?2021—2022學(xué)年第一學(xué)期階段性教學(xué)質(zhì)量檢測
九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題（本題滿分24分，共有8道小題，每小題3分）
1．方程(x－1)(x＋2)＝0 的兩根分別為（ ）
A．x1＝－1，x2＝2 B．x1＝1，x2＝2 C．x1＝－1，x2＝－2 D．x1＝1，x2＝－2
2．下列命題是真命題的是（ ）
A．四個角都相等的四邊形是菱形
B．四條邊都相等的四邊形是正方形
C．平行四邊形、菱形、矩形都既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形
D．順次連接菱形各邊中點得到的四邊形是矩形
3．根據(jù)下表：
x
－3
－2
－1
…
4
5
6
x2－bx－5
13
5
－1
…
－1
5
13
確定方程x2－bx－5＝0的解的取值范圍是（ ）
A．－2＜x＜－1或4＜x＜5 B．－2＜x＜－1或5＜x＜6
C．－3＜x＜－2或5＜x＜6 D．－3＜x＜－2或4＜x＜5
4．綠豆在相同條件下的發(fā)芽試驗，結(jié)果如下表所示：
每批粒數(shù)n
100
300
400
600
1000
2000
3000
發(fā)芽的粒數(shù)m
96
282
382
570
948
1912
2850
發(fā)芽的頻率
0.960
0.940
0.955
0.950
0.948
0.956
0.950
則綠豆發(fā)芽的概率估計值(精確到0.01)是（ ）
A．0.96 B．0.95 C．0.94 D．0.90
5．2021年5月11日我國第七次人口普查數(shù)據(jù)出爐，與第五次、第六次人口普查數(shù)據(jù)相比較，我國人口總量持續(xù)增長. 第五次人口普查全國總?cè)丝诩s12.95億，第七次人口普查全國總?cè)丝诩s14.11億，設(shè)從第五次到第七次人口普查總?cè)丝谄骄鲩L率為x，則可列方程為（ ）
A．12.95 (1+x) 2＝14.11 B．12.95(1－x) 2＝14.11 C．12.95 (1+2x) 2=14.11 D．12.95 (1+2x) ＝14.11
6．如圖，已知在△ABC中，點D，E，F(xiàn)分別是邊AB，AC，BC上的點，DE//BC，EF//AB，且AD：DB=3：5，那么CF：CB等于（ ）

A．3：8 B．5：8 C．3：5 D．2：5
7．如圖，在正方形ABCD的外側(cè)，作等邊△ADE，AC，BE相交于點F，則∠BFC為（　?。?br /> A．45° B．55° C．60° D．75°

（第7題圖） （第8題圖）
8．如圖，在正方形ABCD中，以BC為邊作等邊△BPC，延長BP，CP分別交AD于點E，F(xiàn)，連接BD、DP、BD與CF相交于點H，給出下列結(jié)論：
①AE＝CF；②∠BPD＝135°； ③△PDE∽△DBE； ④ED2＝EP?EB
其中正確的是（　?。?br /> A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
二、填空題（本題滿分18分，共有6道小題，每小題3分）
9．若，則＝ ．
10．若關(guān)于x的方程2x2﹣3x﹣c＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則c的取值范圍為　 ?。?br /> 11．某游樂場有這樣一種游戲規(guī)則：在一個裝有6個紅球和若干白球（每個球除顏色外，其它都相同）的袋中，隨機(jī)摸一個球，摸到一個紅球就得歡動世界通票一張，已知參加這種游戲的有300人，游樂場為此游戲發(fā)放歡動世界通票60張，請你通過計算估計袋中白球的數(shù)量是　 　個．
12．如圖，矩形ABCD 的對角線AC、BD 交于點O，∠AOD＝60°，AB＝，AE⊥BD 于點E，則OE長　 ?。?br />
13．如圖，小穎同學(xué)用自制的直角三角形紙板DEF測量樹的高度AB，她調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊DF保持水平，并且邊DE與點B在同一直線上，已知紙板的兩條邊DE＝8cm，DF＝10cm，測得邊DF離地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，則樹高AB＝　 　m．


14．我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了利用配方法解一元二次方程，其實配方法還有其它重要應(yīng)用．
例如：求代數(shù)式x2+4x+5的最小值？解答過程如下：
解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1．
∵（x+2）2≥0，
∴當(dāng)x＝－2時，（x+2）2的值最小，最小值是0，
∴（x+2）2+1≥1，
∴當(dāng)（x+2）2＝0時，（x+2）2+1的值最小，最小值是1，
∴x2+4x+5的最小值為1．
根據(jù)上述方法，可求代數(shù)式－x2－6x＋12有最　 　（填“大”或“小”）值，為 ．
三、作圖題（本題滿分4分）
15．用圓規(guī)、直尺作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡．
現(xiàn)有一個四邊形木塊，且∠A為直角，現(xiàn)要利用這塊木塊截一個正方形ABCD，使其對角線長等于已知線段a．請在圖中作出這個正方形．

