2022-2023學(xué)年山東省青島市即墨區(qū)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷注意事項:
1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。
2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在試卷上無效。
3.考試結(jié)束后，本試卷和答題卡一并交回。  一、選擇題（本大題共8小題，共24分）已知下列方程：；；；；；，其中一元二次方程有(    )A. 個 B. 個 C. 個 D. 個兩個相似五邊形的一組對應(yīng)邊的長分別是，，若它們的面積和是，則較大五邊形的面積是(    )A.  B.  C.  D. 一個密閉不透明的盒子里有若干個白球，在不許將球倒出來數(shù)的情況下，為了估計白球數(shù)，小剛向其中放入了個黑球，攪勻后從中隨意摸出一個球記下顏色，再把它放回盒中，不斷重復(fù)這一過程，共摸球次，其中次摸到黑球，你估計盒中大約有白球(    )A. 個 B. 個 C. 個 D. 個要檢驗一個四邊形畫框是否為矩形，可行的測量方法是(    )A. 測量四邊形畫框的兩個角是否為
B. 測量四邊形畫框的對角線是否相等且互相平分
C. 測量四邊形畫框的一組對邊是否平行且相等
D. 測量四邊形畫框的四邊是否相等若方程沒有實數(shù)根，則值可以是(    )A.  B.  C.  D. 如圖，若，則圖中相似的三角形有(    )
 A. 對 B. 對 C. 對 D. 對在一幅長，寬的景觀區(qū)域的四周鋪設(shè)一條觀光小道，如圖所示，如果要使觀光小道的總面積是，設(shè)觀光小道的寬為，那么滿足的方程是(    )
 A.
B.
C.
D. 如圖，正方形的邊長為，為的中點，連接，過點作交于點，垂足為，連接、，下列結(jié)論：；；；；其中正確結(jié)論有(    )A.  B.  C.  D. 二、填空題（本大題共8小題，共24分）同時拋擲兩枚均勻的硬幣，則兩枚硬幣正面都向上的概率是______ ．如圖，，，，，則______．
某藥品原價每盒元，為了響應(yīng)國家解決老百姓看病貴的號召，經(jīng)過連續(xù)兩次降價，現(xiàn)在售價每盒元，則該藥品平均每次降價的百分率是______．如圖，已知菱形的面積為，對角線，相交于點，且，則菱形的邊長為______．
 電視節(jié)目主持人在主持節(jié)目時，站在舞臺的黃金分割點處最自然得體，若舞臺從到的距離，那么舞臺長為______
 不透明布袋中裝有除顏色外沒有其他區(qū)別的個紅球和個白球，從中一次性摸出兩個球，兩個球都是白球的概率是______．九年級班課外活動小組利用標(biāo)桿測量學(xué)校旗桿的高度，如圖所示，已知標(biāo)桿高度，標(biāo)桿與旗桿的水平距離，人的眼睛與地面的高度，人與標(biāo)桿的水平距離，則旗桿的高度為______
如圖，在矩形中，，，將此矩形折疊，使點與點重合，點落在點處，折痕為，則的長為______ ，的長為______ ．
 三、解答題（本大題共9小題，共74分）小明想利用一塊三角形紙片裁剪一個菱形，要求一個頂點為，另外三個頂點分別在三角形的三邊上，請你在原圖上利用尺規(guī)作圖把這個菱形作出來．
解下列方程：
配方法；
；
．已知，關(guān)于的一元二次方程．
若是該方程的一個根，求的值及另一個根；
若該方程有兩個實數(shù)根，求的取值范圍．小明和小亮用如圖所示的兩個轉(zhuǎn)盤每個轉(zhuǎn)盤被分成三個面積相等的扇形做游戲，轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤各一次，若兩次數(shù)字之和為奇數(shù)，則小明勝；若兩次數(shù)字之和為偶數(shù)，則小亮勝，這個游戲?qū)﹄p方公平嗎？說說你的理由．
已知：如圖，在四邊形中，，，，點，分別是，的中點．
求證：≌；
求證：四邊形是菱形；
給三角形添加一個條件______，使得四邊形是正方形，并證明你的結(jié)論．
如圖，在中，，，點為邊上一動點不與點，重合，過點作射線交于點，使．
求證：∽
當(dāng)時，求的值；
當(dāng)時，求的值．
水果專柜張經(jīng)理發(fā)現(xiàn)，如果以每千克元的價格購進富士蘋果若干，然后以每千克元的價格出售，每天可售出千克，后通過調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這種水果每千克的售價每降低元，每天可多售出千克．
若將這種水果每千克的售價降低元，則每天的銷售量是______千克用含的代數(shù)式表示；
張經(jīng)理現(xiàn)有資金元，如果希望通過降價銷售銷售這種水果每天盈利元，張經(jīng)理需將每千克的售價降低多少元？定義：兩個相似等腰三角形，如果它們的底角有一個公共的頂點，那么把這兩個三角形稱為“關(guān)聯(lián)等腰三角形”如圖，在與中，，，且，所以稱與為“關(guān)聯(lián)等腰三角形”，設(shè)它們的頂角為，連接，，則稱為“關(guān)聯(lián)比”．

