3　相似多邊形 必備知識(shí)·基礎(chǔ)練 (打“√”或“×”)1．各角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形．(　×　)2．各邊分別對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形．(　×　)3．如果兩個(gè)多邊形相似，它們的對(duì)應(yīng)角都相等，它們的對(duì)應(yīng)邊成比例．(　√　)4．如果兩個(gè)多邊形不相似，它們的對(duì)應(yīng)角可能相等或者它們的對(duì)應(yīng)邊可能成比例．(　√　)知識(shí)點(diǎn)1　相似多邊形的概念1．兩個(gè)多邊形相似的條件是(　D　)A.對(duì)應(yīng)角相等B．對(duì)應(yīng)邊成比例C．對(duì)應(yīng)角相等或?qū)?yīng)邊成比例D．對(duì)應(yīng)角相等且對(duì)應(yīng)邊成比例【解析】∵對(duì)應(yīng)角相等且對(duì)應(yīng)邊成比例的多邊形相似，∴D符合定義．2．(概念應(yīng)用題)(2021·上饒期末)如圖，已知△ABC的六個(gè)元素，其中a，b，c表示三角形三邊的長(zhǎng)，則下面甲、乙、丙、丁四個(gè)三角形中與△ABC不一定相似的圖形是(　A　)A．甲    B．乙    C．丙    D．丁【解析】甲三角形的兩邊AC，BC的夾角不一定等于72度，故與△ABC不一定相似；乙可以利用兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等得出相似；丙、丁可以利用兩角對(duì)應(yīng)相等得出相似．3．下列兩個(gè)圖形一定相似的是(　C　)A．兩個(gè)菱形       B．兩個(gè)矩形C．兩個(gè)正方形       D．兩個(gè)等腰梯形【解析】選項(xiàng)A，兩個(gè)菱形，對(duì)應(yīng)邊成比例，對(duì)應(yīng)角不一定相等，不符合相似的定義，故不符合題意；選項(xiàng)B，兩個(gè)矩形，對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊不一定成比例，不符合相似的定義，故不符合題意；選項(xiàng)C，兩個(gè)正方形，對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊一定成比例，一定相似，故符合題意；選項(xiàng)D，兩個(gè)等腰梯形同一底上的角不一定相等，對(duì)應(yīng)邊不一定成比例，不符合相似的定義，故不符合題意．知識(shí)點(diǎn)2　相似多邊形的性質(zhì)4．(2021·漳州期中)若兩個(gè)相似五邊形的相似比為3∶5，則它們的面積比為(　C　)A．3∶5    B．5∶3    C．9∶25    D．25∶9【解析】∵兩個(gè)相似五邊形的相似比為3∶5，∴它們的面積比為9∶25.5．兩個(gè)相似多邊形的周長(zhǎng)比是2∶3，其中較小多邊形的面積為4 cm2，則較大多邊形的面積為(　A　)A．9 cm2    B．16 cm2    C．56 cm2    D．24 cm2【解析】∵兩個(gè)相似多邊形的周長(zhǎng)比是2∶3，∴兩個(gè)相似多邊形的相似比是2∶3，∴兩個(gè)相似多邊形的面積比是4∶9，∵較小多邊形的面積為4 cm2，∴較大多邊形的面積為9 cm2.6．(2021·中山質(zhì)檢)如圖，在正方形網(wǎng)格上有兩個(gè)相似三角形△ABC和△DEF，則∠BAC的度數(shù)為__135°__.【解析】∵△ABC∽△DEF，∴∠BAC＝∠EDF，又∠EDF＝90°＋45°＝135°，∴∠BAC＝135°.7．四邊形ABCD和四邊形A′B′C′D′是相似圖形，點(diǎn)A，B，C，D分別與A′，B′，C′，D′對(duì)應(yīng)，已知BC＝3，CD＝2.4，B′C′＝2，那么C′D′的長(zhǎng)是__1.6__．【解析】∵四邊形ABCD∽四邊形A′B′C′D′，∴CD∶C′D′＝BC∶B′C′，∵BC＝3，CD＝2.4，B′C′＝2，∴C′D′＝1.6.8．(2021·上海質(zhì)檢)已知四邊形ABCD與四邊形A1B1C1D1相似，并且點(diǎn)A與點(diǎn)A1、點(diǎn)B與點(diǎn)B1、點(diǎn)C與點(diǎn)C1、點(diǎn)D與點(diǎn)D1對(duì)應(yīng)．(1)已知∠A＝40°，∠B＝110°，∠C1＝90°，求∠D的度數(shù)；(2)已知AB＝9，CD＝15，A1B1＝6，A1D1＝4，B1C1＝8，求四邊形ABCD的周長(zhǎng)．【解析】(1)∵四邊形ABCD∽四邊形A1B1C1D1，∴∠C＝∠C1＝90°，∴∠D＝360°－∠A－∠B－∠C＝360°－40°－110°－90°＝120°.(2)∵四邊形ABCD∽四邊形A1B1C1D1，∴＝＝，∴＝＝，∴BC＝12，AD＝6，∴四邊形ABCD的周長(zhǎng)＝AB＋BC＋CD＋AD＝9＋12＋15＋6＝42. 關(guān)鍵能力·綜合練 1．(2021·泰安質(zhì)檢)分別畫(huà)出下列四組圖形，必是相似三角形的為(　B　)A．兩個(gè)直角三角形B．有一個(gè)角為110°的兩個(gè)等腰三角形C．有一個(gè)角為55°的兩個(gè)等腰三角形D．