數學七年級上冊第四章 幾何圖形初步綜合與測試學案

這是一份數學七年級上冊第四章 幾何圖形初步綜合與測試學案，共23頁。
?第8講 角的概念及運算
中考大綱



中考內容
中考要求
A
B
C
角
理解角的概念,認識度、分、秒，會對度、分、秒進行簡單的換算，會計算角的和、差
尺規(guī)作圖（基本作圖）：作一個角等于已知角；能比較角的大?。荒芙Y合圖形認識角與角之間的數量關系

角平分線
了解角平分線的概念
尺規(guī)作圖（基本作圖）：作一個角的平分線；能利用角平分線的性質與判定解決有關簡單問題
運用角平分線的有關內容解決有關問題

知識網絡圖





1角的概念及表示方法
知識概述


一． 角的定義
1． 定義1：有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，這個公共端點是角的頂點，這兩條射線是角的兩條邊．
2． 定義2：角可以看作由一條射線繞著它的端點旋轉而形成的圖形，處于初始位置的那條射線叫做角的始邊，終止位置的那條射線叫做角的終邊．
（1） 如果角的終邊是由角的始邊旋轉半周而得到，這樣的角叫平角．
（2） 如果角的終邊是由角的始邊旋轉一周而得到，這樣的角叫周角．
3． 由角的定義可知：
（1） 角的組成部分為：兩條邊和一個頂點；
（2） 頂點是這兩條邊的交點；
（3） 角的兩條邊是射線，是無限延伸的；
（4） 角的大小只與開口的大小有關，而與角的邊畫出部分的長短無關；
（5） 射線旋轉時經過的平面部分稱為角的內部，平面的其余部分稱為角的外部．
二． 角的表示方法
1． 利用三個大寫字母來表示，如圖

注意：頂點一定要寫在中間．也可記為，但不能寫成或等．
2． 利用一個大寫字母來表示，如圖．

注意：用一個大寫字母來表示角的時候，這個大寫字母一定要表示角的頂點，而且以它為頂點的角有且只有一個．

3． 用數字來表示角，如圖．

4． 用希臘字母來表示角，如圖．


小試牛刀


【例】（2017秋?尚志市期末）下列說法中正確的個數是（　?。?br /> ①在同一圖形中，直線AB與直線BA不是同一條直線
②兩點確定一條直線
③兩條射線組成的圖形叫做角
④一個點既可以用一個大寫字母表示，也可以用一個小寫字母表示
⑤若AB=BC，則點B是線段AC的中點．
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【解答】解：①在同一圖形中，直線AB與直線BA是同一條直線，原來的說法是錯誤的；
②兩點確定一條直線是正確的；
③有公共端點是兩條射線組成的圖形叫做角，原來的說法是錯誤的；
④一個點可以用一個大寫字母表示，不可以用一個小寫字母表示，原來的說法是錯誤的；
⑤若AB=BC，則點B是線段AC垂直平分線上的點，原來的說法是錯誤的．
故選：A．
再接再厲


【例】（2017秋?鞍山期末）如圖所示，在已知角內畫射線，畫1條射線，圖中共有___個角；畫2條射線，圖中共有____個角；畫3條射線，圖中共有____個角；畫n條射線，圖中共有______個角．

【解答】解：∵在已知角內畫射線，畫1條射線，圖中共有3個角=；
畫2條射線，圖中共有6個角=；
畫3條射線，圖中共有10個角=；
…，
∴畫n條射線，圖中共有個角，
故答案為：3，6，10，．
　
【練習】（2017秋?雙城市期末）如圖，∠AOB=90°，以O為頂點的銳角共有___個．