四、解答題（本題共有9道題，滿分74分）
16．（本題滿分12分，共3題，每題4分）
（1）解一元二次方程：x2﹣2x﹣2＝0（配方法） （2）3x2+5（2x+1）＝0．





（3）若關(guān)于x的一元二次方程x2＋2x＋k﹣2＝0有一個根為－3，則k的值是多少？另一個根是多少？




17．（本題滿分6分）
電影“長津湖”的熱映，讓今年國慶節(jié)多了幾分英雄氣．現(xiàn)有電影票一張，明明和磊磊打算通過玩擲骰子的游戲決定誰擁有．游戲規(guī)則是：在一枚均勻的正方體骰子的每個面上分別標(biāo)上數(shù)字1、2、3、4、5、6．明明和磊磊各擲一次骰子，若兩次朝上的點數(shù)之和是3的倍數(shù)，則明明獲勝，電影票歸明明所有，否則磊磊獲勝．
（1）用畫樹狀圖或列表的方法表示所有可能的結(jié)果；
（2）你認(rèn)為這個游戲規(guī)則對明明和磊磊公平嗎？請說明理由．





18．（本題滿分6分）
如圖，在ABCD中，點E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點，EF⊥AC于點O．
求證：四邊形AFCE是菱形．





19．（本題滿分6分）
如圖，某小區(qū)居委會打算把一塊長20m，寬8m的長方形空地修建成一個矩形花圃，供居民休閑散步，若三面修成寬度相等的花磚路，中間花圃的面積是126m2．請計算花磚路面的寬度．





20．（本題滿分6分）
如圖，在△ABC中，AB＝4，BC＝8，AC＝6，AB∥CD，BD是∠ABC的角平分線，BD交AC與點E，求AE的長．

21．（本題滿分8分）
如圖，在平行四邊形ABCD中，O是BC邊的中點，連接AO并延長，交DC的延長線于點E，且∠EAC＝∠DAC．
（1）求證：OA＝OE；
（2）連接BE，判斷四邊形ABEC是什么特殊四邊形？證明你的結(jié)論．



22．（本題滿分8分）
2022年2月4日，第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動會將在北京舉行，吉祥物“冰墩墩”備受人民的喜愛. 某商店經(jīng)銷一種吉祥物玩具，銷售成本為買件40元，據(jù)市場分析，若按每件50元銷售，一個月能售出500件；銷售單價每漲2元，月銷售量就減少20件，針對這種玩具的銷售情況，請解答以下問題：
（1）當(dāng)銷售單價漲多少元時，月銷售利潤能夠達(dá)到8000元.
（2）商店想在月銷售成本不超過10000元的情況下，使得月銷售利潤達(dá)到8000元，則銷售定價應(yīng)為多少元？






23．（本題滿分10分）
【問題提出】用n個圓最多能把平面分成幾個區(qū)域？
【問題探究】為了解決上面的數(shù)學(xué)問題，我們采取一般問題特殊化的策略，先從最簡單情形入手，再逐次遞進(jìn)，最后猜想得出結(jié)論．
探究一：如圖1，一個圓能把平面分成2個區(qū)域．

探究二：用2個圓最多能把平面分成幾個區(qū)域？
如圖2，在探究一的基礎(chǔ)上，為了使分成的區(qū)域最多，應(yīng)使新增加的圓與前1個圓有2個交點，將新增加的圓分成2部分，從而增加2個區(qū)域，所以，用2個圓最多能把平面分成4個區(qū)域．
探究三：用3個圓最多能把平面分成幾個區(qū)域？
如圖3，在探究二的基礎(chǔ)上，為了使分成的區(qū)域最多，應(yīng)使新增加的圓與前2個圓分別有2個交點，將新增加的圓分成2×2＝4部分，從而增加4個區(qū)域，所以，用3個圓最多能把平面分成8個區(qū)域．
探究四：用4個圓最多能把平面分成幾個區(qū)域？
仿照前面的探究方法，寫出解答過程，不需畫圖．







【歸納結(jié)論】用n個圓最多能把平面分成幾個區(qū)域？
為了使分成的區(qū)域最多，應(yīng)使新增加的圓與前（n﹣1）個圓分別有2個交點，將新增加的圓分成　 　部分，從而增加 　 　個區(qū)域，所以，用n個圓最多能把平面分成 　 　個區(qū)域．（將結(jié)果進(jìn)行化簡）
【應(yīng)用結(jié)論】
1．用10個圓最多能把平面分成 　 　個區(qū)域；
2．用 　 　個圓最多能把平面分成422個區(qū)域．