下面是小穎探究“關(guān)聯(lián)比”與之間的關(guān)系的思維過程，請閱讀后，解答下列問題：
特例感知
當(dāng)與為“關(guān)聯(lián)等腰三角形“，且時，
在圖中，若點落在上，則“關(guān)聯(lián)比”______；
在圖中，探究與的關(guān)系，并求出“關(guān)聯(lián)比”的值．
類比探究

如圖，
當(dāng)與為“關(guān)聯(lián)等腰三角形“，且時，“關(guān)聯(lián)比”______；
猜想：當(dāng)與為“關(guān)聯(lián)等腰三角形”，且時，“關(guān)聯(lián)比”______．
直接寫出結(jié)果，用含的式子表示
遷移運用
如圖，與為“關(guān)聯(lián)等腰三角形”若，，點為邊上一點，且，點為上一動點，求點自點運動至點時，點所經(jīng)過的路徑長．矩形中，，為對角線，，，為中點，動點從點出發(fā)沿方向，向點運動，動點同時以相同速度，從點出發(fā)沿方向向點運動，、的速度都是個秒，其中一個動點到達終點時，另一個動點也隨之停止運動，設(shè)運動時間為秒．
時，求運動時間；
時，求運動時間；
當(dāng)為何值時，以點，，為頂點的三角形與相似？
連接，的面積能否達到矩形面積的三分之一，若能求出的值；若不能，說明理由．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：方程是分式方程，不符合題意；
方程是一元一次方程，不符合題意；
方程是一元二次方程，符合題意；
方程是一元二次方程，符合題意；
不是方程，不符合題意；
方程是二元一次方程，不符合題意．
是一元二次方程的有，即其中一元二次方程有個．
故選：．
根據(jù)一元二次方程的定義，可以找出是一元二次方程，進而可得出其中一元二次方程有個．
本題考查了一元二次方程的定義，牢記“只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是的整式方程叫一元二次方程”是解題的關(guān)鍵．
 2.【答案】 【解析】解：兩個相似五邊形的一組對應(yīng)邊的長分別是，，
這兩個相似五邊形的相似比為：，
設(shè)較大的五邊形的面積為，則較小的五邊形的面積為，
，
解得，
即較大的五邊形的面積為．
故選：．
兩個相似五邊形的一組對應(yīng)邊的長分別是，，則相似比為：，設(shè)較大的五邊形的面積為，則較小的五邊形的面積為，根據(jù)相似多邊形的面積之比等于相似比的平方列式計算即可．
本題考查了相似多邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相似多邊形的面積之比等于相似比的平方．
 3.【答案】 【解析】【分析】
此題主要考查了利用頻率估計概率，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系列出方程，再求解，注意分式方程要驗根，可根據(jù)“黑球數(shù)量黑白球總數(shù)黑球所占比例”來列等量關(guān)系式，其中“黑白球總數(shù)黑球個數(shù)白球個數(shù)“，“黑球所占比例隨機摸到的黑球次數(shù)總共摸球的次數(shù)”．
【解答】
解：設(shè)盒子里有白球個，
根據(jù)得：
，
解得：，
經(jīng)檢驗得是方程的解，
答：盒中大約有白球個，
故選：．  4.【答案】 【解析】解：、測量四邊形畫框的兩個角是否為，不能判定為矩形，故選項A不符合題意；
B、測量四邊形畫框的對角線是否相等且互相平分，能判定為矩形，故選項B符合題意；
C、測量四邊形畫框的一組對邊是否平行且相等，能判定為平行四邊形，不能判定是否為矩形，故選項C不符合題意；
D、測量四邊形畫框的四邊是否相等，能判定為菱形，故選項D不符合題意；
故選：．
由平行四邊形的判定與性質(zhì)、菱形的判定，矩形的判定分別對各個選項進行判斷即可．
本題考查了矩形的判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識；熟記“對角線互相平分的四邊形為平行四邊形”是解題的關(guān)鍵．
 5.【答案】 【解析】解：根據(jù)題意得，
解得．
故選：．
利用根的判別式的意義得到，然后解不等式得到的范圍，從而可對各選項進行判斷．
本題考查了根的判別式：一元二次方程的根與有如下關(guān)系：當(dāng)時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)時，方程無實數(shù)根．
 6.【答案】 【解析】【分析】
題目中給的角相等，從而根據(jù)兩個角對應(yīng)相等的兩個三角形互為相似三角形，從而找出圖中的相似三角形．本題考查相似三角形的判定定理，關(guān)鍵是知道兩個角相等的三角形互為相似三角形．
【解答】

