?考點(diǎn)50 隨機(jī)事件的概率
（1）了解隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，了解概率的意義，了解頻率與概率的區(qū)別.
（2）了解兩個(gè)互斥事件的概率加法公式.

一、隨機(jī)事件及其概率
1．事件的分類

2．頻率與概率
（1）事件的頻率：在相同的條件S下重復(fù)n次試驗(yàn),觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱n次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)為事件A出現(xiàn)的頻數(shù),稱事件A出現(xiàn)的比例為事件A出現(xiàn)的頻率.
（2）事件的概率：對(duì)于給定的隨機(jī)事件A,由于事件A發(fā)生的頻率隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)上，把這個(gè)常數(shù)記作，稱為事件A的概率，因此可以用來(lái)估計(jì)概率.
注意：頻率是事件A發(fā)生的次數(shù)與試驗(yàn)總次數(shù)的比值，與試驗(yàn)次數(shù)有關(guān).概率是一個(gè)確定的數(shù)，是客觀存在的,與試驗(yàn)做沒(méi)做、做多少次完全無(wú)關(guān).
二、事件間的關(guān)系及運(yùn)算

定義
符號(hào)表示
包含關(guān)系
如果事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，這時(shí)稱事件B包含事件A(或稱事件A包含于事件B)
B?A(或A?B)
相等關(guān)系
若B?A且A?B，則事件A與事件B相等
A＝B
并事件(和事件)
若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生或事件B發(fā)生，稱此事件為事件A與事件B的并事件(或和事件)
A∪B(或A＋B)
交事件(積事件)
若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生且事件B發(fā)生，則稱此事件為事件A與事件B的交事件(或積事件)
A∩B(或A·B)
互斥事件
若A∩B為不可能事件，則稱事件A與事件B互斥

對(duì)立事件
若A∩B為不可能事件，A∪B為必然事件，那么稱事件A與事件B互為對(duì)立事件
且

注意：互斥事件與對(duì)立事件都是指兩個(gè)事件的關(guān)系，互斥事件是不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件，而對(duì)立事件除要求這兩個(gè)事件不同時(shí)發(fā)生外，還要求必須有一個(gè)發(fā)生.因此，對(duì)立事件一定是互斥事件，而互斥事件未必是對(duì)立事件.
三、概率的基本性質(zhì)
1．由于事件的頻數(shù)總是小于或等于試驗(yàn)的次數(shù),所以頻率在0~1之間,從而任何事件的概率都在0~1之間,即.必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0.
2．當(dāng)事件A與事件B互斥時(shí),，該公式為概率的加法公式.當(dāng)一個(gè)事件包含多個(gè)結(jié)果且各個(gè)結(jié)果彼此互斥時(shí)，要用到概率加法公式的推廣，即.
3．若事件A與事件B互為對(duì)立事件,則為必然事件,.再由加法公式得.

考向一 由頻率估計(jì)隨機(jī)事件的概率
隨機(jī)事件在一次試驗(yàn)中是否發(fā)生雖然不能事先確定，但是在大量重復(fù)試驗(yàn)的情況下，隨機(jī)事件的發(fā)生呈現(xiàn)一定的規(guī)律性，因而，可以從統(tǒng)計(jì)的角度，通過(guò)計(jì)算事件發(fā)生的頻率去估算事件發(fā)生的概率.

典例1 某企業(yè)生產(chǎn)的乒乓球被奧運(yùn)會(huì)指定為乒乓球比賽專用球,目前有關(guān)部門對(duì)某批產(chǎn)品進(jìn)行了抽樣檢查,檢查結(jié)果如下表所示:
抽取球數(shù)n
50
100
200
500
1000
2000
優(yōu)等品數(shù)m
45
92
194
470
954
1902
優(yōu)等品頻率






