?2021-2022學(xué)年北京市第二中學(xué)高二3月月考數(shù)學(xué)試題
一、單選題
1．學(xué)校開展學(xué)生對食堂滿意度的調(diào)查活動，已知該校高一年級有學(xué)生550人，高二年級有學(xué)生500人，高三年級有學(xué)生450人.現(xiàn)從全校學(xué)生中用分層抽樣的方法抽取60人進(jìn)行調(diào)查，則抽取的高二年級學(xué)生人數(shù)為（???????）
A．18 B．20 C．22 D．30
【答案】B
【分析】求出高一年級學(xué)生、高二年級學(xué)生、高三年級學(xué)生人數(shù)比，再列式計(jì)算作答.
【詳解】依題意，該校高一年級學(xué)生、高二年級學(xué)生、高三年級學(xué)生人數(shù)比為：，
所以抽取的高二年級學(xué)生人數(shù)為.
故選：B
2．在等差數(shù)列中，前n項(xiàng)和為，若，那么等于（???????）
A．70 B．55 C．40 D．35
【答案】C
【分析】由等差數(shù)列前項(xiàng)和公式求解
【詳解】由題意得，故，而，
則，，．
故選：C
3．等比數(shù)列中，則“”是“”的（???????）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】根據(jù)給定條件，探討等比數(shù)列公比，再結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷作答.
【詳解】設(shè)等比數(shù)列公比為，，
若，即，解得，則，即成立，
若，即，解得或，當(dāng)時(shí)，，
所以“”是“”的充分而不必要條件.
故選：A
4．走路是“最簡單、最優(yōu)良的鍛煉方式”，它不僅可以幫助減肥，還可以增強(qiáng)心肺功能、血管彈性、肌肉力量等.下圖為甲、乙兩名同學(xué)在同一星期內(nèi)日步數(shù)的折線統(tǒng)計(jì)圖，則下列結(jié)論中不正確的是（???????）