24．（本題滿分12分）
在菱形ABCD中，對線AC，BD交于點O，且AC=16cm，BD=12cm；點P從點B出發(fā)，沿BC方向勻速運(yùn)動，速度為2cm/s；點Q從點D出發(fā)，沿DO方向勻速運(yùn)動，速度為1cm/s；若P，Q兩點同時出發(fā)，當(dāng)一個點停止運(yùn)動時，另一個點也停止運(yùn)動. 過點Q作EF⊥BD，交AD于點E，交CD于點F，設(shè)運(yùn)動時間為t(s). 解答下列問題：
（1）求菱形的邊長，并用含t的代數(shù)式表示DE的長度；
（2）當(dāng)t為何時，線段PE∥AB?
（3）設(shè)四邊形CFEP的面積為S(cm2)，求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；
（4）是否存在某一時刻t，使得以B，P，Q為頂點的三角形是等三角形？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由.

（備用圖） （備用圖）



2021—2022學(xué)年第一學(xué)期階段性教學(xué)質(zhì)量檢測
九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題（本題滿分24分，共有8道小題，每小題3分）
1．方程(x－1)(x＋2)＝0 的兩根分別為（ ）
A．x1＝－1，x2＝2 B．x1＝1，x2＝2 C．x1＝－1，x2＝－2 D．x1＝1，x2＝－2
【答案】D
【分析】因式分解法解一元二次方程即可．
【解答】由方程可得：
x－1＝0或x＋2＝0
解得：x1＝1，x2＝－2
故選D．
2．下列命題是真命題的是（ ）
A．四個角都相等的四邊形是菱形
B．四條邊都相等的四邊形是正方形
C．平行四邊形、菱形、矩形都既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形
D．順次連接菱形各邊中點得到的四邊形是矩形
【答案】D
【分析】根據(jù)菱形、矩形、正方形的判定定理即可解答．
【解答】A選項：三個角是90°的四邊形是矩形，故該選項錯誤；
B選項：四條邊都相等的四邊形是菱形，故該選項錯誤；
C選項：平行四邊形是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形，菱形、矩形和正方形都既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形；
D選項：順次連接菱形各邊中點得到的四邊形是矩形，順次連接矩形各邊中點得到的四邊形是菱形，故該選項正確．
故選D．
3．根據(jù)下表：
x
－3
－2
－1
…
4
5
6
x2－bx－5
13
5
－1
…
－1
5
13
確定方程x2－bx－5＝0的解的取值范圍是（ ）
A．－2＜x＜－1或4＜x＜5 B．－2＜x＜－1或5＜x＜6
C．－3＜x＜－2或5＜x＜6 D．－3＜x＜－2或4＜x＜5
【答案】A
【分析】根據(jù)x2－bx－5的符號即可估算x2－bx－5=0的解．
【解答】解：由表格可知：當(dāng)x＝－2時，x2－bx－5＝5，
當(dāng)x＝－1時，x2－bx－5＝－1，
∴關(guān)于x的一元二次方程x2－bx－5=0的一個解x的范圍是－2＜x＜－1，
同理，另一個解的范圍是：4＜x＜5
綜上，方程x2－bx－5＝0的解的取值范圍是：－2＜x＜－1或4＜x＜5
故選A．
4．綠豆在相同條件下的發(fā)芽試驗，結(jié)果如下表所示：
每批粒數(shù)n
100
300
400
600
1000
2000
3000
發(fā)芽的粒數(shù)m
96
282
382
570
948
1912
2850
發(fā)芽的頻率
0.960
0.940
0.955
0.950
0.948
0.956
0.950
則綠豆發(fā)芽的概率估計值(精確到0.01)是（ ）
A．0.96 B．0.95 C．0.94 D．0.90
【答案】B
【分析】用頻率估算概率，根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)求解．
【解答】解：由表格可知：當(dāng)實驗次數(shù)足夠多時，發(fā)芽的頻率逐漸穩(wěn)定在0.95附近
∴課估算發(fā)芽的概率是0.95
故選B．
5．2021年5月11日我國第七次人口普查數(shù)據(jù)出爐，與第五次、第六次人口普查數(shù)據(jù)相比較，我國人口總量持續(xù)增長. 第五次人口普查全國總?cè)丝诩s12.95億，第七次人口普查全國總?cè)丝诩s14.11億，設(shè)從第五次到第七次人口普查總?cè)丝谄骄鲩L率為x，則可列方程為（ ）
A．12.95 (1+x) 2＝14.11 B．12.95(1－x) 2＝14.11 C．12.95 (1+2x) 2=14.11 D．12.95 (1+2x) ＝14.11
【答案】A
【分析】增長率公式：a(1±x)2＝b，a是增長（下降）前的量，b是增長（下降）兩次后的量，x是平均增長（下降）率，增長就是1＋x，下降是1－x．
【解答】由增長率公式可得方程為：
12.95 (1+x) 2＝14.11
故選：A．
6．如圖，已知在△ABC中，點D，E，F(xiàn)分別是邊AB，AC，BC上的點，DE//BC，EF//AB，且AD：DB=3：5，那么CF：CB等于（ ）

