北師大萬寧附中2021-2022學年上學期第一次月考(高二)數(shù)學試題一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知點，，則以線段為直徑的圓的方程為　　A． B． C． D．2.如圖中的直線、、的斜率分別為、、，則　　A．                     B． C．                     D．3.已知直線與過點，的直線垂直，則直線的傾斜角是（    ）A． B． C． D．4.方程表示圓，則實數(shù)的取值范圍是（    ）A． B． C． D．5.若直線m的方向向量為a，平面α的法向量為μ，則能使m∥α的是(　　)A.a＝(1,0,0)，μ＝(－2,0,0)    B.a＝(1，－1,3)，μ＝(0,3,1) C.a＝(0,2,1)，μ＝(－1,0,1)    D.a＝(1,3,5)，μ＝(1,0,1)6.已知a=(2,0,1),b=(3,2, －5),則向量b在向量a上的投影向量是 (　　)A.  (3,2, －5)  B. (3,2, －5)       C.  (2,0,1) D.  (2,0,1)7.向量a=(2,1,x),b=(2,y,－1),若|a|=,且a⊥b,則x+y的值為(　　)A. －1             B.1               C. －4            D.48.已知向量a=(2,-1,3)，b=(-1,4,-2)，，若a，b，c共面，則實數(shù)（   ）A． B． C． D．二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每個小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知直線與直線垂直，則實數(shù)的值是（   ）A．              B．              C．             D．10.如果，，那么直線經過（   ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限11.正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角,下列結論正確的有(　　)A.AD與BC所成的角為30°           B.AC與BD所成的角為90°C.BC與面ACD所成角的正弦值為  D.平面ABC與平面BCD的夾角的正切值是12.等腰直角三角形的直角頂點為，若點A的坐標為，則點B的坐標可能是（    ）A． B． C． D．三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡上的相應橫線上.13.若a＝(2，－3,1)，b＝(2,0,3)，c＝(3,4,2)，則a·(b＋c)＝_______.14.兩平行直線與間的距離為3，則______.在四棱柱中，，則　  　．16．如圖，二面角為，，，過，分別作的垂線，垂足分別為，，若，，，則的長度為　  　．四、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.(本題滿分10分)求經過直線∶ 與直線∶ 的交點，且滿足下列條件的直線方程.（1）與直線平行； （2）與直線垂直.    18.(本題滿分12分) 如圖，三棱柱ABC－A1B1C1中，底面邊長和側棱長都等于1，∠BAA1＝∠CAA1＝60°.(1)設＝a，＝b，＝c，用向量a，b，c表示，并求出BC1的長度；(2)求異面直線AB1與BC1所成角的余弦值．      19.(本題滿分12分)如圖，正方形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB＝AD＝2，CD＝4，M為CE的中點．(1)求證：BM∥平面ADEF；(2)求證：BC⊥平面BDE.   20.(本題滿分12分)已知直線：.（1）求證：不論為何值，直線總經過第一象限； （2）為使直線不經過第二象限，求的取值范圍.  21. (本題滿分12分)如圖所示的多面體是由底面為ABCD的長方體被面AEC1F所截得到的,其中AB=4,BC=2,CC1=3,BE=1.(1)求BF的長;           (2)求點C到平面AEC1F的距離.   22．(本題滿分12分)如圖所示的幾何體中，和均為以為直角頂點的等腰直角三角形，，，，，為的中點.（1）求證：；（2）求二面角的大?。?/span>（3）設為線段上的動點，使得平面平面，求線段的長.數(shù)學答案一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1-5BDCBB     6-8CCD二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每個小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.AB     10.ACD      11.BD      12.AC三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡上的相應橫線上.13.