【教學(xué)目標(biāo)】
1．使學(xué)生了解學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的必要性，掌握復(fù)數(shù)的有關(guān)概念、復(fù)數(shù)的分類，初步掌握虛數(shù)單位的概念和性質(zhì).
2．通過類比引入、分類討論、化歸于轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法的使用，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力.
3．通過對(duì)復(fù)數(shù)概念的講解，初步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理的核心素養(yǎng).
【教學(xué)重點(diǎn)】 理解復(fù)數(shù)的基本概念
【教學(xué)難點(diǎn)】 虛數(shù)單位的引入以及復(fù)數(shù)概念的形成
【教學(xué)方法】 教師啟發(fā)講授，學(xué)生探究學(xué)習(xí)．
【教學(xué)手段】 多媒體平臺(tái)
【核心素養(yǎng)】 數(shù)學(xué)運(yùn)算，邏輯推理．
【教學(xué)過程】
創(chuàng)設(shè)情境，引入課題
問題提出：
關(guān)于無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)：古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派認(rèn)為，世間任何數(shù)都可以用整數(shù)和分?jǐn)?shù)表示，并將此作為他們的一條信條，有一天這個(gè)學(xué)派的一個(gè)成員希伯斯突然發(fā)現(xiàn)邊長(zhǎng)為1的正方形的對(duì)角線是個(gè)奇怪的數(shù)。于是努力研究終于證明出它不能用整數(shù)或分?jǐn)?shù)表示。這打破了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的信條，于是畢達(dá)哥拉斯下令不許他外傳。但希伯斯將這個(gè)秘密透露出去，畢達(dá)哥拉斯大怒，要將他處死。希伯斯連忙外逃，然而還是被抓住扔進(jìn)了大海，他為科學(xué)的發(fā)展獻(xiàn)出了寶貴的生命。希伯斯發(fā)現(xiàn)的這類數(shù)，被稱為無理數(shù)。無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)導(dǎo)致了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)，為數(shù)學(xué)的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn)。今天我們就研究數(shù)系的擴(kuò)充。
二、歸納探索，形成概念
回顧從自然數(shù)系的擴(kuò)充過程。每次擴(kuò)充的主要原因是什么？每次擴(kuò)充遵循哪些規(guī)律？
引入負(fù)數(shù)解決了減法的局限性；引入分?jǐn)?shù)解決了不能整除的矛盾；引入無理數(shù)解決了開方開不盡的矛盾.讓學(xué)生體會(huì)數(shù)系的擴(kuò)充是生產(chǎn)實(shí)踐的需要，也是數(shù)學(xué)學(xué)科自身發(fā)展的需要.
數(shù)系擴(kuò)充的規(guī)律：（1）引入新數(shù)（2）原有的運(yùn)算律在新數(shù)系中仍然成立.
預(yù)計(jì)的困難：學(xué)生對(duì)數(shù)系的擴(kuò)充的規(guī)律不太熟悉，教學(xué)中教師多做引導(dǎo).
方程x2+1=0在實(shí)數(shù)系中無解。類比自然數(shù)系到實(shí)數(shù)系的擴(kuò)充過程，你能設(shè)想一種方法，對(duì)實(shí)數(shù)系進(jìn)一步擴(kuò)充，使這個(gè)方程在新的數(shù)系中有解嗎？
將實(shí)數(shù)系進(jìn)一步擴(kuò)充，從而解決在原有數(shù)集中某種運(yùn)算不能實(shí)施的矛盾。
我們求解一元二次方程時(shí)，需要將判別式開平方.由于負(fù)實(shí)數(shù)在實(shí)屬范圍內(nèi)沒有平方根，因此當(dāng)判別式小于零的時(shí)候，原方程就沒有實(shí)數(shù)解.