解：，，
∽．
，，
∽．
，，
∽．
，，
∽．
所以有對．
故選：．  7.【答案】 【解析】解：根據(jù)題意得：，
即，
故選：．
根據(jù)面積的和差列方程即可．
本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
 8.【答案】 【解析】解：四邊形是正方形，
，，
，
，
，
，
≌，
，故正確；
如圖，延長，交于點，過點作于，

點是中點，
，
，
，
又，
≌，
，
，
又，
，
，故正確；
≌，
，，
，
，
，
，
，
，故錯誤；
點不是的中點，
，
，
，
，
，故錯誤；
，
，
，
，
，
，故正確；
故選：．
由“”可證≌，可得，故正確；延長，交于點，由“”可證≌，可得，由直角三角形的性質(zhì)可證，故正確；利用勾股定理可求的長，由面積法可求，故錯誤；由直角三角形的性質(zhì)可得，由等腰三角形的性質(zhì)可得，故錯誤；分別求出，的長，可得，故正確；即可求解．
本題是四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．
 9.【答案】 【解析】解：由樹狀圖可知共有種可能，兩枚硬幣正面都向上的有種，所以概率是．
依據(jù)題意先用列表法或畫樹狀圖法分析所有等可能的出現(xiàn)結(jié)果，然后根據(jù)概率公式求出該事件的概率．
本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率．列表法或畫樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件．用到的知識點為：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
 10.【答案】 【解析】解：，
．
，
∽．
．
．
故答案為：．
先由邊長得到與邊的比，再由平行得到兩個三角形相似，最后利用相似三角形的性質(zhì)得結(jié)論．
本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握“相似三角形的比等于對應(yīng)邊的比”是解決本題的關(guān)鍵．
 11.【答案】 【解析】解：設(shè)該藥品平均每次降價的百分率是，
依題意得：，
解得：，不符合題意，舍去，
該藥品平均每次降價的百分率是．
故答案為：．
設(shè)該藥品平均每次降價的百分率是，利用該藥品經(jīng)過兩次降價后的價格原價平均每次降價的百分率，即可得出關(guān)于的一元二次方程，解之取其符合題意的值即可得出結(jié)論．
本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
 12.【答案】 【解析】解：四邊形是菱形，
，，，，
，
，
，
，
菱形的邊長為．
故答案為：．
根據(jù)菱形對角線互相垂直平分的性質(zhì)，可以求得，，在中，根據(jù)勾股定理可以求得的長，即可求得菱形的邊長．
本題考查了勾股定理、菱形的性質(zhì)以及菱形面積和周長的計算；熟練掌握菱形的性質(zhì)和勾股定理是解決問題的關(guān)鍵．
 13.【答案】或 【解析】解：分兩種情況：
當(dāng)時，
點是的黃金分割的點，，
，
；
當(dāng)時，
點是的黃金分割的點，，
，
；
；
綜上所述：的長為或，
故答案為：或．
分兩種情況：當(dāng)時，當(dāng)時，然后分別利用黃金分割的定義進行計算即可解答．
本題考查了黃金分割，分兩種情況討論是解題的關(guān)鍵．
 14.【答案】 【解析】解：畫樹狀圖如下：

