2021-2022學(xué)年遼寧省朝陽(yáng)市建平縣八年級(jí)（下）期末數(shù)學(xué)試卷 題號(hào)一二三總分得分      一、選擇題（本大題共10小題，共30分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）若，則下列式子中正確的是(    )A.  B.  C.  D. 剪紙藝術(shù)是中華民族的瑰寶，下面四幅剪紙作品中，是中心對(duì)稱圖形的為(    )A.  B.  C.  D. 如果把分式中的和都擴(kuò)大倍，那么分式的值(    )A. 擴(kuò)大倍 B. 縮小倍 C. 不變 D. 擴(kuò)大倍一個(gè)多邊形的每個(gè)外角是，則該多邊形邊數(shù)是(    )A.  B.  C.  D. 在下列各式中，一定能用平方差公式因式分解的是(    )A.  B.  C.  D. 不等式組的解集在數(shù)軸上表示為(    )A.  B.
C.  D. 如圖，將繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到點(diǎn)落在外，若，，則最小旋轉(zhuǎn)角度是(    )
A.  B.  C.  D. 下列命題是假命題的是(    )A. 等腰三角形底邊上的中線垂直于底邊
B. 等腰三角形的一邊長(zhǎng)為，另一邊長(zhǎng)為，則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為
C. 若代數(shù)式有意義，則的取值范圍是
D. 兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形如圖，在平行四邊形中，，，以點(diǎn)為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)度為半徑作弧，分別交，于點(diǎn)，，再分別以，為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)，作射線交于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則的長(zhǎng)度為(    )A.  B.  C.  D. 如圖中，，，點(diǎn)是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，若，，則的長(zhǎng)是(    )A.
B.
C.
D.  二、填空題（本大題共6小題，共18分）約分： ______ ．若，，則 ______ ．如圖，在平行四邊形中，，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，則的長(zhǎng)為______．
 如圖，函數(shù)和的圖象交于點(diǎn)，則不等式的解集是______．
如圖，在平行四邊形中，，、相交于點(diǎn)過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，若平行四邊形的周長(zhǎng)為，則的周長(zhǎng)為______．如圖，，，若，則線段長(zhǎng)為______ ．
   三、解答題（本大題共9小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）因式分解：
；
．解不等式組，并寫出不等式組的非負(fù)整數(shù)解．在疫情期間，學(xué)校購(gòu)買甲、乙兩種消毒液，已知購(gòu)買桶甲種消毒液和桶乙種消毒液共需元，購(gòu)買桶乙種消毒液比購(gòu)買桶甲種消毒液少用元．
求購(gòu)買甲、乙兩種消毒液每桶各需多少元？
若要購(gòu)買甲、乙兩種消毒液共桶，且總費(fèi)用不超過(guò)元，求至多可購(gòu)進(jìn)甲種消毒液多少桶？先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．如圖，四邊形中，，相交于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，．
求證：四邊形是平行四邊形；
若，且，求的長(zhǎng)．
如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，．
將沿軸方向向左平移個(gè)單位，畫出平移后得到的點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為；
將繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，畫出旋轉(zhuǎn)后得到的點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，此時(shí)四邊形的形狀是______ ；
在平面內(nèi)有一點(diǎn)，使得以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則符合條件的所有點(diǎn)的坐標(biāo)是______ ．
定義有一組對(duì)角是直角的四邊形是垂美四邊形．
理解如圖，將一對(duì)相同的直角三角尺按如圖所示的方式拼成四邊形，每個(gè)三角尺三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)都是、和四邊形是______四邊形，______度；
探究如圖，四邊形是垂美四邊形．，是邊延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，求和的度數(shù)．
應(yīng)用如圖，四邊形是垂美四邊形，，和分別是和的平分線，交、于點(diǎn)、試說(shuō)明．
 
深圳某學(xué)校為做好課后延時(shí)服務(wù)工作，購(gòu)買了一批數(shù)量相等的象棋和圍棋供參加這些社團(tuán)的學(xué)生使用，其中購(gòu)買象棋用了元，購(gòu)買圍棋用了元，已知每副圍棋比每副象棋貴元．
求每副圍棋和象棋分別是多少元？
自課后延時(shí)服務(wù)后，該校發(fā)現(xiàn)想?yún)⒓酉笃搴蛧迳鐖F(tuán)的人越來(lái)越多，決定再次購(gòu)買同種圍棋和象棋共副，其中購(gòu)買象棋的數(shù)量不超過(guò)圍棋的數(shù)量的倍，該校再次購(gòu)買象棋和圍棋各多少副，才能使總費(fèi)用最小？最小費(fèi)用是多少元？如圖，和都是等腰直角三角形，．
猜想：如圖，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，線段與的數(shù)量關(guān)系是______ ，位置關(guān)系是______ ；
探究：把繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到如圖的位置，連接，，中的結(jié)論還成立嗎？說(shuō)明理由；
拓展：把繞點(diǎn)在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若，，當(dāng)，，三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，則的長(zhǎng)是______ ．
 