(1)計(jì)算表中乒乓球優(yōu)等品的頻率;
(2)從這批乒乓球產(chǎn)品中任取一個(gè),質(zhì)量檢查為優(yōu)等品的概率是多少?(結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后三位)
【解析】(1)依據(jù)公式f=,計(jì)算出表中乒乓球優(yōu)等品的頻率依次是0.900,0.920,0.970,0.940,0.954,0.951.
(2)由(1)知，抽取的球數(shù)n不同，計(jì)算得到的頻率值不同，但隨著抽取球數(shù)的增多，頻率在常數(shù)0.950的附近擺動(dòng)，
所以質(zhì)量檢查為優(yōu)等品的概率約為0.950.
典例2 如圖,A地到火車站共有兩條路徑L1和L2,現(xiàn)隨機(jī)抽取100位從A地到達(dá)火車站的人進(jìn)行調(diào)查,調(diào)查結(jié)果如下:
所用時(shí)間(分鐘)
10~20
20~30
30~40
40~50
50~60
選擇L1的人數(shù)
6
12
18
12
12
選擇L2的人數(shù)
0
4
16
16
4

(1)試估計(jì)40分鐘內(nèi)不能趕到火車站的概率;
(2)分別求通過(guò)路徑L1和L2所用時(shí)間落在上表中各時(shí)間段內(nèi)的頻率;
(3)現(xiàn)甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時(shí)間用于趕往火車站,為了盡最大可能在允許的時(shí)間內(nèi)趕到火車站,試通過(guò)計(jì)算說(shuō)明,他們應(yīng)如何選擇各自的路徑.
【解析】(1)由題意知共調(diào)查了100人,其中40分鐘內(nèi)不能趕到火車站的有12+12+16+4=44(人),
∴用頻率估計(jì)相應(yīng)的概率約為0.44.
(2)選擇L1的有60人,選擇L2的有40人,由調(diào)查結(jié)果得:
所用時(shí)間(分鐘)
10~20
20~30
30~40
40~50
50~60
L1的頻率
0.1
0.2
0.3
0.2
0.2
L2的頻率
0
0.1
0.4
0.4
0.1
(3)A1,A2分別表示甲選擇L1,L2時(shí),在40分鐘內(nèi)趕到火車站;B1,B2分別表示乙選擇L1,L2時(shí),在50分鐘內(nèi)趕到火車站.
由(2)知P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6,P(A2)=0.1+0.4=0.5,
∵P(A1)>P(A2),
∴甲應(yīng)選擇L1;
P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9,
∵P(B2)>P(B1),
∴乙應(yīng)選擇L2.

1．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有“米谷粒分”題：糧倉(cāng)開倉(cāng)收糧，有人送來(lái)米1536石，驗(yàn)得米內(nèi)夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得256粒內(nèi)夾谷18粒，則這批米內(nèi)夾谷約為
A．108石 B．169石
C．237石 D．338石
考向二 事件間的關(guān)系及運(yùn)算
對(duì)互斥事件要把握住不能同時(shí)發(fā)生，而對(duì)于對(duì)立事件除不能同時(shí)發(fā)生外，其并事件應(yīng)為必然事件，而且事件的發(fā)生與否都是對(duì)于同一次試驗(yàn)而言的，不能在多次試驗(yàn)中判斷. 具體應(yīng)用時(shí)，可把所有試驗(yàn)結(jié)果寫出來(lái)，看所求事件包含哪些試驗(yàn)結(jié)果，從而斷定所給事件的關(guān)系．