【解答】解：以OA為一邊的角，∠AOD，∠AOC；
以OD為一邊的角，∠DOC，∠DOB；
以OC為一邊的角，∠COB．
共5個角．
故答案是：5．
總述

討論一下：角的定義有幾個？分別是什么？它們有什么不同？









2度量與計算
知識概述


一． 角的度量
把一個周角等分，每一份就是度的角，記作；
把度的角等分，每一份叫做分的角，記作；
把分的角等分，每一份叫做秒的角，記作．
二． 角度的換算
角的度、分、秒是進制的，這和計量時間的時、分、秒是一樣的．
度＝分() 分=秒()
三． 角度之間的關系
周角= 平角＝ 直角＝
周角＝平角 平角＝直角
四． 度量工具：我們常用的度量角的工具為量角器（也叫半圓儀）．

我們常用的一副三角板，其中一個三角分別為、、，另一個三個角分別為、、．


五． 角的分類：
銳角：度數大于，小于的角稱為銳角；
直角：度數為的角稱為直角；
鈍角：大于，小于的角稱為鈍角。


小試牛刀


【例】（2017秋?和平區(qū)期末）下列各數中，正確的角度互化是（　?。?br /> A．63.5°=63°50′ B．23°12′36″=23.48°
C．18°18′18″=18.33° D．22.25°=22°15′
【解答】解：A、63.5°=63°30′≠63°50′，故A不符合題意；
B、23.48°=23°28′48″≠23°12′36″，故B不符合題意；
C、18.33°=18°19′48″≠18°18′18″，故C不符合題意；
D、22.25°=22°15′，故D正確，
故選：D．
【練習】（2017秋?豐臺區(qū)期末）計算：12°20′×4=_____．
【解答】解：原式=49°20′．
故答案是：49°20′．
再接再厲


【練習】（2017春?曹縣校級月考）計算：
（1）90°﹣36°12'15″
（2）32°17'53“+42°42'7″
（3）25°12'35“×5；
（4）53°÷6．
【解答】解：（1）90°﹣36°12'15″=53°47′45″；
（2）32°17'53“+42°42'7″=74°59′60″=75°
（3）25°12'35“×5=125°60′175″=126°2′55″；
（4）53°÷6=8°50′．
　
【練習】（2017春?單縣校級月考）度、分、秒的計算
①56°18′+72°48′=
②131°28′﹣51°32′15″=
③12°30′20″×2=
④12°31′21″÷3=
【解答】解：①56°18′+72°48′=129°6′；
②131°28′﹣51°32′15″=79°55′45″
③12°30′20″×2=25°40″；
④12°31′21″÷3=4°10′27″．
總述

討論一下：利用一副三角板可以畫出哪些小于的角度？
15°，30°，45° ，60°，75°，90°，105°，120°，135°，150°，165°










3角平分線
知識概述


一． 角平分線
1． 角平分線的概念：從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成兩個相等的角的射線，叫做這個角的平分線．

，
2． 角的三等分線：從一個角頂點出發(fā)的兩條射線，把這個角分成三個相等的角的射線，叫做這個角的三等分線．

，
3． 角平分線的畫法：
（1） 測量法：用量角器測量角的度數，根據角的度數平分角．
（2） 用折疊法：
在一張透明紙上畫一個角，記為，折線使射線與射線重合，把紙展開，以為端點，沿折痕畫一條射線，這條射線就是的平分線．



小試牛刀


【例】（2017秋?錫山區(qū)期末）如圖，已知∠AOB=64°36′，OC平分∠AOB，則∠AOC=____°．

【解答】解：∵∠AOB=64°36′，OC平分∠AOB，
∴∠AOC=64°36′÷2=32°18′=32.3°；
故答案為：32.3．
　
【例】（2017秋?中江縣期末）如圖，∠AOC：∠BOC=1：4，OD平分∠AOB，且∠COD=36°，求∠AOB度數．

【解答】解：∵∠AOC：∠BOC=1：4，OD平分∠AOB，且∠COD=36°，
∴∠AOC=，∠AOD=，
∴∠COD=∠AOD﹣∠AOC=，
∴，
解得，∠AOB=120°，
即∠AOB的度數是120°．
再接再厲


