4．1　指數(shù)4．1.1　n次方根與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪4．1.2　無理數(shù)指數(shù)冪及其運(yùn)算性質(zhì) 課程標(biāo)準(zhǔn)(1)理解根式的概念及分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的含義．(2)會(huì)進(jìn)行根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化．(3)掌握根式的運(yùn)算性質(zhì)和指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)．  新知初探·課前預(yù)習(xí)——突出基礎(chǔ)性教 材 要 點(diǎn)要點(diǎn)一　根式及相關(guān)概念1．a的n次方根定義一般地，如果________，那么x叫做a的n次方根?，其中n＞1，且n∈N*.2．a的n次方根的表示n的奇偶性a的n次方根的表示符號(hào)a的取值范圍n為奇數(shù)?a∈Rn為偶數(shù)?____________3.根式：式子叫做根式，n叫做________，a叫做________．要點(diǎn)二　根式的性質(zhì)(1)0的任何次方根都是0，記作＝________．(2)()n＝________(n∈N*，且n＞1).(3)＝a(n為大于1的奇數(shù)).(4)＝|a|＝ (n為大于1的偶數(shù)).要點(diǎn)三　分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義分?jǐn)?shù)指數(shù)冪正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪＝________(a>0，m，n∈N*，n>1)?負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪＝＝________(a>0，m，n∈N*，n>1)0的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義．  要點(diǎn)四　有理數(shù)指數(shù)冪與無理數(shù)指數(shù)冪1. 有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)?(1)aras＝________(a>0，r，s∈Q)；(2)(ar)s＝________(a>0，r，s∈Q)；(3)(ab)r＝________(a>0，b>0，r∈Q).2．無理數(shù)指數(shù)冪一般地，無理數(shù)指數(shù)冪aα(a>0，α是無理數(shù))是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)． 助 學(xué) 批 注批注?　求一個(gè)數(shù)a的n次方根，就是求一個(gè)數(shù)的n次方等于a.批注?　正數(shù)的奇次方根是一個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)的奇次方根是一個(gè)負(fù)數(shù)．批注?　正數(shù)的偶次方根有兩個(gè)且互為相反數(shù)，負(fù)數(shù)沒有偶次方根．批注?　分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是根式的一種表示形式，分?jǐn)?shù)指數(shù)不能隨意約分，如約分后為 ＝，而在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)是無意義的．批注?　有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)同樣適用于無理數(shù)指數(shù)冪．   基 礎(chǔ) 自 測(cè)1．思考辨析(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)(1)任意實(shí)數(shù)的奇次方根只有一個(gè)．(　　)(2)只要根式有意義，都能化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式．(　　)(3)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪可以理解為個(gè)a相乘．(　　)(4)0的任何指數(shù)冪都等于0.(　　)2．下列各式正確的是(　　)A．＝－4       B．＝mC．＝3            D．a0＝13．已知a>0，則a·＝(　　)A．　　　B．    C．a2　　　D．a34.－150的值是________．  　題型探究·課堂解透——強(qiáng)化創(chuàng)新性題型 1　根式的化簡與求值例1　(1)[2022·河北石家莊高一期中]若m＝，n＝，則m＋n的值為(　　)A．－7        B．－1C．1          D．7(2)設(shè)－3<x<3，則的值是________． 方法歸納根式化簡或求值的策略   鞏固訓(xùn)練1　(1)下列各式正確的是(　　)A．()3＝a       B．()4＝－7C．()5＝|a|      D．＝a(2)化簡得____________．   題型 2　根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化例2　用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪表示下列各式(a>0，b>0)．(1) a2；(2) ；(3) ·；(4)()2·.      方法歸納根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪互化的2個(gè)策略  鞏固訓(xùn)練2　下列根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化正確的是(　　)A．－＝    ＝(x>0)C．＝    ＝(x<0)題型 3　分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算例3　計(jì)算下列各式．(1)2；－3π0＋；.     方法歸納指數(shù)冪運(yùn)算的3個(gè)策略  鞏固訓(xùn)練3　(1)化簡) (a>0，b>0)結(jié)果為(　　)A．a    B．bC．    D．(2)計(jì)算：＝________．  題型 4　指數(shù)冪運(yùn)算中的條件求值例4　已知＝4，求下列各式的值：(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2.   方法歸納指數(shù)冪條件求值問題的一般步驟   鞏固訓(xùn)練4　(1)已知10m＝2，10n＝3，求的值．(2)已知＝3，求的值．     4．1.1　n次方根與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪4．1.2　無理數(shù)指數(shù)冪及其運(yùn)算性質(zhì)新知初探·課前預(yù)習(xí)[教材要點(diǎn)] 要點(diǎn)一1．xn＝a　2．[0，＋∞)3．根指數(shù)　被開方數(shù)要點(diǎn)二(1)0　(2)a　(4)a　－a要點(diǎn)三　要點(diǎn)四1．(1)ar＋s　(2)ars　(3)arbr [基礎(chǔ)自測(cè)]1．答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)×2．解析：根據(jù)根式的性質(zhì)可知，＝4，＝|m|，＝3，由指數(shù)性質(zhì)可知當(dāng)a0＝1成立時(shí)，需a≠0，則C正確，A、B、D錯(cuò)．答案：C3．解析：因?yàn)?/span>a>0，所以a·＝＝.答案：B 4．解析：原式＝－1＝5－1＝4.答案：4題型探究·課堂解透例1　解析：(1)m＋n＝(π－3)＋|π－4|＝π－3＋4－π＝1，故選C.(2)原式＝＝|x－1|－|x＋3|，∵－3<x<3，∴當(dāng)－3<x<1時(shí)，原式＝－(x－1)－(x＋3)＝－2x－2；當(dāng)1≤x<3時(shí)，原式＝(x－1)－(x＋3)＝－4.∴原式＝.答案：(1)C　(2)鞏固訓(xùn)練1　解析：(1)()3＝a，()4＝7，()5＝a，＝|a|.故選A.(2)原式＝|x＋3|－(x－3)，當(dāng)x≥－3時(shí)，原式＝6；當(dāng)x<－3時(shí)，原式＝－2x.答案：(1)A　(2)6或－2x例2　解析：(1)原式＝＝＝.(2)原式＝＝.(3)原式＝＝.(4)原式＝＝·＝·.鞏固訓(xùn)練2　解析：對(duì)A：－＝，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)B：＝＝(x>0)，故選項(xiàng)B正確；對(duì)C：＝不能化簡為，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)D：因?yàn)?/span>x<0，所以＝＝＝，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．答案：B例3　解析：(1)原式＝＝＝2×3＝6.(2)原式＝－3×1＋＝＋100＋－3＋＝100.(3)原式＝＝＝.鞏固訓(xùn)練3　解析：(1)指數(shù)冪的運(yùn)算法則運(yùn)算，即可求解．根據(jù)實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算公式，可得：)＝)＝＝a.＝8－1＋π－3＋27＝31＋π.答案：(1)A　(2)31＋π例4　解析：(1)將＝4兩邊平方，得a＋a－1＋2＝16，故a＋a－1＝14.(2)將a＋a－1＝14兩邊平方，得a2＋a－2＋2＝196，故a2＋a－2＝194.鞏固訓(xùn)練4　解析：(1)因?yàn)?/span>10m＝2，10n＝3，所以＝＝＝＝.＝3，∴a＋a－1＝)2－2＝7，∴a2＋a－2＝(a＋a－1)2－2＝47，∴原式＝＝＝.

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第一冊(cè)電子課本

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