共有種等可能的結(jié)果，其中兩個球都是白球的結(jié)果有種，
兩個球都是白球的概率為．
故答案為：．
畫樹狀圖得出所有等可能的結(jié)果數(shù)和兩個球都是白球的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式求解即可．
本題考查列表法與樹狀圖法，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的關(guān)鍵．
 15.【答案】 【解析】解：設(shè)與交于，
，，
，
∽，
，
即：，
，
，
．
故答案為：．
利用三角形相似中的比例關(guān)系，首先由題目和圖形可看出，求的長度分成了個部分，和部分，其中，剩下的問題就是求的長度，利用∽，得出，把相關(guān)條件代入即可求得，于是得到結(jié)論．
本題考查了相似三角形的應(yīng)用，主要用到的解題思想是把梯形問題轉(zhuǎn)化成三角形問題，利用三角形相似比列方程來求未知線段的長度．
 16.【答案】， 【解析】解：四邊形是矩形，
，
，
；
連接，
，，，
，
，
，
在和中

≌，
，，
，
由題意知：；
設(shè)，則，
由勾股定理得：
，
解得：，
，，
，
，
，
，
，
，
，
故答案為，．
根據(jù)折疊的性質(zhì)即可求得；連接，根據(jù)勾股定理求得，證得≌，，根據(jù)勾股定理列出關(guān)于線段的方程，解方程求得的長，即可求得，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求得．
該題主要考查了翻折變換的性質(zhì)及其應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是靈活運用全等三角形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)，勾股定理等幾何知識點來解題．
 17.【答案】解：如圖，四邊形即為所求．
 【解析】先作平分線，交于點，再作線段的中垂線，交于點，交于點，四邊形即為所求．
本題主要考查作圖應(yīng)用與設(shè)計作圖，解題的關(guān)鍵是熟練掌握角平分線和中垂線的尺規(guī)作圖及菱形的判定與性質(zhì)．
 18.【答案】解：，
，
，
，
，
或，
，；
，
，
，
，
或，
，；
，
整理得：，


，
，
，． 【解析】利用解一元二次方程配方法，進行計算即可解答；
利用解一元二次方程因式分解法，進行計算即可解答；
先將原方程整理成一元二次方程的一般形式，然后再利用解一元二次方程公式法，進行計算即可解答；
利用解一元二次方程因式分解法，公式法，配方法，熟練掌握解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．
 19.【答案】解：將代入一元二次方程得，
解得；
若一元二次方程有兩個實數(shù)根，
且，
解得且，
即的取值范圍是且． 【解析】把代入方程得到關(guān)于的一次方程，然后解此一次方程即可；
根據(jù)一元二次方程的定義和判別式的意義得到且，然后求出兩個不等式的公共部分即可．
本題考查了根的判別式：一元二次方程的根與有如下關(guān)系：當(dāng)時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)時，方程無實數(shù)根．
 20.【答案】解：這個游戲?qū)﹄p方不公平．理由如下：
畫樹狀圖為：

共有種等可能的結(jié)果數(shù)，其中兩次數(shù)字之和為奇數(shù)的結(jié)果數(shù)，兩次數(shù)字之和為偶數(shù)的結(jié)果數(shù)為，
所以小明勝的概率，小亮勝的概率，
而，
所以這個游戲?qū)﹄p方不公平． 【解析】先畫樹狀圖展示所有種等可能的結(jié)果數(shù)，再找出兩次數(shù)字之和為奇數(shù)的結(jié)果數(shù)和兩次數(shù)字之和為偶數(shù)的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式計算出小明勝的概率和小亮勝的概率，然后通過比較概率大小判斷這個游戲?qū)﹄p方是否公平．
本題考查了游戲的公平性：判斷游戲公平性需要先計算每個事件的概率，然后比較概率的大小，概率相等就公平，否則就不公平．
 21.【答案】 【解析】證明：，，
，
在和中，
，
≌；
證明：≌，
，，
四邊形是平行四邊形，
，
點，分別是，的中點，
，，
，
四邊形是平行四邊形．
，點是的中點，
，
平行四邊形是菱形；
解：添加一個條件是．
，點是的中點，
，
即，
平行四邊形是菱形，
四邊形是正方形．
故答案為：．
根據(jù)可證明≌；
證出，，則可得出四邊形是平行四邊形，由直角三角形的性質(zhì)證出，則可得出結(jié)論；
根據(jù)正方形的判定可得出結(jié)論．
此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，正方形的判定，關(guān)鍵是根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)以及正方形的判定解答．
 22.【答案】證明：，
，
，
，
∽；
解：，，，
，
∽，
，
，
；
解：如圖，作于點，

