課時(shí)質(zhì)量評(píng)價(jià)(三十八)(建議用時(shí)：45分鐘)A組　全考點(diǎn)鞏固練1．如果AB，BC，CD是不在同一平面內(nèi)的三條線段，則經(jīng)過(guò)它們中點(diǎn)的平面和直線AC的位置關(guān)系是(　　)A．平行 B．相交C．AC在此平面內(nèi) D．平行或相交A　解析：把這三條線段放在正方體內(nèi)如圖，顯然AC∥EF，AC平面EFG，EF?平面EFG，故AC∥平面EFG.故選A．2．(多選題)下列命題中不是真命題的為(　　)A．若直線l平行于平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線，則直線l∥αB．若直線a在平面α外，則a∥αC．若直線a∥b，b∥α，則a∥αD．若直線a∥b，b∥α，則a平行于平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線ABC　解析：A中，l可以在平面α內(nèi)，故不是真命題；B中，也存在直線a與平面α相交，故不是真命題；C中，a也可能在平面α內(nèi)，故不是真命題；D是真命題．3．(2020·重慶育才中學(xué)月考)設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不重合的平面，有以下四個(gè)命題：①若m∥α，n∥β且α∥β，則m∥n；②若m⊥α，n⊥β且α⊥β，則m⊥n；③若m⊥α，n∥β且α∥β，則m⊥n；④若m∥α，n⊥β且α⊥β，則m∥n.其中真命題的序號(hào)是(　　)A．②③  B．③④  C．①④  D．①②A　解析：對(duì)于命題①，直線m，n可以相交、平行或異面，故是錯(cuò)誤的；易知②③正確；對(duì)于命題④，直線m，n可以相交、平行或異面，故是錯(cuò)誤的．故選A．4．如圖，AB∥平面α∥平面β，過(guò)A，B的直線m，n分別交α，β于C，E和D，F.若AC＝2，CE＝3，BF＝4，則BD的長(zhǎng)為(　　)A．  B．  C．  D．C　解析：由AB∥α∥β，易證＝，即＝，所以BD＝＝＝.5．若平面α截三棱錐所得截面為平行四邊形，則該三棱錐與平面α平行的棱有(　　)A．0條 B．1條C．2條 D．0條或2條C　解析：如圖，設(shè)平面α截三棱錐所得的四邊形EFGH是平行四邊形，則EF∥GH，EF平面BCD，GH?平面BCD，所以EF∥平面BCD．又EF?平面ACD，平面ACD∩平面BCD＝CD，則EF∥CD，EF?平面EFGH，CD平面EFGH，則CD∥平面EFGH.同理AB∥平面EFGH，所以該三棱錐與平面α平行的棱有2條．故選C．6．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在CD上．若EF∥平面AB1C，則線段EF的長(zhǎng)度等于________．　解析：在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，所以AC＝2.又E為AD的中點(diǎn)，EF∥平面AB1C，EF?平面ACD，平面ACD∩平面AB1C＝AC，所以EF∥AC，所以F為DC的中點(diǎn)，所以EF＝AC＝.7．如圖，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分別是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M在四邊形EFGH及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，則M只需滿足條件________時(shí)，就有MN∥平面B1BDD1.(注：請(qǐng)?zhí)钌夏阏J(rèn)為正確的一個(gè)條件即可，不必考慮全部可能情況)點(diǎn)M在線段FH上(或點(diǎn)M與點(diǎn)H重合)解析：連接HN，FH，FN(圖略)，則FH∥DD1，HN∥BD，所以平面FHN∥平面B1BDD1.故只需M∈FH，則MN?平面FHN，所以MN∥平面B1BDD1.8．如圖，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD為菱形，E，F分別是線段A1D，BC1的中點(diǎn)．延長(zhǎng)D1A1到點(diǎn)G，使得D1A1＝A1G.