第二節(jié)　同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式考試要求：1．理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α．2．借助單位圓的對(duì)稱性推導(dǎo)出±α，π±α的正弦、余弦、正切的誘導(dǎo)公式．一、教材概念·結(jié)論·性質(zhì)重現(xiàn)1．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(1)平方關(guān)系：sin2α＋cos2α＝1．(2)商數(shù)關(guān)系：＝tan α．(3)常見變形：sin α＝±；cos α＝±；(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；sin α＝tan α·cos α．利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可以實(shí)現(xiàn)正弦、余弦、正切值的轉(zhuǎn)化，但一定要注意確定角的終邊所在的象限．“同角”有兩層含義：一是角相同，二是任意一個(gè)角(在有意義的前提下)．2．三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式公式一二三四五六角απ＋α－απ－α－α＋α正弦sin α－sin α－sin αsin αcos αcos α余弦cos α－cos αcos α－cos αsin α－sin α正切tan αtan α－tan α－tan α  口訣函數(shù)名不變，符號(hào)看象限函數(shù)名改變，符號(hào)看象限 誘導(dǎo)公式的記憶口訣：“奇變偶不變，符號(hào)看象限．”其含義理解為：(1)所有誘導(dǎo)公式均可看作k·±α(k∈Z)和α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系，口訣中的奇、偶指的是此處的k是奇數(shù)還是偶數(shù)，變與不變是指三角函數(shù)名稱的變化．(2)結(jié)果的符號(hào)與把α當(dāng)成銳角時(shí)角k·±α(k∈Z)的三角函數(shù)值的符號(hào)相同．二、基本技能·思想·活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)1．判斷下列說法的正誤，對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”．(1)對(duì)任意角α，sin23α＋cos23α＝1都成立． (　√　)(2)若cos(nπ－θ)＝(n∈Z)，則cos θ＝． (　×　)(3)已知sin θ＝，cos θ＝，其中θ∈，則m<－5或m≥3． ????????????? ????????????? (　×　)2．若α是第四象限角，tan α＝－，則sin α等于(　　)A．　 　B．－　 　C．　 　D．－D　解析：因?yàn)?/span>tan α＝＝－，sin2α＋cos2α＝1，所以sin α＝±．因?yàn)?/span>α是第四象限角，所以sin α＝－．3．已知sin＝，則cos＝(　　)A．   B．  C．－   D．－C　解析：因?yàn)?/span>sin＝，所以cos＝cos＝－sin＝－．故選C．4．若α是第三象限角且cos α＝－，則sin α＝_______，tan α＝________．－　　解析：因?yàn)?/span>α是第三象限角且cos α＝－，所以sin α＝－＝－，所以tan α＝＝．5．已知sin α＝，則·sin(α－π)·cos(2π－α)的值為________．－　解析：原式＝·(－sin α)·cos(－α)＝·(－sin α)·cos α＝·(－sin α)·cos α＝－sin2α＝－．考點(diǎn)1　同角三角函數(shù)關(guān)系的基本應(yīng)用——應(yīng)用性考向1　知弦求弦、切或知切求弦(1)(2022·濟(jì)南一模)已知α∈(0，π)，若cos α＝－，則tan α的值為(　　)A．　　　　B．－　　　　C．　　　　D．－D　解析：因?yàn)?/span>α∈(0，π)，cos α＝－，所以sin α＝，則tan α＝－．(2)(2021·安慶一模)已知3sin＋sin(θ＋π)＝0，θ∈(－π，0)，則sin θ＝(　　)A．－   B．－  C．   D．A　解析：由3sin＋sin(θ＋π)＝0，可得3cos θ＝sin θ，可得tan θ＝3．而θ∈(－π，0)，可得sin θ＝－＝－．本例(2)條件不變，求cos θ的值．解：由3sin＋sin(θ＋π)＝0，可得3cos θ＝sin θ，可得tan θ＝3．而θ∈(－π，0)，可得sin θ<0．又tan θ＝3>0，所以cos θ<0，所以cos θ＝－＝－．1．利用sin2α＋cos2α＝1可以實(shí)現(xiàn)正弦、余弦的互化，利用tan α＝可以實(shí)現(xiàn)弦切互化．2．由一個(gè)角的任意一個(gè)三角函數(shù)值可以求出這個(gè)角的另外兩個(gè)三角函數(shù)值，求值時(shí)要注意角所在的象限，以免出現(xiàn)符號(hào)錯(cuò)誤．考向2　弦切互化求值(1)已知cos θ＝，則sin θ·的值為(　　)A．   B．－  C．3   D．－3 C　解析：原式＝sin θ＝sin θ·＝＝3．(2)(2021·新高考全國(guó)Ⅰ卷)若tan θ＝－2，則＝(　　)A．－   B．－  C．   D．C　解析：將式子進(jìn)行齊次化處理，得＝＝sin θ(sin θ＋cos θ)＝＝＝＝．本例(2)條件不變，求cos2θ－sin 2θ的值．解：cos2θ－sin 2θ＝＝＝＝1．1．弦化切的常見結(jié)構(gòu)(1)形如“asin2α＋bsin αcos α＋ccos2α”的二次式，分母看作1，利用1＝sin2α＋cos2α將原式轉(zhuǎn)化為齊次式求值．(2)形如“”的齊次分式．2．切化弦當(dāng)要化簡(jiǎn)的式子中同時(shí)出現(xiàn)正弦、余弦、正切時(shí)，一般利用公式tan α＝，把式中的正切化為弦．考向3　sin α±cos α，sin αcos α之間的關(guān)系(1)已知sin α＋cos α＝，且α∈(0，π)，則sin α－cos α＝(　　)A．±　   B．－  C．   D．C　解析：把sin α＋cos α＝，兩邊平方得(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝，即2sin αcos α＝－<0．因?yàn)?/span>0<α<π，故sin α>0，cos α<0．所以sin α－cos α＝＝＝＝．(2)已知sin x＋cos x＝，x∈(0，π)，則tan x等于(　　)A．－   B．  C．   D．－D　解析：由題意可知sin x＋cos x＝，x∈(0，π)，則(sin x＋cos x)2＝．因?yàn)?/span>sin2x＋cos2x＝1，所以2sin xcos x＝－，即＝＝－，得tan x＝－或tan x＝－．