A．這一星期內(nèi)甲的日步數(shù)的中位數(shù)為11600 B．這一星期內(nèi)甲的日步數(shù)的平均值大于乙
C．這一星期內(nèi)甲的日步數(shù)的方差大于乙 D．這一星期內(nèi)乙的日步數(shù)的30%分位數(shù)是7030
【答案】D
【分析】對于A：直接求出中位數(shù)；
對于B：分別計(jì)算出甲、乙平均數(shù)，即可判斷；
對于C：分別計(jì)算出甲、乙方差，即可判斷；
對于D：將乙的日步數(shù)從小到大排列，計(jì)算可得；
【詳解】對于A：甲的步數(shù)：16000，7965，12700，2435，16800，9500，11600.從小到大排列為：2435，7965，9500，11600，12700，16000，16800.中位數(shù)是11600.故A正確；
對于B：，.
所以.故B正確；
對于C：所以.故C正確；
甲的步數(shù)從小到大排列為：5340，7030，10060，11600，12300，12970，14200，
，故這一星期內(nèi)乙的日步數(shù)為分位數(shù)是10060，故D錯(cuò)誤.
故選：D.
5．2021年6月14日是我國的傳統(tǒng)節(jié)日“端午節(jié)”.這天，王華的媽媽煮了五個(gè)粽子，其中兩個(gè)蜜棗餡，三個(gè)豆沙餡，王華隨機(jī)拿了兩個(gè)粽子，若已知王華拿到的兩個(gè)粽子為同一種餡，則這兩個(gè)粽子都為蜜棗餡的概率為(???????)
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】設(shè)事件為“取出兩個(gè)粽子為同一種餡”，事件為“取出的兩個(gè)粽子都為蜜棗餡”，計(jì)算(A)、的值，從而．
【詳解】由題意，設(shè)事件為“取出兩個(gè)粽子為同一種餡”，事件為“取出的兩個(gè)粽子都為蜜棗餡”，
則(A)，，．
故選：A．
6．已知為拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)P到拋物線C的焦點(diǎn)的距離與它到y(tǒng)軸的距離之比為，則（???????）
A． B．2 C． D．3
【答案】A
【分析】由拋物線的定義得P到拋物線C的焦點(diǎn)的距離為，進(jìn)而得到，再結(jié)合在拋物線上，解方程即可.
【詳解】由題意知：拋物線的準(zhǔn)線為，則P到拋物線C的焦點(diǎn)的距離為，P到y(tǒng)軸的距離為，
故，又，解得.
故選：A.
7．第24屆冬奧會于2022年2月4日在中華人民共和國北京市和河北省張家口市聯(lián)合舉行.此屆冬奧會的項(xiàng)目中有兩大項(xiàng)是滑雪和滑冰，其中滑雪有6個(gè)分項(xiàng)，分別是高山滑雪、自由式滑雪、單板滑雪、跳臺滑雪、越野滑雪和北歐兩項(xiàng)，滑冰有3個(gè)分項(xiàng)，分別是短道速滑、速度滑冰和花樣滑冰.甲和乙相約去觀看比賽，他們約定每人觀看兩個(gè)分項(xiàng)，而且這兩個(gè)分項(xiàng)要屬于不同大項(xiàng).若要求他們觀看的分項(xiàng)最多只有一個(gè)相同，則不同的方案種數(shù)是（???????）
A．324 B．306 C．243 D．162
【答案】B
【分析】先求得總的觀看方案，再減去兩個(gè)分項(xiàng)都相同的觀看分案求解.
【詳解】由題意得：總的觀看方案為，
兩個(gè)分項(xiàng)都相同的觀看分案為，
所以觀看的分項(xiàng)最多只有一個(gè)相同，則不同的方案種數(shù)是，
故選：B
8．設(shè)Sn是公差不為0的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,且S1,S2,S4成等比數(shù)列,則等于(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【詳解】因?yàn)镾1,S2,S4成等比數(shù)列,
所以S1S4=,即a1(4a1+6d)=(2a1+d)2,
即d2=2a1d,d=2a1,
所以===3.故選C.
9．若是等差數(shù)列，首項(xiàng)，則使前n項(xiàng)和成立的最大自然數(shù)n是：
A．4005 B．4006 C．4007 D．4008
【答案】B
【詳解】由可知，
而
,
所以使成立的最大自然數(shù)n是4006.
10．已知，則（???????）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】C
【分析】根據(jù)乘積和復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo)可得.
【詳解】因?yàn)?br /> 所以.
故選：C
11．（），若是遞減數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（　　???）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)是遞減數(shù)列，結(jié)合分段函數(shù)的單調(diào)性列不等式組，解不等式組求得的取值范圍.
【詳解】依題意數(shù)列是遞減數(shù)列，且，所以，解得.所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故選：D
【點(diǎn)睛】本小題主要考查數(shù)列的單調(diào)性，考查指數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.
12．若數(shù)列的各項(xiàng)均為正整數(shù)，且滿足，若存在正整數(shù)T，使得對任意的n，都有成立，則的不同取值的個(gè)數(shù)為（???????）
A．5 B．11 C．15 D．無數(shù)個(gè)
【答案】B
【分析】用完全歸納法一一列舉出來.
【詳解】若數(shù)列的各項(xiàng)均為正整數(shù)，且存在正整數(shù)T，使得對任意的n，都有成立，則為周期數(shù)列，且周期為T.
對的取值進(jìn)行列舉：









