(通用版)高考數(shù)學(xué)(理數(shù))一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)梳理與過關(guān)練習(xí)34《直線與方程》(含詳解)

這是一份(通用版)高考數(shù)學(xué)(理數(shù))一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)梳理與過關(guān)練習(xí)34《直線與方程》(含詳解)，共19頁。試卷主要包含了直線的傾斜角與斜率，直線的方程等內(nèi)容，歡迎下載使用。
考點(diǎn)34  直線與方程（1）在平面直角坐標(biāo)系中，結(jié)合具體圖形，確定直線位置的幾何要素.（2）理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式.（3）掌握直線方程的幾種形式（點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式及一般式），了解斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系.一、直線的傾斜角與斜率1．直線的傾斜角（1）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于一條與x軸相交的直線，把x軸所在的直線繞著交點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到和直線重合時(shí)所轉(zhuǎn)過的最小正角稱為這條直線的傾斜角．當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定它的傾斜角為．（2）范圍：直線l傾斜角的范圍是．2．斜率公式（1）若直線l的傾斜角90°，則斜率．（2）P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直線l上，且x1≠x2，則直線l的斜率k＝．二、直線的方程1．直線方程的五種形式方程適用范圍①點(diǎn)斜式：不包含直線②斜截式：不包含垂直于x軸的直線③兩點(diǎn)式：不包含直線和直線④截距式：不包含垂直于坐標(biāo)軸和過原點(diǎn)的直線⑤一般式：不全為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線都適用2．必記結(jié)論常見的直線系方程（1）過定點(diǎn)P(x0，y0)的直線系方程：A(x－x0)＋B(y－y0)＋C＝0(A2＋B2≠0)還可以表示為y－y0＝k(x－x0)，斜率不存在時(shí)可設(shè)為x＝x0.（2）平行于直線Ax＋By＋C＝0的直線系方程：Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)．（3）垂直于直線Ax＋By＋C＝0的直線系方程：Bx－Ay＋C1＝0.（4）過兩條已知直線A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交點(diǎn)的直線系方程：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(其中不包括直線A2x＋B2y＋C2＝0)．考向一  直線的傾斜角與斜率1.由斜率取值范圍確定直線傾斜角的范圍要利用正切函數(shù)y＝tan x的圖象，特別要注意傾斜角取值范圍的限制.2.求解直線的傾斜角與斜率問題要善于利用數(shù)形結(jié)合的思想，要注意直線的傾斜角由銳角變到直角及由直角變到鈍角時(shí)，需依據(jù)正切函數(shù)y＝tan x的單調(diào)性求k的范圍．典例1  若兩直線的傾斜角和斜率分別為和，則下列四個(gè)命題中正確的是A．若，則兩直線的斜率：     B．若，則兩直線的斜率：C．若兩直線的斜率：，則     D．若兩直線的斜率：，則【答案】D【解析】當(dāng)，時(shí)，滿足，但是兩直線的斜率，選項(xiàng)A說法錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，直線的斜率不存在，無法滿足，選項(xiàng)B說法錯(cuò)誤；若直線的斜率，，滿足，但是，，不滿足，選項(xiàng)C說法錯(cuò)誤；若兩直線的斜率，結(jié)合正切函數(shù)的單調(diào)性可知，選項(xiàng)D說法正確.本題選擇D選項(xiàng).【名師點(diǎn)睛】本題主要考查直線的斜率與傾斜角之間的關(guān)系，正切函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.典例2  若直線經(jīng)過，兩點(diǎn)（），那么l的傾斜角的取值范圍是A．      B．C．        D．【答案】B【解析】由直線經(jīng)過，兩點(diǎn)，可利用斜率公式得.由，則傾斜角的取值范圍是.故選B.1．已知點(diǎn)，，直線l的方程為，且與線段相交，則直線l的斜率k的取值范圍為A．或 B．或C． D．考向二  直線的方程求直線方程的常用方法有1.