?考點48 排列與組合
（1）理解排列、組合的概念.
（2）能利用計數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式、組合數(shù)公式.
（3）能解決簡單的實際問題.

1．排列
（1）排列的定義
一般地，從n個不同元素中取出個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列.
（2）排列數(shù)、排列數(shù)公式
從n個不同元素中取出個元素的所有不同排列的個數(shù)叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，用符號表示.
一般地，求排列數(shù)可以按依次填m個空位來考慮：
假設(shè)有排好順序的m個空位，從n個元素中任取m個去填空，一個空位填1個元素，每一種填法就對應(yīng)一個排列，而要完成“這件事”可以分為m個步驟來實現(xiàn).
根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，全部填滿m個空位共有種填法.
這樣，我們就得到公式，其中，且.這個公式叫做排列數(shù)公式.
n個不同元素全部取出的一個排列，叫做n個元素的一個全排列，這時公式中，即有，就是說，n個不同元素全部取出的排列數(shù)，等于正整數(shù)1到n的連乘積.正整數(shù)1到n的連乘積，叫做n的階乘，用表示.所以n個不同元素的全排列數(shù)公式可以寫成.另外，我們規(guī)定1.
于是排列數(shù)公式寫成階乘的形式為，其中，且.
注意：排列與排列數(shù)是兩個不同的概念，一個排列是指“按照一定的順序排成一列”，它是具體的一件事，排列數(shù)是指“從n個不同元素中取出個元素的所有不同排列的個數(shù)”，它是一個數(shù).
2．組合
（1）組合的定義
一般地，從n個不同元素中取出個元素合成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合.
（2）組合數(shù)、組合數(shù)公式
從n個不同元素中取出個元素的所有不同組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)，用符號表示.
，其中，且.這個公式叫做組合數(shù)公式.
因為，所以組合數(shù)公式還可以寫成，其中，且.
另外，我們規(guī)定.
（3）組合數(shù)的性質(zhì)
性質(zhì)1：.
性質(zhì)1表明從n個不同元素中取出m個元素的組合，與剩下的個元素的組合是一一對應(yīng)關(guān)系.
性質(zhì)2：.
性質(zhì)2表明從個不同元素中任取m個元素的組合，可以分為兩類：第1類，取出的m個元素中不含某個元素a的組合，只需在除去元素a的其余n個元素中任取m個即可，有個組合；第2類，取出的m個元素中含有某個元素a的組合，只需在除去a的其余n個元素中任取個后再取出元素a即可，有個組合.

考向一 排列數(shù)公式和組合數(shù)公式的應(yīng)用
這個公式體現(xiàn)了排列數(shù)公式和組合數(shù)公式的聯(lián)系，也可以用這個關(guān)系去加強對公式的記憶.每個公式都有相應(yīng)的連乘形式和階乘形式，連乘形式多用于數(shù)字計算，階乘形式多用于對含有字母的排列數(shù)或者組合數(shù)進(jìn)行變形或證明.

典例1 （1）若，，求的值；
（2）的值(用數(shù)字作答).
【答案】（1）7；（2）164.
【解析】（1）由題可得，即，
解得：或舍去），
.
（2）
＝（）
＝（）1
＝（）1
1

1
1
＝164．
【名師點睛】本題考查排列數(shù)組合數(shù)的運算，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.（1）在解與排列數(shù)有關(guān)的方程或不等式時，應(yīng)先求出未知數(shù)的取值范圍，再利用排列數(shù)公式化簡方程或不等式，最后得出問題的解.（2）利用求解．

1．（1）解不等式；
（2）證明：.
考向二 排列問題的求解
解決排列問題的主要方法有：
（1）“在”與“不在”的有限制條件的排列問題，既可以從元素入手，也可以從位置入手，原則是誰“特殊”誰優(yōu)先.不管是從元素考慮還是從位置考慮，都要貫徹到底，不能既考慮元素又考慮位置.
（2）解決相鄰問題的方法是“捆綁法”，即把相鄰元素看作一個整體和其他元素一起排列，同時要注意捆綁元素的內(nèi)部排列.
（3）解決不相鄰問題的方法是“插空法”，即先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空當(dāng)中.
（4）對于定序問題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素的全排列.
（5）若某些問題從正面考慮比較復(fù)雜，可從其反面入手，即采用“間接法”.

