2021-2022學(xué)年山東省淄博市淄川區(qū)八年級（下）期末數(shù)學(xué)試卷（五四學(xué)制） 題號一二三總分得分      一、選擇題（本大題共12小題，共48分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）與結(jié)果相同的是(    )A.  B.  C.  D. 關(guān)于菱形的性質(zhì)，以下說法不正確的是(    )A. 四條邊相等 B. 對角線相等 C. 對角線互相垂直 D. 是軸對稱圖形如圖，在中，，，，于點(diǎn)，是的中點(diǎn)，則的長為(    )
A.  B.  C.  D. 若，則代數(shù)式的值為(    )A.  B.  C.  D. 下列各組中的四條線段、、、，成比例線段的是(    )A. ，，，
B. ，，，
C. ，，，
D. ，，，一元二次方程的解是(    )A. ，
B. ，
C. ，
D. ，國家統(tǒng)計局統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯示，我國快遞業(yè)務(wù)收入逐年增加．年至年我國快遞業(yè)務(wù)收入由億元增加到億元．設(shè)我國年至年快遞業(yè)務(wù)收入的年平均增長率為，則可列方程為(    )A.
B.
C.
D. 直線不經(jīng)過第二象限，則關(guān)于的方程實(shí)數(shù)解的個數(shù)是(    )A. 個 B. 個 C. 個 D. 個或個如圖，點(diǎn)，都在格點(diǎn)上，若，則的長為(    )A.
B.
C.
D. 在下列四個三角形中，以為位似中心且與位似的圖形序號是(    )A.
B.
C.
D.
 如圖?，為中點(diǎn)，延長至，使：：，連接交于點(diǎn)，則：(    )
 A. ： B. ： C. ： D. ：已知方程的兩根分別為，，則的值為(    )A.  B.  C.  D.  二、填空題（本大題共8小題，共32分）方程的根為______．將化為最簡二次根式，其結(jié)果是______．如圖，在正方形中，，分別是，上的點(diǎn)，連接，，，若，則的度數(shù)為______．
 已知是一元二次方程的一個實(shí)數(shù)根，則______．我們把寬與長的比是的矩形叫做黃金矩形．黃金矩形給我們以協(xié)調(diào)、勻稱的美感，世界各國許多著名的建筑，為取得最佳的視覺效果，都采用了黃金矩形的設(shè)計．已知四邊形是黃金矩形，邊的長度為，則該矩形的周長為______．如圖，在正方形網(wǎng)格中有三個三角形，分別是，，，其中與相似的是______．
 設(shè)，是關(guān)于的方程的兩個根，且，則 ______ ．如圖，在中，，，點(diǎn)，分別在，上，，，交于點(diǎn)，則面積的最大值是______．
  三、解答題（本大題共7小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）完成下列各題：
計算：
．
．
解方程：
．
．如圖，一個矩形的長，寬，按照圖中所示的方式將它分割成相同的三個矩形，且每個小矩形與原矩形相似，求的值．
如圖，正方形的對角線相交于點(diǎn)，正方形與正方形的邊長相等，在正方形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的過程中，兩個正方形重疊部分的面積與正方形的面積有什么關(guān)系？請證明你的結(jié)論．
一名跳水運(yùn)動員進(jìn)行跳臺跳水訓(xùn)練，在正常情況下，運(yùn)動員必須在距水面以前完成規(guī)定的動作，并且調(diào)整好入水姿勢，否則就容易出現(xiàn)失誤，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，運(yùn)動員起跳后的時間與運(yùn)動員距離水面的高度滿足關(guān)系式：，那么運(yùn)動員最多有多長時間完成規(guī)定動作？已知關(guān)于的一元二次方程．
判斷該方程根的情況，并說明理由；
若方程的兩個實(shí)數(shù)根之和等于兩根之積，求的值．如圖，將矩形沿折疊，使點(diǎn)落在邊的點(diǎn)處，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接．
求證：四邊形是菱形；
試證明．
定義：如圖，若點(diǎn)在的邊上，且滿足，則稱點(diǎn)為的“理想點(diǎn)”．
如圖，若點(diǎn)是的邊的中點(diǎn)，，，試判斷點(diǎn)是不是的“理想點(diǎn)”，并說明理由．
如圖，在中，，，，若點(diǎn)是的“理想點(diǎn)”，求的長．
 