證明：GB∥平面DEF.證明：連接A1C，B1C，則B1C，BC1交于點(diǎn)F(圖略)．因?yàn)?/span>CBD1A1，D1A1＝A1G，所以CBA1G，所以四邊形BCA1G是平行四邊形，所以GB∥A1C．又GB平面A1B1CD，A1C?平面A1B1CD，所以GB∥平面A1B1CD．又點(diǎn)D，E，F均在平面A1B1CD內(nèi)，所以GB∥平面DEF.9．如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E為PB的中點(diǎn)．(1)求證：CE∥平面PAD．(2)在線段AB上是否存在一點(diǎn)F，使得平面PAD∥平面CEF？若存在，證明你的結(jié)論；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．(1)證明：如圖，取PA的中點(diǎn)H，連接EH，DH.因?yàn)?/span>E為PB的中點(diǎn)，所以EH∥AB，EH＝AB.又AB∥CD，CD＝AB，所以EH∥CD，EH＝CD，因此四邊形DCEH為平行四邊形，所以CE∥DH.又DH?平面PAD，CE平面PAD，所以CE∥平面PAD．(2)解：存在點(diǎn)F為AB的中點(diǎn)，使平面PAD∥平面CEF.證明如下：取AB的中點(diǎn)F，連接CF，EF，則AF＝AB.因?yàn)?/span>CD＝AB，所以AF＝CD．又AF∥CD，所以四邊形AFCD為平行四邊形，所以CF∥AD．又AD?平面PAD，CF平面PAD，所以CF∥平面PAD．由(1)知CE∥平面PAD，又CE∩CF＝C，故平面CEF∥平面PAD，故存在AB的中點(diǎn)F滿足要求．B組　新高考培優(yōu)練10．(2020·福州3月質(zhì)檢)已知a，b是兩條異面直線，直線c與a，b都垂直，則下列說(shuō)法正確的是(　　)A．若c?平面α，則a⊥αB．若c⊥平面α，則a∥α，b∥αC．存在平面α，使得c⊥α，a?α，b∥αD．存在平面α，使得c∥α，a⊥α，b⊥αC　解析：對(duì)于A，滿足c?平面α，且c與異面直線a，b均垂直，則a可能在α內(nèi)，也可能與α相交，也可能與α平行，故A錯(cuò)誤．對(duì)于B，滿足c⊥平面α時(shí)，直線a與直線b可能其中一條在平面α內(nèi)，故B錯(cuò)誤．對(duì)于C，若b∥α，則α內(nèi)一定存在一條直線b′，使得b∥b′.又a?α，且a與b為兩條異面直線，所以a與b′一定相交．又c⊥b，b∥b′，所以c⊥b′.又知c⊥a，a與b′相交，所以c⊥α，故C正確．對(duì)于D，如果a⊥α，b⊥α，則a∥b，這與條件中a，b是兩條異面直線相矛盾，故D錯(cuò)誤．故選C．11．(多選題)(2020·濟(jì)南模擬)已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱AA1＝1，P為上底面A1B1C1D1上的動(dòng)點(diǎn)，下列四個(gè)結(jié)論中正確的為(　　)A．若PD＝3，則滿足條件的P點(diǎn)有且只有一個(gè)B．若PD＝，則點(diǎn)P的軌跡是一段圓弧C．若PD∥平面ACB1，則DP長(zhǎng)的最小值為2D．若PD∥平面ACB1，且PD＝，則平面BDP截正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的外接球所得平面圖形的面積為ABD　解析：如圖，因?yàn)檎睦庵?/span>ABCD-A1B1C1D1的底面邊長(zhǎng)為2，所以B1D1＝2.又側(cè)棱AA1＝1，所以DB1＝＝3，則點(diǎn)P與點(diǎn)B1重合時(shí)，PD＝3，此時(shí)P點(diǎn)唯一，故A正確．因?yàn)?/span>PD＝∈(1,3)，DD1＝1，則PD1＝，即點(diǎn)P的軌跡是一段圓弧，故B正確．連接DA1，DC1，可得平面A1DC1∥平面ACB1，則當(dāng)P為A1C1中點(diǎn)時(shí)，DP有最小值，為＝，故C錯(cuò)誤．由C選項(xiàng)知，平面BDP即為平面BDD1B1，平面BDP截正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的外接球所得平面圖形為外接球的大圓，其半徑為＝，面積為，故D正確．