典例2 室內(nèi)體育課上王老師為了豐富課堂內(nèi)容，調(diào)動同學(xué)們的積極性，他把第四排的8個同學(xué)請出座位并且編號為1，2，3，4，5，6，7，8.經(jīng)過觀察這8個同學(xué)的身體特征，王老師決定，按照1，2號相鄰，3，4號相鄰，5，6號相鄰，而7號與8號不相鄰的要求站成一排做一種游戲，有________種排法.（用數(shù)字作答）
【答案】576
【解析】把編號相鄰的3組同學(xué)每兩個同學(xué)捆成一捆，這3捆之間有種排序方法，
并且形成4個空當(dāng)，再將7號與8號插進(jìn)空當(dāng)中有種插法，
而捆好的3捆中每相鄰的兩個同學(xué)都有種排法.
所以不同的排法種數(shù)為.

2．一個停車場有5個排成一排的空車位，現(xiàn)有2輛不同的車停進(jìn)這個停車場，若停好后恰有2個相鄰的停車位空著，則不同的停車方法共有
A．6種 B．12種
C．36種 D．72種
考向三 組合問題的求解
組合問題的限制條件主要體現(xiàn)在取出的元素中“含”或“不含”某些元素，在解答時可用直接法，也可用間接法.用直接法求解時，要注意合理地分類或分步；用間接法求解時，要注意題目中“至少”“至多”等關(guān)鍵詞的含義，做到不重不漏.

典例3 某學(xué)校為了迎接市春季運動會，從5名男生和4名女生組成的田徑運動隊中選出4人參加比賽，要求男、女生都有，則男生甲與女生乙至少有1人入選的方法種數(shù)為
A．85 B．86
C．91 D．90
【答案】B
【解析】方法一（直接法）:由題意，可分三類考慮：
第1類，男生甲入選,女生乙不入選:;
第2類，男生甲不入選,女生乙入選:.
第3類，男生甲入選,女生乙入選: .
∴男生甲與女生乙至少有1人入選的方法種數(shù)為31+34+21=86.
方法二（間接法）:從5名男生和4名女生中任意選出4人，男、女生都有的選法有種；男、女生都有，且男生甲與女生乙都沒有入選的方法有種.∴男生甲與女生乙至少有1人入選的方法種數(shù)為120?34=86.

3．在新一輪的高考改革中，一名高二學(xué)生在確定選修地理的情況下，想從歷史、政治、化學(xué)、生物、物理中再選擇兩科學(xué)習(xí)，則所選的兩科中一定有生物的概率是
A． B．
C． D．
考向四 排列與組合的綜合應(yīng)用
先選后排法是解答排列、組合應(yīng)用問題的根本方法，利用先選后排法解答問題只需要用三步即可完成.
第一步：選元素，即選出符合條件的元素;
第二步：進(jìn)行排列，即把選出的元素按要求進(jìn)行排列;
第三步：計算總數(shù)，即根據(jù)分步乘法計數(shù)原理、分類加法計數(shù)原理計算方法總數(shù).

典例4 有甲、乙、丙3項任務(wù)，任務(wù)甲需要2人承擔(dān)，任務(wù)乙、丙各需要1人承擔(dān)，從10人中選派4人承擔(dān)這3項任務(wù)，不同的選法共有_______________種(用數(shù)字作答).
【答案】2520
【解析】方法一：先從10人中選出2人承擔(dān)任務(wù)甲,再從余下8人中選出1人承擔(dān)任務(wù)乙,最后從剩下的7人中選出1人承擔(dān)任務(wù)丙.
根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，不同的選法共有種.
方法二：先從10人中選出2人承擔(dān)任務(wù)甲,再從余下8人中選出2人分別承擔(dān)任務(wù)乙、丙.
根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，不同的選法共有種.