……
第1種情況
1
8
4
2
1
8
4
2
……
第2種情況
2
1
8
4
2
1
8
4
……
第3種情況
3
10
5
12
6
3
10
5
……
第4種情況
4
2
1
8
4
2
1
8
……
第5種情況
5
12
6
3
10
5
12
6
……
第6種情況
6
3
10
5
12
6
3
10
……
第7種情況
7
14
7
14
7
14
7
14
……
第8種情況
8
4
2
1
8
4
2
1
……
第9種情況
9
16
8
4
2
1
8
4
……
第10種情況
10
5
12
6
3
10
5
12
……
第11種情況
11
18
9
16
8
4
2
1
……
第12種情況
12
6
3
10
5
12
6
3
……
第13種情況
13
20
10
5
12
6
3
10
……
第14種情況
14
7
14
7
14
7
14
7
……
第15種情況
15
22
11
18
9
16
8
4
……
第16種情況
16
8
4
2
1
8
4
2
……
……
從上面的歸納可以看出：
當(dāng)時(shí)，為周期數(shù)列，且周期為，每一個(gè)周期內(nèi)只含有1，8，4，2，且中最大項(xiàng)為8；
當(dāng)時(shí)，為周期數(shù)列，且周期為,每一個(gè)周期內(nèi)只含有2，1，8，4，且中最大項(xiàng)為8；
當(dāng)時(shí)，為周期數(shù)列，且周期為,每一個(gè)周期內(nèi)只含有3，10，2，12，6，且中最大項(xiàng)為12；
當(dāng)時(shí)，為周期數(shù)列，且周期為,每一個(gè)周期內(nèi)只含有4，2，1，8，且中最大項(xiàng)為8；
當(dāng)時(shí)，為周期數(shù)列，且周期為,每一個(gè)周期內(nèi)只含有5，12，6，3，10，且中最大項(xiàng)為12；
當(dāng)時(shí)，為周期數(shù)列，且周期為,每一個(gè)周期內(nèi)只含有6，3，10，5，12，且中最大項(xiàng)為12；
當(dāng)時(shí)，為周期數(shù)列，且周期為,每一個(gè)周期內(nèi)只含有7，14，且中最大項(xiàng)為14；
當(dāng)時(shí)，為周期數(shù)列，且周期為,每一個(gè)周期內(nèi)只含有8，4，2，1，且中最大項(xiàng)為8；
當(dāng)時(shí)，為周期數(shù)列，且周期為,每一個(gè)周期內(nèi)只含有10，5，12，6，3，且中最大項(xiàng)為12；
當(dāng)時(shí)，為周期數(shù)列，且周期為,每一個(gè)周期內(nèi)只含有12，6，3，10，5，且中最大項(xiàng)為12；
當(dāng)時(shí)，為周期數(shù)列，且周期為,每一個(gè)周期內(nèi)只含有14，7，且中最大項(xiàng)為14；
一共有11種情況.
當(dāng)時(shí)，，，后面的各項(xiàng)進(jìn)入8，4，2，1，8，4，2，1……的循環(huán)，但是，不能進(jìn)入循環(huán)，故不是周期數(shù)列；
當(dāng)時(shí)，，，，，后面的各項(xiàng)進(jìn)入8，4，2，1，8，4，2，1……的循環(huán)，但是，，，，不能進(jìn)入循環(huán)，故不是周期數(shù)列；
當(dāng)時(shí)，，，后面的各項(xiàng)進(jìn)入10，5，12，6，3，10，5，12……的循環(huán)，但是，不能進(jìn)入循環(huán)，故不是周期數(shù)列；
由上面可以看出數(shù)列為周期數(shù)列，當(dāng)時(shí)，數(shù)列的各項(xiàng)由1，2，4，8構(gòu)成；當(dāng)時(shí)，數(shù)列的各項(xiàng)由3，5，6，10，12構(gòu)成；當(dāng)時(shí)，數(shù)列的各項(xiàng)由7，14構(gòu)成；
所以當(dāng)時(shí)，均大于上面的周期數(shù)列中的各自的最大項(xiàng)，且最大項(xiàng)出現(xiàn)在第二項(xiàng)或第三項(xiàng)，后面的項(xiàng)都比最大項(xiàng)小，即最大項(xiàng)也不能進(jìn)入循環(huán)，所以都不是周期數(shù)列.
故的不同取值有11種情況.
故選：B

二、填空題
13．在等比數(shù)列中，，則__________.
【答案】0.75
【分析】由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式分別用和表示出，
得到關(guān)于和的方程組，進(jìn)而求解即可．
【詳解】由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得：