直接法：根據(jù)已知條件靈活選用直線方程的形式，寫出方程．2.待定系數(shù)法：先根據(jù)已知條件設(shè)出直線方程，再根據(jù)已知條件構(gòu)造關(guān)于待定系數(shù)的方程(組)求系數(shù)，最后代入求出直線方程．3.直線在x(y)軸上的截距是直線與x(y)軸交點(diǎn)的橫(縱)坐標(biāo)，所以截距是一個(gè)實(shí)數(shù)，可正、可負(fù)，也可為0，而不是距離．4. 求直線方程時(shí)，如果沒有特別要求，求出的直線方程應(yīng)化為一般式Ax+By+C=0，且A≥0.典例3  已知，則過點(diǎn)和線段的中點(diǎn)的直線方程為A． B．C． D．【答案】B【解析】由題意可知線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，即.故所求直線方程為，整理，得.故選B.典例4  △ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A(－3,0)，B(2,1)，C(－2, 3)，求：（1）BC邊所在直線的方程； （2）BC邊上中線AD所在直線的方程； （3）BC邊的垂直平分線DE的方程．【解析】（1）因?yàn)橹本€BC經(jīng)過B(2,1)和C(－2,3)兩點(diǎn)，所以由兩點(diǎn)式得BC的方程為，即x+2y-4=0. （2）設(shè)BC邊的中點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x，y)，則. BC邊的中線AD過點(diǎn)A(－3,0)，D(0,2)兩點(diǎn)，由截距式得AD所在直線的方程為，即2x－3y＋6＝0. （3）由（1）知，直線BC的斜率，則BC的垂直平分線DE的斜率k2＝2.由（2）知，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,2).由點(diǎn)斜式得直線DE的方程為y－2=2(x－0)，即.【思路分析】2．過點(diǎn)的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為零，則該直線的方程為A． B．C．或 D．或3．一條直線經(jīng)過點(diǎn)，并且它的傾斜角等于直線的傾斜角的2倍，則這條直線的方程是A． B．C． D．考向三  共線問題已知三點(diǎn)若直線的斜率相同，則三點(diǎn)共線.因此三點(diǎn)共線問題可以轉(zhuǎn)化為斜率相等問題，用于求證三點(diǎn)共線或由三點(diǎn)共線求參數(shù).典例5  若三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)m=_____________.【思路分析】由三點(diǎn)共線構(gòu)造兩條直線的斜率相等，問題便轉(zhuǎn)化為解方程. 【解析】由題意得.∵三點(diǎn)共線，∴， ∴， 解得．4．已知三個(gè)不同的點(diǎn)，，在同一條直線上，則的值是________.1．已知M(a，b)，N(a，c)(b≠c)，則直線MN的傾斜角是A．不存在   B．45°C．135°   D．90°2．如果直線l過點(diǎn)(1，2)，且不通過第四象限，那么l的斜率的取值范圍是A．[0,1]   B．[0,2]C．  D．(0,3]3．已知直線經(jīng)過點(diǎn)，且斜率為，則直線的方程為A．     B．C．     D．4．直線：中，若，關(guān)于軸對(duì)稱，則的傾斜角為A．  B．C．  D．5．的圖象可能是下列圖中的6．若過點(diǎn)P(1－a,1＋a)和Q(3,2a)的直線的傾斜角為鈍角，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A．(－2,1)     B．(－1,2)C．(－∞，0)     D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)7．與直線平行，且與直線交于軸上的同一點(diǎn)的直線方程是A． B．C． D．8．若過不重合的兩點(diǎn)的直線的傾斜角為45°，則的取值為A．     B．C．     D．9．過點(diǎn)P(1,3)，且與x，y軸的正半軸圍成的三角形的面積等于6的直線l的一般式方程是A．3x＋y?6=0   B．x＋3y?10=0C．3x?y=0    D．x?3y＋8=010．如圖，已知直線l1：y=－2x+4與直線l2：y=kx+b（k≠0）在第一象限交于點(diǎn)M．若直線l2與x軸的交點(diǎn)為A（－2，0），則k的取值范圍是A．－2＜k＜2     B．－2＜k＜0    C．0＜k＜4     D．0＜k＜211．直線過點(diǎn)，且與以，為端點(diǎn)的線段總有公共點(diǎn)，則直線斜率的取值范圍是A．     B．C．     D．12．設(shè)直線的傾斜角為，且，則直線的斜率的取值范圍是__________．13．已知三點(diǎn)，，在同一條直線上，則___________．14．