2021-2022學(xué)年陜西省榆林市靖邊縣八年級（下）期末數(shù)學(xué)試卷 題號一二三總分得分      一、選擇題（本大題共8小題，共24分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）下面四個圖形體現(xiàn)了中華民族的傳統(tǒng)文化．其中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是(    )A.  B.  C.  D. 要使分式的值為，則(    )A.  B.  C. 或 D. 把不等式組的解集表示在數(shù)軸上，下列選項正確的是(    )A.  B.
C.  D. 如圖，以點為中心，把逆時針旋轉(zhuǎn)，得到點、的對應(yīng)點分別為點、，連接，若，則的度數(shù)為(    )
A.  B.  C.  D. 下列結(jié)論中，正確的是(    )A. 若，，則 B. 若，則，
C. 若，，則 D. 若，則代數(shù)式，，中的公因式是(    )A.  B.
C.  D. 如圖，中，，，，點、、分別是、、的中點，則四邊形的周長是(    )A.
B.
C.
D. 如圖，四邊形是平行四邊形，點是邊上一點，且，交于點，是延長線上一點，則下列結(jié)論：
平分；
平分；
；
．
其中正確結(jié)論的有(    )
 A.  B.  C.  D.  二、填空題（本大題共5小題，共15分）分解因式：______．若一個多邊形的內(nèi)角和比外角和大，則這個多邊形的邊數(shù)為______．如圖，在中，點是邊，垂直平分線的交點，連接，若，則的度數(shù)為______．
 如圖，已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則關(guān)于的不等式的解集為______．
如圖，平行四邊形中，，，是邊上且，是邊上的一個動點，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，連接、，則的最小值______．
  三、解答題（本大題共13小題，共81分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）分解因式：．解不等式，并寫出它的所有非負整數(shù)解．化簡：如圖，已知四邊形是平行四邊形，請用尺規(guī)作圖法，在上求作一點，使得保留作圖痕跡，不寫作法
如圖，在?中，，，垂足分別為、，求證：．
學(xué)校為打造書香校園，計劃購進甲、乙兩種規(guī)格的書柜放置新購進的圖書，甲種書柜每個的價格是元，乙種書柜每個的價格是元．若我校計劃購進這兩種規(guī)格的書柜共個，其中乙種書柜的數(shù)量不少于甲種書柜的數(shù)量，學(xué)校至多能夠提供資金元，最少購買幾個甲種書柜？小紅從批發(fā)市場購進、兩種材料用于手工制作，進行“愛心義賣”若每個種材料的進價比每個種材料的進價少元，且用元購進種材料的數(shù)量與用元購進種材料的數(shù)量相等．求，兩種材料單個的進價．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，三個頂點的坐標(biāo)分別為，，
將經(jīng)過平移得到，若點的對應(yīng)點的坐標(biāo)為，畫出，直接寫出，的坐標(biāo)______，______，______，______；
畫出與關(guān)于原點成中心對稱的；
若與是中心對稱圖形．則對稱中心的坐標(biāo)為______，______
如圖，在中，是邊上的中線，，，交的延長線于點，，．
求的長；
求證：垂直平分．
近年來，電商平臺直播帶貨成了火熱的一個新興職業(yè)．“大促”期間，某直播銷售員銷售一種童裝，這種童裝的進價為每套元，若按原標(biāo)價銷售，則每周銷售額為元；若按原標(biāo)價的八五折銷售，則每周多賣出套，且銷售額還增加元．
求每套童裝的原標(biāo)價為多少元；
若按原標(biāo)價的九折銷售，該直播銷售員想要每周獲利不低于元，求該直播銷售員每周至少需賣出這種童裝多少套？如圖，在?中，是的中點，延長到點，使，連結(jié)，．
求證：四邊形是平行四邊形；
若，，，求的長．
“雙減”政策受到各地教育部門積極響應(yīng)，某校為加強學(xué)生體育鍛煉，決定購買羽毛球和羽毛球拍．甲、乙兩家體育用品商店出售相同的羽毛球和羽毛球拍，羽毛球每個定價元，羽毛球拍每副定價元．現(xiàn)兩家商店都搞促銷活動：甲店每買一副球拍贈個羽毛球；乙店按九折優(yōu)惠．某班級需購球拍副，羽毛球個．
若在甲店購買付款元，在乙店購買付款元，分別寫出、與的函數(shù)關(guān)系式；
請問該班在哪個商店購買更省錢？【問題提出】
如圖，點為線段外一動點，且，當(dāng)線段的長取得最大值時，的長度為
______；用含，的式子表示
【問題探究】
如圖，點為線段外一動點，且，，分別以，為邊作等邊三角形和等邊三角形，連接，．
請找出圖中與相等的線段，并說明理由；
求線段長的最大值；
【問題解決】
如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，點為線段外一動點，且，，，請求出線段長的最大值及此時點的坐標(biāo)．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故此選項不合題意；
B.是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；
C.既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，故此選項符合題意；