A．3：8 B．5：8 C．3：5 D．2：5
【答案】B
【分析】根據(jù)平行線分線段成比例解得即可．
【解答】∵EF//AB
∴
∵DE//BC，
∴
∴
故選：B．
7．如圖，在正方形ABCD的外側(cè)，作等邊△ADE，AC，BE相交于點F，則∠BFC為（　　）
A．45° B．55° C．60° D．75°

【答案】C
【分析】考查正方形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)和外角的性質(zhì)．
【解答】∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，AB＝AD，
又∵△ADE是等邊三角形，
∴AE＝AD＝AB，∠DAE＝60°
∴∠BAE＝∠BAD＋∠DAE＝90°＋60°＝150°，∠ABE＝∠AEB
∵∠ABE＋∠AEB＋∠BAE＝180°
∴2∠ABE＝180°－∠BAE＝180°－150°＝30°
∴∠ABE＝15°
∵AC是正方形ABCD的對角線
∴∠BAC＝45°，
∴∠BFC＝∠BAC＋∠ABE＝45°＋15°＝60°
故選C
8．如圖，在正方形ABCD中，以BC為邊作等邊△BPC，延長BP，CP分別交AD于點E，F(xiàn)，連接BD、DP、BD與CF相交于點H，給出下列結(jié)論：
①AE＝CF；②∠BPD＝135°； ③△PDE∽△DBE； ④ED2＝EP?EB
其中正確的是（　　）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】 D
【分析】由正方形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)，即可得出結(jié)論．
【解答】解：∵△BPC是等邊三角形，
∴BP＝PC＝BC，∠PBC＝∠PCB＝∠BPC＝60°，
在正方形ABCD中，
∵AB＝BC＝CD，∠A＝∠ADC＝∠BCD＝90°
∴∠ABE＝∠DCF＝30°，
∴AE＝BE＝CF；故①正確；
∵PC＝CD，∠PCD＝30°，
∴∠PDC＝75°，
∴∠FDP＝15°，
∵∠DBA＝45°，
∴∠PBD＝15°，
∴∠EDP＝∠EBD，
∵∠DEP＝∠DEP，
∴△DEP∽△BED，
∴＝，即ED2＝EP?EB，故④正確；
∵∠FDP＝∠PBD＝15°，∵∠PED＝∠DEB，
∴△PDE∽△DBE，故③正確；
∵∠PBD＝15°，∠PDB＝30°，
∴∠BPD＝135°，故②正確；
故選：D．
【點評】本題考查的正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵是熟練掌握性質(zhì)和定理．

二、填空題（本題滿分18分，共有6道小題，每小題3分）
9．若，則＝ ．
【答案】
【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)求解即可．
【解答】∵，
∴
故答案為：

10．若關(guān)于x的方程2x2﹣3x﹣c＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則c的取值范圍為　 　．
【答案】 c＞﹣
【分析】由方程有兩個不相等的實數(shù)根結(jié)合根的判別式，可以得出關(guān)于c的一元一次不等式，解不等式即可得出結(jié)論．
【解答】解：∵關(guān)于x的方程2x2﹣3x﹣c＝0有兩個不相等的實數(shù)根，
∴Δ＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣c）＝9+8c＞0，
解得：c＞﹣．
故答案為：c＞﹣．
【點評】本題考查了根的判別式以及解一元一次不等式，解題的關(guān)鍵是找出9+8c＞0．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)根的個數(shù)結(jié)合根的判別式得出不等式（不等式組或方程）是關(guān)鍵．

11．某游樂場有這樣一種游戲規(guī)則：在一個裝有6個紅球和若干白球（每個球除顏色外，其它都相同）的袋中，隨機(jī)摸一個球，摸到一個紅球就得歡動世界通票一張，已知參加這種游戲的有300人，游樂場為此游戲發(fā)放歡動世界通票60張，請你通過計算估計袋中白球的數(shù)量是　 　個．
【答案】 24
【分析】設(shè)袋中共有m個球，根據(jù)摸到紅球的概率求出球的總個數(shù)，即可解答．
【解答】解：設(shè)袋中共有m個紅球，則摸到紅球的概率P（紅球）＝，
∴≈．
解得m≈24，
故答案為：24．
【點評】考查利用頻率估計概率，大量反復(fù)試驗下頻率穩(wěn)定值即概率．用到的知識點為：頻率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．