因此人們引入了一個(gè)符號(hào)i表示-1的一個(gè)平方根，滿足條件i2=-1，并對(duì)任意實(shí)數(shù)a，吧引入形如a+bi的新數(shù).在這些新數(shù)組成的集合C中，引入加減乘除運(yùn)算，并滿足與實(shí)數(shù)運(yùn)算類似的運(yùn)算律.
按照這個(gè)新數(shù)集C中的運(yùn)算，當(dāng)判別式小于零的時(shí)候，ax2+bx+c=0（a≠0）在C中都有兩個(gè)不同的根
人們引入-1的平方根i是需要用它來解決問題的，但又認(rèn)為它不是真實(shí)的數(shù)，而是“虛幻”的數(shù)，故稱其為虛數(shù)，并用“虛幻”的英文單詞imaginary的首字母i來表示.后來才發(fā)現(xiàn)，“虛數(shù)”并不虛，它在人們的生活、生產(chǎn)和科學(xué)研究中有著廣泛應(yīng)用.
我們把形如a+bi（其中a，b∈R）的數(shù)稱為復(fù)數(shù)，其中a稱為復(fù)數(shù)a+bi的實(shí)部，b稱為復(fù)數(shù)a+bi的虛部，i稱為虛數(shù)單位.復(fù)數(shù)通常用字母z表示，即
這種形式稱為復(fù)數(shù)的代數(shù)形式.我們一般將復(fù)數(shù)z的實(shí)部記作Rez，虛部記作Imz.
習(xí)慣上用C表示全體復(fù)數(shù)組成的集合，稱為復(fù)數(shù)集，于是
當(dāng)虛部b=0時(shí)，復(fù)數(shù)a+0i就是實(shí)數(shù)a.反過來，實(shí)數(shù)a也就是虛部為0的復(fù)數(shù)a+0i.即實(shí)數(shù)集R是復(fù)數(shù)集C的子集，且有C中虛部為0的全體復(fù)數(shù)組成.當(dāng)虛部b≠0，a+bi稱為虛數(shù)，而當(dāng)b≠0且a=0時(shí)，bi稱為純虛數(shù). 復(fù)數(shù)、實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)之間的關(guān)系如下：
在實(shí)數(shù)集中，我們可以知道兩個(gè)數(shù)存在相等關(guān)系，那在復(fù)數(shù)集中任取兩個(gè)數(shù)z1=a+bi, z2=c+di（a,b,c,d∈?）,如何定義兩個(gè)復(fù)數(shù)相等呢？下面我們來出定義：
若兩個(gè)復(fù)數(shù)a+bi，c+di（a，b，c，d∈R）的實(shí)部與虛部分別相等，則稱這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等，即
三、掌握證法，適當(dāng)延展
（1）1-i=1+（-1）i，實(shí)部為1，虛部為-1.
（2）3+2eq \r(2)=3+2eq \r(2)+0i，實(shí)部為3+2eq \r(2)，虛部為0.
（3）-i=0+（-1）i，實(shí)部為0，虛部為-1.
（1）當(dāng)m2-1=0，即m=±1時(shí)，復(fù)數(shù)z是實(shí)數(shù).
（2）當(dāng)m2-1≠0，即m≠±1時(shí)，復(fù)數(shù)z是虛數(shù).
（3）當(dāng)m2+m-2=0且m2-1≠0，即m=-2時(shí)，復(fù)數(shù)z是純虛數(shù).
（4）當(dāng)m2+m-2=0且m2-1=0，即m=1時(shí)，復(fù)數(shù)z是=0.
根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義可得
最后同學(xué)們需要注意的是，兩個(gè)實(shí)數(shù)可以比較大小，但當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)不全是實(shí)數(shù)時(shí)，它們之間不能比較大小，只能說相等或不相等.例如，2-i和3+i，1和i之間都不能比較大小.
四、歸納小結(jié)，提高認(rèn)識(shí)
學(xué)生交流在本節(jié)課學(xué)習(xí)中的體會(huì)、收獲，交流學(xué)習(xí)過程中的體驗(yàn)和感受，師生合作共同完成小結(jié)．
在這一節(jié)課中，同學(xué)們主要學(xué)習(xí)了實(shí)數(shù)系到復(fù)數(shù)系的擴(kuò)充過程，復(fù)數(shù)的基本概念，兩復(fù)數(shù)相等的充要條件；思想方法：我們運(yùn)用了類比、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想.實(shí)數(shù)系到復(fù)數(shù)系的擴(kuò)充過程是通過類比自然數(shù)系到實(shí)數(shù)系的擴(kuò)充過程完成的，而復(fù)數(shù)實(shí)質(zhì)是一有序數(shù)對(duì)，與直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)、平面向量都有密切聯(lián)系.
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3.1 復(fù)數(shù)的概念

版本： 湘教版（2019）

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