D.不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故此選項不合題意；
故選：．
根據(jù)中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念進行判斷即可．
本題考查的是中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)度后與自身重合．
 2.【答案】 【解析】解：由題意可得，
解得：，
故選：．
根據(jù)分式值為零的條件列式求解．
本題考查分式值為零的條件，理解分式值為零的條件分子為零，且分母不等于零是解題關(guān)鍵．
 3.【答案】 【解析】解：由解得，
由解得，
不等式的解集是，
在數(shù)軸上表示如圖，
故選：．
先求出不等式組中每一個不等式的解集，再求出它們的公共部分，然后把不等式的解集表示在數(shù)軸上即可．
本題考查了在數(shù)軸上表示不等式的解集，把每個不等式的解集在數(shù)軸上表示出來向右畫；，向左畫，數(shù)軸上的點把數(shù)軸分成若干段，如果數(shù)軸的某一段上面表示解集的線的條數(shù)與不等式的個數(shù)一樣，那么這段就是不等式組的解集．有幾個就要幾個．在表示解集時“”，“”要用實心圓點表示；“”，“”要用空心圓點表示．
 4.【答案】 【解析】解：逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，
，，
，
，
，
，
故選：．
由逆時針旋轉(zhuǎn)，得到，可得，，即得，而，得，從而．
本題考查三角形中的旋轉(zhuǎn)變換，涉及平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．
 5.【答案】 【解析】解：選項，當(dāng)時不成立，故該選項不符合題意；
選項，也可能是，，故該選項不符合題意；
選項，若，，則，故該選項符合題意；
選項，當(dāng)時不成立，故該選項不符合題意；
故選：．
根據(jù)不等式的基本性質(zhì)判斷，選項；根據(jù)有理數(shù)的乘法法則判斷，選項．
本題考查了不等式的性質(zhì)，掌握不等式的兩邊同時乘或除以同一個負數(shù)，不等號的方向改變是解題的關(guān)鍵．
 6.【答案】 【解析】解：代數(shù)式，，中的公因式是．
故選：．
根據(jù)公因式的概念解答即可．
此題考查的是公因式，多項式中，各項都含有一個公共的因式，因式叫做這個多項式各項的公因式．
 7.【答案】 【解析】解：點、、分別是、、的中點，
，，，，
四邊形的周長，
故選：．
根據(jù)三角形中位線定理、線段中點的性質(zhì)得到，，，，根據(jù)四邊形的周長公式計算，得到答案．
本題考查的是三角形中位線定理，掌握三角形中位線等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．
 8.【答案】 【解析】解：證明：，
，
四邊形是平行四邊形，
，
，
，
平分，正確；
，，
，
平分，正確；
，
，
，
，
，
正確；
，，
點一定在的垂直平分線上，即垂直平分，
，故正確．
故選：．
分別利用平行線的性質(zhì)結(jié)合線段垂直平分線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)分別判斷得出答案．
此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識，正確應(yīng)用等腰三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
 9.【答案】 【解析】解：，
，
．
先提公因式，再利用平方差公式繼續(xù)分解因式．平方差公式：．
本題考查了提公因式法，公式法分解因式，關(guān)鍵在于提取公因式后需要進行二次分解因式．
 10.【答案】五 【解析】解：設(shè)多邊形的邊數(shù)是，
根據(jù)題意得，，
解得，
故答案為：五．
根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式，外角和等于列出方程求解即可．
本題考查了多邊形的內(nèi)角和公式與外角和定理，注意利用多邊形的外角和與邊數(shù)無關(guān)，任何多邊形的外角和都是是解題的關(guān)鍵．
 11.【答案】 【解析】解：連接，延長交于，
，
點是，的垂直平分線的交點，
，
，，
，
故答案為：．
連接，延長交于，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)證得，，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可求出．
本題主要考查了線段的垂直平分線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關(guān)鍵．
 12.【答案】 【解析】解：一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，
當(dāng)時，，
所以，關(guān)于的不等式的解集為，
故答案為：．
一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，根據(jù)函數(shù)的圖象即可寫出不等式的解集．
本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式．?dāng)?shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．
 13.【答案】 【解析】解：如圖，取的中點連接，，，作交的延長線于，