12．如圖，矩形ABCD 的對角線AC、BD 交于點O，∠AOD＝60°，AB＝，AE⊥BD 于點E，則OE長　 ?。?br />
【答案】 1
【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得∠DAB＝90°，OA＝OD，則可判斷△AOD為等邊三角形，所以∠ADO＝60°，OA＝AD，接著計算出AD＝＝2，然后利用等邊三角形的性質(zhì)，由AE⊥BD得到OE＝DE＝OD＝1．
【解答】解：∵四邊形ABCD為矩形，
∴∠DAB＝90°，OA＝OD，
∵∠AOD＝60°，
∴△AOD為等邊三角形，
∴∠ADO＝60°，OA＝AD，
在Rt△ADB中，AD＝＝2，
∵AE⊥BD，
∴OE＝DE＝OD＝1．
故答案為：1
【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)：平行四邊形的性質(zhì)矩形都具有，矩形的四個角都是直角；鄰邊垂直；矩形的對角線相等．也考查了含30度的直角三角形三邊的關(guān)系．

13．如圖，小穎同學(xué)用自制的直角三角形紙板DEF測量樹的高度AB，她調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊DF保持水平，并且邊DE與點B在同一直線上，已知紙板的兩條邊DE＝8cm，DF＝10cm，測得邊DF離地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，則樹高AB＝　 　m．

【答案】 7.5
【分析】利用直角三角形DEF和直角三角形BCD相似求得BC的長后加上小穎同學(xué)的身高即可求得樹高AB．
【解答】解：∵∠DEF＝∠BCD＝90°，∠D＝∠D，
∴△DEF∽△DCB，
∴＝，
∵DE＝8cm＝0.08m，DF＝10cm＝0.1m，AC＝1.5m，CD＝8m，
∴由勾股定理求得EF＝0.06m，
∴，
∴BC＝6米，
∴AB＝AC+BC＝1.5+6＝7.5（米）．
故答案為：7.5．
【點評】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是從實際問題中整理出相似三角形的模型．

14．我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了利用配方法解一元二次方程，其實配方法還有其它重要應(yīng)用．
例如：求代數(shù)式x2+4x+5的最小值？解答過程如下：
解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1．
∵（x+2）2≥0，
∴當(dāng)x＝－2時，（x+2）2的值最小，最小值是0，
∴（x+2）2+1≥1，
∴當(dāng)（x+2）2＝0時，（x+2）2+1的值最小，最小值是1，
∴x2+4x+5的最小值為1．
根據(jù)上述方法，可求代數(shù)式－x2－6x＋12有最　 ?。ㄌ睢按蟆被颉靶　保┲?，為 ．
【答案】大，21
【分析】原式配方后，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出最大值即可．
【解答】解：﹣x2－6x+12
＝12﹣（x2＋6x）
＝12﹣（x2＋6x+9﹣9）
＝12﹣（x＋3）2＋9
＝21﹣（x＋3）2，
∵（x＋3）2≥0，
∴當(dāng)（x＋3）2＝0時，21﹣（x＋3）2取得最大值21．
【點評】此題考查了配方法的應(yīng)用，以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．

三、作圖題（本題滿分4分）
15．用圓規(guī)、直尺作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡．
現(xiàn)有一個四邊形木塊，且∠A為直角，現(xiàn)要利用這塊木塊截一個正方形ABCD，使其對角線長等于已知線段a．請在圖中作出這個正方形．

【分析】①作∠A的角平分線AE；
②在AE上截取AC＝a；
③作線段AC的垂直平分線，分別與木塊交于B，D兩點，
E
正方形ABCD即為所求
【解答】如圖，正方形ABCD即為所求


C
B


D
A


四、解答題（本題共有9道題，滿分74分）
16．（本題滿分12分，共3題，每題4分）
（1）解一元二次方程：x2﹣2x﹣2＝0（配方法）
（2）3x2+5（2x+1）＝0．
（3）若關(guān)于x的一元二次方程x2＋2x＋k﹣2＝0有一個根為－3，則k的值是多少？另一個根是多少？
【答案】（1）x1＝1+，x2＝1﹣； （2）x1＝，x2＝； （3）k＝－1，另一個根是1．
【分析】（1）移項后配方，開方，即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）整理為一般式，再利用公式法求解即可；
（3）由根與系數(shù)的關(guān)系求解即可．
【解答】解：（1）x2﹣2x﹣2＝0，
x2﹣2x＝2，
x2﹣2x+1＝2+1，
（x﹣1）2＝3，
開方得：x﹣1＝，
解得：x1＝1+，x2＝1﹣；