【練習】（2017秋?蒙陰縣期末）（1）如圖，∠AOB的平分線為OM，ON為∠AOM內的一條射線，若∠BON=55°，∠AON=15°時，求∠MON的度數；
（2）某同學經過認真的分析，得出一個關系式：∠MON=（∠BON﹣∠AON），你認為這個同學得出的關系式是正確的嗎？若正確，請把得出這個結論的過程寫出來．

【解答】解：（1）∵∠BON=55°，∠AON=15°，
∴∠AOB=∠AON+∠BON=70°，
∵OM平分∠AOB，
∴∠AOM=∠AOB=35°，
∴∠MON=∠AOM=∠AON=35°﹣15°=20°．

（2）正確．
理由：∵∠MON=∠AOM﹣∠AON=∠AOB﹣∠AON=（∠BON+∠AON）﹣∠AON=（∠BON﹣∠AON）．

　
【練習】（2017秋?港閘區(qū)期末）點 O 是直線 AB上一點，∠COD 是直角，OE平分∠BOC．
（1）①如圖1，若∠DOE=25°，求∠AOC 的度數；
②如圖2，若∠DOE=α，直接寫出∠AOC的度數（用含α的式子表示）；
（2）將圖 1中的∠COD 繞點O按順時針方向旋轉至圖 2 所示位置．探究∠DOE 與∠AOC 的度數之間的關系，寫出你的結論，并說明理由．

【解答】解：（1）①∵∠COD=90°，∠DOE=25°，
∴∠COE=∠COD﹣∠DOE=90°﹣25°=65°，
又∵OE平分∠BOC，
∴∠BOC=2∠COE=130°，
∴∠AOC=180°﹣∠BOC=180°﹣130°=50°；
②∵∠COD=90°，∠DOE=α，
∴∠COE=∠COD﹣∠DOE=90°﹣α，
又∵OE平分∠BOC，
∴∠BOC=2∠COE=180°﹣2α，
∴∠AOC=180°﹣∠BOC=180°﹣（180°﹣2α）=2α；

（2）∠DOE=∠AOC，理由如下：
如圖2，∵∠BOC=180°﹣∠AOC，
又∵OE平分∠BOC
∴∠COE=∠BOC=（180°﹣∠AOC）=90°﹣∠AOC，
又∵∠COD=90°，
∴∠DOE=90°﹣∠COE=90°﹣（90°﹣∠AOC）=∠AOC．

　總述

思考：如果將一個平角五等分，那么每份中的角是多少度？如果要是每份的角是，那么這個平角要等分成多少份？

4余角與補角
知識概述


一． 余角與補角
1． 如果兩個角的和等于，就說這兩個角叫做互為余角，簡稱“互余”．
2． 如果兩個角的和等于，就說這兩個角叫做互為補角，簡稱“互補”．
二． 余角、補角的性質：
同角（等角）的余角相等．
同角（等角）的補角相等．
三． 方位角
方位角：表示方向的角，一般以觀測者的位置為中心，正北、正南方向為基準，描述物體的方位或運動的方向，通常表達為北（南）偏東（西）××度．
如圖，點在點的北偏東的位置，點在點的南偏西的位置．

小試牛刀


【例】（2017秋?天河區(qū)期末）若∠A，∠B互為補角，且∠A＜∠B，則∠A的余角是（　?。?br /> A．（∠A+∠B） B．∠B C．（∠B﹣∠A） D．∠A
【解答】解：根據題意得，∠A+∠B=180°，
∴∠A的余角為：90°﹣∠A=﹣∠A，
=（∠A+∠B）﹣∠A，
=（∠B﹣∠A）．
故選：C．
　
【練習】（2017秋?長清區(qū)期末）點O為直線AB上一點，過點O作射線OC，使∠BOC=65°．將一直角三角板的直角頂點放在點O處．
（1）如圖①，將三角板MON的一邊ON與射線OB重合時，則∠MOC=____；
（2）如圖②，將三角板MON繞點O逆時針旋轉一定角度，此時OC是∠MOB的角平分線，求旋轉角∠BON=____；∠CON=____．
（3）將三角板MON繞點O逆時針旋轉至圖③時，∠NOC=5°，求∠AOM．

