A組 全考點(diǎn)鞏固練
1．函數(shù)f (x)＝ex＋x－3在區(qū)間(0,1)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是( )
A．0B．1
C．2D．3
B 解析：由題知函數(shù)f (x)是增函數(shù)．根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在定理及f (0)＝－2＜0，f (1)＝e－2>0，可知函數(shù)f (x)在區(qū)間(0,1)上有且只有一個(gè)零點(diǎn)．故選B．
2．函數(shù)f (x)＝1－xlg2x的零點(diǎn)所在區(qū)間是( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(1,2)))B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))
C．(1，2)D．(2，3)
C 解析：f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))＝1－eq \f(1,4)lg2eq \f(1,4)＝1＋eq \f(1,2)＝eq \f(3,2)>0，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝1－eq \f(1,2)lg2eq \f(1,2)＝1＋eq \f(1,2)＝eq \f(3,2)>0，f (1)＝1－0>0，f (2)＝1－2lg22＝－10)的圖象如圖所示．
由圖可知函數(shù)f (x)在定義域內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.
6．設(shè)f (x)在區(qū)間[－1,1]上單調(diào)遞增，且f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))·f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))0時(shí)，f (x)有一個(gè)零點(diǎn)，需－a0.綜上，01，02.又2x－m>0恒成立，則m≤(2x)min，即m≤4.所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為(2,4]．
16．已知函數(shù)f (x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2，0≤x≤1，,|ln?x－1?|，x>1.))若方程f (x)＝kx－2有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________．
[3，＋∞) 解析：由題意知函數(shù)f (x)的圖象與恒過(guò)定點(diǎn)(0，－2)的直線y＝kx－2有兩個(gè)交點(diǎn)，作出y＝f (x)與y＝kx－2的圖象，如圖所示．
當(dāng)直線y＝kx－2過(guò)點(diǎn)(1,1)時(shí)，k＝3.
結(jié)合圖象知，當(dāng)k≥3時(shí)，直線與y＝f (x)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)．
17．已知a∈R，函數(shù)f (x)＝lg2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋a)).
(1)當(dāng)a＝5時(shí)，解不等式f (x)＞0；
(2)若函數(shù)g(x)＝f (x)＋2lg2x只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
解：(1)當(dāng)a＝5時(shí)，f (x)＝lg2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋5)).
由f (x)＞0，即lg2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋5))＞0，可得eq \f(1,x)＋5＞1，解得x＜－eq \f(1,4)或x＞0.
即不等式f (x)＞0的解集為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,4)))∪(0，＋∞)．
(2)g(x)＝f (x)＋2lg2x＝lg2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋a))＋2lg2x＝lg2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋a))·x2(其中x＞0)．
因?yàn)楹瘮?shù)g(x)＝f (x)＋2lg2x只有一個(gè)零點(diǎn)，即g(x)＝0只有一個(gè)根，
即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋a))·x2＝1在(0，＋∞)上只有一個(gè)解，
即ax2＋x－1＝0在(0，＋∞)上只有一個(gè)解．
①當(dāng)a＝0時(shí)，方程x－1＝0，解得x＝1，符合題意．
②當(dāng)a≠0時(shí)，設(shè)函數(shù)y＝ax2＋x－1.
當(dāng)a＞0時(shí)，此時(shí)函數(shù)y＝ax2＋x－1與x軸的正半軸，只有一個(gè)交點(diǎn)，符合題意；
當(dāng)a＜0時(shí)，要使得函數(shù)y＝ax2＋x－1與x軸的正半軸只有一個(gè)交點(diǎn)，
則滿足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1,2a)＞0，,Δ＝1＋4a＝0，))解得a＝－eq \f(1,4) .
綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)))∪[0，＋∞)．

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