（2）方程整理為一般式，得：3x2+10x+5＝0，
∵a＝3，b＝10，c＝5，
∴△＝102﹣4×3×5＝40＞0，
則x＝＝＝，
即x1＝，x2＝．

（3）由根與系數(shù)的關(guān)系可得：x1+x2＝，x1·x2＝
將a＝1，b＝2，c＝k﹣2，代入上式得
x1+x2＝－2， x1·x2＝k﹣2
∵方程的一個根為－3，即x1＝－3，
∴另一個根x2＝1，
代入得：k＝－1
【點評】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點選擇合適、簡便的方法是解題的關(guān)鍵．

17．（本題滿分6分）
電影“長津湖”的熱映，讓今年國慶節(jié)多了幾分英雄氣．現(xiàn)有電影票一張，明明和磊磊打算通過玩擲骰子的游戲決定誰擁有．游戲規(guī)則是：在一枚均勻的正方體骰子的每個面上分別標(biāo)上數(shù)字1、2、3、4、5、6．明明和磊磊各擲一次骰子，若兩次朝上的點數(shù)之和是3的倍數(shù)，則明明獲勝，電影票歸明明所有，否則磊磊獲勝．
（1）用畫樹狀圖或列表的方法表示所有可能的結(jié)果；
（2）你認(rèn)為這個游戲規(guī)則對明明和磊磊公平嗎？請說明理由．
【答案】（1）見解析；（2）不公平，理由見解析
【分析】（1）列表即可得出所有等可能結(jié)果；
（2）從表格中得出所有等可能結(jié)果，從中找到點數(shù)之和等于3的倍數(shù)的結(jié)果數(shù)和不是3的倍數(shù)的結(jié)果數(shù)，求出兩者的概率即可判斷．
【解答】解：（1）列表得：

1
2
3
4
5
6
1
（1，1）
（2，1）
（3，1）
（4，1）
（5，1）
（6，1）
2
（1，2）
（2，2）
（3，2）
（4，2）
（5，2）
（6，2）
3
（1，3）
（2，3）
（3，3）
（4，3）
（5，3）
（6，3）
4
（1，4）
（2，4）
（3，4）
（4，4）
（5，4）
（6，4）
5
（1，5）
（2，5）
（3，5）
（4，5）
（5，5）
（6，5）
6
（1，6）
（2，6）
（3，6）
（4，6）
（5，6）
（6，6）
（2）不公平，理由如下：
由表可知共有36種等可能結(jié)果，其中兩次朝上的點數(shù)之和是3的倍數(shù)有12種結(jié)果，不是3的倍數(shù)的有24種結(jié)果，
∴P（明明獲勝）＝＝，P（磊磊獲勝）＝＝，
∵≠，
∴不公平．
【點評】此題主要考查了游戲的公平性以及概率的求法，主要是通過列舉出所有的可能結(jié)果是解決問題的關(guān)鍵．

18．（本題滿分6分）
如圖，在ABCD中，點E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點，EF⊥AC于點O．
求證：四邊形AFCE是菱形．

【分析】根據(jù)菱形的判定定理求證即可．
【解答】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵點E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點，
∴AE＝AD，CF＝BC，
∴AE＝CF
∵AD∥BC，
∴四邊形AFCE是平行四邊形，
又∵EF⊥AC，
∴四邊形AFCE是菱形

19．（本題滿分6分）
如圖，某小區(qū)居委會打算把一塊長20m，寬8m的長方形空地修建成一個矩形花圃，供居民休閑散步，若三面修成寬度相等的花磚路，中間花圃的面積是126m2．請計算花磚路面的寬度．

【答案】 1米
【分析】根據(jù)題意列一元二次方程解答即可．
【解答】解：設(shè)花磚路的寬度為x m，中間花圃的長為（20－2x）m，寬為（8－x）m，
由題意列方程得：（20－2x）（8－x）＝126，
化簡，得：x2－18x＋17＝0，
解得：x1＝1，x2＝17（不合題意，舍去）
答：花磚路面的寬度為1米

20．（本題滿分6分）
如圖，在△ABC中，AB＝4，BC＝8，AC＝6，AB∥CD，BD是∠ABC的角平分線，BD交AC與點E，求AE的長．

【答案】 2
【分析】利用△ABE∽△CDE即可解答．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDE，
∵BD是∠ABC的角平分線，
∴∠ABE＝∠CBD，
∴∠CDE＝∠CBD
∴CD＝BC＝8，
∵∠ABE＝∠CDE，∠AEB＝∠CED，
∴△ABE∽△CDE，
∴
即
∴
解得：AE＝2
答：AE的長為2.