____3__        14.或48_______.　-3　．       16．3　．四、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.(本題滿分10分)求經過直線∶ 與直線∶ 的交點，且滿足下列條件的直線方程.（1）與直線平行； （2）與直線垂直.17.【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）設所求直線為，故，因為此直線與直線，故，故，故所求直線為.（2）設所求直線為，故，因為此直線與直線，故，故，故所求直線為.18.(本題滿分12分) 如圖，三棱柱ABC－A1B1C1中，底面邊長和側棱長都等于1，∠BAA1＝∠CAA1＝60°.(1)設＝a，＝b，＝c，用向量a，b，c表示，并求出BC1的長度；(2)求異面直線AB1與BC1所成角的余弦值．    18．解析　(1)＝＋＝＋－＝＋－＝a＋c－b.a·b＝|a|·|b|cos∠BAA1＝1×1×cos 60°＝，同理可得a·c＝b·c＝，所以||＝＝＝＝.即BC1的長度為.(6分)(2)因為＝a＋b，所以||＝＝＝＝，因為·＝(a＋b)·(a＋c－b)＝a2＋a·c－a·b＋b·a＋c·b－b2＝1＋－＋＋－1＝1，所以cos〈，〉＝＝＝.(11分)所以異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為.(12分)19.(本題滿分12分)如圖，正方形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB＝AD＝2，CD＝4，M為CE的中點．(1)求證：BM∥平面ADEF；(2)求證：BC⊥平面BDE.19.證明　∵平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，AD⊥ED，ED?平面ADEF，∴ED⊥平面ABCD.以D為原點，，，分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立如圖所示空間直角坐標系．則D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,4,0)，E(0,0,2)，F(2,0,2)．(2分)(1)∵M為EC的中點，∴M(0,2,1)，則＝(－2,0,1)，＝(－2,0,0)，＝(0,0,2)，∴＝＋，故，，共面．又BM?平面ADEF，∴BM∥平面ADEF.(7分)(2)＝(－2,2,0)，＝(2,2,0)，＝(0,0,2)，∵·＝－4＋4＝0，∴BC⊥DB.又·＝0，∴BC⊥DE.又DE∩DB＝D，∴BC⊥平面BDE.(12分)20.(本題滿分12分)已知直線：.（1）求證：不論為何值，直線總經過第一象限；（2）為使直線不經過第二象限，求的取值范圍.20.【答案】（1）證明見解析；（2）.【詳解】（1）直線l為，即，，解得，不論a為何值，直線l總過第一象限的點，即直線l過第一象限；（2）因為直線的斜率顯然存在，又直線l不經過第二象限，直線l過第一象限，所以斜率只能為正，且直線與軸不能交于正半軸；因此；解得，21. (本題滿分12分)如圖所示的多面體是由底面為ABCD的長方體被面AEC1F所截得到的,其中AB=4,BC=2,CC1=3,BE=1.(1)求BF的長;(2)求點C到平面AEC1F的距離.  21.解析　(1)建立如圖所示的空間直角坐標系,則A(2,0,0),C(0,4,0),E(2,4,1),C1(0,4,3),B(2,4,0),(2分)設F(0,0,z),∵四邊形AEC1F為平行四邊形,∴=,即(-2,0,z)=(-2,0,2),∴z=2,∴F(0,0,2),∴=(-2,-4,2).(4分)于是||=2,即BF的長為2.(6分)(2)設n=(x,y,z)為平面AEC1F的法向量,(7分)則即令y=-,得x=1,z=1,則n=1,-,1.(10分)由(1)知=(0,0,3),∴點C到平面AEC1F的距離d===.(12分)22．(本題滿分12分)如圖所示的幾何體中，和均為以為直角頂點的等腰直角三角形，，，，，為的中點.（1）求證：；（2）求二面角的大??；（3）設為線段上的動點，使得平面平面，求線段的長.22.【解析】：依題意得，和均為以為直角頂點的等腰直角三角形，則，，所以面，又，可以建立以為原點，分別以，，的方向為軸，軸，軸正方向的空間直角坐標系（如圖），可得，，，，，，，（1）證明：由題意，，，因為，所以.（2）解：，，設為平面的法向量，則，即，不妨令，可得，平面的一個法向量，因此有，由圖可得二面角為銳二面角，所以二面角的大小為.（3）解：（方法一）設，，所以，因此，令，即，解得，即為的中點，因為平面，平面，，所以當為的中點時，平面平面，此時即，，所以線段的長為.（方法二）設，，所以，因此，設為平面的法向量，則，即，不妨令，可得，因為平面平面，所以，解得：，此時即，，所以線段的長為

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