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：，
，故A符合題意；
，故B不符合題意；
，故C不符合題意；
，故D不符合題意．
故選：．
化簡，再逐個選項(xiàng)判斷即可．
本題考查了二次根式的運(yùn)算性質(zhì)，熟悉二次根式的運(yùn)算性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
 2.【答案】 【解析】解：菱形的四條邊相等，正確，不符合題意，
B.菱形的對角線互相垂直且平分，對角線不一定相等，不正確，符合題意，
C.菱形的對角線互相垂直且平分，正確，不符合題意，
D.菱形是軸對稱圖形，正確，不符合題意，
故選：．
 3.【答案】 【解析】解：，，
，
是的中點(diǎn)，，
，
為等邊三角形，
，
，
故選：．
利用三角形的內(nèi)角和定理可得，由直角三角形斜邊的中線性質(zhì)定理可得，利用等邊三角形的性質(zhì)可得結(jié)果．
本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握定理是解答此題的關(guān)鍵．
 4.【答案】 【解析】解：，






，
故選：．
根據(jù)完全平方公式得出，再代入求出答案即可．
本題考查了二次根式的化簡求值和完全平方公式，能正確根據(jù)二次根式的運(yùn)算法則進(jìn)行計算是解此題的關(guān)鍵．
 5.【答案】 【解析】解：、，四條線段不能成比例線段；
B、，四條線段不能成比例線段；
C、，四條線段能成比例線段；
D、，四條線段不能成比例線段．
故選：．
根據(jù)比例線段的定義即如果其中兩條線段的乘積等于另外兩條線段的乘積，則四條線段叫成比例線段，對選項(xiàng)一一分析，即可得出答案．
此題考查了比例線段，根據(jù)成比例線段的概念，注意在相乘的時候，最小的和最大的相乘，另外兩個相乘，看它們的積是否相等．同時注意單位要統(tǒng)一．
 6.【答案】 【解析】【分析】
此題考查了解一元二次方程配方法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．
方程利用配方法求出解即可．
【解答】
解：一元二次方程，
移項(xiàng)得：，
配方得：，即，
開方得：，
解得：，．
故選：．  7.【答案】 【解析】解：設(shè)我國年至年快遞業(yè)務(wù)收入的年平均增長率為，
由題意得：，
故選：．
根據(jù)題意可得等量關(guān)系：年的快遞業(yè)務(wù)量增長率年的快遞業(yè)務(wù)量，根據(jù)等量關(guān)系列出方程即可．
此題主要考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，關(guān)鍵是掌握求平均變化率的方法，若設(shè)變化前的量為，變化后的量為，平均變化率為，則經(jīng)過兩次變化后的數(shù)量關(guān)系為．
 8.【答案】 【解析】【分析】
本題考查了根的判別式：一元二次方程的根與有如下關(guān)系：當(dāng)時，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時，方程無實(shí)數(shù)根．也考查了一次函數(shù)的性質(zhì)．
利用一次函數(shù)的性質(zhì)得到，再判斷，從而得到方程根的情況．
【解答】
解：直線不經(jīng)過第二象限，
，
當(dāng)時，關(guān)于的方程是一元一次方程，解為，
當(dāng)時，關(guān)于的方程是一元二次方程，
，
方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根．
故選D．  9.【答案】 【解析】解：由圖可得，
，
，
，
故選：．
根據(jù)勾股定理可以得到的長，然后由圖可知，然后代入數(shù)據(jù)計算即可．
本題考查勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是求出的長，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
 10.【答案】 【解析】解：連接、、，
圖的三個頂點(diǎn)分別在、、上，
以為位似中心且與位似的圖形序號是，
故選：．
連接、、，根據(jù)位似圖形的對應(yīng)點(diǎn)的連線都經(jīng)過同一點(diǎn)判斷即可．
本題考查的是位似圖形的概念，掌握位似圖形的對應(yīng)點(diǎn)的連線都經(jīng)過同一點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
 11.【答案】 【解析】【分析】
本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，中點(diǎn)的定義表示出是解題的關(guān)鍵．
先設(shè)出，進(jìn)而得出，再用平行四邊形的性質(zhì)得出，進(jìn)而求出，最后用相似三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．
【解答】
解：設(shè)，
：：，
，
四邊形是平行四邊形，
，，
點(diǎn)是的中點(diǎn)，
，
，
∽，
，
故選：．  12.【答案】 【解析】解：方程的兩根分別為，，
，，，
，
，
，
，