，
由以上兩式得：，


故答案為：
14．在的展開式中，的系數(shù)是__________.
【答案】
【分析】根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，可令求得的系數(shù).
【詳解】展開式的通項(xiàng)公式為：，
令，解得：，的系數(shù)為.
故答案為：.
15．已知直線是函數(shù)的切線，則的值為______．
【答案】
【詳解】試題分析：
【解析】曲線的切線與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.
16．已知數(shù)列為差數(shù)列，，則_________.
【答案】
【分析】由題意首先確定數(shù)列的公差和數(shù)列的前兩項(xiàng)，據(jù)此可得，解方程即可求得的值.
【詳解】由題意可得：，，
數(shù)列為等差數(shù)列，則其公差為：，
則：，解得：.
故答案為：．
17．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和記為，已知.則________.
【答案】
【分析】由，分和，利用數(shù)列通項(xiàng)和前n項(xiàng)和的關(guān)系求解.
【詳解】由，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，得，
兩式相減得，即，
又，
所以是從第二項(xiàng)開始的等比數(shù)列，
所以，
綜上：，
故答案為：
18．已知雙曲線：，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，為右支上一點(diǎn)，在線段上取“的周長中點(diǎn)”，滿足，同理可在線段上也取“的周長中點(diǎn)”.若的面積最大值為1，則________．
【答案】
【分析】根據(jù)題目中對周長中點(diǎn)的定義，可以列出圖像中各線段之間的關(guān)系，將兩式相加，相減，得到與雙曲線定義，焦距相關(guān)的式子，結(jié)合三角形的面積公式，即可求解
【詳解】解：由題意作出圖形，

設(shè)雙曲線的焦距為,根據(jù)題意可得：
,①
,②
①②得：，即
所以，所以：
①②得：
所以,
所以, ,
所以當(dāng)時(shí), 的面積取最大值,
所以,
所以,
故答案為: .
三、雙空題
19．已知數(shù)列滿足以下條件：，其中m，n為任意正整數(shù)且.則_______；________.
【答案】???? 1????
【分析】由，分別，，求得，從而得到，利用累加法求解.
【詳解】解：由，
令，得，
令，得，
解得，
則，即，
所以，
，
，
故答案為：1，

四、解答題
20．已知等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為，各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列滿足，.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）設(shè)出數(shù)列的公比，再根據(jù)已知列式計(jì)算作答.
（2）由（1）利用分組求和法，結(jié)合等差等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式計(jì)算作答.
【詳解】(1)依題意，，設(shè)等比數(shù)列公比，，由得：，
解得，(舍去)
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式.
(2)依題意，是等差數(shù)列，首項(xiàng)，公差，由（1）得：
，
所以.
21．學(xué)校組織解題能力大賽，比賽規(guī)則如下：要解答一道解析幾何和兩道立體幾何，先解答解析幾何，正確得2分，錯(cuò)誤得0分；再解答兩道立體幾何，全部正確得3分，只正確一道題得1分，全部錯(cuò)誤得0分.小明同學(xué)準(zhǔn)備參賽，他目前的水平是：解析幾何解答正確的概率是；立體幾何解答正確的概率為.假設(shè)小明同學(xué)每道題的解答相互獨(dú)立.
(1)求小明同學(xué)恰好有兩道題解答正確的概率；
(2)求小明同學(xué)獲得的總分X的分布列及均值；
(3)若小紅同學(xué)也準(zhǔn)備參加比賽，她目前的水平是：解析幾何解答正確的概率是，立體幾何解答正確的概率為.設(shè)小紅同學(xué)獲得的總分Y的均值為，比較和的大小關(guān)系.（不用說明理由）
【答案】(1)
(2)分布列見解析；
(3)
【分析】（1）由概率的乘法公式與加法公式求解
（2）分析的可能取值，求出對應(yīng)概率后得分布列，再由均值的公式求解
（3）計(jì)算兩人總分均值后比較大小
【詳解】(1)題目有一道解析幾何和兩道立體幾何，解析幾何解答正確的概率是；立體幾何解答正確的概率為，
故小明同學(xué)恰好有兩道題解答正確的概率

(2)由題意得的可能取值為
，，
，
，
，
則的分布列為

0
1
2
3
5







(3)同理求，
，
，
，
，

故．
22．已知四棱錐中，底面是正方形，是正三角形，平面，E、F、G、O分別是的中點(diǎn).

