相似多邊形
1．以下兩個圖形必定相似的是(A)
A．有一個角是100°的兩個等腰三角形
B．底角為40°的兩個等腰梯形
C．鄰邊的比為2∶3的兩個平行四邊形
D．兩個矩形
2.如圖所示，長CD與C′D′之間距離為1，寬AD與A′D′之間距離為x，矩形ABCD的長AB＝30，寬BC＝20，x為__1.5或9__時，圖中的兩個矩形ABCD與A′B′C′D′相似．
3. (2021·德陽質檢)如圖，在?ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，E，F(xiàn)，G，H分別是OA，OB，OC，OD的中點．
(1)試說明四邊形EFGH是平行四邊形；
(2)四邊形EFGH與?ABCD相似嗎？說明理由．
【證明】(1)∵E，F(xiàn)分別是OA，OB的中點，
∴FE＝ eq \f(1,2) AB，F(xiàn)E∥AB，
G，H分別是OC，OD的中點，
∴HG＝ eq \f(1,2) CD，HG∥CD，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴EF＝HG，F(xiàn)E∥HG，
∴四邊形EFGH是平行四邊形；
(2)由(1)得，F(xiàn)E∥AB，∴∠OEF＝∠OAB，
同理∠OEH＝∠OAD，∴∠HEF＝∠DAB，
同理，∠EFG＝∠ABC，∠FGH＝∠BCD，∠GHE＝∠CDA， eq \f(EF,AB) ＝ eq \f(FG,BC) ＝ eq \f(GH,CD) ＝ eq \f(HE,DA) ＝ eq \f(1,2) ，
∴平行四邊形EFGH∽平行四邊形ABCD.
4．(2021·商丘質檢)閱讀下列材料，然后回答問題．
如果一個圖形能夠分割成若干個與自身相似的圖形，我們稱它為“能相似分割的圖形”．正方形是一個“能相似分割的圖形”，如圖1所示(圖中虛線為分割線，當然還有其他分割法).
試判斷：如圖2所示的三個圖形是不是“能相似分割的圖形”，如果是，在圖中畫出一種分割方法(用虛線畫出分割線)
【解析】能，如圖所示．
相似多邊形的性質
5．如圖的兩個四邊形相似，則∠α的度數(shù)是(A)
A．87° B．60° C．75° D．120°
6. (2021·綿陽質檢)如圖，正五邊形FGHMN與正五邊形ABCDE相似，若AB∶FG＝2∶3，則下列結論正確的是(B)
A．2DE＝3MN B．3DE＝2MN
C．3∠A＝2∠F D．2∠A＝3∠F
7.如圖，E，F(xiàn)分別是平行四邊形ABCD的邊AD，BC的中點，若四邊形AEFB與四邊形ABCD相似，AB＝4，則AD的長度為__4 eq \r(2) __.
1．下列圖形中，不一定相似的是(B)
A．鄰邊之比相等的兩個矩形
B．四條邊對應成比例的兩個四邊形
C．有一個角相等的菱形
D．兩條對角線的比相等且夾角相等的兩個平行四邊形
2．四邊形ABCD與四邊形A1B1C1D1相似，相似比為2∶3，四邊形A1B1C1D1與四邊形A2B2C2D2相似，相似比為5∶4，則四邊形ABCD與四邊形A2B2C2D2相似且相似比為(A)
A．5∶6 B．6∶5
C．5∶6或6∶5 D．8∶15
3.已知A4紙的寬度為21 cm，如圖對折后所得的兩個矩形都和原來的矩形相似，則A4紙的高度約為(A)
A．29.7 cm B．26.7 cm
C．24.8 cm D．無法確定
4．(2021·深圳質檢)已知六邊形ABCDEF∽六邊形A′B′C′D′E′F′，相似比為2∶1，六邊形ABCDEF的周長為12，則六邊形A′B′C′D′E′F′的周長為__6__.
5.如圖，把一個矩形分割成四個全等的小矩形，要使小矩形與原矩形相似，則原矩形的長與寬之比為__2∶1__
6．(2021·貴州質檢)將圖①的等腰梯形進行分割得到圖②，則圖②中的4個等腰梯形與圖①的等腰梯形相似，再將圖②中的每個等腰梯形按同樣的方式進行分割得到圖③，再將圖③中的每個等腰梯形按同樣的方式進行分割，…，則第4個圖形中共有__84__個等腰梯形與圖①相似(相似比不為1).
7．(2021·重慶質檢)如圖，四邊形ABCD的對角線相交于點O，A′，B′，C′，D′分別是OA，OB，OC，OD的中點，試判斷四邊形ABCD與四邊形A′B′C′D′是否相似，并說明理由．
【解析】∵A′，B′分別是OA，OB的中點，
∴A′B′∥AB，A′B′＝ eq \f(1,2) AB，
∴∠OA′B′＝∠OAB， eq \f(A′B′,AB) ＝ eq \f(1,2) ，
同理，∠OA′D′＝∠OAD,
eq \f(A′D′,AD) ＝ eq \f(1,2) ，
∴∠B′A′D′＝∠BAD， eq \f(A′B′,AB) ＝ eq \f(A′D′,AD) ，
同理，∠A′D′C′＝∠ADC，∠D′C′B′＝∠DCB，
∠C′B′A′＝∠CBA， eq \f(A′B′,AB) ＝ eq \f(A′D′,AD) ＝ eq \f(D′C′,DC) ＝ eq \f(B′C′,BC) ，
∴四邊形ABCD∽四邊形A′B′C′D′.
8．在?ABCD中，AB∥EF，若AB＝1，AD＝2，AE＝ eq \f(1,2) AB，則?ABFE與?BCDA相似嗎？說明理由．
【解析】相似．理由如下：
∵在?ABCD中，AB∥EF，AB＝1，AD＝2，
AE＝ eq \f(1,2) AB，∴ eq \f(AB,AE) ＝ eq \f(AD,AB) ＝ eq \f(2,1) ，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，AB∥EF，
∴∠A＝∠C＝∠BFE，∠B＝∠D＝∠AEF，
∴?ABFE∽?ADCB.
9．(2021·鄂州質檢)如圖，點E是菱形ABCD對角線CA的延長線上任意一點，以線段AE為邊作一個菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，相似比是 eq \r(3) ∶2，連接EB，GD.
(1)求證：EB＝GD；
(2)若∠DAB＝60°，AB＝2，求GD的長．
【解析】(1)∵菱形AEFG∽菱形ABCD，∴∠EAG＝∠BAD，
∴∠EAG＋∠GAB＝∠BAD＋∠GAB，
∴∠EAB＝∠GAD，
∵AE＝AG，AB＝AD，
∴△AEB≌△AGD(SAS)，
∴EB＝GD；
(2)連接BD交AC于點P，則BP⊥AC，
∵∠DAB＝60°，∴∠PAB＝30°，
∵菱形AEFG∽菱形ABCD，相似比是 eq \r(3) ∶2，AB＝2，
∴AE＝ eq \r(3) ，BP＝ eq \f(1,2) AB＝1，
∴AP＝ eq \r(AB2－BP2) ＝ eq \r(3) ，
∴EP＝2 eq \r(3) ，
∴EB＝ eq \r(EP2＋BP2) ＝ eq \r(12＋1) ＝ eq \r(13) ，
∴GD＝ eq \r(13) .
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3 相似多邊形

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