兩條邊對(duì)應(yīng)成比例，其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形【解析】兩個(gè)直角三角形不一定相似；因?yàn)橹挥幸粋€(gè)直角相等，∴A中的兩個(gè)三角形不一定相似；有一個(gè)角為110°的兩個(gè)等腰三角形一定相似；因?yàn)?/span>110°的角只能是頂角，所以?xún)蓚€(gè)等腰三角形的頂角和底角分別相等，∴B中的兩個(gè)三角形一定相似；一個(gè)角為55°的兩個(gè)等腰三角形不一定相似；因?yàn)?/span>55°的角可能是頂角，也可能是底角，∴C中的兩個(gè)三角形不一定相似；兩條邊對(duì)應(yīng)成比例，一個(gè)對(duì)應(yīng)角相等的兩個(gè)三角形不一定相似；因?yàn)檫@個(gè)對(duì)應(yīng)角不一定是夾角，∴D中的兩個(gè)三角形不一定相似．2．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是對(duì)角線BD上的一點(diǎn)，BE＝BC，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB，EG⊥BC，垂足為點(diǎn)F，G，則正方形FBGE與正方形ABCD邊長(zhǎng)的相似比為____．【解析】∵BG＝BE，BE＝BC，∴BG＝BC，∴＝.3．定義：我們知道，四邊形的一條對(duì)角線把這個(gè)四邊形分成兩個(gè)三角形，如果這兩個(gè)三角形相似但不全等，我們就把這條對(duì)角線叫做這個(gè)四邊形的相似對(duì)角線．在四邊形ABCD中，對(duì)角線BD是它的相似對(duì)角線，∠ABC＝70°，BD平分∠ABC，那么∠ADC＝__145__度．【解析】如圖所示，∵∠ABC＝70°，BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，又∵對(duì)角線BD是它的相似對(duì)角線，∴△ABD∽△DBC，∴∠A＝∠BDC，∠ADB＝∠C，∴∠A＋∠C＝∠ADC，又∵∠A＋∠C＋∠ADC＝360°－70°＝290°，∴∠ADC＝145°.4．如圖，在矩形ABCD中，截去一個(gè)正方形ABFE后，使剩下的矩形對(duì)折后與原矩形相似，那么原矩形中AD∶AB＝__或2__．【解析】∵四邊形ABFE是正方形，∴DE＝AD－AB.∵剩下的矩形對(duì)折后與原矩形相似，∴＝，即＝，整理得2AD2－2AD·AB－AB2＝0，解得AD＝AB，AD＝AB(舍去)，∴AD∶AB＝，或＝，＝，整理得AD＝2AB，∴AD∶AB＝2，綜上所述，AD∶AB＝或2.5．兩個(gè)相似多邊形的最長(zhǎng)邊分別為4 cm和6 cm，它們的周長(zhǎng)之和為40 cm，面積之差為15 cm2，求較小多邊形的周長(zhǎng)與面積．【解析】設(shè)較小多邊形的周長(zhǎng)為x cm，面積為y cm2，則較大多邊形的周長(zhǎng)為(40－x)cm，面積為(y＋15)cm2，∵兩個(gè)相似多邊形的最長(zhǎng)邊分別為4 cm和6 cm，∴兩個(gè)相似多邊形的相似比為2∶3，∴兩個(gè)相似多邊形的周長(zhǎng)比為2∶3，面積比為4∶9，∴＝，＝，解得，x＝16，y＝12，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝16，y＝12都是原方程的解，答：較小多邊形的周長(zhǎng)為16 cm，面積為12 cm2.6．(素養(yǎng)提升題)(2021·鄭州質(zhì)檢)如圖，點(diǎn)E是菱形ABCD對(duì)角線CA的延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)，以線段AE為邊作一個(gè)菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，相似比是∶2，連接EB，GD.(1)求證：EB＝GD；(2)若∠DAB＝60°，AB＝2，求GD的長(zhǎng)．【解析】(1)∵菱形AEFG∽菱形ABCD，∴∠EAG＝∠BAD，∴∠EAG＋∠GAB＝∠BAD＋∠GAB，∴∠EAB＝∠GAD，∵AE＝AG，AB＝AD，∴△AEB≌△AGD，∴EB＝GD；(2)連接BD交AC于點(diǎn)P，則BP⊥AC，∵∠DAB＝60°，∴∠PAB＝30°，∵菱形AEFG∽菱形ABCD，相似比是∶2，AB＝2，∴AE＝，BP＝AB＝1，∴AP＝＝，∴EP＝2，∴EB＝＝＝，∴GD＝.易錯(cuò)點(diǎn)　沒(méi)有分情況討論導(dǎo)致漏解．【案例】(2021·銀川期中)如圖所示，矩形ABCD的長(zhǎng)AB＝30，寬BC＝20，x為__1.5或9__時(shí)，圖中的兩個(gè)矩形ABCD與A′B′C′D′相似．【解析】當(dāng)＝時(shí)，圖中的兩個(gè)矩形ABCD與A′B′C′D′相似，解得，x＝1.5，當(dāng)＝時(shí)，圖中的兩個(gè)矩形ABCD與A′B′C′D′相似，解得，x＝9.  關(guān)閉Word文檔返回原板塊    

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3 相似多邊形

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