【解答】解：（1）∠MOC=∠MON﹣∠BOC，
=90°﹣65°，
=25°；
（2）∵OC是∠MOB的角平分線，
∴∠MOB=2∠BOC=2×65°=130°，
∴旋轉角∠BON=∠MOB﹣∠MON，
=130°﹣90°，
=40°，
∠CON=∠BOC﹣∠BON，
=65°﹣40°，
=25°；
（3）∵∠NOC=5°∠BOC=65°，
∴∠BON=∠NOC+∠BOC=70°，
∵點O為直線AB上一點，
∴∠AOB=180°，
∵∠MON=90°，
∴∠AOM=∠AOB﹣∠MON﹣∠BON，
=180°﹣90°﹣70°，
=20°．
故答案為：（1）25°；（2）40°，25°，（3）20°．
　
【例】（2017秋?翁牛特旗期末）如圖，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．若∠BOC=70°，∠AOC=50°．
（1）求出∠AOB及其補角的度數；
（2）請求出∠DOC和∠AOE的度數，并判斷∠DOE與∠AOB是否互補，并說明理由．

【解答】解：（1）∠AOB=∠BOC+∠AOC=70°+50°=120°，
其補角為180°﹣∠AOB=180°﹣120°=60°；

（2）∠DOC=×∠BOC=×70°=35°
∠AOE=×∠AOC=×50°=25°．
∠DOE與∠AOB互補，
理由：∵∠DOE=∠DOC+∠COE=35°+25°=60°，
∴∠DOE+∠AOB=60°+120°=180°，
故∠DOE與∠AOB互補．
再接再厲


【練習】（2017秋?惠城區(qū)期末）如圖，已知O為直線AD上一點，∠AOC與∠AOB互補，OM、ON分別是∠AOC、∠AOB的平分線，∠MON=56°．
（1）∠COD與∠AOB相等嗎？請說明理由；
（2）求∠BOC的度數；
（3）求∠AOB與∠AOC的度數．

【解答】解：（1）∠COD=∠AOB．理由如下：
如圖∵點O在直線AD上，
∴∠AOC+∠COD=180°，
又∵∠AOC與∠AOB互補，
∴∠AOC+∠AOB=180°，
∴∠COD=∠AOB；
（2）∵OM、ON分別是∠AOC、∠AOB的平分線，
∴∠AOM=∠COM，∠AON=∠BON，
∴∠BOC=∠BOM+∠COM，
=∠BOM+∠AOM，
=（∠MON﹣∠BON）+（∠MON+∠AON），
=2∠MON，
=112°；
（3）由（1）得：∠COD=∠AOB，
∵∠AOB+∠BOC++∠COD=180°，
∴∠AOB=（180°﹣∠BOC）=（180°﹣112°）=34°，
∴∠AOC=180°﹣∠AOB=180°﹣34°=146°．
　　
【例】（2017秋?阜寧縣期末）如圖1，點O為直線AB上一點，過點O作射線OC，使∠BOC=112°．將一直角三角板的直角頂點放在點O處，一邊OM在射線OB上，另一邊ON在直線AB的下方．
（1）將圖1中的三角板繞點O逆時針旋轉至圖2，使一邊OM在∠BOC的內部，且恰好平分∠BOC，問：直線ON是否平分∠AOC？請說明理由；
（2）將圖1中的三角板繞點O按每秒4°的速度沿逆時針方向旋轉一周，在旋轉的過程中，第t秒時，直線ON恰好平分銳角∠AOC，則t的值為多少？
（3）將圖1中的三角板繞點O順時針旋轉至圖3，使ON在∠AOC的內部，請?zhí)骄浚骸螦OM與∠NOC之間的數量關系，并說明理由．

