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，≤1＋≤，命題成立．(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*)時(shí)命題成立，即1＋≤1＋＋＋…＋≤＋k，則當(dāng)n=k+1時(shí)，1＋＋＋…＋＋＋＋…＋＞1＋＋2k·＝1＋.又1＋＋＋…＋＋＋＋…＋＜＋k＋2k·＝＋(k＋1)，即n＝k＋1時(shí)，命題成立．    由(1)和(2)可知，命題對(duì)所有n∈N*都成立．三、多選題：9.答案:B、D.解析：易知當(dāng)時(shí)，該同學(xué)的證法正確.從到的推理過(guò)程中，該同學(xué)沒(méi)有使用歸納假設(shè)，不符合數(shù)學(xué)歸納法的證題要求，故推理不正確.     故選：B、D.10.答案:B、C.解析：由題意可知，若對(duì)成立，則對(duì)所有正奇數(shù)都成立；若對(duì)成立，則對(duì)所有正偶數(shù)都成立.   故選：B、C.四、拓展題：11.答案:證明見(jiàn)解析.解析：（1）當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，所以左邊=右邊，等式成立.（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)，等式成立，即，那么當(dāng)時(shí)，.等式成立綜上，對(duì)任何，等式都成立 12. 答案:（1），，；   （2），證明見(jiàn)解析.解析：（1），當(dāng)時(shí)，，解得，即有；當(dāng)時(shí)，，解得，則；當(dāng)時(shí)，，解得，則；（2）由（1）猜想可得數(shù)列的通項(xiàng)公式為.下面運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明.①當(dāng)時(shí)，由（1）可得成立；②假設(shè)，成立，當(dāng)時(shí)，，即有，則，當(dāng)時(shí)，上式顯然成立；當(dāng)時(shí)，，即，則當(dāng)時(shí)，結(jié)論也成立.    由①②可得對(duì)一切，成立.五、創(chuàng)新題：13.答案：（1）證明見(jiàn)解析；       （2）證明見(jiàn)解析.解析：（1）由題意知，當(dāng)時(shí)，.（2）用數(shù)學(xué)歸納法加以證明.①當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立.②假設(shè)當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立，即，則當(dāng)時(shí)，，由，可知，即.所以當(dāng)時(shí)，結(jié)論也成立.綜合①②，可得時(shí)，.
 

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4.4* 數(shù)學(xué)歸納法

版本： 人教A版 (2019)

年級(jí)： 選擇性必修 第二冊(cè)

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