第二節(jié)　同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式一、教材概念·結(jié)論·性質(zhì)重現(xiàn)1．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(1)平方關(guān)系：sin2α＋cos2α＝1(α∈R)．(2)商數(shù)關(guān)系：tan α＝.(1)平方關(guān)系的作用：實現(xiàn)同角的正弦值與余弦值之間的轉(zhuǎn)化，利用該公式求值，要注意確定角的終邊所在的象限，從而判斷三角函數(shù)值的符號．(2)商數(shù)關(guān)系的作用：切化弦，弦切互化．(3)掌握變形公式：sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，sin α＝tan αcos α，sin2α＝，cos2α＝.2．誘導(dǎo)公式公式一sin(α＋k·2π)＝sin α，cos(α＋k·2π)＝cos α，tan(α＋k·2π)＝tan α，其中k∈Z公式二sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α，tan(π＋α)＝tan α公式三sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α，tan(－α)＝－tan α公式四sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α，tan(π－α)＝－tan α公式五sin＝cos α，cos＝sin α公式六sin＝cos α，cos＝－sin α (1)誘導(dǎo)公式可簡記為：奇變偶不變，符號看象限．“奇”“偶”指的是“k·＋α(k∈Z)”中的k是奇數(shù)還是偶數(shù)．“變”與“不變”是指函數(shù)的名稱的變化．若k是奇數(shù)，則正、余弦互變；若k為偶數(shù)，則函數(shù)名稱不變．“符號看象限”指的是在“k·＋α(k∈Z)”中，將α看成銳角時，“k·＋α(k∈Z)”的終邊所在的象限．(2)利用誘導(dǎo)公式把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)的步驟：也就是：“負(fù)化正，去周期，大化小，全化銳”．二、基本技能·思想·活動體驗1．判斷下列說法的正誤，對的打“√”，錯的打“×”．(1)對任意角α，sin23α＋cos23α＝1都成立． (√)(2)誘導(dǎo)公式中的角α可以是任意角． (×)(3)若cos(nπ－θ)＝(n∈Z)，則cos θ＝． (×)(4)已知sin θ＝，cos θ＝，其中θ∈，則m<－5或m≥3． (×)2．若tan α＝2，則的值為(　　)A．－  B．－  C．  D．C　解析：＝＝＝.3．sin 750°＝________.　解析：sin 750°＝sin(360°×2＋30°)＝sin 30°＝.4．若sin α＝，<α<π，則tan α＝________.－　解析：因為<α<π，所以cos α＝－＝－，所以tan α＝＝－.5．化簡·sin(α－π)·cos(2π－α)的結(jié)果為________．－sin2α　解析：原式＝·(－sin α)·cos α＝－sin2α.考點(diǎn)1　同角三角函數(shù)基本關(guān)系的應(yīng)用——應(yīng)用性考向1　知弦求切(2020·福州一模)已知3sin α·tan α＋8＝0，α∈，則tan α＝________.－2　解析：因為3sin α·tan α＋8＝0，α∈，所以＋8＝0，整理可得3cos2α－8cos α－3＝0，解得cos α＝－或cos α＝3(舍去)．所以sin α＝＝.所以tan α＝＝－2.若本例的條件改為“＝2，α∈”．求tan α的值．解：因為＝2，所以sin α＝2＋2cos α.兩邊平方，得sin2α＝4＋8cos α＋4cos2α，即1－cos2α＝4＋8cos α＋4cos2α，整理得，5cos2α＋8cos α＋3＝0，解得cos α＝－1或cos α＝－.當(dāng)cos α＝－1時，1＋cos α＝0，無意義；當(dāng)cos α＝－時，sin α＝，所以tan α＝＝－. 本例為已知sin α，cos α，tan α中的一個求另外兩個的值．解決此類問題時，直接套用公式sin2α＋cos2α＝1及tan α＝即可，但要注意α的取值范圍，即三角函數(shù)值的符號．考向2　知切求弦已知＝－1，求下列各式的值：(1)；(2)sin2α＋sin αcos α＋2.解：由已知得tan α＝.(1)＝＝－.(2)sin2α＋sin αcos α＋2＝＋2＝＋2＝＋2＝.