典例3 判斷下列各對(duì)事件是否為互斥事件?是否為對(duì)立事件?并說(shuō)明理由.
已知某醫(yī)療診所的急診室有3名男醫(yī)生和2名女醫(yī)生,從中任選2名去參加醫(yī)德培訓(xùn),其中
(1)“恰有1名男醫(yī)生”和“恰有2名男醫(yī)生”;
(2)“至少有1名男醫(yī)生”和“至少有1名女醫(yī)生”;
(3)“至少有1名男醫(yī)生”和“全是男醫(yī)生”;
(4)“至少有1名男醫(yī)生”和“全是女醫(yī)生”.
【解析】(1)是互斥事件,但不是對(duì)立事件.
理由是:所選的2名醫(yī)生中,“恰有1名男醫(yī)生”實(shí)質(zhì)選出的是“1名男醫(yī)生和1名女醫(yī)生”,它與“恰有2名男醫(yī)生”不可能同時(shí)發(fā)生,所以是互斥事件,同時(shí),不能保證其中必有一個(gè)發(fā)生,因?yàn)檫€可能選出“恰有2名女醫(yī)生”,因此二者不對(duì)立.
(2)不是互斥事件,也不是對(duì)立事件.
理由是:“至少有1名男醫(yī)生”包括“1名男醫(yī)生和1名女醫(yī)生”與“2名都是男醫(yī)生”,“至少有1名女醫(yī)生”包括“1名女醫(yī)生和1名男醫(yī)生”與“2名都是女醫(yī)生”,它們共同含有“1名男醫(yī)生和1名女醫(yī)生”,能夠同時(shí)發(fā)生,因此不互斥也不對(duì)立.
(3)不是互斥事件,也不是對(duì)立事件.
理由是:“至少有1名男醫(yī)生”包括“1名男醫(yī)生和1名女醫(yī)生”與“2名都是男醫(yī)生”,這與“全是男醫(yī)生”能夠同時(shí)發(fā)生,因此不互斥也不對(duì)立.
(4)是互斥事件,也是對(duì)立事件.
理由是:“至少有1名男醫(yī)生”包括“1名男醫(yī)生和1名女醫(yī)生”與“2名都是男醫(yī)生”,它與“全是女醫(yī)生”不可能同時(shí)發(fā)生,但其中必有一個(gè)發(fā)生,故它們既是互斥事件,又是對(duì)立事件.

2．在一次隨機(jī)試驗(yàn)中，已知A，B，C三個(gè)事件發(fā)生的概率分別為0.2，0.3，0.5，則下列說(shuō)法一定正確的是
A．B與C是互斥事件 B．A＋B與C是對(duì)立事件
C．A＋B＋C是必然事件 D．
考向三 概率加法公式的應(yīng)用
概率加法公式應(yīng)用的前提是“各事件是互斥事件”，對(duì)于較難判斷關(guān)系的，必要時(shí)可利用Venn圖或列出全部的試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析．
求復(fù)雜事件的概率通常有兩種方法：
（1）將所求事件轉(zhuǎn)化成幾個(gè)彼此互斥的事件的和事件；
（2）若將一個(gè)較復(fù)雜的事件轉(zhuǎn)化為幾個(gè)互斥事件的和事件時(shí)，需要分類太多，而其對(duì)立面的分類較少，可考慮利用對(duì)立事件的概率公式，即“正難則反”.它常用來(lái)求“至少……”或“至多……”型事件的概率.

典例4 某花店每天以每枝6元的價(jià)格從農(nóng)場(chǎng)購(gòu)進(jìn)若干枝玫瑰花,然后以每枝12元的價(jià)格出售.如果當(dāng)天賣不完,剩下的玫瑰花做垃圾處理.
（1）若花店一天購(gòu)進(jìn)17枝玫瑰花,求當(dāng)天的利潤(rùn)y(單位:元)關(guān)于當(dāng)天需求量n(單位:枝,n∈N)的函數(shù)解析式.
（2）花店記錄了100天玫瑰花的日需求量(單位:枝),整理得下表:
日需求量n
14
15
16
17
18
19
20
頻數(shù)
10
20
16
16
15
13
10
(i)假設(shè)花店在這100天內(nèi)每天購(gòu)進(jìn)17枝玫瑰花,求這100天的日利潤(rùn)(單位:元)的平均數(shù);
(ii)若花店一天購(gòu)進(jìn)17枝玫瑰花,以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率,求當(dāng)天的利潤(rùn)不少于92元的概率.
【解析】（1）當(dāng)日需求量n時(shí),利潤(rùn)y=6×17=102;
當(dāng)日需求量時(shí),利潤(rùn)y=12n-102,
所以y關(guān)于n的函數(shù)解析式為y=(n.
（2）(i)這100天中有10天的日利潤(rùn)為66元,20天的日利潤(rùn)為78元,16天的日利潤(rùn)為90元,54天的日利潤(rùn)為102元,
所以這100天的日利潤(rùn)的平均數(shù)為.
(ii)當(dāng)天利潤(rùn)不少于92元即12n-102,即n,
所以所求概率P=0.16+0.15+0.13+0.1=0.54.
典例5 某地區(qū)的年降水量在下列范圍內(nèi)的概率如下表所示:
年降水量(mm)
[100,150)
[150,200)
[200,250)
[250,300]
概率
0.10
0.25
0.20
0.12
（1）求年降水量在[200,300]內(nèi)的概率;
（2）求年降水量在[100,250)內(nèi)的概率.
【解析】（1）記“年降水量在[200,250)內(nèi)”為事件A,則P(A)=0.20.
記“年降水量在[250,300]內(nèi)”為事件B,則P(B)=0.12.
記“年降水量在[200,300]內(nèi)”為事件C,則C=A∪B,且事件A與事件B是互斥事件,
由互斥事件的概率加法公式,得P(C)=P(A)+P(B)=0.32.
即年降水量在[200,300]內(nèi)的概率為0.32.
（2）記“年降水量在[100,150)內(nèi)”為事件A',則P(A')=0.10.
記“年降水量在[150,200)內(nèi)”為事件B',則P(B')=0.25.
記“年降水量在[200,250)內(nèi)”為事件C',則P(C')= 0.20.
記“年降水量在[100,250)內(nèi)”為事件D,則D=A'∪B'∪C',且事件A'、事件B'、事件C'是互斥事件,
由互斥事件的概率加法公式,得P(D)=P(A')+P(B')+P(C')=0.55.
即年降水量在[100,250)內(nèi)的概率為0.55.