故選ABD．12．平面α過(guò)正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點(diǎn)A，平面α∥平面A1BD，平面α∩平面ABCD＝l，則直線l與直線A1C1所成的角為(　　)A．30° B．45°C．60° D．90°D　解析：如圖所示，因?yàn)槠矫?/span>α過(guò)正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點(diǎn)A，平面α∥平面A1BD，平面α∩平面ABCD＝l＝AF，平面A1BD∩平面ABCD＝BD，所以BD∥AF.又因?yàn)?/span>A1C1∥AC，所以直線l與直線A1C1所成的角即為直線BD與直線AC所成的角，即直線l與直線A1C1所成的角為90°.13．(2021·蚌埠模擬)如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，E，F分別為AA1，AB的中點(diǎn)，M是正方形ABB1A1內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)．若C1M∥平面CD1EF，則M點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為________．　解析：如圖，取A1B1的中點(diǎn)H，B1B的中點(diǎn)G，連接GH，C1H，C1G，EG，HF.可得四邊形EGC1D1是平行四邊形，所以C1G∥D1E.同理可得C1H∥CF.因?yàn)?/span>C1H∩C1G＝C1，所以平面C1GH∥平面CD1EF.由M是正方形ABB1A1內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)可知，若C1M∥平面CD1EF，則點(diǎn)M在線段GH上，所以M點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度GH＝＝.14．已知A，B，C，D四點(diǎn)不共面，且AB∥平面α，CD∥平面α，AC∩α＝E，AD∩α＝F，BD∩α＝H，BC∩α＝G，則四邊形EFHG是________．平行四邊形　解析：因?yàn)?/span>AB∥α，平面ABD∩α＝FH，平面ABC∩α＝EG，所以AB∥FH，AB∥EG，所以FH∥EG.同理EF∥GH，所以四邊形EFHG是平行四邊形．15．在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，E為側(cè)棱PD(不含端點(diǎn))上的動(dòng)點(diǎn)．(1)是否存在一點(diǎn)E，使得PB∥平面AEC？若存在，請(qǐng)說(shuō)明點(diǎn)E的位置，并證明你的結(jié)論；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．(2)若點(diǎn)F在CD上，且PE∶ED＝CF∶FD，在棱PA(不含端點(diǎn))上是否存在點(diǎn)G，使得平面BCG∥平面AEF？若存在，請(qǐng)證明你的結(jié)論；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：(1)當(dāng)E為PD的中點(diǎn)時(shí)，PB∥平面AEC．證明如下：如圖，連接BD，設(shè)AC∩BD＝O，則O為BD的中點(diǎn)．連接EO，由E，O分別為PD，BD的中點(diǎn)，知EO為△PBD的中位線，所以EO∥PB.又EO?平面AEC，PB平面AEC，所以PB∥平面AEC．(2)不存在符合題意的點(diǎn)G.理由如下：假設(shè)存在點(diǎn)G滿足題意．如圖，因?yàn)槠矫?/span>BCG∩平面ABCD＝BC，平面AEF∩平面ABCD＝AF，又平面BCG∥平面AEF，所以BC∥AF.又在菱形ABCD中，BC∥AD，所以在平面ABCD內(nèi)，過(guò)A點(diǎn)有兩條直線AF，AD同時(shí)平行于BC，矛盾．所以，在棱PA(不含端點(diǎn))上不存在點(diǎn)G，使得平面BCG∥平面AEF. 

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