．
故選：．
由題意得出，，，將代數(shù)式變形后再代入求解即可．
本題考查了根的定義及根與系數(shù)的關(guān)系：若，是一元二次方程的兩根時，，，熟練掌握代數(shù)式的求值技巧是解題的關(guān)鍵．
 13.【答案】， 【解析】【分析】
此題考查了直接開平方法解一元二次方程．
根據(jù)直接開平方法的步驟先把方程兩邊分別開方，再進(jìn)行計算即可．
【解答】
解：，
，
，．
故答案為，．  14.【答案】 【解析】解：原式，
故答案為：．
根據(jù)二次根式的性質(zhì)和化簡的方法進(jìn)行計算即可．
本題考查二次根式的化簡，掌握二次根式的性質(zhì)以及化簡方法是正確解答的前提．
 15.【答案】 【解析】解：延長到，使，
四邊形是正方形，
，，
，
在與中，
，
≌，
，，
，，
，
在與中，
，
≌，
，
，
，
，
故答案為：．
延長到，使，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到，，求得，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，，求得，推出≌，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．
 16.【答案】 【解析】解：把代入方程有：
，
即，
，
解得或，
，
，
．
故答案為：．
把代入方程，解關(guān)于的方程，求出的值，因?yàn)?/span>不為，所以要舍去．
本題考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程，可以求出字母系數(shù)的值，因?yàn)橐辉畏匠痰亩雾?xiàng)系數(shù)不為，所以把舍去．
 17.【答案】或 【解析】解：分兩種情況：
邊為矩形的長時，則矩形的寬為，
矩形的周長為：；
邊為矩形的寬時，則矩形的長為：，
矩形的周長為；
綜上所述，該矩形的周長為或．
分兩種情況：邊為矩形的長時，則矩形的寬為，求出矩形的周長即可；
邊為矩形的寬時，則矩形的長為，求出矩形的周長即可．
本題考查了黃金分割，熟記黃金分割的比值是解題的關(guān)鍵．
 18.【答案】 【解析】解：的三邊之比是：：：：，
的三邊之比是：：：：，
的三邊之比是：：：：；
的三邊之比是：：：：：：．
與相似，
故答案為：．
分別求出三個三角形的三邊的比，所求三邊之比等于的三邊之比就是與相似的三角形．
本題主要考查相似三角形的判定，從“三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似”的角度考慮．
 19.【答案】 【解析】解：根據(jù)題意，知，則，
將其代入關(guān)于的方程，得．
解得．
故答案是：．
根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求得，將其代入已知方程，列出關(guān)于的方程，解方程即可．
此題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系，將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．
 20.【答案】 【解析】解：連接，過點(diǎn)作于，如圖所示：
，，
，
，
∽，∽，
，
，
，
，
，
，
，
一定，當(dāng)最大時，的面積最大，
，
時，最大，
即當(dāng)時，的面積最大，最大值，
的面積的最大值，
故答案為：．
連接首先證明，推出，推出，可得，求出面積的最大值即可解決問題．
本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)以及三角形面積等知識，解題的關(guān)鍵是證明，推出，屬于中考?？碱}型．
 21.【答案】解：原式