如圖，已知直線l1的傾斜角是150°，l2⊥l1，且垂足為B.若l1，l2與x軸分別相交于點(diǎn)C，A，l3平分∠BAC，則l3的傾斜角為　　　　　．15．已知直線l的斜率是直線2x－3y＋12＝0的斜率的，l在y軸上的截距是直線2x－3y＋12＝0在y軸上的截距的2倍，則直線l的方程為__________．16．在平面直角坐標(biāo)系中,經(jīng)過點(diǎn)的直線與軸交于點(diǎn),與軸交于點(diǎn).若,則直線的方程是_________.17．已知點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，當(dāng)時(shí)，求的取值范圍.             18．已知直線l：5ax－5y－a＋3＝0.（1）求證：不論a為何值，直線l總經(jīng)過第一象限；（2）為使直線l經(jīng)過第一、三、四象限，求a的取值范圍．            19．求滿足下列條件的直線的方程：（1）設(shè)直線的方程為.若直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線的方程；（2）過直線：上的點(diǎn)作直線，若直線，與軸圍成的三角形的面積為2，則直線的方程.          20．已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別為是，，.（1）求邊上的高所在的直線方程；（2）求過點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程.          21．已知直線l經(jīng)過點(diǎn)P（2，2）且分別與x軸正半軸，y軸正半軸交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）求面積的最小值及此時(shí)直線l的方程；（2）求的最小值及此時(shí)直線l的方程.          1．【答案】A【解析】∵直線l的方程可化為，∴直線l過定點(diǎn)，如圖所示，又直線的斜率，直線的斜率，∴當(dāng)直線l與線段相交時(shí)，直線l的斜率k的取值范圍是或.故選A．2．【答案】D【解析】當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，可得斜率為，故直線方程為，即；當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)方程為，代入點(diǎn)可得，解得，則直線方程為，故所求直線方程為：或.故選D．3．【答案】B【解析】已知直線的斜率為，則傾斜角為，故所求直線的傾斜角為，斜率為，由直線的點(diǎn)斜式得所求直線方程為，即.故選B．4．【答案】【解析】因?yàn)槿齻€(gè)不同的點(diǎn)，，在同一條直線上，所以，解得，所以，故答案為.1．【答案】D【解析】∵MN⊥x軸，∴直線MN的傾斜角為90°.2．【答案】B【解析】過點(diǎn)(1,2)的斜率為非負(fù)且最大斜率為此點(diǎn)與原點(diǎn)的連線的斜率時(shí)，圖象不過第四象限，故l的斜率的取值范圍是[0,2].3．【答案】A【解析】直線經(jīng)過點(diǎn)，且斜率為，則，即.故選A.4．【答案】C【解析】，關(guān)于軸對(duì)稱，設(shè)，的斜率分別為和，則有，又由，得，則的傾斜角為.故選C.5．【答案】D【解析】因?yàn)?/span>ab≠0，所以排除選項(xiàng)C；又a＋b＝0，所以斜率與截距互為相反數(shù)，顯然D選項(xiàng)符合，故選D.6．【答案】A【解析】∵過點(diǎn)和的直線的傾斜角為鈍角，∴直線的斜率小于0，即.∴，∴.故選A.7．【答案】C【解析】直線的斜率為，則所求直線的斜率，直線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，所求直線的方程為：，即.故選C.8．【答案】B【解析】過兩點(diǎn)的直線的斜率，∵直線的傾斜角為，解得或，當(dāng)時(shí)， 重合，舍去，∴．故選B．9．【答案】A【解析】設(shè)所求直線l的方程為(a>0，b>0)，則有，且.由，∴直線l的方程為，即為3x＋y?6=0.10．【答案】D【解析】因?yàn)橹本€l2與x軸的交點(diǎn)為A（－2，0），所以，即，將其與聯(lián)立可得，由題設(shè)，解得，故選D.【名師點(diǎn)睛】解答本題的關(guān)鍵是借助題設(shè)中提供的圖象及函數(shù)的解析式聯(lián)立方程組求出交點(diǎn)坐標(biāo)，借助點(diǎn)的位置建立不等式組，通過解不等式組使得問題獲解.11．【答案】B【解析】如圖所示：當(dāng)直線過時(shí)，設(shè)直線的斜率為，則，當(dāng)直線過時(shí)，設(shè)直線的斜率為，則，要使直線與線段有公共點(diǎn)，則直線的斜率的取值范圍是，故選B.【名師點(diǎn)睛】本題考查了求直線的斜率問題，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于簡單題.