當(dāng)tan x＝－時(shí)，sin x＋cos x<0，不合題意，舍去．所以tan x＝－．注意方程思想的應(yīng)用：對(duì)于sin α＋cos α，sin α·cos α，sin α－cos α這三個(gè)式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．1．(2021·海南模擬)已知tan θ＋＝4，則sin4θ＋cos4θ＝(　　)A．   B． C．   D．D　解析：由tan θ＋＝＋＝＝＝4，得sin θcos θ＝，所以sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝1－2×＝．2．若sin α＋cos α＝，α∈(0，π)，則＝(　　)A．   B．－  C．   D．－B　解析：因?yàn)?/span>sin α＋cos α＝，α∈(0，π)，所以兩邊平方，可得1＋2sin αcos α＝，可得2sin αcos α＝－＜0，所以sin α＞0，cos α＜0，可得cos α－sin α＝－＝＝－＝－，所以＝＝－＝－．考點(diǎn)2　誘導(dǎo)公式的應(yīng)用——綜合性(1)sin·cos·tan的值是________．－　解析：原式＝sin·cos·tan＝··＝××(－)＝－．(2)(2021·北京卷)若P(cos θ，sin θ)與Q關(guān)于y軸對(duì)稱，寫出一個(gè)符合題意的θ值：________．(答案不唯一)　解析：因?yàn)?/span>P(cos θ，sin θ)與Q關(guān)于y軸對(duì)稱，故其橫坐標(biāo)相反，縱坐標(biāo)相等，即sin θ＝sin且cos θ＝－cos，由誘導(dǎo)公式sin θ＝sin(π－θ)，cos θ＝－cos(π－θ)，所以θ＋＝π－θ，解得θ＝，則符合題意的θ值可以為．1．誘導(dǎo)公式的兩個(gè)應(yīng)用口訣(1)求值：負(fù)化正，大化小，化到銳角就終了．(2)化簡(jiǎn)：統(tǒng)一角，統(tǒng)一名，同角名少目的到．2．角的變化的通式特殊角±已知角＝所求角．1．下列各選項(xiàng)中與sin 2 022°最接近的是(　　)A．   B．  C．－   D．－D　解析：sin 2 022°＝sin(1 800°＋222°)＝sin 222°＝sin(180°＋42°)＝－sin 42°≈－．2．已知sin＝－，則cos＝(　　)A．   B．  C．－  　D．－B　解析：cos＝cos＝－cos＝－sin＝．已知3cos x＋4sin x＝5，求tan x的值．[四字程序]讀想算思求tan x的值1．同角的正弦、余弦和正切有什么關(guān)系？2．3cos x＋4sin x的最大值是多少？3．由已知條件聯(lián)想點(diǎn)A(cos x，sin x)在哪條直線上1．求sin x和cos x．2．輔助角公式 1．方程思想．2．數(shù)形結(jié)合．3．轉(zhuǎn)化與化歸 3cos x＋4sin x＝51．sin2x＋cos2x＝1，tan x＝．2．3cos x＋4sin x的最大值為5．3．點(diǎn)A(cos x，sin x)在直線3x＋4y＝5上1．聯(lián)立3cos x＋4sin x＝5與sin2x＋cos2x＝1．2．3cos x＋4sin x＝5sin(x＋φ) 1．tan x可看作直線的斜率．2．將已知條件變?yōu)?/span>cos x＋sin x＝1思路參考：解方程組解：由消去cos x，整理得(5sin x－4)2＝0，解得sin x＝，cos x＝．故tan x＝＝．思路參考：注意到3cos x＋4sin x的最大值為5，利用輔助角公式推出x與輔助角的關(guān)系．解：3cos x＋4sin x＝5＝5sin(x＋φ)＝5，其中cos φ＝，sin φ＝，所以tan φ＝，所以x＋φ＝2kπ＋(k∈Z)．于是tan x＝tan＝＝．思路參考：令tan x＝t，借助已知條件用t表示sin x和cos x．解：令tan x＝t，即tcos x＝sin x，代入3cos x＋4sin x＝5，得3cos x＋4tcos x＝5，所以cos x＝，sin x＝．再代入sin2x＋cos2x＝1，得＋＝1，解得t＝，即tan x＝．思路參考：設(shè)P(m，n)為角x終邊上任意一點(diǎn)，r＝，利用三角函數(shù)的定義求解．解：設(shè)P(m，n)為角x終邊上任意一點(diǎn)，點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離為r，則r＝．把sin x＝，cos x＝代入已知等式得3·＋4·＝5，即(3m＋4n)2＝(5r)2＝25(m2＋n2)，整理得(4m－3n)2＝0，所以4m＝3n．顯然m≠0，故tan x＝＝．思路參考：設(shè)點(diǎn)A(cos x，sin x)是直線3x＋4y＝5與單位圓x2＋y2＝1的切點(diǎn)，而tan x＝kOA．解：由3cos x＋4sin x＝5可知點(diǎn)A(cos x，sin x)在直線3x＋4y＝5上，同時(shí)也在單位圓x2＋y2＝1上，所以點(diǎn)A為直線3x＋4y＝5與單位圓的切點(diǎn)．由于直線3x＋4y＝5的斜率為－，所以OA的斜率為，即tan x＝．思路參考：m＝(cos x，sin x)，n＝，證明m∥n．解：因?yàn)?/span>cos x＋sin x＝1，不妨令m＝(cos x，sin x)，n＝，可知|m|＝1，|n|＝1，所以m，n均為單位向量，且m·n＝1．由|m||n|≥|m·n|，等號(hào)成立的條件為m∥n，則有cos x＝sin x，即tan x＝．1．本題考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系的應(yīng)用，基本解題方法是構(gòu)建方程(組)、數(shù)形結(jié)合等．在求解過程中，應(yīng)注意同角三角函數(shù)的基本關(guān)系本身是恒等式，也可以看作是方程．2．基于課程標(biāo)準(zhǔn)，解答本題一般需要有良好的運(yùn)算求解能力、轉(zhuǎn)化與化歸的能力．本題的解答體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．3．基于高考數(shù)學(xué)評(píng)價(jià)體系，本題的多種解法中涉及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、方程、輔助角公式、直線與圓、向量等知識(shí)，滲透著函數(shù)與方程、等價(jià)轉(zhuǎn)換、數(shù)形結(jié)合等思想方法，對(duì)提升思維的靈活性起到了積極的作用．已知θ是第一象限角，若sin θ－2cos θ＝－，求sin θ＋cos θ的值．解：因?yàn)?/span>sin θ－2cos θ＝－，所以sin θ＝2cos θ－，所以＋cos2θ＝1，所以5cos2θ－cos θ－＝0，即＝0．又因?yàn)?/span>θ為第一象限角，所以cos θ＝，所以sin θ＝，所以sin θ＋cos θ＝． 