4．某技術(shù)學(xué)院安排5個班到3個工廠實習(xí)，每個班去一個工廠，每個工廠至少安排一個班，則不同的安排方法共有
A．60種 B．90種
C．150種 D．240種


1．已知，那么
A．20 B．30
C．42 D．72
2．下列等式中，錯誤的是
A． B．
C． D．
3．甲、乙等五個人排成一排，要求甲和乙不能相鄰，則不同的排法種數(shù)為
A．48 B．60
C．72 D．120
4．某校為了提倡素質(zhì)教育,豐富學(xué)生們的課外生活,分別成立繪畫、象棋和籃球興趣小組,現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四名學(xué)生報名參加,每人僅參加一個興趣小組,每個興趣小組至少有一人報名,則不同報名方法有
A．12種 B．24種
C．36種 D．72種
5．從10名男生6名女生中任選3人參加競賽，要求參賽的3人中既有男生又有女生，則不同的選法有
A．1190種 B．420種
C．560種 D．3360種
6．4位同學(xué)各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動，則周六、周日都有同學(xué)參加公益活動的概率為
A． B．
C． D．
7．小明跟父母、爺爺奶奶一同參加《中國詩詞大會》的現(xiàn)場錄制，5人坐成一排.若小明的父母都不與他相鄰，則不同坐法的總數(shù)為
A．12 B．36
C．84 D．96
8．?dāng)?shù)學(xué)活動小組由12名同學(xué)組成,現(xiàn)將這12名同學(xué)平均分成四組分別研究四個不同課題,且每組只研究一個課題,并要求每組選出一名組長,則不同的分配方案種數(shù)為
A． B．34
C．43 D．43
9．用數(shù)字0，2，4，7，8，9組成無重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中大于420789的正整數(shù)的個數(shù)為
A．479 B．180
C．455 D．456
10．元旦晚會期間，高三二班的學(xué)生準(zhǔn)備了6 個參賽節(jié)目，其中有 2 個舞蹈節(jié)目，2 個小品節(jié)目，2個歌曲節(jié)目，要求歌曲節(jié)目一定排在首尾，另外2個舞蹈節(jié)目一定要排在一起，則這 6 個節(jié)目的不同編排種數(shù)為
A．48 B．36
C．24 D．12
11．已知10件產(chǎn)品有2件是次品，為保證使2件次品全部檢驗出的概率超過0.6，至少應(yīng)抽取作檢驗的產(chǎn)品件數(shù)為
A．6 B．7
C．8 D．9
12．節(jié)目單上有10個位置,現(xiàn)有A,B,C 3個節(jié)目,要求每個節(jié)目前后都有空位且A節(jié)目必須在B,C節(jié)目之間,則不同的節(jié)目排法有　　　　種.?
13．已知集合，，，若從這三個集合中各取一個元素構(gòu)成空間直角坐標(biāo)系中點的坐標(biāo)，則確定不同點的個數(shù)為___________.
14．給四面體ABCD的六條棱分別涂上紅,黃,藍(lán),綠四種顏色中的一種,使得有公共頂點的棱所涂的顏色互不相同,則不同的涂色方法種數(shù)共有　　　　.?
15．某房間并排擺有六件不同的工藝品,要求甲、乙兩件工藝品必須擺放在兩端,丙、丁兩件工藝品必須相鄰,則不同的擺放方法有　　　　種(用數(shù)字作答).?
16．生活中人們常用“通五經(jīng)貫六藝”形容一個人才識技藝過人，這里的“六藝”其實源于中國周朝的貴族教育體系，具體包括“禮、樂、射、御、書、數(shù)”.為弘揚中國傳統(tǒng)文化，某校在周末學(xué)生業(yè)余興趣活動中開展了“六藝”知識講座，每藝安排一節(jié)，連排六節(jié)，則滿足“數(shù)”必須排在前兩節(jié)，“禮”和“樂”必須分開安排的概率為__________.
17．從1到7的7個數(shù)字中取兩個偶數(shù)和三個奇數(shù)組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)．試問：
（1）能組成多少個不同的五位偶數(shù)？
（2）五位數(shù)中，兩個偶數(shù)排在一起的有幾個？
（3）兩個偶數(shù)不相鄰且三個奇數(shù)也不相鄰的五位數(shù)有幾個？（所有結(jié)果均用數(shù)值表示）