利用“切弦互化”的技巧(1)弦化切：把正弦、余弦化成正切的結(jié)構(gòu)形式，統(tǒng)一為正切的表達(dá)式，進(jìn)行求值．常見的結(jié)構(gòu)：①sin α，cos α的齊次式(如asin2α＋bsin αcos α＋ccos2α)；②sin α，cos α的齊次分式.(2)切化弦：利用公式tan α＝，把式子中的正切化成正弦或余弦．一般單獨(dú)出現(xiàn)正切、余切時，采用此技巧．考向3　“sin α±cos α，sin αcos α”之間的關(guān)系已知－π<x<0，sin x＋cos x＝，求sin x－cos x的值．解：由已知，得sin x＋cos x＝，兩邊平方得sin2x＋2sin xcos x＋cos2x＝，整理得2sin xcos x＝－.因為(sin x－cos x)2＝1－2sin xcos x＝，所以sin x－cos x＝±.由－π<x<0知，sin x<0，又sin xcos x＝－<0，所以cos x>0.所以sin x－cos x<0.故sin x－cos x＝－.本例中若將條件“－π<x<0”改為“0<x<π”，求sin x－cos x的值．解：因為0<x<π，2sin xcos x＝－，所以sin x>0，cos x<0，所以sin x－cos x>0，故sin x－cos x＝. “sin α±cos α，sin αcos α”關(guān)系的應(yīng)用sin α±cos α與sin αcos α通過平方關(guān)系聯(lián)系到一起，即(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，sin αcos α＝，sin αcos α＝.因此在解題時已知一個可求另外兩個．1．已知α∈(0，π)，cos α＝－，則tan α＝(　　)A．  B．－  C．  D．－D　解析：因為cos α＝－且α∈(0，π)，所以sin α＝＝，所以tan α＝＝－.故選D．2．已知sin x＋cos x＝，x∈(0，π)，則tan x＝(　　)A．－  B．  C．  D．－D　解析：因為sin x＋cos x＝，且x∈(0，π)，所以1＋2sin xcos x＝1－，所以2sin xcos x＝－＜0，所以x為鈍角，所以sin x－cos x＝＝，結(jié)合已知解得sin x＝，cos x＝－，則tan x＝＝－.3．(2020·化州二模)已知曲線f (x)＝x3在點(diǎn)(1，f (1))處的切線的傾斜角為α，則的值為________．　解析：由f (x)＝x3得f ′(x)＝2x2，所以f ′(1)＝2，故tan α＝2.所以＝＝＝.考點(diǎn)2　誘導(dǎo)公式的應(yīng)用——基礎(chǔ)性(1)點(diǎn)A(sin 2 021°，cos 2 021°)在直角坐標(biāo)平面上位于(　　)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限C　解析：sin 2 021°＝sin 221°＝－sin 41°＜0，cos 2 021°＝cos 221°＝－cos 41°＜0.故選C．(2)已知cos＝a，則cos＋sin的值是________．0　解析：因為cos＝cos＝－cos＝－a，sin＝sin ＝cos＝a，所以cos＋sin＝0.(1)利用誘導(dǎo)公式解題的一般思路．①化絕對值大的角為銳角．②角中含有±的整數(shù)倍時，用公式去掉的整數(shù)倍．(2)常見的互余和互補(bǔ)的角.互余的角－α與＋α；＋α與－α；＋α與－α互補(bǔ)的角＋θ與－θ；＋θ與－θ提醒：對給定的式子進(jìn)行化簡或求值時，要注意給定的角之間存在的特定關(guān)系，充分利用給定的關(guān)系結(jié)合誘導(dǎo)公式將角進(jìn)行轉(zhuǎn)化．特別要注意每一個角的終邊所在的象限，防止三角函數(shù)值的符號及三角函數(shù)名稱出錯． 1．已知sin(π＋α)＝－，則tan＝(　　)A．2  B．－2  C．  D．±2D　解析：因為sin(π＋α)＝－，所以sin α＝，cos α＝±，所以tan＝＝±2.故選D．2．(2020·北京卷)已知α，β∈R，則“存在k∈Z使得α＝kπ＋(－1)kβ”是“sin α＝sin β”的(　　)A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件C　解析：①當(dāng)存在k∈Z使得α＝kπ＋(－1)kβ時，若k為偶數(shù)，則sin α＝sin(kπ＋β)＝sin β；若k為奇數(shù)，則sin α＝sin(kπ－β)＝sin[(k－1)π＋π－β]＝sin(π－β)＝sin β，充分性成立；②當(dāng)sin α＝sin β時，α＝β＋2nπ或α＝π－β＋2nπ，n∈Z，即α＝kπ＋(－1)kβ(k＝2n)或α＝kπ＋(－1)kβ(k＝2n＋1)，亦即存在k∈Z使得α＝kπ＋(－1)kβ，必要性成立．