相關(guān)學(xué)案

2024屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第4章第2節(jié)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式學(xué)案：

這是一份2024屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第4章第2節(jié)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式學(xué)案，共18頁(yè)。學(xué)案主要包含了教材概念·結(jié)論·性質(zhì)重現(xiàn)，基本技能·思想·活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)等內(nèi)容，歡迎下載使用。

(新高考)高考數(shù)學(xué)一輪考點(diǎn)復(fù)習(xí)4.2《同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式》學(xué)案 (含詳解)：

這是一份(新高考)高考數(shù)學(xué)一輪考點(diǎn)復(fù)習(xí)4.2《同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式》學(xué)案 (含詳解)，共13頁(yè)。

高考數(shù)學(xué)統(tǒng)考一輪復(fù)習(xí)第4章4.2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式學(xué)案：

這是一份高考數(shù)學(xué)統(tǒng)考一輪復(fù)習(xí)第4章4.2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式學(xué)案，共9頁(yè)。學(xué)案主要包含了知識(shí)重溫，小題熱身等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語(yǔ)朗讀寶
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
  • 1.電子資料成功下載后不支持退換，如發(fā)現(xiàn)資料有內(nèi)容錯(cuò)誤問題請(qǐng)聯(lián)系客服，如若屬實(shí)，我們會(huì)補(bǔ)償您的損失
  • 2.壓縮包下載后請(qǐng)先用軟件解壓，再使用對(duì)應(yīng)軟件打開；軟件版本較低時(shí)請(qǐng)及時(shí)更新
  • 3.資料下載成功后可在60天以內(nèi)免費(fèi)重復(fù)下載
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
  • 精品推薦
  • 所屬專輯62份
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬(wàn)優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬(wàn)優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬(wàn)教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

  • 0

    資料籃

  • 在線客服

    官方
    微信

    添加在線客服

    獲取1對(duì)1服務(wù)

  • 官方微信

    官方
    微信

    關(guān)注“教習(xí)網(wǎng)”公眾號(hào)

    打開微信就能找資料

  • 免費(fèi)福利

    免費(fèi)福利
返回
頂部