21．（本題滿分8分）
如圖，在平行四邊形ABCD中，O是BC邊的中點，連接AO并延長，交DC的延長線于點E，且∠EAC＝∠DAC．
（1）求證：OA＝OE；
（2）連接BE，判斷四邊形ABEC是什么特殊四邊形？證明你的結(jié)論．

【分析】（1）根據(jù)平行平行四邊形的性質(zhì)得出AB∥DC，利用平行線的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)解答即可；
（2）根據(jù)平行四邊形的判定和矩形的判定解答即可．
【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥DC，
∴∠ABO＝∠ECO，∠BAO＝∠CEO，
∵O是BC邊的中點，
∴BO＝CO，
在△ABO與△ECO中，
∠ABO＝∠ECO，∠BAO＝∠CEO，BO＝CO，
∴△ABO≌△ECO
∴OA＝OE
（2）四邊形ABEC是矩形，理由如下：
∵OA＝OE，OB＝OC，
∴四邊形ABEC是平行四邊形，
∴AB＝EC，
∵AB＝CD，
∴EC＝CD，
∵∠EAC＝∠DAC，
∴AC⊥DE，
∴∠ACE＝90°，
∴平行四邊形ABEC是矩形

22．（本題滿分8分）
2022年2月4日，第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動會將在北京舉行，吉祥物“冰墩墩”備受人民的喜愛. 某商店經(jīng)銷一種吉祥物玩具，銷售成本為買件40元，據(jù)市場分析，若按每件50元銷售，一個月能售出500件；銷售單價每漲2元，月銷售量就減少20件，針對這種玩具的銷售情況，請解答以下問題：
（1）當(dāng)銷售單價漲多少元時，月銷售利潤能夠達(dá)到8000元.
（2）商店想在月銷售成本不超過10000元的情況下，使得月銷售利潤達(dá)到8000元，則銷售定價應(yīng)為多少元？
【答案】（1）10元或30元； （2）80元
【分析】（1）設(shè)該商品的銷售單價應(yīng)定為x元，則月銷售數(shù)量為[500﹣10（x﹣50）]件，根據(jù)月銷售利潤＝每件利潤×銷售數(shù)量結(jié)合每月銷售利潤為8000元，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之即可求出x的值，再計算漲價的數(shù)量即可；
（2）利用月銷售成本＝每件成本×月銷售數(shù)量結(jié)合月銷售成本不超過10000元，即可確定定價的值．
【解答】解：（1）設(shè)該商品的銷售單價應(yīng)定為x元，則月銷售數(shù)量為[500﹣10（x﹣50）]件，
根據(jù)題意得：（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]＝8000，
解得：x1＝60，x2＝80．
∴單價上漲：60－50＝10（元）或80－50＝30（元）
故答案為：10或30．
（2）∵銷售成本不超過10000元，
當(dāng)x1＝60時，成本：40×[500﹣10×（60﹣50）]＝16000＞10000，故舍去；
當(dāng)x2＝80時，成本：40×[500﹣10×（80﹣50）]＝8000＜10000．
∴該商品的銷售單價應(yīng)定為80元．
【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)數(shù)量關(guān)系，列式計算；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程．

23．（本題滿分10分）
【問題提出】用n個圓最多能把平面分成幾個區(qū)域？
【問題探究】為了解決上面的數(shù)學(xué)問題，我們采取一般問題特殊化的策略，先從最簡單情形入手，再逐次遞進(jìn)，最后猜想得出結(jié)論．
探究一：如圖1，一個圓能把平面分成2個區(qū)域．

探究二：用2個圓最多能把平面分成幾個區(qū)域？
如圖2，在探究一的基礎(chǔ)上，為了使分成的區(qū)域最多，應(yīng)使新增加的圓與前1個圓有2個交點，將新增加的圓分成2部分，從而增加2個區(qū)域，所以，用2個圓最多能把平面分成4個區(qū)域．
探究三：用3個圓最多能把平面分成幾個區(qū)域？
如圖3，在探究二的基礎(chǔ)上，為了使分成的區(qū)域最多，應(yīng)使新增加的圓與前2個圓分別有2個交點，將新增加的圓分成2×2＝4部分，從而增加4個區(qū)域，所以，用3個圓最多能把平面分成8個區(qū)域．
探究四：用4個圓最多能把平面分成幾個區(qū)域？
仿照前面的探究方法，寫出解答過程，不需畫圖．

