專訓(xùn)14.2.2 完全平方公式應(yīng)用+與面積有關(guān)問題一、單選題1．下列運(yùn)算正確的是（    ）A． B．C． D．2．計(jì)算（a﹣3）2的結(jié)果是（　?。?/span>A．a2﹣6a+9 B．a2+6a+9 C．a2﹣6a+3 D．a2﹣6a+63．下列計(jì)算正確的是（　　）A． B．C． D．4．若，下列等式：①  ②  ③  ④  ⑤，其中錯誤的有（    ）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個5．與下列哪個代數(shù)式的和是完全平方式（    ）A． B． C． D．6．已知多項(xiàng)式x2﹣2kx+16是完全平方式則k的值為（　?。?/span>A．4 B．﹣4 C．±4 D．±87．x2+mx+16是一個完全平方式，則m的值為（　?。?/span>A．4 B．8 C．4或﹣4 D．8或﹣8二、多選題8．定義運(yùn)算：下面給出了關(guān)于這種運(yùn)算的幾種結(jié)論，其中正確的結(jié)論是（    ）A． B．C．若，則 D．若，則或三、填空題9．已知： ， ，則 的值是_____________10．若，，則________．11．邊長分別為a和b的兩個正方形按如圖的樣式擺放，則圖中的陰影部分的面積為 ___．【答案】【分析】結(jié)合圖形，發(fā)現(xiàn)：陰影部分的面積=大正方形的面積的+小正方形的面積-兩個直角三角形的面積．【詳解】解：圖中的陰影部分的面積為＝，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了整式的混合運(yùn)算，關(guān)鍵是列出求陰影部分面積的式子．12．代數(shù)與幾何的聯(lián)手！（1） (a+b)2與(a－b)2有怎樣的聯(lián)系，能否用一個等式來表示兩者之間的關(guān)系?并嘗試用圖形來驗(yàn)證你的結(jié)論（2） 若 x 滿足（40﹣x）（x﹣30）＝﹣20，則（40﹣x）2 +（x﹣30）2 的值為_____．（3） 若 x 滿足（x﹣3）（x﹣1）＝，則（x﹣3）2 +（x﹣1）2 的值為 _____．    （4） 如圖，正方形 ABCD 的邊長為 x，AE＝14，CG＝30，長方形 EFGD 的面積是 200，四邊形 NGDH 和 MEDQ 都是正方形，四邊形 PQDH 是長方形，求圖中陰影部分的面積     ．（結(jié)果必須是一個具體的數(shù)值）四、解答題13．計(jì)算（1）    （2）14．先化簡，再求值：[（x﹣2y）2+（x﹣2y）（x+2y）﹣2x（2x﹣y）]÷2x，其中x＝1，y＝﹣2．15．已知，（為任意實(shí)數(shù)），試探索、的大小關(guān)系并說明理由．16．若三邊，，滿足，試判斷的形狀．17．閱讀理解：已知a+b＝4，ab＝3，求a2+b2的值．解：∵a+b＝4，∴（a+b）2＝42，即a2+2ab+b2＝16．∵ab＝3，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝10．參考上述過程解答：（1）若x﹣y＝﹣3，xy＝﹣2，則x2+y2＝　 　，（x+y）2＝　 　；（2）若m+n﹣p＝﹣10，（m﹣p）n＝﹣12，求（m﹣p）2+n2的值．18．（1）填空：________________；（2）若，求的值；（3）若，求的值．19．若，，求和的值．20．若滿足，求的值．閱讀下面求解的方法：解：設(shè)，，則，∵，∴ ，∴．請仿照上面的方法求解下面的問題：（1）若滿足，求的值；（2）如圖，正方形中，、分別是、上的點(diǎn)，且，，長方形的面積是，分別以、為邊作正方形，若，則①            ， （用含的代數(shù)式表示）；②直接寫出圖中陰影部分的面積．21．如圖1是一個長為2a、寬為2b的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四塊小長方形，然后按圖2的形狀拼成一個正方形． （1）觀察圖2，請你直接寫出下列三個代數(shù)式（a＋b）2，（a－b）2，ab之間的等量關(guān)系為        ；（2）運(yùn)用你所得到的公式解答下列問題：①若m、n為實(shí)數(shù)，且m＋n＝－2，mn＝－3，求m－n的值．②如圖3，S1、S2分別表示邊長為a，b的正方形的面積，且A、B、C三點(diǎn)在一條直線上．若S1＋S2＝20，AB＝a＋b＝6，求圖中陰影部分的面積．22．如圖1是一個長為4b、寬為a的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長方形，然后用四塊小長方形拼成一個“回形”正方形（如圖2）．（1）觀察圖2請你寫出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之間的等量關(guān)系是        ．（2）根據(jù)（1）中的結(jié)論，若x+y＝5，xy＝，求x﹣y的值．（3）變式應(yīng)用：若（2019﹣m）2+（m﹣2021）2＝20，求（2019﹣m）（m﹣2021）的值．23．?dāng)?shù)學(xué)活動課上，張老師準(zhǔn)備了若干個如圖①的三種紙片，A種紙片是邊長為a的正方形，B種紙片是邊長為b的正方形，C種紙片是長為b，寬為a的長方形，并用A種紙片一張，B種紙片一張，C種紙片兩張拼成如圖②的大正方形．（1）觀察圖②，請你寫出代數(shù)式（a+b）2，a2+b2，ab之間的等量關(guān)系是　      　；（2）根據(jù)（1）中的等量關(guān)系，解決下列問題；①已知a+b＝4，a2+b2＝10，求ab的值；②已知（x﹣2020）2+（x﹣2018）2＝52，求x﹣2019的值．