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：、在不等式的兩邊同時(shí)減去，不等號(hào)的方向不變，即，原變形正確，故此選項(xiàng)符合題意．
B、在不等式的兩邊同時(shí)加上，不等號(hào)的方向不變，即，原變形錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意．
C、在不等式的兩邊同時(shí)乘以，不等號(hào)的方向改變，即，原變形錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意．
D、在不等式的兩邊同時(shí)除以，不等號(hào)的方向不變，即，原變形錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意．
故選：．
根據(jù)不等式的性質(zhì)解答．
本題考查了不等式的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是掌握不等式的性質(zhì)：不等式的兩邊同時(shí)加上或減去同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)含有字母的式子，不等號(hào)的方向不變；不等式的兩邊同時(shí)乘以或除以同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變；不等式的兩邊同時(shí)乘以或除以同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變．
 2.【答案】 【解析】解：不是軸對(duì)稱圖形，也不是中心對(duì)稱圖形．故本選項(xiàng)不合題意；
B.是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意；
C.不是軸對(duì)稱圖形，也不是中心對(duì)稱圖形．故本選項(xiàng)不合題意；
D.是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形．故本選項(xiàng)不合題意．
故選：．
根據(jù)中心對(duì)稱圖形的概念對(duì)各選項(xiàng)分析判斷即可得解．把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來(lái)的圖形重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對(duì)稱圖形．
本題考查了中心對(duì)稱圖形，中心對(duì)稱圖形是要尋找對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)度后與原圖重合．
 3.【答案】 【解析】解：根據(jù)題意，得

，即分式的值不變．
故選：．
先根據(jù)題意得出算式，再根據(jù)分式的基本性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)即可．
本題考查了分式的基本型性質(zhì)，能熟記分式的基本性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．
 4.【答案】 【解析】解：．
故這個(gè)多邊形是六邊形．
故選：．
根據(jù)多邊形的邊數(shù)等于除以每一個(gè)外角的度數(shù)列式計(jì)算即可得解．
本題考查了多邊形的內(nèi)角與外角，熟練掌握多邊形的外角和、多邊形的每一個(gè)外角的度數(shù)、多邊形的邊數(shù)三者之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
 5.【答案】 【解析】解，無(wú)法分解因式，故此選項(xiàng)不合題意；
B.，能用平方差公式分解，故此選項(xiàng)符合題意；
C.，無(wú)法分解因式，故此選項(xiàng)不合題意；
D.，無(wú)法分解因式，故此選項(xiàng)不合題意．
故選：．
直接利用平方差公式：，進(jìn)而分解因式判斷即可．
此題主要考查了公式法分解因式，正確應(yīng)用乘法公式是解題關(guān)鍵．
 6.【答案】 【解析】解：不等式組的解集是，
在數(shù)軸上表示為：
，
故選：．
先求出不等式組的解集，再根據(jù)“大于向右，小于向左，包括端點(diǎn)用實(shí)心，不包括端點(diǎn)用空心”的原則在數(shù)軸上表示出不等式組的解集，最后得出選項(xiàng)即可．
本題考查了解一元一次不等式組和在數(shù)軸上表示不等式的解集，注意：不等式的解集在數(shù)軸上表示出來(lái)向右畫；，向左畫，數(shù)軸上的點(diǎn)把數(shù)軸分成若干段，在表示解集時(shí)“”，“”要用實(shí)心圓點(diǎn)表示；“”，“”要用空心圓點(diǎn)表示．
 7.【答案】 【解析】解：，，
，
將繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，
旋轉(zhuǎn)角為．
故選：．
直接利用已知得出的度數(shù)，再利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)邊之間夾角，得出答案即可．
此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正確得出的度數(shù)是解題關(guān)鍵．
 8.【答案】 【解析】解：、等腰三角形底邊上的中線垂直于底邊，是真命題，故不符合題意；
B、等腰三角形的一邊長(zhǎng)為，另一邊長(zhǎng)為，則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為，是假命題，故符合題意；
C、若代數(shù)式有意義，則的取值范圍是，是真命題，故不符合題意；
D、兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形，是真命題，故不符合題意；
故選：．
根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，分式有意義的條件，平行四邊形的判定定理判斷即可．
本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，分式有意義的條件，平行四邊形的判定定理，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 9.【答案】 【解析】解：由作法可知，平分，則，
四邊形是平行四邊形，
，，
，
，
，
．
故選：．
利用基本作圖得到，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得，，接著證明得到，然后計(jì)算即可．
本題考查了作圖基本作圖：熟練掌握基本作圖作已知角的角平分線也考查了平行四邊形的性質(zhì)．
 10.【答案】 【解析】解：延長(zhǎng)交于，