3．某產(chǎn)品共有三個(gè)等級(jí)，分別為一等品、二等品和不合格品．從一箱產(chǎn)品中隨機(jī)抽取1件進(jìn)行檢測(cè)，設(shè)“抽到一等品”的概率為0.65，“抽到二等品”的概率為0.3，則“抽到不合格品”的概率為
A．0.05 B．0.35
C．0.7 D．0.95
4．受轎車在保修期內(nèi)的維修費(fèi)等因素的影響，企業(yè)生產(chǎn)每輛轎車的利潤(rùn)與該轎車首次出現(xiàn)故障的時(shí)間有關(guān)，某轎車制造廠生產(chǎn)甲、乙兩種品牌轎車，甲品牌車保修期為3年，乙品牌車保修期為2年，現(xiàn)從該廠已售出的兩種品牌轎車中分別隨機(jī)抽取50輛，統(tǒng)計(jì)出在保修期內(nèi)出現(xiàn)故障的車輛數(shù)據(jù)如下：
品牌
甲
乙
首次出現(xiàn)故障的時(shí)間x(年)







轎車數(shù)量(輛)
2
1
3
44
2
3
45
（1）從該廠生產(chǎn)的甲種品牌轎車中隨機(jī)抽取一輛，求首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)的概率；
（2）從該廠生產(chǎn)的乙種品牌轎車中隨機(jī)抽取一輛，求首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)的概率．（將頻率視為概率）