(1)求證：平面；
(2)求平面與平面夾角的大?。?br /> (3)問：線段上是否存在點(diǎn)M，使得直線與平面所成角的大小為，若存在，求出的值；若不存在，說明理由.
【答案】(1)證明見詳解
(2)
(3)不存在，理由見詳解
【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，結(jié)合正三角形的性質(zhì)可證；
（2）根據(jù)二面角的平面角定義找出平面角，然后計(jì)算可得；
（3）建立空間直角坐標(biāo)系，假設(shè)存在，利用向量法直接計(jì)算可知.
【詳解】(1)因?yàn)槠矫?，平?br /> 所以，平面平面
又是正三角形，O為AD中點(diǎn)
所以
又平面平面，平面
所以，平面
(2)連接OF，因?yàn)镋、F、G、O分別是的中點(diǎn)
所以，，所以E、F、G、O四點(diǎn)共面
因?yàn)槠矫妫?br /> 所以平面
又平面，平面
所以平面與平面夾角的平面角為
又是正三角形，所以

(3)不存在.
由上可知兩兩垂直，故建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，則
所以，，，
設(shè)為平面EFG的法向量，
則，取得
記，則
由，得
解得
故在線段上不存在點(diǎn)M使得直線與平面所成角的大小為

23．已知橢圓的焦點(diǎn)為，長軸長與短軸長的比值為.
(1)求橢圓M的方程：
(2)過點(diǎn)F的直線l與橢圓M交于A，B兩點(diǎn)，軸于點(diǎn)C，軸于點(diǎn)D，直線BD交直線于點(diǎn)E，求與的面積之比.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）用待定系數(shù)法求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)直線的方程為.用“設(shè)而不求法”表示出，.
進(jìn)而得到，.由，得到三點(diǎn)共線.
所以，即可得到.
【詳解】(1)由題設(shè)，，所以.
又因?yàn)椋?，所?
解得，.
所以橢圓的方程為.
(2)由題意可知，直線斜率存在，設(shè)直線的方程為.
由得.
設(shè)，，則，.
因?yàn)檩S，所以.
直線方程為，所以.
因?yàn)檩S，所以.
因?yàn)椋?
所以





.
所以三點(diǎn)共線.
因?yàn)?，所以?br /> 所以，
所以.
24．有個(gè)首項(xiàng)都是1的等差數(shù)列，設(shè)第個(gè)數(shù)列的第項(xiàng)為，公差為，并且成等差數(shù)列．
（Ⅰ）證明（，是的多項(xiàng)式），并求的值
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，將數(shù)列分組如下：
(每組數(shù)的個(gè)數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列)．
設(shè)前組中所有數(shù)之和為，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
（Ⅲ）設(shè)是不超過20的正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，對于（Ⅱ）中的，求使得不等式
成立的所有的值．
【答案】（Ⅰ）證明過程見詳解； ；（Ⅱ）．
（Ⅲ）．
【分析】（Ⅰ）先由題意知，根據(jù)，
得到，即可證明是公差為的等差數(shù)列．
進(jìn)而可得出結(jié)論成立；求出．
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，．將數(shù)列分組如下：．按分組規(guī)律，第組中有個(gè)奇數(shù)，
由題意得到．再由錯(cuò)位相減法即可求出..
（Ⅲ）先由（Ⅱ）得，.
將不等式化為．
構(gòu)造函數(shù)．
根據(jù)題意即可求出結(jié)果．
【詳解】（Ⅰ）由題意知.
，
同理，，，…，
．
又因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，所以.
故，即是公差為的等差數(shù)列．
所以，．
令，則，此時(shí)．
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，．
數(shù)列分組如下：．
按分組規(guī)律，第組中有個(gè)奇數(shù)，
所以第1組到第組共有個(gè)奇數(shù)．
注意到前個(gè)奇數(shù)的和為，
所以前個(gè)奇數(shù)的和為.
即前組中所有數(shù)之和為，所以．
因?yàn)?，所以，從而?br /> 所以.
.
故

.
所以．
（Ⅲ）由（Ⅱ）得，.
故不等式就是．
考慮函數(shù)．
當(dāng)時(shí)，都有，即．
而，
注意到當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，故有.
因此當(dāng)時(shí)，成立，即成立．
所以,滿足條件的所有正整數(shù)．
【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列的綜合應(yīng)用，熟記等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式即可，屬于常考題型.

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