點(diǎn)是的中點(diǎn)，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
在中，由勾股定理得，
，
，
故選：．
延長(zhǎng)交于，利用證明≌，得，，在中，利用勾股定理求得的長(zhǎng)，即可得出答案．
本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，證明≌是解題的關(guān)鍵．
 11.【答案】 【解析】解：原式
．
故答案為：．
分子分母約去公因式即可．
本題考查了約分：約去分式的分子與分母的公因式，不改變分式的值，這樣的分式變形叫做分式的約分．
 12.【答案】 【解析】解：，，
．
故答案為：．
此題只需先對(duì)進(jìn)行因式分解得，再將和的值代入即可得到結(jié)果．
本題考查了因式分解的應(yīng)用，關(guān)鍵是提取公因式，比較簡(jiǎn)單．
 13.【答案】 【解析】解：四邊形是平行四邊形，
，
點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，
，
故答案為：．
根據(jù)三角形中位線定理得．
本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形中位線定理等知識(shí)，熟練掌握三角形中位線定理是解題的關(guān)鍵．
 14.【答案】 【解析】解：觀察圖象得：當(dāng)時(shí)，，
即不等式的解集為．
故答案為：．
觀察圖象，寫出直線在直線的下方所對(duì)應(yīng)的自變量的范圍即可．
本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式：一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系從函數(shù)的角度看，就是尋求使一次函數(shù)的值大于或小于的自變量的取值范圍；從函數(shù)圖象的角度看，就是確定直線在軸上或下方部分所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)所構(gòu)成的集合．
 15.【答案】 【解析】解：四邊形是平行四邊形，
、互相平分，
是的中點(diǎn)，
又，
為線段的中垂線，
，
又的周長(zhǎng)，
的周長(zhǎng)，
又? 的周長(zhǎng)為，
，
的周長(zhǎng)，
故答案為：．
先證為線段的中垂線，得出，求出的周長(zhǎng)，再由? 的周長(zhǎng)為，得出，即可得出答案．
本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、中垂線性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 16.【答案】 【解析】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于，

，，，
，，
，，
，
，
在和中，
，
≌
，
，
，
．
故答案為．
過(guò)點(diǎn)作于，由等腰三角形的性質(zhì)可得，，由直角三角形的性質(zhì)可證，由“”可證≌，可得，即可求解．
本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．
 17.【答案】解：原式；

原式． 【解析】直接提取公因式，進(jìn)而利用公式法分解因式即可；
直接提取公因式，進(jìn)而利用公式法分解因式即可．
此題主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正確運(yùn)用乘法公式分解因式是解題關(guān)鍵．
 18.【答案】解：解不等式，得：，
解不等式，得，
則不等式組的解集為，
不等式組的非負(fù)整數(shù)解為、． 【解析】分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．
本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個(gè)不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．
 19.【答案】解：設(shè)購(gòu)買甲種消毒液每桶需要元，購(gòu)買乙種消毒液每桶需要元，
由題意可得：，
解得，
答：購(gòu)買甲種消毒液每桶需要元，購(gòu)買乙種消毒液每桶需要元；
設(shè)購(gòu)進(jìn)甲種消毒液桶，則購(gòu)進(jìn)乙種消毒液桶，
由題意可得：，
解得，
的最大值為，
答：至多可購(gòu)進(jìn)甲種消毒液桶． 【解析】根據(jù)購(gòu)買桶甲種消毒液和桶乙種消毒液共需元，購(gòu)買桶乙種消毒液比購(gòu)買桶甲種消毒液少用元，可以列出相應(yīng)的方程組，然后求解即可；
根據(jù)中的結(jié)果和題目中的數(shù)據(jù)，可以列出相應(yīng)的不等式，然后求解即可．
本題考查一元一次不等式的應(yīng)用、二元一次方程組的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出不等關(guān)系，列出相應(yīng)的不等式，找出等量關(guān)系，列出相應(yīng)的方程組．
 20.【答案】解：原式
，
當(dāng)時(shí)，原式． 【解析】先把括號(hào)內(nèi)通分，再把除法運(yùn)算化為乘法運(yùn)算，接著約分得到原式，然后把的值代入計(jì)算即可．
本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值：先把分式化簡(jiǎn)后，再把分式中未知數(shù)對(duì)應(yīng)的值代入求出分式的值．
 21.【答案】證明：是的中點(diǎn)，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
四邊形是平行四邊形．
四邊形是平行四邊形，
，，
，
，
． 【解析】由已知條件易證≌，由此可得，進(jìn)而可證明四邊形是平行四邊形；
根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出，利用勾股定理即可解決問(wèn)題．
本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是證明四邊形是平行四邊形，屬于中考?？碱}型．
 22.【答案】如圖，，即為所求．