18．某興趣小組有9名學(xué)生.若從9名學(xué)生中選取3人，則選取的3人中恰好有一個女生的概率是.
（1）該小組中男女學(xué)生各多少人？
（2）9個學(xué)生站成一列隊，現(xiàn)要求女生保持相對順序不變（即女生前后順序保持不變）重新站隊，問有多少種重新站隊的方法？（要求用數(shù)字作答）
（3）9名學(xué)生站成一列，要求男生必須兩兩站在一起，有多少種站隊的方法？（要求用數(shù)字作答）







19．4個編號為1,2,3,4的小球放入編號為1,2,3,4的盒子中.
（1）①恰好有一個空盒子,有多少種放法?
②若把4個不同小球換成4個相同小球,恰好有一個空盒子,有多少種放法?
（2）每個盒子放1個球,并且恰好有一球的編號與盒子的編號相同,有多少種放法?



















1．（2019新課標(biāo)全國Ⅰ理科）我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化．每一“重卦”由從下到上排列的6個爻組成，爻分為陽爻“——”和陰爻“— —”，如圖就是一重卦．在所有重卦中隨機取一重卦，則該重卦恰有3個陽爻的概率是

A． B．
C． D．
2．（2018新課標(biāo)全國Ⅱ理科）我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果．哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和”，如．在不超過30的素數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)，其和等于30的概率是
A． B．
C． D．
3．（2017新課標(biāo)全國Ⅱ理科）安排3名志愿者完成4項工作，每人至少完成1項，每項工作由1人完成，則不同的安排方式共有
A．12種 B．18種
C．24種 D．36種
4．（2018新課標(biāo)全國Ⅰ理科）從2位女生，4位男生中選3人參加科技比賽，且至少有1位女生入選，則不同的選法共有_____________種．（用數(shù)字填寫答案）
5．（2018江蘇）某興趣小組有2名男生和3名女生，現(xiàn)從中任選2名學(xué)生去參加活動，則恰好選中2名女生的概率為 ▲ ．
6．（2018浙江）從1，3，5，7，9中任取2個數(shù)字，從0，2，4，6中任取2個數(shù)字，一共可以組成___________個沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù).(用數(shù)字作答)
7．（2017浙江理科）從6男2女共8名學(xué)生中選出隊長1人，副隊長1人，普通隊員2人組成4人服務(wù)隊，要求服務(wù)隊中至少有1名女生，共有______種不同的選法．（用數(shù)字作答）
8．（2017天津理科）用數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，8，9組成沒有重復(fù)數(shù)字，且至多有一個數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)一共有___________個．（用數(shù)字作答）

變式拓展

1．【解析】（1）由，得，
化簡得，解之得，①
又，
，②
由①②及得.
（2）



，
.
【名師點睛】本題主要考查排列數(shù)的計算問題，要注意中隱含了3個條件：①，；②；③的運算結(jié)果為正整數(shù)．在解與排列數(shù)有關(guān)的方程或不等式時，應(yīng)先求出未知數(shù)的取值范圍，再利用排列數(shù)公式化簡方程或不等式，最后得出問題的解．注意常用變形，（即），的應(yīng)用．
2．【答案】B
【解析】方法一：把空著的2個相鄰的停車位看成一個整體，即2輛不同的車可以停進(jìn)4個停車場，即不同的停車方法共有：種.
方法二：由題意，若2輛不同的車相鄰，則有種方法；
若2輛不同的車不相鄰，則利用插空法，2個相鄰的停車位空著，利用捆綁法，
所以有種方法.
綜上，共有12種方法，
所以B選項是正確的.
【名師點睛】本題考查排列、組合的綜合應(yīng)用，注意空位是相同的是解題的關(guān)鍵.分類討論，利用捆綁法、插空法，即可得出結(jié)論.
3．【答案】C
【解析】從歷史、政治、化學(xué)、生物、物理5科中選2科，數(shù)量有，
所選的2科中一定有生物，則需在從歷史、政治、化學(xué)、物理4科中選1科，數(shù)量有，
所以其概率為.
故答案為C項.
【名師點睛】本題考查組合問題，古典概型的計算，屬于簡單題.先計算出從歷史、政治、化學(xué)、生物、物理5科中選2科的數(shù)量，然后計算出按照兩科里有生物，再選另一科的數(shù)量.最后根據(jù)古典概型的計算公式，得到答案.
4．【答案】C
【解析】將5個班分成3組，有兩類方法：
（1）3，1，1，有種；
（2）2，2，1，有種.
所以不同的安排方法共有種.
故選C.
【名師點睛】本題主要考查了排列組合的實際應(yīng)用問題：分組分配，注意此類問題一般要先分組再分配（即為排列），屬于基礎(chǔ)題.先將5人分成3組，3，1，1和2，2，1兩種分法，再分配，應(yīng)用排列組合公式列式求解即可.
考點沖關(guān)