所以，“存在k∈Z使得α＝kπ＋(－1)kβ”是“sin α＝sin β”的充要條件．故選C．已知3cos x＋4sin x＝5，求tan x的值．[四字程序]讀想算思求tan x的值1.同角的正弦、余弦和正切有什么關(guān)系？2.3cos x＋4sin x的最大值是多少？3.由已知條件聯(lián)想點(diǎn)A(cos x，sin x)在哪條直線上1.求sin x和cos x；2.輔助角公式 1.方程思想2.數(shù)形結(jié)合3.轉(zhuǎn)化與化歸 3cos x＋4sin x＝51.sin2x＋cos2x＝1，tan x＝；2.3cos x＋4sin x的最大值為5；3.點(diǎn)A(cos x，sin x)在直線3x＋4y＝5上1.聯(lián)立3cos x＋4sin x＝5與sin2x＋cos2x＝1；2.3cos x＋4sin x＝5sin(x＋φ)1.tan x可看作直線的斜率．2.將已知條件變?yōu)?/span>cos x＋sin x＝1思路參考：解方程組解：由消去cos x，整理得(5sin x－4)2＝0.解得sin x＝，cos x＝.故tan x＝＝.思路參考：注意到3cos x＋4sin x的最大值為5，利用輔助角公式推出x與輔助角的關(guān)系．解：3cos x＋4sin x＝5＝5sin(x＋φ)＝5，其中cos φ＝，sin φ＝.所以tan φ＝.所以x＋φ＝2kπ＋(k∈Z)．于是tan x＝tan＝＝.思路參考：令tan x＝t，借助已知條件用t表示sin x和cos x.解：令tan x＝t，即tcos x＝sin x，代入3cos x＋4sin x＝5，得3cos x＋4tcos x＝5，所以cos x＝，sin x＝.再代入sin2x＋cos2x＝1，得＋＝1，解得t＝，即tan x＝.思路參考：設(shè)P(m，n)為角x終邊上任意一點(diǎn)，r＝，利用三角函數(shù)的定義．解：設(shè)P(m，n)為角x終邊上任意一點(diǎn)，點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離為r，則r＝.把sin x＝，cos x＝代入已知等式得3·＋4·＝5.即(3m＋4n)2＝(5r)2＝25(m2＋n2)．整理得(4m－3n)2＝0，所以4m＝3n.顯然m≠0，故tan x＝＝.思路參考：設(shè)點(diǎn)A(cos x，sin x)是直線3x＋4y＝5與單位圓x2＋y2＝1的切點(diǎn)，而tan x＝kOA．解：由3cos x＋4sin x＝5可知點(diǎn)A(cos x，sin x)在直線3x＋4y＝5上，同時也在單位圓x2＋y2＝1上，所以點(diǎn)A為直線3x＋4y＝5與單位圓的切點(diǎn)．由于直線3x＋4y＝5的斜率為－，所以OA的斜率為，即tan x＝.思路參考：m＝(cos x，sin x)，n＝，證明m∥n.解：因為cos x＋sin x＝1，不妨令m＝(cos x，sin x)，n＝，可知|m|＝1，|n|＝1.所以m，n均為單位向量，且m·n＝1.由|m||n|≥|m·n|，等號成立的條件為m∥n，則有cos x＝sin x，即tan x＝.1．本題考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系的應(yīng)用，基本解題方法是構(gòu)建方程(組)、數(shù)形結(jié)合等．在求解過程中，應(yīng)注意同角三角函數(shù)的基本關(guān)系本身是恒等式，也可以看作是方程．2．基于課程標(biāo)準(zhǔn)，解答本題一般需要熟練掌握運(yùn)算求解能力，轉(zhuǎn)化與化歸的能力，體現(xiàn)數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．3．基于高考數(shù)學(xué)評價體系，本題的多種解法中涉及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、方程、輔助角公式、直線與圓、向量等知識，滲透著函數(shù)與方程、等價轉(zhuǎn)換、數(shù)形結(jié)合等思想方法，提升思維的靈活性起到了積極的作用．已知θ是第一象限角，若sin θ－2cos θ＝－，求sin θ＋cos θ的值．解：因為sin θ－2cos θ＝－，所以sin θ＝2cos θ－.所以＋cos2θ＝1.所以5cos2θ－cos θ－＝0，即＝0.又因為θ為第一象限角，所以cos θ＝，所以sin θ＝，所以sin θ＋cos θ＝. 

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