平行四邊形；
或或． 【解析】解：見答案．
如圖，，即為所求．四邊形的形狀是平行四邊形．

的坐標(biāo)是或或．
故答案為：或或．
根據(jù)平移變換的性質(zhì)分別作出，，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，，即可．
根據(jù)中心對(duì)稱的性質(zhì)分別作出，，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，，即可．
有三種情形，畫出平行四邊形，可得結(jié)論．
本題考查作圖旋轉(zhuǎn)變換，平移變換，平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握平移變換，旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，正確作出圖形，屬于中考?？碱}型．
 23.【答案】垂美   【解析】解：理解如圖中，，
四邊形是垂美四邊形，

故答案為垂美，；

探究如圖中，四邊形是垂美四邊形，
，
，且，
，
，
，

應(yīng)用如圖中，由探究可知，，
和分別是和的平分線，
，，
，
，
，
，
．
理解根據(jù)垂美四邊形的定義即可解決問(wèn)題；
探究根據(jù)垂美四邊形的定義，四邊形內(nèi)角和定理即可解決問(wèn)題；
應(yīng)用利用等角的余角相等，證明即可解決問(wèn)題；
本題考查四邊形綜合題、四邊形內(nèi)角和定理、垂美四邊形的定義，角平分線的定義，平行線的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．
 24.【答案】解：設(shè)每副圍棋元，則每副象棋元，
根據(jù)題意，得，
解得．
經(jīng)檢驗(yàn)是所列方程的根，并符合題意．
所以．
答：每副圍棋元，則每副象棋元；

設(shè)購(gòu)買圍棋副，則購(gòu)買象棋副，
根據(jù)題意，得．
解得．
故最小值是．
因?yàn)槊扛眹宓膯蝺r(jià)高于每副象棋的單價(jià)，
所以當(dāng)該校再次購(gòu)買象棋副，圍棋副，才能使總費(fèi)用最小，最小費(fèi)用是：元． 【解析】設(shè)每副圍棋元，則每副象棋元，根據(jù)元購(gòu)買象棋數(shù)量元購(gòu)買圍棋數(shù)量列出方程并解答；
設(shè)購(gòu)買圍棋副，則購(gòu)買象棋副，根據(jù)題意列出不等式并解答．
本題考查了分式方程的應(yīng)用和一元一次不等式的應(yīng)用，分析題意，找到關(guān)鍵描述語(yǔ)，找到合適的數(shù)量關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
 25.【答案】解：  ；
中結(jié)論仍然成立，理由：
由旋轉(zhuǎn)知，，
，，
在與中

≌，
，，
如圖，與的交點(diǎn)記作點(diǎn)，與的交點(diǎn)記作點(diǎn)，
，
，
，
，
，
，
；
或． 【解析】解：和都是等腰直角三角形，，
，，
，
，
點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，且，
，
故答案為，；

見答案．

當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，如圖，
過(guò)點(diǎn)作于，
是等腰直角三角形，且，
，
在中，，
根據(jù)勾股定理得，，
；
當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖，
過(guò)點(diǎn)作于，
是等腰直角三角形，且，
，
在中，，
根據(jù)勾股定理得，，
；
綜上，的長(zhǎng)為或，
故答案為或．
利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出，，在做差，得出，再用，即可得出結(jié)論；
先由旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)得出，進(jìn)而判斷出≌，得出，，與的交點(diǎn)記作點(diǎn)，與的交點(diǎn)記作點(diǎn)，進(jìn)而得出，即可得出結(jié)論；
分兩種情況，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，過(guò)點(diǎn)作于，求出，再用勾股定理求出，即可得出結(jié)論；
當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，過(guò)點(diǎn)作于，求出，再由勾股定理求出根據(jù)勾股定理得，，即可得出結(jié)論．
此題是幾何變換綜合題，主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，作出輔助線構(gòu)造出直角三角形是解本題的關(guān)鍵．
 

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