1．【答案】B
【解析】，則.故選B.
【名師點睛】本題考查了排列數(shù)和組合數(shù)的計算，屬于簡單題.
2．【答案】C
【解析】通過計算得到選項A，B，D的左、右兩邊都是相等的.
對于選項C，，所以選項C是錯誤的.故答案為C．
3．【答案】C
【解析】甲、乙等五個人排成一排，要求甲和乙不能相鄰，
故先安排除甲、乙外的3人，共種方法，
然后安排甲、乙在這3人之間的4個空里，共種方法，
所以不同的排法種數(shù)為，
故選C項.
【名師點睛】本題考查排列問題，利用插空法解決不相鄰問題，屬于簡單題.求解時，因為甲和乙不能相鄰，利用插空法列出不同的排法的算式，得到答案.
4．【答案】C
【解析】由題意可知，從4人中任選2人作為一個整體，共有=6(種)，
再把這個整體與其他2人進(jìn)行全排列，對應(yīng)3個活動小組，有=6(種)情況，
所以共有6×6=36(種)不同的報名方法.
5．【答案】B
【解析】要求參賽的3人中既有男生又有女生，分為兩種情況：
第一種情況：1名男生2名女生，有種選法；
第二種情況：2名男生1名女生，有種選法，
由分類計算原理可得不同的選法有種.
故選B．
【名師點睛】本題考查分類計數(shù)原理和組合的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.
6．【答案】D
【解析】由已知，4位同學(xué)各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動共有種不同的結(jié)果，而周六、周日都有同學(xué)參加公益活動有兩類不同的情況：
（1）一天一人，另一天三人，有種不同的結(jié)果；
（2）周六、周日各2人，有種不同的結(jié)果，
故周六、周日都有同學(xué)參加公益活動有種不同的結(jié)果，
所以周六、周日都有同學(xué)參加公益活動的概率為，選D．
7．【答案】B
【解析】記事件小明的父親與小明相鄰，事件小明的母親與小明相鄰，
對于事件，將小明與其父親捆綁，形成一個元素，與其他三個元素進(jìn)行排序，
則，同理可得，
對于事件，將小明父母與小明三人進(jìn)行捆綁，其中小明居于中間，形成一個元素，與其他兩個元素進(jìn)行排序，則，由容斥原理可知，所求的坐法種數(shù)為，故選B．
【名師點睛】本題考查排列組合綜合問題，考查捆綁法以及容斥原理的應(yīng)用，解題時要合理利用分類討論思想與總體淘汰法，考查邏輯推理能力，屬于中等題.
8．【答案】B
【解析】將12名同學(xué)平均分成四組共有種方案，四組分別研究四個不同課題共有種方案，第一組選擇一名組長有3種方案，第二組選擇一名組長有3種方案，第三組選擇一名組長有3種方案，第四組選擇一名組長有3種方案，選取組長的方案共有34種，
根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，可知滿足題目要求的種數(shù)為34=34，故選B．
9．【答案】C
【解析】若十萬位大于，則有個；
若十萬位等于，當(dāng)萬位大于時，有個，
當(dāng)萬位等于千位不等于時，有個，
當(dāng)萬位等于千位等于時，有個，
則一共有個.故選C．
【名師點睛】排列組合問題中涉及滿足要求的幾位數(shù)的個數(shù)時候，采用分類討論比較方便，能精準(zhǔn)的將滿足要求的每類數(shù)利用排列數(shù)、組合數(shù)計算出來.
10．【答案】C
【解析】分步進(jìn)行：
①歌曲節(jié)目排在首尾，有種排法.
②將個小品節(jié)目安排在歌曲節(jié)目的中間，有種排法.
③排好后，個小品節(jié)目與個歌曲節(jié)目之間有3個空位，
將個舞蹈節(jié)目全排列，安排在中間的個空位，有種排法，
則這個節(jié)目出場的不同編排種數(shù)為，故選C．
11．【答案】C
【解析】設(shè)抽取件，次品全部檢出的概率為，化簡得，代入選項驗證可知，當(dāng)時，符合題意，故選C．
【名師點睛】本小題主要考查古典概型概率計算，考查組合數(shù)的計算，屬于基礎(chǔ)題.
12．【答案】40
【解析】除A，B，C 3個節(jié)目外，還有7個位置，共可形成6個空，從6個空中選3個位置安排3個節(jié)目，有種方法，又A在中間，所以B，C有種方法，所以總的排法有=40種.
13．【答案】
【解析】由組合數(shù)的性質(zhì)得出，不考慮任何限制條件下不同點的個數(shù)為，
由于，坐標(biāo)中同時含和的點的個數(shù)為，
綜上所述：所求點的個數(shù)為，故答案為.