1．從裝有2個(gè)白球和2個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取兩個(gè)球，那么互斥而不對(duì)立的事件是
A．至少有一個(gè)黑球與都是黑球
B．至少有一個(gè)黑球與至少有一個(gè)白球
C．恰好有一個(gè)黑球與恰好有兩個(gè)黑球
D．至少有一個(gè)黑球與都是白球
2．下列說(shuō)法正確的是
A．某人打靶，射擊10次，擊中7次，那么此人中靶的概率為0.7
B．一位同學(xué)做擲硬幣試驗(yàn)，擲6次，一定有3次“正面朝上”
C．某地發(fā)行福利彩票，回報(bào)率為，有人花了100元錢買彩票，一定會(huì)有47元的回報(bào)
D．概率等于1的事件不一定為必然事件
3．已知隨機(jī)事件和互斥，且，，則
A． B．
C． D．
4．圍棋盒子中有多粒黑子和白子，已知從中取出2粒都是黑子的概率為，從中取出2粒都是白子的概率是，則從中任意取出2粒恰好是同一色的概率是
A． B．
C． D．1
5．在5張電話卡中，有3張移動(dòng)卡和2張聯(lián)通卡，從中任取2張，已知事件“2張全是移動(dòng)卡”的概率是,那么概率是的事件是
A．至多有一張移動(dòng)卡 B．恰有一張移動(dòng)卡
C．都不是移動(dòng)卡 D．至少有一張移動(dòng)卡
6．設(shè)事件A,B,已知P(A)=,P(B)=,P(A∪B)=,則A,B之間的關(guān)系一定為
A．兩個(gè)任意事件 B．互斥事件
C．非互斥事件 D．對(duì)立事件
7．現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)某運(yùn)動(dòng)員射擊4次，至少擊中3次的概率.先由計(jì)算器給出0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定0、1、2表示沒(méi)有擊中目標(biāo)，3、4、5、6、7、8、9表示擊中目標(biāo)，以4個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，代表射擊4次的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了20組隨機(jī)數(shù)：
7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698
0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281
根據(jù)以上數(shù)據(jù)估計(jì)該射擊運(yùn)動(dòng)員射擊4次至少擊中3次的概率為
A．0.55 B．0.6
C．0.65 D．0.7
8．甲、乙兩人下中國(guó)象棋，下成和棋的概率為，甲獲勝的概率為，則甲輸棋的概率是__________.
9．某公司三個(gè)分廠的職工情況為：第一分廠有男職工4000人，女職工1600人；第二分廠有男職工3000人，女職工1400人；第三分廠有男職工800人，女職工500人．如果從該公司職工中隨機(jī)抽選1人，則該職工為女職工或?yàn)榈谌謴S職工的概率為__________.
10．如果袋中裝有數(shù)量差別很大而大小相同的白球和黃球（只是顏色不同）若干個(gè)，從中任取一球，取了10次有7個(gè)白球，估計(jì)袋中數(shù)量最多的是________球．
11．口袋內(nèi)裝有一些大小相同的紅球、黃球和藍(lán)球，從中摸出1個(gè)球，摸出紅球的概率為0.42，摸出黃球的概率是0.28.若紅球有21個(gè)，則藍(lán)球有________個(gè)．
12．在拋擲一顆骰子的試驗(yàn)中，事件表示“不大于4的偶數(shù)點(diǎn)出現(xiàn)”，事件表示“小于5的點(diǎn)數(shù)出現(xiàn)”，則事件發(fā)生的概率為________（表示的對(duì)立事件）．
13．經(jīng)統(tǒng)計(jì),在某儲(chǔ)蓄所一個(gè)營(yíng)業(yè)窗口排隊(duì)等候的人數(shù)及相應(yīng)概率如下:
排隊(duì)人數(shù)
0
1
2
3
4
≥5
概率
0.1
0.16
0.3
0.3
0.1
0.04
(1)至多有2人排隊(duì)等候的概率是多少?
(2)至少有3人排隊(duì)等候的概率是多少?











14．在“六一”聯(lián)歡會(huì)上設(shè)有一個(gè)抽獎(jiǎng)游戲.抽獎(jiǎng)箱中共有12張紙條，分一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)、三等獎(jiǎng)、無(wú)獎(jiǎng)四種.從中任取一張，不中獎(jiǎng)的概率為，中二等獎(jiǎng)或三等獎(jiǎng)的概率是.
（1）求任取一張，中一等獎(jiǎng)的概率；
（2）若中一等獎(jiǎng)或二等獎(jiǎng)的概率是，求任取一張，中三等獎(jiǎng)的概率.




15．下面是某市2月1日至14日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢(shì)圖及空氣質(zhì)量指數(shù)與污染程度對(duì)應(yīng)表．某人隨機(jī)選擇2月1日至2月13日中的某一天到該市出差，第二天返回(往返共兩天)．

（1）由圖判斷從哪天開始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大？(只寫出結(jié)論，不要求證明)
（2）求此人到達(dá)當(dāng)日空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的概率；
（3）求此人出差期間(兩天)空氣質(zhì)量至少有一天為中度或重度污染的概率．





1．【2019年高考全國(guó)Ⅱ卷理數(shù)】我國(guó)高鐵發(fā)展迅速，技術(shù)先進(jìn)．經(jīng)統(tǒng)計(jì)，在經(jīng)停某站的高鐵列車中，有10個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.97，有20個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.98，有10個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.99，則經(jīng)停該站高鐵列車所有車次的平均正點(diǎn)率的估計(jì)值為______________．
2．【2018年高考北京卷理數(shù)節(jié)選】電影公司隨機(jī)收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù)，經(jīng)分類整理得到下表：
電影類型
第一類
第二類
第三類
第四類
第五類
第六類
電影部數(shù)
140
50
300
200
800
510
好評(píng)率
0.4
0.2
0.15
0.25
0.2
0.1
好評(píng)率是指：一類電影中獲得好評(píng)的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值．
假設(shè)所有電影是否獲得好評(píng)相互獨(dú)立．
（1）從電影公司收集的電影中隨機(jī)選取1部，求這部電影是獲得好評(píng)的第四類電影的概率；


