?考點42 曲線與方程
了解方程的曲線與曲線的方程的對應關系.

一、曲線與方程的概念
一般地，在直角坐標系中，如果某曲線C（看作點的集合或適合某種條件的點的軌跡）上的點與一個二元方程的實數(shù)解建立了如下的關系：
（1）曲線上點的坐標都是這個方程的解；
（2）以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點．
那么，這個方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做方程的曲線．
二、坐標法（直接法）求曲線方程的步驟
求曲線的方程，一般有下面幾個步驟：
（1）建立適當?shù)淖鴺讼?，用有序實?shù)對(x，y)表示曲線上任意一點M的坐標；
（2）寫出適合條件p的點M的集合；
（3）用坐標表示條件p(M)，列出方程；
（4）化方程為最簡形式；
（5）說明以化簡后的方程的解為坐標的點都在曲線上．
一般地，化簡前后方程的解集是相同的，步驟（5）可以省略不寫．若遇到某些點雖適合方程，但不在曲線上時，可通過限制方程中x，y的取值范圍予以剔除．另外，也可以根據(jù)情況省略步驟（2），直接列出曲線方程．
三、兩曲線的交點
（1）由曲線方程的定義可知，兩條曲線交點的坐標應該是兩個曲線方程的公共解，即兩個曲線方程組成的方程組的實數(shù)解；反過來，方程組有幾組解，兩條曲線就有幾個交點；方程組無解，兩條曲線就沒有交點．
（2）兩條曲線有交點的充要條件是它們的方程所組成的方程組有實數(shù)解．可見，求曲線的交點問題，就是求由它們的方程所組成的方程組的實數(shù)解問題.

考向一 考查曲線與方程的概念
判斷曲線與方程的關系時，把握兩個對應關系：
（1）曲線上的每個點都符合某種條件；
（2）每個符合條件的點都在這條曲線上.若要判斷點是否在方程表示的曲線上，只需檢驗點的坐標是否滿足方程.

典例1 方程表示的曲線是
A．一個圓和一條直線 B．半個圓和一條直線
C．一個圓和兩條射線 D．一個圓和一條線段
【答案】C
【解析】可變形為或，
故表示以原點為圓心，3為半徑的圓和直線x＋y－2＝0在圓x2＋y2－9＝0外面的兩條射線.
典例2 方程y=-對應的曲線是

【答案】A　
【解析】將y=-平方得x2+y2=4(y≤0)，它表示的曲線是圓心在原點，半徑為2的圓的下半部分，故選A.

1．設，且是和的等比中項，則動點的軌跡為除去軸上點的
A．一條直線 B．一個圓
C．雙曲線的一支 D．一個橢圓
2．方程表示的曲線不可能是
A．橢圓 B．拋物線
C．雙曲線 D．直線
考向二 直接法求軌跡方程
直接法求曲線方程時最關鍵的就是把幾何條件或等量關系翻譯為代數(shù)方程，要注意翻譯的等價性．通常將步驟簡記為建系設點、列式、代換、化簡、證明這五個步驟，但最后的證明可以省略，如果給出了直角坐標系則可省去建系這一步，求出曲線的方程后還需注意檢驗方程的純粹性和完備性．

典例3 已知兩點M(－2，0)，N(2，0)，點P為坐標平面內的動點，滿足，則動點P(x，y)的軌跡方程為
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】設P（x，y），M（﹣2，0），N（2，0），，
則，
由，得，
化簡整理得．
故選A．
典例4 已知坐標平面上一點與兩個定點，，且．
（1）求點的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形；
（2）記（1）中軌跡為，過點的直線被所截得的線段長度為，求直線的方程．
【解析】（1）由，得，
化簡得，
所以點的軌跡方程是，
該軌跡是以為圓心，以為半徑的圓．
（2）當直線的斜率不存在時，，此時所截得的線段的長為，
所以符合題意．
當直線的斜率存在時，設的方程為，即，
圓心到的距離，
由題意，得，解得．
所以直線的方程為，即．
綜上，直線的方程為或．

3．若動點到點的距離是到點D(2,0)的距離的2倍，則動點的軌跡方程為
A． B．
C． D．
4．已知和是平面直角坐標系中的兩個定點，過動點的直線和的斜率分別為，，且.
（1）求動點的軌跡的方程；
（2）過點作相互垂直的兩條直線與軌跡交于，兩點，求證：直線過定點.
考向三 定義法求軌跡方程
求軌跡方程時，若動點與定點、定直線間的等量關系滿足圓、橢圓、雙曲線、拋物線的定義，則可直接根據(jù)定義先確定軌跡類型，再寫出其方程．理解解析幾何中有關曲線的定義是解題的關鍵．
利用定義法求軌跡方程時，還要看所求軌跡是否是完整的圓、橢圓、雙曲線、拋物線，如果不是完整的曲線，則應對其中的變量x或y進行限制．

典例5 已知圓A，圓B：，動圓P與圓A、圓B均外切.
（1）求動圓P的圓心的軌跡C的方程；
（2）過圓心B的直線與曲線C交于M、N兩點，求｜MN｜的最小值.
【解析】（1）設動圓P的半徑為，則│PA│＝，│PB│=，
∴│PA│－│PB│=2.
故點P的軌跡是以A、B為焦點，實軸長為2的雙曲線的右支，
其方程為.
（2）設MN的方程為，
代入雙曲線方程，得.
由，解得.
設,
則，
當時,.
故｜MN｜的最小值為6.