【名師點睛】本題考查排列組合思想的應(yīng)用，常用的就是分類討論和分步驟處理，本題中利用總體淘汰法，可簡化分類討論，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.
14．【答案】96
【解析】由題意知，第一步涂DA有四種方法;第二步涂DB有三種方法;第三步涂DC有兩種方法;第四步涂AB，若AB與DC相同，則一種涂法，第五步可分兩種情況，若BC與AD相同，最后一步涂AC有兩種涂法，若BC與AD不同，最后一步涂AC有一種涂法.若第四步涂AB，AB與CD不同，則AB涂第四種顏色，此時BC，AC只有一種涂法.綜上，總的涂法種數(shù)是4×3×2×[1×(2+1)+1×1]=96.
15．【答案】24
【解析】甲、乙兩件工藝品的擺放方法有種，丙、丁與剩余的兩件工藝品的擺放方法有種，由分步乘法計數(shù)原理可知，不同的擺放方法有=24種.
16．【答案】
【解析】由題意，對六藝“禮、樂、射、御、書、數(shù)”進(jìn)行全排列，基本事件的總數(shù)為種，
滿足“數(shù)”必須排在前兩節(jié)，“禮”和“樂”必須分開安排包含的基本事件個數(shù)：
當(dāng)?shù)谝还?jié)是“數(shù)”，共有種不同的排法；
當(dāng)?shù)诙?jié)是“數(shù)”，共有種不同的排法，
所以滿足“數(shù)”必須排在前兩節(jié)，“禮”和“樂”必須分開安排的概率為.
【名師點睛】本題主要考查了排列、組合的綜合應(yīng)用，以及古典概型及其概率的計算問題，其中解答中合理分類求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題.
17．【解析】（1）偶數(shù)在末尾，五位偶數(shù)共有＝576個．
（2）五位數(shù)中，偶數(shù)排在一起的有＝576個．
（3）兩個偶數(shù)不相鄰且三個奇數(shù)也不相鄰的五位數(shù)有＝144個．
【名師點睛】本題主要考查了數(shù)字的組合問題，相鄰問題用捆綁，不相鄰用插空，屬于中檔題．求解時，（1）根據(jù)先取后排的原則，從1到7的七個數(shù)字中取兩個偶數(shù)和三個奇數(shù)，然后進(jìn)行排列；（2）利用捆綁法把兩個偶數(shù)捆綁在一起，再和另外三個奇數(shù)進(jìn)行全排列；（3）利用插空法，先排兩個偶數(shù)，再從兩個偶數(shù)形成的3個間隔中，插入三個奇數(shù)，問題得以解決.
18．【解析】（1）設(shè)男生有人，則，即，解之得，，
故男生有6人，女生有3人.
（2）方法一：按坐座位的方法：
第一步：讓6名男生先從9個位置中選6個位置坐，共有種；
第二步：余下的座位讓3個女生去坐，因為要保持相對順序不變，故只有1種選擇，
故一共有種重新站隊方法.
方法二：除序法：
第一步：9名學(xué)生站隊共有種站隊方法；
第二步：3名女生有種站隊順序；
故一共有種站隊方法，
所以重新站隊方法有種.
（3）第一步：將6名男生分成3組，共有種；
第二步：3名女生站好隊，然后將3組男生插入其中，共有種；
第三步：3組男生中每組男生站隊方法共有種.
故一共有種站隊方法.
【名師點睛】本題考查排列組合中的分類討論，插空法、除序法等，屬于中檔題.求解時，（1）設(shè)男生有人，表示出其概率，然后得到男女生人數(shù)；（2）方法一：按坐座位的方法分步處理，先安排男生，再安排女生，方法二：對9人全排，然后對3名女生除序；（3）先對6名男生分成3組，再對3名女生全排后，將3組男生插空，每組男生全排，得到答案.
19．【解析】（1）①方法一：4個小球不同，4個盒子也不同，是排列問題，恰好有一個空盒子的放法可分兩步完成.
第一步，先將4個小球中的2個“捆”在一起，有種方法;
第二步，把“捆”在一起的球與其他2個球分別放入4個盒子中的3個盒子里，有種方法.
所以共有=144(種)放法.
方法二：因為有一個盒子是空的，所以先將這4個小球分為三份，有種方法，再將這三份小球放入4個盒子中的3個盒子里，有種放法，所以共有·=144(種)放法.
②這里的小球是相同的，只是盒子不同，是組合問題，可分兩步完成.
第一步，先從4個盒子中選出3個盒子有種方法;
第二步，從3個盒子中選出1個盒子放2個小球有種方法.
所以共有·=12(種)放法.
（2）分兩步完成.
第一步，從4個不同的小球中選1個小球，使它的編號與盒子編號相同有種方法;
第二步，另外3個小球與盒子編號均不同，只有2種方法.
所以共有·2=8(種)放法.
直通高考