3．【2017年高考北京卷理數(shù)】為了研究一種新藥的療效，選100名患者隨機(jī)分成兩組，每組各50名，一組服藥，另一組不服藥．一段時(shí)間后，記錄了兩組患者的生理指標(biāo)x和y的數(shù)據(jù)，并制成下圖，其中“*”表示服藥者，“+”表示未服藥者．

（1）從服藥的50名患者中隨機(jī)選出一人，求此人指標(biāo)y的值小于60的概率；




變式拓展

1．【答案】A
【解析】粒內(nèi)夾谷18粒，
米中含谷的頻率為，
石中夾谷約為（石）.故選A．
【名師點(diǎn)睛】本題主要考查樣本估計(jì)總體的應(yīng)用，以及頻率估計(jì)概率的應(yīng)用，意在考查靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，屬于基礎(chǔ)題.求解時(shí)，根據(jù)抽取樣本中米夾谷的比例，得到整體米夾谷的頻率，從而可得結(jié)果.
2．【答案】D
【解析】A，B，C三個(gè)事件發(fā)生的概率分別為0.2，0.3，0.5，不能確定它們之間有任何關(guān)系，故選項(xiàng)A、B、C均錯(cuò)，
而，，D正確．
故選D．
【名師點(diǎn)睛】本題考查事件之間的關(guān)系，要注意事件的關(guān)系與它們的概率之間沒(méi)有必然的聯(lián)系，掌握互斥事件與對(duì)立事件的定義是解題基礎(chǔ)．
3．【答案】A
【解析】根據(jù)題意，記“抽到一等品”為事件，“抽到二等品”為事件，“抽到不合格品”為事件，“抽到一等品”與“抽到二等品”是互斥事件，則.
“抽到不合格品”與“抽到一等品或二等品”是對(duì)立事件，則，
故選A．
4．【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）設(shè)A，B，C分別表示甲品牌轎車首次出現(xiàn)故障在第1年，第2年和第3年之內(nèi)，設(shè)D表示甲品牌轎車首次出現(xiàn)故障在保修期內(nèi)，
因?yàn)锳，B，C是互斥的，其概率分別為，，，
所以，
即首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)的概率為．
（2）乙品牌轎車首次出現(xiàn)故障未發(fā)生在保修期內(nèi)的概率為，
故首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)的概率為．
【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了互斥事件以及對(duì)立事件概率計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題.求解時(shí)，（1）設(shè)A，B，C分別表示甲品牌轎車首次出現(xiàn)故障在第1年，第2年和第3年之內(nèi)，設(shè)D表示甲品牌轎車首次出現(xiàn)故障在保修期內(nèi)，分別計(jì)算出，相加即可得結(jié)果；（2）求出乙品牌轎車首次出現(xiàn)故障未發(fā)生在保修期內(nèi)的概率，再利用對(duì)立事件的概率計(jì)算公式可得結(jié)果.
考點(diǎn)沖關(guān)