；
原式
；
分解因式得：，
所以或，
解得：，；
方程整理得：，
分解因式得：，
所以或，
解得：，． 【解析】原式利用二次根式乘除法則計算，合并即可得到結(jié)果；
原式利用分母有理化，平方差公式化簡，合并即可得到結(jié)果；
方程利用因式分解法求出解即可；
方程整理后，利用因式分解法求出解即可．
此題考查了解一元二次方程因式分解法，以及二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握因式分解法及運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．
 22.【答案】解：每個小矩形與原矩形相似，
，
解得或舍去，
． 【解析】由裁出的每面彩旗的寬與長的比與原綢布的寬與長的比相同，構(gòu)建方程求解即可．
此題考查了相似多邊形的性質(zhì)．注意相似多邊形的對應(yīng)邊成比例．
 23.【答案】解：重疊部分面積不變，總是等于正方形面積的．
理由如下：

四邊形和四邊形都是正方形，
，，，
．
在與中，
，
≌，
四邊形的面積等于三角形的面積，
即重疊部分面積不變，總是等于正方形面積的． 【解析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得出，，，推出，證出≌．
本題主要考查對正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識點(diǎn)的理解和掌握，能推出四邊形的面積等于三角形的面積是解此題的關(guān)鍵．
 24.【答案】解：依題意：，
整理，得，即．
解得，舍去，
所以運(yùn)動員最多有約的時間完成規(guī)定動作．
點(diǎn)撥：把代入與的關(guān)系式，求出的值即可． 【解析】運(yùn)動員必須在起跳做完動作后剛好距離水面等于或大于，所以滿足的關(guān)系，首先求出時的時間的值，即運(yùn)動員用的最多的時間．
本題關(guān)鍵在于理解距離水面的高度與起跳做完動作的關(guān)系，列出方程，舍去不合題意的值即可．
 25.【答案】解：

，
方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；
設(shè)方程的兩根為，，則有，，
方程的兩個實(shí)數(shù)根之和等于兩根之積，
，
解得：． 【解析】表示出根的判別式，判斷正負(fù)即可得到結(jié)果；
利用根與系數(shù)的關(guān)系表示出兩根之和與兩根之積，令其值相等求出的值即可．
此題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，以及根的判別式，熟練掌握各自的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．
 26.【答案】證明：，
．
由翻折的性質(zhì)可知：，，，
．
．
．
四邊形為菱形．

解：如圖所示：連接，交于點(diǎn)．
四邊形為菱形，
，．
，，
∽．
，即．
，，
． 【解析】先依據(jù)翻折的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)證明，從而得到，接下來依據(jù)翻折的性質(zhì)可證明；
連接，交于點(diǎn)由菱形的性質(zhì)可知，，接下來，證明∽，由相似三角形的性質(zhì)可證明，于是可得到、、的數(shù)量關(guān)系．
本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及菱形的判定等知識，解答本題主要應(yīng)用了菱形的判定和性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)和判定，利用相似三角形的性質(zhì)得到是解題答問題的關(guān)鍵．
 27.【答案】解：點(diǎn)是的“理想點(diǎn)”，理由如下：
是中點(diǎn)，，
，，
，
，
，
，
，
∽，
，
點(diǎn)是的“理想點(diǎn)”；
在上時，如圖：

是的“理想點(diǎn)”，
或，
當(dāng)時，
，
，
，即是邊上的高，
當(dāng)時，同理可證，即是邊上的高，
在中，，，，
，
，
，
，，
有，
“理想點(diǎn)”不可能在邊上，
在邊上時，如圖：

是的“理想點(diǎn)”，
，
又，
∽，
，即，
，
綜上所述，點(diǎn)是的“理想點(diǎn)”，的長為或． 【解析】由已知可得，從而∽，，可證點(diǎn)是的“理想點(diǎn)”；
由是的“理想點(diǎn)”，分三種情況：當(dāng)在上時，是邊上的高，根據(jù)面積法可求長度；當(dāng)在上時，∽，對應(yīng)邊成比例即可求長度；不可能在上．
本題考查相似三角形、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是理解“理想點(diǎn)”的定義．
 

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