1．【答案】A
【解析】由題知，每一爻有2種情況，一重卦的6爻有種情況，其中6爻中恰有3個陽爻的情況有種情況，所以該重卦恰有3個陽爻的概率為=，故選A．
【名師點睛】對利用排列組合計算古典概型問題，首先要分析元素是否可重復(fù)，其次要分析是排列問題還是組合問題．
2．【答案】C
【解析】不超過30的素數(shù)有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10個，隨機選取兩個不同的數(shù)，共有種方法，因為，所以隨機選取兩個不同的數(shù)，其和等于30的有3種方法，故概率為，選C.
3．【答案】D
【解析】由題意可得，一人完成兩項工作，其余兩人每人完成一項工作，據(jù)此可得，只要把工作分成三份：有種方法，然后進(jìn)行全排列，由乘法原理，不同的安排方式共有種． 故選D．
【名師點睛】（1）解排列組合問題要遵循兩個原則：①按元素(或位置)的性質(zhì)進(jìn)行分類；②按事情發(fā)生的過程進(jìn)行分步．具體地說，解排列組合問題常以元素(或位置)為主體，即先滿足特殊元素(或位置)，再考慮其他元素(或位置)．
（2）不同元素的分配問題，往往是先分組再分配．在分組時，通常有三種類型：①不均勻分組；②均勻分組；③部分均勻分組．注意各種分組類型中，不同分組方法的求解．
4．【答案】16
【解析】根據(jù)題意，沒有女生入選有種選法，從6名學(xué)生中任意選3人有種選法，
故至少有1位女生入選，則不同的選法共有種，故答案是16.
【名師點睛】該題是一道關(guān)于組合計數(shù)的題目，并且在涉及到至多、至少問題時多采用間接法，即利用總的減去沒有女生的選法種數(shù)，該題還可以用直接法，分別求出有1名女生和有兩名女生分別有多少種選法，之后用加法運算求解.
5．【答案】
【解析】從5名學(xué)生中抽取2名學(xué)生，共有種方法，其中恰好選中2名女生的方法有種，因此所求概率為
6．【答案】1260
【解析】若不取0，則排列數(shù)為；
若取0，則排列數(shù)為
因此一共有個沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù).
7．【答案】660
【解析】由題意可得，“從8名學(xué)生中選出隊長1人，副隊長1人，普通隊員2人組成4人服務(wù)隊”總的選擇方法為（種）方法，
其中“服務(wù)隊中沒有女生”的選法有（種）方法，
則滿足題意的選法有：（種）．
【名師點睛】本題主要考查分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理及排列組合的應(yīng)用，有關(guān)排列組合的綜合問題，往往是兩個原理及排列組合問題交叉應(yīng)用才能解決問題，解答這類問題理解題意很關(guān)鍵，一定多讀題才能挖掘出隱含條件．解題過程中要首先分清“是分類還是分步”、“是排列還是組合”，在應(yīng)用分類計數(shù)加法原理討論時，既不能重復(fù)交叉討論又不能遺漏，這樣才能提高準(zhǔn)確率．在某些特定問題上，也可充分考慮“正難則反”的思維方式．
8．【答案】
【解析】．
【名師點睛】計數(shù)原理包含分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理，本題中組成的四位數(shù)至多有一個數(shù)字是偶數(shù)，包括四位數(shù)字有一個是偶數(shù)和四位數(shù)字全部是奇數(shù)兩類，先利用分步乘法計數(shù)原理求每一類中的結(jié)果數(shù)，然后利用分類加法計數(shù)原理求總的結(jié)果數(shù)．