1．【答案】C
【解析】對(duì)于A，事件：“至少有一個(gè)黑球”與事件：“都是黑球”可以同時(shí)發(fā)生，如：兩個(gè)都是黑球，∴這兩個(gè)事件不是互斥事件，∴A不正確；
對(duì)于B，事件：“至少有一個(gè)黑球”與事件：“至少有一個(gè)白球”可以同時(shí)發(fā)生，如：一個(gè)白球一個(gè)黑球，∴B不正確；
對(duì)于C，事件：“恰好有一個(gè)黑球”與事件：“恰有兩個(gè)黑球”不能同時(shí)發(fā)生，但從口袋中任取兩個(gè)球時(shí)還有可能是兩個(gè)都是白球，∴兩個(gè)事件是互斥事件但不是對(duì)立事件，∴C正確；
對(duì)于D，事件：“至少有一個(gè)黑球”與“都是白球”不能同時(shí)發(fā)生，但一定會(huì)有一個(gè)發(fā)生，
∴這兩個(gè)事件是對(duì)立事件，∴D不正確.
故選C．
【名師點(diǎn)睛】本題考查互斥事件與對(duì)立事件．首先要求理解互斥事件和對(duì)立事件的定義，理解互斥事件與對(duì)立事件的聯(lián)系與區(qū)別．同時(shí)要能夠準(zhǔn)確列舉某一事件所包含的基本事件．屬簡(jiǎn)單題.
2．【答案】D
【解析】A．某人打靶，射擊次，擊中次，那么此人中靶的概率為，是一個(gè)隨機(jī)事件，故錯(cuò)誤；
B．是一個(gè)隨機(jī)事件，一位同學(xué)做擲硬幣試驗(yàn)，擲次，不一定有次“正面朝上”，故錯(cuò)誤；
C．是一個(gè)隨機(jī)事件，買這種彩票，中獎(jiǎng)或者不中獎(jiǎng)都有可能，但事先無(wú)法預(yù)料，故錯(cuò)誤；
D．正確，比如說(shuō)在和之間隨機(jī)取一個(gè)實(shí)數(shù)，這個(gè)數(shù)不等于的概率是，但不是必然事件，故正確.綜上所述，故選D.
3．【答案】D
【解析】與互斥，，
，.
本題正確選項(xiàng)為D.
【名師點(diǎn)睛】本題考查概率中的互斥事件、對(duì)立事件概率公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.求解時(shí)，根據(jù)互斥事件的概率公式可求得，利用對(duì)立事件概率公式求得結(jié)果.
4．【答案】B
【解析】記從中取出2粒都是黑子的概率為，從中取出2粒都是白子的概率是，則從中任意取出2粒恰好是同一色的概率是，故選B.
【名師點(diǎn)睛】本題考查了概率的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題型.直接利用概率相加得到答案.
5．【答案】A
【解析】由于=，結(jié)合對(duì)立事件的定義可知所求事件是“2張全是移動(dòng)卡”的對(duì)立事件,即“至多有一張移動(dòng)卡”,選A．
6．【答案】B
【解析】因?yàn)镻(A)+P(B)=+==P(A∪B),所以A,B之間的關(guān)系一定為互斥事件.選擇B．
7．【答案】B
【解析】由題設(shè)可知兩次以上沒(méi)擊中的情形有0293、7140、1417、0371、2616、6011、7610、4281，共8種故該射擊運(yùn)動(dòng)員射擊4次至少擊中3次的概率為，應(yīng)選B.
8．【答案】
【解析】設(shè)甲輸棋為事件A，由題意可得：，
故.
故答案為：．
【名師點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)立事件概率公式及其應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.
9．【答案】
【解析】第一分廠有男職工4000人，女職工1600人；第二分廠有男職工3000人，女職工1400人；第三分廠有男職工800人，女職工500人．
記事件A為該職工為女職工或?yàn)榈谌謴S職工，
由等可能事件概率公式得：
，
則該職工為女職工或?yàn)榈谌謴S職工的概率為，
故答案為：．
【名師點(diǎn)睛】本題考查概率的求法，考查概率計(jì)算公式的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．
10．【答案】白
【解析】取了10次有7個(gè)白球，則取出白球的頻率是0.7，估計(jì)其概率是0.7，那么取出黃球的概率約是0.3，取出白球的概率大于取出黃球的概率，所以估計(jì)袋中數(shù)量最多的是白球．
故答案為：白.
【名師點(diǎn)睛】本題考查概率知識(shí)，考查頻率估計(jì)概率，比較基礎(chǔ)．
11．【答案】15
【解析】由題意摸出紅球的概率為0.42，并且紅球有21個(gè)，則總球數(shù)為個(gè)，所以藍(lán)球的個(gè)數(shù)為個(gè).
所以本題答案為15.
【名師點(diǎn)睛】本題考查概率等基礎(chǔ)知識(shí)，考查概率的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.
12．【答案】
【解析】由題意，可知拋擲一顆骰子，基本事件的個(gè)數(shù)共有6個(gè)，
則事件A表示“不大于4的偶數(shù)點(diǎn)出現(xiàn)”的概率為，