【解答】解：（1）平分，理由：延長NO到D，
∵∠MON=90°∴∠MOD=90°
∴∠MOB+∠NOB=90°，
∠MOC+∠COD=90°，
∵∠MOB=∠MOC，
∴∠NOB=∠COD，
∵∠NOB=∠AOD，
∴∠COD=∠AOD，
∴直線NO平分∠AOC；

（2）分兩種情況：
①如圖2，∵∠BOC=112°
∴∠AOC=68°，
當直線ON恰好平分銳角∠AOC時，∠AOD=∠COD=34°，
∴∠BON=34°，∠BOM=56°，
即逆時針旋轉的角度為56°，
由題意得，4t=56°
解得t=14（s）；
②如圖3，當NO平分∠AOC時，∠NOA=34°，
∴∠AOM=56°，
即逆時針旋轉的角度為：180°+56°=236°，
由題意得，4t=236°，
解得t=59（s），
綜上所述，t=14s或59s時，直線ON恰好平分銳角∠AOC；
（3）∠AOM﹣∠NOC=22°，
理由：∵∠AOM=90°﹣∠AON∠NOC=68°﹣∠AON，
∴∠AOM﹣∠NOC
=（90°﹣∠AON）﹣（68°﹣∠AON）
=22°．

總述

討論一下：對于一個銳角，它的的余角與補角有什么數量關系，舉例說明







綜合應用
一．選擇題（共4小題）
1．如圖，將三個同樣的正方形的一個頂點重合放置，如果∠1＝α，∠2＝β，那么∠3的度數是（　?。?br />
A．90°﹣α﹣β B．90°﹣α+β C．90°+α﹣β D．α﹣β
【解答】解：如圖：

解：∵∠BOD＝90°﹣∠1＝90°﹣α，
∠EOC＝90°﹣∠2＝90°﹣β，
又∵∠3＝∠BOD+∠EOC﹣∠BOE，
∴∠3＝90°﹣α+90°﹣β﹣90°＝90°﹣α﹣β．
故選：A．
2．將長方形紙片按如圖所示的方式折疊，BC、BD為折痕，若∠ABC＝35°，則∠DBE的度數為（　?。?br />
A．55° B．50° C．45° D．60°
【解答】解：∵一張長方形紙片沿BC、BD折疊，
∴∠ABC＝∠A′BC，∠EBD＝∠E′BD，
而∠ABC+∠A′BC+∠EBD+∠E′BD＝180°，
∴∠A′BC+∠E′BD＝180°×＝90°，
即∠ABC+∠DBE＝90°，
∵∠ABC＝35°，
∴∠DBE＝55°．
故選：A．
3．如圖，射線OA表示（　?。?br />
A．南偏東70° B．北偏東30° C．南偏東30° D．北偏東70°
【解答】解：如圖：OA北偏東30°，
故選：B．
4．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，將Rt△ABC繞點A逆時針旋轉α度（0°＜α＜90°），得到△DAE，則∠BAE+∠DAC＝（　　）度．

A．90+2α B．180+α C．180﹣α D．180
【解答】解：由旋轉的性質知：∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAE+∠DAC＝∠BAC+∠CAE+∠DAC＝90°+90°＝180°，
故選：D．
二．填空題（共3小題）
5．如圖，∠AOB＝72°32′，射線OC在∠AOB內，∠BOC＝30°40′，則∠AOC＝　41°52′?。?br />
【解答】解：∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝72°32′﹣30°40′＝41°52′，
故答案為：41°52′．
6．以∠AOB的頂點O為端點引射線OC，使∠AOC：∠BOC＝5：4，若∠AOB＝27°，則∠AOC＝　15°或135°　．
【解答】解：分兩種情況：①如圖1，當射線OC在∠AOB的內部時，設∠AOC＝5x，∠BOC＝4x，
∵∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝27°，
∴5x+4x＝27，
解得：x＝3，
∴∠AOC＝15°；
②如圖2，當射線OC在∠AOB的外部時，設∠AOC＝5x，∠BOC＝4x，
∵∠AOC＝∠AOB+∠BOC，又∠AOB＝27°，
∴5x＝27+4x，
解得：x＝27
∴∠AOC＝135°，
故答案為：15°或135°．