5．設圓(x＋1)2＋y2＝25的圓心為C，A(1，0)是圓內一定點，Q為圓周上任一點，線段AQ的垂直平分線與CQ的連線交于點M，則M的軌跡方程為
A． B．
C． D．
6．已知曲線上的點到點的距離比它到直線的距離小2.
（1）求曲線的方程.
（2）是否存在過的直線，使得與曲線相交于，兩點，點關于軸的對稱點為，且的面積等于4？若存在，求出此時直線的方程；若不存在，請說明理由.
考向四 相關點法求軌跡方程
動點所滿足的條件不易得出或轉化為等式，但形成軌跡的動點卻隨另一動點的運動而有規(guī)律地運動，而且動點Q的軌跡方程為給定的或容易求得的，則可先將，表示成關于x，y的式子，再代入Q的軌跡方程整理化簡即得動點P的軌跡方程．

典例6 已知圓C的方程為x2＋y2＝4，過圓C上的一動點M作平行于x軸的直線m，設m與y軸的交點為N，若向量，求動點Q的軌跡方程.
【解析】設點Q的坐標為(x，y)，點M的坐標為(x0，y0)(y0≠0)，則點N的坐標為(0，y0).
因為，即(x，y)＝(x0，y0)＋(0，y0)＝(x0，2y0)，則x0＝x，y0＝.
又點M在圓C上，所以，即，
所以動點Q的軌跡方程為.
典例7 在直角坐標系中，，不在軸上的動點滿足于點為的中點.
（1）求點的軌跡的方程；
（2）設曲線與軸正半軸的交點為，斜率為的直線交于兩點，記直線的斜率分別為，試問是否為定值?若是，求出該定值；若不是，請說明理由.
【解析】（1）解法一：設點，
因為軸，為的中點，所以，
因為，所以，即，化簡得，
所以，點的軌跡的方程為.
解法二：依題意可知點的軌跡方程為，
設點，因為軸，為的中點，所以，
所以，即，
所以，點的軌跡的方程為.
（2）依題意可知，設直線的方程為，
、，
由，得，
所以，，，
所以

，
所以，為定值0.

7．在平面直角坐標系中，已知點，點是圓上的動點，則線段的中點的軌跡方程是
A． B．
C． D．
8．如圖所示，已知P(4，0)是圓x2+y2=36內的一點，A，B是圓上兩動點，且滿足∠APB=90°，求矩形APBQ的頂點Q的軌跡方程.

考向五 參數(shù)法求軌跡方程
若動點坐標之間的關系不易直接找到，且無法判斷動點的軌跡，也沒有明顯的相關動點可用，但較易發(fā)現(xiàn)（或經(jīng)分析可發(fā)現(xiàn)）這個動點的運動受到另一個變量的制約，即動點中的x，y分別隨另一變量的變化而變化，我們可稱這個變量為參數(shù)，建立軌跡的參數(shù)方程，這種求軌跡方程的方法叫做參數(shù)法.
參數(shù)法求軌跡方程的步驟：
（1）選取參數(shù)k，用k表示動點M的坐標．
（2）得出動點M的參數(shù)方程.
（3）消去參數(shù)k，得m的軌跡方程．
（4）由k的范圍確定x，y的范圍．

典例8 如圖，在正方形OABC中，O為坐標原點，點A的坐標為(10,0)，點C的坐標為(0,10).分別將線段OA和AB十等分，分點分別記為A1,A2,…,A9和B1,B2,…,B9.連接OBi，過Ai作x軸的垂線與OBi交于點Pi(i∈N*,1≤i≤9).

（1）求證:點Pi(i∈N*,1≤i≤9)都在同一條拋物線上,并求該拋物線E的方程;
（2）過點C作直線l與拋物線E交于不同的兩點M,N,若與的面積比為4∶1,求直線l的方程.
【解析】解法一：（1）依題意,過Ai(i∈N*,1≤i≤9)且與x軸垂直的直線的方程為x=i,
Bi的坐標為(10,i),所以直線OBi的方程為y=x.
設Pi的坐標為(x,y),由得y=x2,即x2=10y.
所以點Pi(i∈N*,1≤i≤9)都在同一條拋物線上,且拋物線E的方程為x2=10y.
（2）依題意,直線l的斜率存在,設直線l的方程為y=kx+10.
由得,
此時Δ=100k2+400>0,直線l與拋物線E恒有兩個不同的交點M,N.
設,則，
因為S△OCM=4S△OCN,所以|x1|=4|x2|.
又x1·x20,即m2+2mb>0?、?
又y1+y2=-2m,x1+x2=2mb-m(y1+y2)=2mb+2m2,∴M(mb+m2,-m).
由點M在直線l上,得-m=m(mb+m2-2),即b=?、?
把②代入①,得m2

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