則，
由得，
，
，
，
∽，
，
． 【解析】由等腰三角形的性質(zhì)可得，由三角形內(nèi)角和定理可得，可得結(jié)論；
由相似三角形的判定和性質(zhì)可得，可求解；
通過證明∽，可得，即可求解．
本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，靈活運用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．
 23.【答案】 【解析】解：將這種水果每斤的售價降低元，則每天的銷售量是千克；
故答案為：；
根據(jù)題意得：，
解得：或，
當(dāng)時，銷售量是；
當(dāng)時，銷售量是斤．
每天售出斤，
．
答：張阿姨需將每斤的售價降低元．
銷售量原來銷售量下降銷售量，據(jù)此列式即可；
根據(jù)銷售量每斤利潤總利潤列出方程求解即可．
本題考查一元二次方程的應(yīng)用，理解題意的能力，第一問關(guān)鍵求出每千克的利潤，求出總銷售量，從而利潤．第二問，根據(jù)售價和銷售量的關(guān)系，以利潤作為等量關(guān)系列方程求解．
 24.【答案】    【解析】解：當(dāng)時，與為等腰直角三角形
，

故答案為：．
當(dāng)時，與為等腰直角三角形
，，

∽

“關(guān)聯(lián)比”的值為．

過點作于點

，
，
，

同理可證：，

即
∽

故答案為：．
過點作于點

中，

由的證明過程可得
故答案為：

過點作于點，連接
與為“關(guān)聯(lián)等腰三角形”，，
與為等腰直角三角形，

由的證明過程可知∽
為一個定角
點所經(jīng)過的路徑是線段
時，“關(guān)聯(lián)比”的值為
當(dāng)點自點運動至點時，點所經(jīng)過的路徑長為
由可得與為等腰直角三角形，斜邊，，而，，代入計算即求得．
由與為等腰直角三角形可得，減去公共角得，再加上兩夾邊成比例，證得∽，所以等于相似比．
過點作于點，由可得，所以得到的三邊比，則，，進而有，代入計算即求得．
由可得，又因為，所以得，，根據(jù)的證明過程可得
過點作于點，根據(jù)等腰直角三角形的條件求得的長，即求得點自點運動至點時的長．連接，由的證明過程可知∽，所以為一個定角，即點所經(jīng)過的路徑是線段根據(jù)“關(guān)聯(lián)比”的值為，求得．
本題考查了新定義的理解和應(yīng)用，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)的應(yīng)用．解題關(guān)鍵是理解新定義并把性質(zhì)進行運用，利用轉(zhuǎn)化思想解決新問題．
 25.【答案】解：，
，
，
解得；

當(dāng)時，，
，
，
，
，
經(jīng)檢驗是分式方程的解．
時，運動時間；

與相似，
有兩種情形：
當(dāng)，即，
解得或．
經(jīng)檢驗或是分式方程的解，不符合題意舍去，
．
當(dāng)，即，
解得，
經(jīng)檢驗是分式方程的解，不符合題意舍去，
．
綜上所述，滿足條件的的值為或．

能．理由如下：
連接由題意，
解得或舍去．
滿足條件的的值為． 【解析】利用平行線分線段成比例定理構(gòu)建方程求解；
由，可得，由此構(gòu)建方程求解即可；
分兩種情形：當(dāng)，滿足條件當(dāng)，滿足條件，分別構(gòu)建方程求解；
能，構(gòu)建方程求解即可．
本題屬于相似形綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，解直角三角形，平行線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，學(xué)會用分類討論的思想思考問題．
 

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2023-2024學(xué)年山東省青島市即墨區(qū)八年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷(含詳細答案解析)：

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