事件B表示“小于5的點(diǎn)數(shù)出現(xiàn)”的概率為，則，
∵與互斥，∴．
【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了互斥事件的概率加法公式，以及對(duì)立事件的應(yīng)用，其中解答中合理應(yīng)用對(duì)立事件的概率，準(zhǔn)確應(yīng)用互斥事件的概率加法公式求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，屬于基礎(chǔ)題．
13．【解析】(1)記“有0人排隊(duì)等候”為事件A,“有1人排隊(duì)等候”為事件B,“有2人排隊(duì)等候”為事件C,“有3人排隊(duì)等候”為事件D,“有4人排隊(duì)等候”為事件E,“有5人及5人以上排隊(duì)等候”為事件F,則易知A,B,C,D,E,F互斥.
記“至多有2人排隊(duì)等候”為事件G,
則G=A∪B∪C,
所以P(G)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56.
(2)方法一：記“至少有3人排隊(duì)等候”為事件H,
則H=D∪E∪F,
所以P(H)=P(D∪E∪F)=P(D)+P(E)+P(F)=0.3+0.1+0.04=0.44.
方法二：因?yàn)镚與H互為對(duì)立事件,所以P(H)=1-P(G)=1-0.56=0.44.
14．【解析】設(shè)任取一張，抽得一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)、三等獎(jiǎng)、不中獎(jiǎng)的事件分別為，，，，它們是互斥事件.
由條件可得，，
（1）由對(duì)立事件的概率公式知
，
所以任取一張，中一等獎(jiǎng)的概率為；
（2）∵，而，
∴，
又，
∴.
所以任取一張，中三等獎(jiǎng)的概率為.
15．【解析】（1）從2月5日開始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大．
（2）設(shè)Ai表示事件“此人于2月i日到達(dá)該市”(i＝1，2，…，13)．
根據(jù)題意，P(Ai)＝，且Ai∩Aj＝ (i≠j，j＝1，2，…，13)．
設(shè)B為事件“此人到達(dá)當(dāng)日空氣優(yōu)良”，則B＝A1∪A2∪A3∪A7∪A12∪A13.
所以P（B）＝P(A1∪A2∪A3∪A7∪A12∪A13)＝.
（3）設(shè)“此人出差期間空氣質(zhì)量至少有一天為中度或重度污染”為事件A，
即“此人出差期間空氣質(zhì)量指數(shù)至少有一天大于150，小于300”，
由題意可知P（A）＝P(A4∪A5∪A6∪A7∪A8∪A9∪A10∪A11)＝P(A4)＋P(A5)＋P(A6)＋P(A7)＋P(A8)＋P(A9)＋P(A10)＋P(A11)＝.
【名師點(diǎn)睛】本題主要考查方差的性質(zhì)，考查互斥事件的概率公式，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.求解時(shí)，（1）觀察得從2月5日開始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大；（2）利用互斥事件的概率公式求此人到達(dá)當(dāng)日空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的概率；（3）利用互斥事件的概率公式求此人出差期間(兩天)空氣質(zhì)量至少有一天為中度或重度污染的概率．
直通高考

1．【答案】
【分析】本題考查通過(guò)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)進(jìn)行概率的估計(jì)，采取估算法，利用概率思想解題．
【解析】由題意得，經(jīng)停該高鐵站的列車正點(diǎn)數(shù)約為，其中高鐵個(gè)數(shù)為，所以該站所有高鐵平均正點(diǎn)率約為．
【名師點(diǎn)睛】本題考查了概率統(tǒng)計(jì)，滲透了數(shù)據(jù)處理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，側(cè)重統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的概率估算，難度不大．易忽視概率的估算值不是精確值而失誤，根據(jù)分類抽樣的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，估算出正點(diǎn)列車數(shù)量與列車總數(shù)的比值．
2．【解析】（1）由題意知，樣本中電影的總部數(shù)是140+50+300+200+800+510=2000，
第四類電影中獲得好評(píng)的電影部數(shù)是200×0.25=50．
故所求概率為．
3．【解析】（1）由圖知，在服藥的50名患者中，指標(biāo)的值小于60的有15人，
所以從服藥的50名患者中隨機(jī)選出一人，此人指標(biāo)的值小于60的概率為．

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