相關(guān)試卷

(通用版)高考數(shù)學(xué)(理數(shù))一輪復(fù)習(xí)考點梳理與過關(guān)練習(xí)42《曲線與方程》(含詳解)：

這是一份(通用版)高考數(shù)學(xué)(理數(shù))一輪復(fù)習(xí)考點梳理與過關(guān)練習(xí)42《曲線與方程》(含詳解)，共39頁。試卷主要包含了曲線與方程的概念，坐標(biāo)法求曲線方程的步驟，兩曲線的交點等內(nèi)容，歡迎下載使用。

(通用版)高考數(shù)學(xué)(理數(shù))一輪復(fù)習(xí)考點梳理與過關(guān)練習(xí)55《正態(tài)分布》(含詳解)：

這是一份(通用版)高考數(shù)學(xué)(理數(shù))一輪復(fù)習(xí)考點梳理與過關(guān)練習(xí)55《正態(tài)分布》(含詳解)，共30頁。試卷主要包含了正態(tài)曲線，正態(tài)分布等內(nèi)容，歡迎下載使用。

(通用版)高考數(shù)學(xué)(理數(shù))一輪復(fù)習(xí)考點梳理與過關(guān)練習(xí)40《拋物線》(含詳解)：

這是一份(通用版)高考數(shù)學(xué)(理數(shù))一輪復(fù)習(xí)考點梳理與過關(guān)練習(xí)40《拋物線》(含詳解)，共32頁。試卷主要包含了拋物線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，拋物線的幾何性質(zhì)等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

(通用版)高考數(shù)學(xué)(理數(shù))一輪復(fù)習(xí)考點梳理與過關(guān)練習(xí)39《雙曲線》(含詳解)

(通用版)高考數(shù)學(xué)(理數(shù))一輪復(fù)習(xí)考點梳理與過關(guān)練習(xí)39《雙曲線》(含詳解)
(通用版)高考數(shù)學(xué)(理數(shù))一輪復(fù)習(xí)考點梳理與過關(guān)練習(xí)36《圓的方程》(含詳解)

(通用版)高考數(shù)學(xué)(理數(shù))一輪復(fù)習(xí)考點梳理與過關(guān)練習(xí)36《圓的方程》(含詳解)
(通用版)高考數(shù)學(xué)(理數(shù))一輪復(fù)習(xí)考點梳理與過關(guān)練習(xí)34《直線與方程》(含詳解)

(通用版)高考數(shù)學(xué)(理數(shù))一輪復(fù)習(xí)考點梳理與過關(guān)練習(xí)34《直線與方程》(含詳解)
(通用版)高考數(shù)學(xué)(文數(shù))一輪復(fù)習(xí)考點梳理與過關(guān)練習(xí)48《推理與證明》(含詳解)

(通用版)高考數(shù)學(xué)(文數(shù))一輪復(fù)習(xí)考點梳理與過關(guān)練習(xí)48《推理與證明》(含詳解)
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部