2021-2022學年北京師范大學附屬實驗中學高二上學期期中數學試題 一、單選題1．已知空間向量，化簡的結果為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據空間向量的加減運算即可求解.【詳解】，故選：.2．如果空間向量不共面，且，則的值為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用空間向量不共面性質求出即可的答案.【詳解】因為，所以，由空間向量不共面，所以，所以，故選：D.3．已知點是正方形的中心，點為正方形所在平面外一點，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】分別在和中利用向量加法的平行四邊形法則就可得出答案.【詳解】因為點是正方形的中心，所以分別為,的中點，所以在中，，同理，在中，，所以.故選：.4．在空間直角坐標系中，已知點下列敘述中正確的是（    ）①點關于軸的對稱點是②點關于平面的對稱點是③點關于軸的對稱點是④點關于原點的對稱點是A．①② B．①③ C．②④ D．②③【答案】C【分析】根據空間坐標的對稱性進行判斷即可．【詳解】點關于軸的對稱點的坐標是，，，故①錯誤；點關于平面的對稱點的坐標是，，，則②正確；點關于軸的對稱點的坐標是，，，則③錯誤；點關于原點的對稱點的坐標是，，，故④正確，故正確的命題的序號是②④，故選：C.5．已知直線與直線平行，則的值為（    ）A． B． C． D．7【答案】A【分析】根據兩直線平行的系數對應關系即可求解【詳解】因為直線與直線平行，所以，解得.故選：A6．的展開式中常數項為（    ）．A． B． C．15 D．20【答案】B【分析】寫出展開式的通項公式，再令得，再代入通項公式即可得答案.【詳解】根據題意，的展開式的通項公式，令，解得，所以常數項為.故選：B7．已知直三棱柱中，，，則的值為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用向量的加減法則逆運算得，結合夾角與模長計算即可.【詳解】在直三棱柱中，側棱與底面垂直，則，故選：A.8．已知直線的斜率為，直線的傾斜角為直線的傾斜角的一半，則直線的斜率為（    ）A． B． C． D．不存在【答案】C【分析】根據斜率與傾斜角的關系，結合正切的二倍角公式，可得答案.【詳解】由直線的斜率為，設其傾斜角為，則，由直線的傾斜角為直線的傾斜角的一半，設直線的傾斜角為，則，，，解得或，由傾斜角的取值范圍為，則，故直線的斜率為.故選：C.9．如圖所示，已知正方體中，是的中點，則直線與平面所成角的正弦值為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】分別以直線，，為，，軸，建立空間直角坐標系，可求出一些點的坐標，設平面的法向量為，根據，即可求出法向量，設直線和平面所成角為，則根據即可求得直線與平面所成角的正弦值.【詳解】解：以邊，，所在直線分別為，，軸，建立如圖所示空間直角坐標系，設正方體的棱長為2，則：，，，，，；，，，設平面的法向量為，則；，取，則，則；設和平面所成角為，則：；故選：C.10．馬路上有依次編號為的9盞路燈，為節(jié)約用電，某個時段可以把其中3盞燈關掉，但不能同時關掉相鄰的兩盞，而且兩端的燈也不能關掉，則滿足條件的不同關燈方法的種數為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先讓兩端的兩盞燈亮著，再點亮中間7盞中的4盞，4盞燈有5個空，利用插空法即可求解.【詳解】讓兩端的兩盞燈亮著，再點亮中間7盞中的4盞，4盞燈有5個空格，從5個空格中隨機的選3個空格，因為燈是沒有順序的，所以共有種，故選：. 二、填空題11．已知向量，則______.【答案】0【分析】根據空間向量的坐標運算，可得答案.【詳解】由，則，由，則.故答案為：.12．設，則______【答案】63【分析】利用賦值法分別令和即可求解.【詳解】由，令，則，即，令，則，即，所以.故答案為：63.13．用排成無重復數字的三位偶數的個數為______【答案】【分析】可以看作是3個空，要求個位是偶數，其它位置無條件限制，因此先從3個偶數中任選1個填入個位，其它3個數在2個位置上排列即可.【詳解】要排成無重復數字的三位偶數,則個位數為偶數即選擇有3種，其它位數的排列數為，即這樣的數有個，故答案為: .14．已知點，則原點到平面的距離為______.【答案】【分析】由等體積法求點面距離.【詳解】分別為x、y、z軸上的點，則，.設原點到平面的距離為h，由得.解得.故答案為：.15．點關于直線的對稱點的坐標為______ .【答案】【分析】設點，根據線段的中點在直線上以及斜率得出方程組，解方程組即可得出點的坐標.【詳解】設點是點關于直線的對稱點.由已知直線的斜率為1，所以，解得，所以點.故答案為：.16．如圖，在長方體中，，點在棱上，當取得最小值時，，則線段的長為______【答案】【分析】把長方形展開到長方形所在的平面，利用三點共線時取最小值，可得等量關系，再利用勾股定理列方程，求出即可.【詳解】把長方體展開到長方形所在的平面，易知，當在同一直線上時，取得最小值，此時，設，，原圖形中,則有，，，因為，所以，即，解得：．故答案為：. 三、解答題17．已知點.(1)求過點且與直線平行的直線的方程；(2)求點到直線的距離.【答案】(1)(2) 【分析】(1)先求出，再用點斜式求方程即可；(2)先求出直線的方程，再求點到直線的距離.【詳解】（1），過點且與直線平行的直線的方程為：，即；（2）又(1)知，則直線的方程為，即，則點到直線的距離為.18．