【歸納結(jié)論】用n個圓最多能把平面分成幾個區(qū)域？
為了使分成的區(qū)域最多，應(yīng)使新增加的圓與前（n﹣1）個圓分別有2個交點，將新增加的圓分成　 　部分，從而增加 　 　個區(qū)域，所以，用n個圓最多能把平面分成 　 　個區(qū)域．（將結(jié)果進(jìn)行化簡）
【應(yīng)用結(jié)論】
1．用10個圓最多能把平面分成 　 　個區(qū)域；
2．用 　 　個圓最多能把平面分成422個區(qū)域．
【答案】探究四：在探究三的基礎(chǔ)上，為了使分成的區(qū)域最多，應(yīng)使新增加的圓與前3個圓分別有2個交點，將新增加的圓分成2×3＝6部分，從而增加6個區(qū)域，所以，用4個圓最多能把平面分成14個區(qū)域． 【歸納結(jié)論】2（n﹣1），2（n﹣1），（n2﹣n+2）； 【應(yīng)用結(jié)論】1．92； 2．21
【分析】規(guī)律是求出圓與圓相交的交點的總數(shù)．
【解答】解：∵新增的一個圓與（n﹣1）個圓的每一個有2個交點，
∴所以共有2（n﹣1）個交點，
∵新增區(qū)域和交點的個數(shù)相同，
∴新增的圓分成2（n﹣1）部分，
∴n個圓最多將平面分為；
2+2+2×2+3×2+4×2+...+2（n﹣）
＝2+2[1+2+3+4+...+（n﹣1）]
＝2+2×
＝2+n（n﹣1）
＝n2﹣n+2，
故答案是：2（n﹣1），2（n﹣1），（n2﹣n+2）；
解：1．當(dāng)n＝10時，
n2﹣n+2＝102﹣10+2＝92，
故答案是92；
2．由n2﹣n+2＝422得，
n＝21，
故答案是21．
【點評】本題考查的是閱讀理解，探究規(guī)律，解決問題的關(guān)鍵是理解增加的區(qū)域就是新增圓被劃分出區(qū)域個數(shù)，而區(qū)域個數(shù)就是與前面增加的交點的個數(shù)．


24．（本題滿分12分）
在菱形ABCD中，對線AC，BD交于點O，且AC=16cm，BD=12cm；點P從點B出發(fā)，沿BC方向勻速運(yùn)動，速度為2cm/s；點Q從點D出發(fā)，沿DO方向勻速運(yùn)動，速度為1cm/s；若P，Q兩點同時出發(fā)，當(dāng)一個點停止運(yùn)動時，另一個點也停止運(yùn)動. 過點Q作EF⊥BD，交AD于點E，交CD于點F，設(shè)運(yùn)動時間為t(s). 解答下列問題：
（1）求菱形的邊長，并用含t的代數(shù)式表示DE的長度；
（2）當(dāng)t為何時，線段PE∥AB?
（3）設(shè)四邊形CFEP的面積為S(cm2)，求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；
（4）是否存在某一時刻t，使得以B，P，Q為頂點的三角形是等三角形？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由.

（備用圖） （備用圖）
【分析】（1）由菱形的性質(zhì)，根據(jù)勾股定理計算菱形邊長，利用△DEQ∽△DAO表示DE長度即可；
（2）當(dāng)PE∥AB時，四邊形ABPE為平行四邊形，利用BP＝AE可得出答案；
（3）利用梯形CDEP的面積減去△DEF的面積即可得到四邊形CFEP的面積；
（4）分三種情況討論．
【解答】解：（1）∵四邊形ABCD為菱形，且AC=16cm，BD=12cm
∴AC⊥BD，OA＝8cm，OB＝6cm
在Rt△AOB中，由勾股定理可得：AB＝＝10cm
即菱形的邊長為10cm
∵點Q從點D出發(fā)，沿DO方向勻速運(yùn)動，速度為1cm/s，
∴DQ＝t
由EF⊥BD，可得△DEQ∽△DAO
∴
即
∴DE＝

（2）由（1）得：AE＝AD－DE＝10－
∵點P從點B出發(fā)，沿BC方向勻速運(yùn)動，速度為2cm/s
∴BP＝2t
∵BP∥AE
當(dāng)PE∥AB時，四邊形ABPE為平行四邊形
∴BP＝AE
即 2t＝10－
解得：t＝
∴當(dāng)t為何時，線段PE∥AB

（3）∵AC=16cm，BD=12cm，AB＝10cm
∴由等面積可得：菱形的高h(yuǎn)＝
四邊形CDEP為梯形
∴S梯形CDEP＝＝
∵△DEQ∽△DAO
∴
即
∴QE＝
∵EF⊥BD，菱形ABCD是軸對稱圖形
∴EF＝2QE＝
∴S△DEF＝＝
∴四邊形CFEP的面積：S＝S梯形CDEP－S△DEF＝
∴S和t的函數(shù)關(guān)系式為：S＝

（4）存在，
①當(dāng)BP＝BQ時，
即 2t＝12－t
解得：t＝4
②當(dāng)PB＝PQ時，
∵△CBD為等腰三角形，CB＝CD
∴△BPQ∽△BCD
∴
即
解得：t＝
③當(dāng)QB＝QP時
此時△QBP∽△CBD
∴
即
解得：t＝
由題意知：P點運(yùn)動到終點用時：10÷2＝5（s）
Q點運(yùn)動到終點用時：6÷1＝6（s）
綜上所述：當(dāng)t為4或或時，以B，P，Q為頂點的三角形是等三角形.



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