數(shù)形結(jié)合是根據(jù)數(shù)量與圖形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法，是中學(xué)數(shù)學(xué)四種重要的數(shù)學(xué)思想之一，尤其在解決選擇題、填空題時(shí)發(fā)揮著奇特功效，大大提高了解題能力與速度.結(jié)合函數(shù)的圖象，求出線段端點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率，從而求出斜率的范圍即可.12．【答案】【解析】∵直線的傾斜角為，且，∴直線的斜率的取值范圍是或，∴或，∴直線的斜率的取值范圍是．13．【答案】2【解析】三點(diǎn)，，在同一條直線上，則，解得．故答案為2．14．【答案】30°【解析】因?yàn)橹本€l1的傾斜角為150°，所以∠BCA=30°，所以l3的傾斜角為×(90°?30°)=30°.15．【答案】【解析】將直線化為斜截式：，斜率為，所以直線l的斜率為，令直線中，得y軸上的截距為4，所以直線l的縱截距為8，根據(jù)斜截式可得直線l的方程為，化簡得：.【名師點(diǎn)睛】本題考查直線的各種方程間的互化以及直線中的系數(shù)求法，求斜率就要化簡為斜截式，求截距就令或，要熟練掌握直線方程的不同形式所對(duì)應(yīng)的不同已知條件，注意各種形式下的限制條件.16．【答案】【解析】設(shè)，由，可得，則，由截距式可得直線方程為，即，故答案為.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查向量相等的性質(zhì)以及直線的方程，直線方程主要有五種形式，每種形式的直線方程都有其局限性，斜截式與點(diǎn)斜式要求直線斜率存在，所以用這兩種形式設(shè)直線方程時(shí)要注意討論斜率是否存在；截距式要注意討論截距是否為零；兩點(diǎn)式要注意討論直線是否與坐標(biāo)軸平行；求直線方程的最終結(jié)果往往需要化為一般式.17．【解析】的幾何意義是過兩點(diǎn)的直線的斜率，點(diǎn)M在線段上運(yùn)動(dòng)，易知當(dāng)時(shí)，，此時(shí)與兩點(diǎn)連線的斜率最大，為；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)與兩點(diǎn)連線的斜率最小，為.，即的取值范圍為.18．【解析】（1）將直線l的方程整理為y－＝，所以l的斜率為a，且過定點(diǎn)，而點(diǎn)在第一象限，故不論a為何值，直線l恒過第一象限．（2）將方程化為斜截式方程：y＝ax－ .要使l經(jīng)過第一、三、四象限，則，解得a>3.【名師點(diǎn)睛】有關(guān)直線過定點(diǎn)的求法：當(dāng)直線方程含有參數(shù)時(shí)，把含參數(shù)的項(xiàng)放在一起，不含參數(shù)的項(xiàng)放在一起，分別令其為零，可求出直線過定點(diǎn)的坐標(biāo)；直線l經(jīng)過第一、三、四象限，只需斜率為正，截距為負(fù)，列出不等式組解出a的范圍.19．【解析】（1）當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，該直線在軸和軸上的截距為0，∴，則直線的方程為.當(dāng)直線不經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，截距存在且均不為0，直線的方程為，∴∴，則直線的方程為.綜上，直線的方程為或.（2）①若直線的斜率不存在，則直線的方程為，直線，直線和軸圍成的三角形的面積為2，符合題意；②若直線的斜率，則直線與軸沒有交點(diǎn)，不符合題意；③若直線的斜率，設(shè)其方程為，令，得，依題意有，解得，所以直線的方程為，即.綜上可知，直線的方程為或.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查直線的方程，直線方程主要有五種形式，每種形式的直線方程都有其局限性，斜截式與點(diǎn)斜式要求直線斜率存在，所以用這兩種形式設(shè)直線方程時(shí)要注意討論斜是否存在；截距式要注意討論截距是否為零；兩點(diǎn)式要注意討論直線是否與坐標(biāo)軸平行；求直線方程的最終結(jié)果往往需要化為一般式.20．【解析】（1）依題意得，，因?yàn)?/span>，所以直線的斜率為，可得直線的方程為，即直線的方程為.（2）①當(dāng)兩截距均為0時(shí)，設(shè)直線方程為，因?yàn)橹本€過點(diǎn)，解得，即所求直線方程為，②當(dāng)截距均不為0時(shí)，設(shè)直線方程為，因?yàn)橹本€過點(diǎn)，解得，即所求直線方程為，綜上所述，所求直線方程為或.21．【解析】設(shè)直線，則直線.（1），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即.（2），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即.