24．學(xué)習(xí)整式乘法時，老師拿出三種型號卡片，如圖．（1）利用多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則，計(jì)算：              ；（2）選取張型卡片，張型卡片，則應(yīng)取              張型卡片才能用他們拼成一個新的正方形，此新的正方形的邊長是              （用含，的代數(shù)式表示）；（3）選取張型卡片在紙上按圖的方式拼圖，并剪出中間正方形作為第四種型卡片，由此可檢驗(yàn)的等量關(guān)系為              ；（4）選取張型卡片，張型卡片按圖的方式不重復(fù)的疊放長方形框架內(nèi)，已知的長度固定不變，的長度可以變化，且． 圖中兩陰影部分（長方形）的面積分別表示為，，若，則與有什么關(guān)系？請說明理由．25．如圖1，是一個長為4a、寬為b的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長方形，然后用四塊小長方形拼成一個“回形”正方形（如圖2）．（1）自主探究：如果用兩種不同的方法表示圖2中陰影部分的面積，從而發(fā)現(xiàn)一個等量關(guān)系是          ；（2）知識運(yùn)用：若x﹣y＝5，xy＝6，則（x+y）2＝         ；（3）知識遷移：設(shè)A＝，B＝x+2y﹣3，化簡（A﹣B）2﹣（A+B）2的結(jié)果；（4）知識延伸：若（2019﹣m）2+（m﹣2021）2＝9，代數(shù)式（2019﹣m）（m﹣2021）＝          ．26．認(rèn)真觀察圖形，解答下列問題：（1）根據(jù)圖①中的條件，試用兩種不同方法表示兩個陰影圖形的面積的和．方法1：____________________；方法2：____________________．（2）從中你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？請用等式表示出來：____________________；（3）利用（2）中結(jié)論解決下面的問題：如圖②，兩個正方形邊長分別為m，n，如果m＋n＝mn＝4，求陰影部分的面積．27．利用我們學(xué)過的完全平方公式及不等式知識能解決代數(shù)式一些問題，觀察下列式子：①x2+4x+2＝（x2+4x+4）﹣2＝（x+2）2﹣2，∵（x+2）2≥0，∴x2+4x+2＝（x+2）2﹣2≥﹣2．因此，代數(shù)式x2+4x+2有最小值﹣2；②﹣x2+2x+3＝﹣（x2﹣2x+1）+4＝﹣（x﹣1）2+4，∵﹣（x﹣1）2≤0，∴﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4≤4．因此，代數(shù)式﹣x2+2x+3有最大值4；閱讀上述材料并完成下列問題：（1）代數(shù)式x2﹣4x+1的最小值為   ；（2）求代數(shù)式﹣a2﹣b2﹣6a+4b﹣10的最大值；（3）如圖，在緊靠圍墻的空地上，利用圍墻及一段長為100米的木柵欄圍成一個長方形花圃，為了設(shè)計(jì)一個盡可能大的花圃，設(shè)長方形垂直于圍墻的一邊長度為x米，則花圃的最大面積是多少？28．先化簡再求值：[a3+（2a﹣b）（2a+b）﹣4（a+b）2+5b2]÷(a)，其中a＝2，b＝1．29．先化簡，再求值：，其中．30．問題再現(xiàn)：數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要的思想方法，借助這種方法可將抽象的數(shù)學(xué)知識變得直觀起來并且具有可操作性，從而可以幫助我們快速解題．初中數(shù)學(xué)里的一些代數(shù)公式，很多都可以通過表示幾何圖形面積的方法進(jìn)行直觀推導(dǎo)和解釋．例如：利用圖形的幾何意義推證完全平方公式．將一個邊長為a的正方形的邊長增加b，形成兩個長方形和兩個正方形，如圖1，這個圖形的面積可以表示成：或∴這就驗(yàn)證了兩數(shù)和的完全平方公式，問題提出：如何利用圖形幾何意義的方法推證：？如圖2，A表示1個的正方形，即：，B表示1個的正方形，C與D恰好可以拼成1個的正方形，因此：B，C，D就可以表示2個的正方形，即：，而A，B，C，D恰好可以拼成一個的大正方形，由此可得：．           圖2嘗試解決：請你類比上述推導(dǎo)過程，探究：_____________；（直接寫出結(jié)論，不必寫出解題過程）類比歸納：請用上面的表示幾何圖形面積的方法探究：_____________．（直接寫出結(jié)論，不必寫出解題過程）拓展延伸：（1）圖3是由棱長為1的小正方體搭成的大正方體，圖中大、小正方體一共有多少個？為了正確數(shù)出大、小正方體的總個數(shù)，我們可以分類統(tǒng)計(jì)，即分別數(shù)出棱長是1，2，3和4的正方體的個數(shù)，再求總和．由圖可知，棱長是1的正方體有：個，棱長是2的正方體有：個，棱長是3的正方體有：個，棱長是4的正方體有：個，所以圖3中大、小正方體一共有_________個．（2）圖4是由棱長為1的小正方體搭成的大正方體，則圖中大、小正方體一共有__________個．逆向應(yīng)用：如果由棱長為1的小正方體搭成的大正方體中，通過上面的方式數(shù)出的大、小正方體一共有225個，那么棱長為1的小正方體一共有_________個．
 

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14.2.2 完全平方公式

版本： 人教版

年級： 八年級上冊

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