在棱長為4的正方體中，解答下列問題：(1)點分別是線段和的四等分點，分別滿足，求和所成角的余弦值；(2)點是線段的四等分點，滿足，求與平面所成角的正弦值.【答案】(1)(2) 【分析】(1)根據空間向量的坐標運算求異面直線的夾角；(2)根據空間向量的坐標運算求出直線的方向向量和平面的法向量，從而計算線面夾角的正弦值.【詳解】（1）在正方體中，以為原點，，，所在直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則,所以，所以，所以和所成角的余弦值為.（2）由（1）可知，，設平面的法向量為，與平面所成角為，則，令則，所以，所以.19．分別求滿足下列條件的各圓的方程.(1)過點且圓心在直線上；(2)與軸相切，圓心在直線上，且被直線截得的弦長為.【答案】(1)(2)或 【分析】（1）求得弦的中垂線方程，聯(lián)立求得圓心，計算半徑，可得答案；（2）設出圓心與半徑，利用弦長公式，可得答案.【詳解】（1）由，則其中點坐標為，直線的斜率，即線段的中垂線方程為，聯(lián)立兩直線方程，可得，解得，則圓心為，半徑，故圓的方程為.（2）設圓心為，則半徑，，即，圓心到直線的距離，由直線截得的弦長為，則，解得，當時，，半徑，此時圓的方程為；當時，，半徑，此時圓的方程為.20．如圖，已知四棱錐中，是直角梯形，，平面，.(1)求點到平面的距離；(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)4(2) 【分析】（1）建立空間直角坐標系，用點到面的距離公式即可算出答案；（2）先求出兩個面的法向量，然后用二面角公式即可.【詳解】（1）∵平面平面 ∴，又  兩兩互相垂直，則以點為坐標原點，分別為軸，軸， 軸建立如圖所示的空間直角坐標系，， 設平面的一個法向量即令，可得 ，， 記點到平面的距離為，則，所以點到平面的距離為4.（2）由 ( 1 ) 可知平面的一個法向量為平面的一個法向量為，設二面角的平面角為，由圖可知 ，，所以二面角的余弦值為.21．如圖，點是以為直徑的圓上異于的點，平面平面.，分別是的中點，記平面與平面的交線為直線.(1)求證：直線平面；(2)求證：直線直線；(3)直線上是否存在點，使直線分別與平面、直線所成的兩角互余？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)當時，直線分別與平面、直線所成的兩角互余，理由見解析. 【分析】（1）先證明，由條件根據面面垂直性質定理證明直線平面；(2)根據線面平行判定定理證明平面，再由線面平行性質定理證明直線直線；（3）建立直角坐標系，求出面的法向量，繼而求出，利用，求出點的坐標即可.【詳解】（1）因為點是以為直徑的圓上異于的點，所以又平面平面，平面平面，平面，所以平面；（2），分別是，的中點，所以，又平面，不包含于面，所以平面，又面，平面平面，所以，（3）以為坐標原點，為軸，為軸，過垂直于平面的直線為軸，建立空間直角坐標系，，，，，，∴，，設,,，平面的法向量為，則，取，則，所以為平面的一個法向量，且，，，設直線與平面所成的角為、直線與直線所成的角為，則，，因為直線分別與平面、直線所成的兩角互余，所以，所以，所以，所以．所以當時，直線分別與平面、直線所成的角互余．22．記集合，對于定義：為由點確定的廣義向量，為廣義向量的絕對長度，(1)已知，計算；(2)設，證明：；(3)對于給定，若滿足且，則稱為中關于的絕對共線整點，已知，①中關于的絕對共線整點的個數為______；②若從中關于的絕對共線整點中任取個，其中必存在4個點，滿足，則的最小值為______【答案】(1)(2)證明見解析；(3)①108；②73 【分析】(1)由廣義向量的絕對長度的定義計算即可；(2)根據廣義向量的絕對長度的定義結合絕對值三角不等式證明；(3)①根據絕對共線整點的定義由(2)結合條件列關系式，確定的絕對共線整點的個數；②先考慮坐標都為3的點中至少取多少個元素滿足要求，由此確定的最小值.【詳解】（1）因為，所以，所以；（2）由已知設，則，，，由絕對值三角不等式可得當且僅當時等號成立，所以，當且僅當，都成立時等號成立；所以；（3）①設，為中關于的絕對共線整點，則；因為，所以，，，所以，，，所以中關于的絕對共線整點的個數為，②先考慮的絕對共線整點中坐標都為3的點，考慮取出坐標分別為1,2,3,5，坐標為3的點的所有點共24個，因為1,2,3,5中任意兩個數的和都不等于另兩個數的和，故不存在滿足要求的四個點，若取出坐標分別為1,2,3,5，坐標為3的點的所有點共24個，加入坐標為4，坐標為3的任意點，則存在，則存在，，滿足要求；同理加入坐標為6，坐標為3的任意點都存在滿足要求的四個點，由此可證在坐標都為3的點中取24個點不一定存在滿足要求的4個點，但取25個點則一點存在滿足要求的4個點，故要滿足給定要求，得最小值為73.【點睛】“新定義”主要是指即時定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運算五種，然后根據此新定義去解決問題，有時還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對新定義的透徹理解.但是，透過現(xiàn)象看本質，它們考查的還是基礎數學知識，所以說“新題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應萬變才是制勝法寶. 

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