，
，，
點是的中點，
，
，
，
是等邊三角形，
，
，
，，
易證≌，
，
，
，
點的運動軌跡是射線，
，，
易證≌，
，
，
在中，，，，
，，
在中，，
，
的最小值為，
故答案為：．
如圖，取的中點連接，，，作交的延長線于利用全等三角形的性質(zhì)證明，點的運動軌跡是射線，由“”可證≌，可得，推出，求出即可解決問題．
本題考查旋轉(zhuǎn)變換，軌跡，菱形的性質(zhì)，解直角三角形，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．
 14.【答案】解：，
，
． 【解析】先提取公因式，再根據(jù)完全平方公式進行二次分解．完全平方公式：．
本題考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式進行二次分解，注意分解要徹底．
 15.【答案】解：去分母，得：，
移項，得：，
合并同類項，得：，
系數(shù)化為，得：，
該不等式的非負整數(shù)解為：，． 【解析】按照解不等式的基本步驟依次去分母、移項、合并同類項、系數(shù)化為可得不等式的解集，根據(jù)解集確定其非負整數(shù)解即可．
本題主要考查解不等式的基本能力，嚴格遵循解不等式的基本步驟是解題的關(guān)鍵和基本素質(zhì)．
 16.【答案】解：原式

． 【解析】根據(jù)分式的加減運算以及乘除運算即可求出答案．
本題考查分式的混合運算，解題的關(guān)鍵是熟練運用分式的加減運算以及乘除運算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型．
 17.【答案】解：如圖，點即為所求．
 【解析】作線段的垂直平分線交于點，連接，點即為所求．
本題考查作圖復(fù)雜作圖，線段的垂直平分線等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題．
 18.【答案】證明：四邊形是平行四邊形，
，，
，
，，
，
在和中，，
≌，
． 【解析】證出，，由證≌即可得到結(jié)論．
此題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定、全等三角形的判定．熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．
 19.【答案】解：設(shè)計劃購進甲種書柜個，則購進乙種書柜個，依題意得：
，
解得：，
即最少購買個甲種書柜． 【解析】設(shè)計劃購進甲種書柜個，則購進乙種書柜個，根據(jù)“購進乙種書柜的數(shù)量不少于甲種書柜的數(shù)量，學(xué)校至多能夠提供資金元”，即可得出關(guān)于的一元一次不等式組，解之即可得出的取值范圍，結(jié)合為正整數(shù)，即可得出答案．
本題考查了一元一次不等式組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式組．
 20.【答案】解：設(shè)每個種材料單個的進價為元，則每個種材料單個的進價為元，
由題意可得：，
解得：，
經(jīng)檢驗，是原方程的解，且符合題意，
則，
答：每個種材料單個的進價為元，每個種材料單個的進價為元． 【解析】設(shè)每個種材料單個的進價為元，則每個種材料單個的進價為元，由題意：用元購進種材料的數(shù)量與用元購進種材料的數(shù)量相等，列出分式方程，解方程即可．
本題考查了分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程．
 21.【答案】           【解析】解：如圖，即為所求．
點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為．
故答案為：；；；．
如圖，即為所求．