7．如圖，將三個相同正方形的一個頂點重合放置，且∠COE＝40°，∠BOF＝30°，則∠AOD＝　20　°．

【解答】解：∵∠BOD＝90°﹣∠AOB＝90°﹣30°＝60°
∠EOC＝90°﹣∠EOF＝90°﹣40°＝50°
又∵∠AOD＝∠BOD+EOC﹣∠BOE
∴∠AOD＝60°+50°﹣90°＝20°
故答案為：20
三．解答題（共2小題）
8．如圖，射線OC端點O在直線AB上，∠AOC＝∠DOC，OE平分∠DOB．
（1）當∠AOC＝110°時，求∠BOE的度數；
（2）OC與OE有怎樣的位置關系？為什么？

【解答】解：（1）∵∠AOC+∠BOC＝180°，∠AOC＝110°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣110°＝70°，
∵∠COD＝∠AOC＝110°，
∴∠BOD＝∠COD﹣∠BOC＝110°﹣70°＝40°，
∵OE平分∠BOD，
∴∠BOE＝∠BOD＝×40°＝20°；
（2）OC與OE的位置關系是垂直．
理由：∵∠COD＝∠AOC，
∴∠COD＝（360°﹣∠AOD），
∵OE平分∠DOB，
∴∠DOE＝∠BOD，
∵∠AOD+∠BOD＝180°
∴∠COE＝∠COD﹣∠DOE
＝（360°﹣∠AOD）﹣∠BOD
＝（360°﹣∠AOD﹣∠BOD）
＝[360°﹣（∠AOD+∠BOD）]
＝×180°＝90°，
∴OC⊥OE．

9．如圖1，點O在直線NN上，∠AOB＝90°，OC平分∠MOB．
（1）若∠AOC＝30°20′，則∠BOC＝　59°40′　，∠AOM＝　29°20′　，∠BON＝　60°40′　；
（2）若∠AOC＝α，則∠BON＝　2α?。ㄓ煤笑恋氖阶颖硎荆?；
（3）將∠AOB繞著點O順時針轉到圖2的位置，其他條件不變，若∠AOC＝α（α為鈍角），求∠BON的度數（用含α的式子表示）．

【解答】解：（1）∵∠AOB＝90°，∠AOC＝30°20′，
∴∠BOC＝59°40′，
∵OC平分∠MOB，
∴∠BOM＝2∠BOC＝119°20′，
∴∠AOM＝∠BOM﹣∠AOB＝119°20′﹣90°＝29°20′，
∴∠BON＝180°﹣∠BOM＝60°40′，
故答案為：59°40′，29°20′，60°40′；
（2）∵∠AOB＝90°，∠AOC＝α，
∴∠BOC＝90°﹣α，
∵OC平分∠MOB，
∴∠BOM＝2∠BOC＝180°﹣2α，
∴∠BON＝180°﹣∠BOM＝2α；
故答案為：2α；
（3）∵∠AOB＝90°，∠AOC＝α，
∴∠BOC＝α﹣90°，
∵OC平分∠MOB，
∴∠MOB＝2∠BOC＝2（α﹣90°）＝2α﹣180°，
∴∠BON＝180°﹣∠MOB＝180°﹣（2α﹣180°）＝360°﹣2α，
故∠BON的度數為360°﹣2α．