由圖可得，與的對稱中心為點．
故答案為：；．
由的坐標(biāo)可知，是向左平移個單位長度，向上平移個單位長度得到，即可得出答案．
根據(jù)中心對稱的性質(zhì)作圖即可．
由圖可得與的對稱中心為點．
本題考查作圖平移變換、中心對稱，熟練掌握平移和中心對稱的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
 22.【答案】解：是邊上的中線，
，
，
，
是的中位線，
，
的長為；
證明：，
，，
，
，
，
，
，
，
垂直平分． 【解析】根據(jù)三角形的中線定義可得，從而利用平行線分線段成比例可得，進而可得是的中位線，然后利用三角形的中位線定理，進行計算即可解答；
根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，從而結(jié)合已知可得，進而可得，然后利用等量代換可得，從而利用等腰三角形的性質(zhì)，即可解答．
本題考查了三角形的中位線定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形的角平分線，高和中線，熟練掌握三角形的中位線定理，以及等腰三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 23.【答案】解：設(shè)每套童裝的原標(biāo)價為元，
依題意得：，
解得：，
經(jīng)檢驗，是原方程的解，且符合題意．
答：每套童裝的原標(biāo)價為元．
設(shè)該直播銷售員每周銷售這種童裝套，
依題意得：，
解得：．
答：該直播銷售員每周至少需賣出這種童裝套． 【解析】設(shè)每套童裝的原標(biāo)價為元，利用數(shù)量總價單價，結(jié)合打折后比打折前每周多賣出套，即可得出關(guān)于的分式方程，解之經(jīng)檢驗后即可得出結(jié)論；
設(shè)該直播銷售員每周銷售這種童裝套，利用每周銷售這種童裝獲得的利潤每套的銷售利潤每周的銷售量，結(jié)合每周銷售這種童裝獲得的利潤不低于元，即可得出關(guān)于的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出結(jié)論．
本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程；根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式．
 24.【答案】證明：四邊形是平行四邊形，
，且，
是的中點，
．
又，
，
，
四邊形是平行四邊形；
解：如圖，過點作于點．
在?中，，，
．
，，
，，
在中，，
，
，
由可知，四邊形是平行四邊形，
，則，
在中，根據(jù)勾股定理得：． 【解析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，且，再證，然后根據(jù)平行四邊形的判定定理即可得到結(jié)論；
過點作于點解直角三角形得到，，再根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．
本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 25.【答案】解：由題意可得，
，
，
即，；
，
解得：，
時，在甲乙商店購買一樣合算，
，
解得，
時，在甲商店購買合算，
，
解得，
時，在乙商店購買合算；
綜上所述：時，在甲商店購買合算，時，在甲乙商店購買一樣合算，時，在乙商店購買合算． 【解析】根據(jù)題意，可以寫出、與的函數(shù)關(guān)系式；
根據(jù)得出的關(guān)系式，列方程、不等式，即可解得出答案．
此題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是理解兩家商店的優(yōu)惠條件，能用代數(shù)式表示甲店的費用和乙店的費用．
 26.【答案】 【解析】解：點為線段外一動點，且，，
當(dāng)點位于的延長線上時，線段的長取得最大值，且最大值為，
故答案為：；

，
理由：與是等邊三角形，
，，，
，
即，
在與中，
，
≌，
；

是等邊三角形，
，
線段長的最大值線段的最大值，
由知，當(dāng)線段的長取得最大值時，點在的延長線上，
最大值為；

如圖中，連接，
將繞著點順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，則是等腰直角三角形，
，，
的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，
，，
，
線段長的最大值線段長的最大值，
當(dāng)在線段的延長線時，線段取得最大值，其最大值，
，
的最大值為；
如圖，過作軸于，
是等腰直角三角形，
，
，
，的最大值為．
根據(jù)點位于的延長線上時，線段的長取得最大值，即可得到結(jié)論；
根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到，，，推出≌，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到；
由于線段長的最大值線段的最大值，根據(jù)中的結(jié)論即可得到結(jié)果；
連接，將繞著點順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，得到是等腰直角三角形，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，，根據(jù)當(dāng)在線段的延長線時，線段取得最大值，即可得到最大值為；過作軸于，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，最大值問題，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．
 

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