?陜西省榆林市榆陽區(qū)2021-2022學(xué)年八年級下學(xué)期期末質(zhì)量檢測
數(shù)學(xué)試題（含解析）
一、選擇題（共8小題，每小題3分，計24分．每小題只有一個選項是符合題意的）
1．（3分）下列圖形中，屬于中心對稱圖形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）下列各式中，是分式的是（　?。?br /> A．a(chǎn)+b B． C． D．
3．（3分）命題“如果|x|＝|y|，那么x2＝y(tǒng)2”的逆命題是（　?。?br /> A．如果|x|≠|(zhì)y|，那么x2≠y2 B．如果|x|＝|y|，那么x2≠y2
C．如果x2＝y(tǒng)2，那么|x|＝|y| D．如果x2≠y2，那么|x|≠|(zhì)y|
4．（3分）下列因式分解中，結(jié)果正確的是（　?。?br /> A．2m2﹣6m＝m（2m2﹣6） B．x2+y2＝（x+y）2
C．a(chǎn)2+ab+a＝a（a+b） D．﹣x2+2xy﹣y2＝﹣（x﹣y）2
5．（3分）在?ABCD中，若∠A+∠C＝100°，則∠D的度數(shù)為（　　）
A．100° B．130° C．140° D．150°
6．（3分）若關(guān)于x的方程﹣＝0有增根，則m的值為（　?。?br /> A．﹣5 B．0 C．1 D．2
7．（3分）直線l1：y＝k1x+b與直線l2：y＝k2x在同一平面直角坐標系中的圖象如圖所示，則關(guān)于x的不等式k1x+b＜k2x＜0的解集是（　?。?br />
A．﹣1＜x＜0 B．x＜﹣1 C．x＜﹣2 D．x＞﹣1
8．（3分）如圖，在平行四邊形ABCD中，直線EF∥BD，并且與CD、CB的延長線分別交于E、F，交AD于M，交AB于N．下列結(jié)論：①EN＝FM；②CE＝CF；③AM+BF＝BC；④△BFN≌△DME，其中正確的結(jié)論有（　?。?br />
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
二、填空題（共5小題，每小題3分，計15分）
9．（3分）若分式有意義，則x的取值范圍為 　 ?。?br /> 10．（3分）分解因式4x2y﹣9y＝　 　．
11．（3分）一個多邊形的內(nèi)角和是四邊形的內(nèi)角和的2倍，并且這個多邊形的各個內(nèi)角都相等，這個多邊形每個外角等于 　 ?。?br /> 12．（3分）關(guān)于x的不等式組只有3個整數(shù)解，則a的取值范圍是 　 ?。?br /> 13．（3分）如圖，D為△ABC內(nèi)一點，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足為D，交AC于點E，∠A＝∠ABE，AC＝5，BC＝3，則BD的長為 　 ?。?br />
三、解答題（共13小題，計81分．解答應(yīng)寫出過程）
14．（5分）因式分解：2m3﹣4m2n+2mn2．
15．（5分）解方程：．
16．（5分）平行四邊形ABCD如圖所示，請用尺規(guī)作圖法在BC上找一點E，使點E到AB、AD的距離相等．（保留作圖痕跡，不寫作法）

17．（5分）如圖，△AEC繞A點順時針旋轉(zhuǎn)60°得△APB，∠PAC＝20°，求∠BAE．

18．（5分）已知：如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，BC的中點，點F在AC的延長線上，且CF＝DE．求證：DC∥EF．

19．（5分）如圖，在△ABC中，點D為BC上一點，過點D作DE⊥AB、DF⊥AC，且BD＝CD，BE＝CF，∠BAC＝60°，求證：△ABC是等邊三角形．

20．（5分）解不等式組，并把解集在數(shù)軸上表示出來．
21．（6分）先化簡，再求值：，其中a＝4．
22．（7分）如圖，在平面直角坐標系中，△ABC三個頂點的坐標分別是A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
（1）若△ABC經(jīng)過平移后得到△A1B1C1，點A、B、C的對應(yīng)點分別是A1、B1、C1，已知點C1的坐標為（﹣2，4），畫出△A1B1C1；
（2）請畫出△ABC關(guān)于原點O對稱的△A2B2C2，點A、B、C的對應(yīng)點分別是A2、B2、C2，并寫出點C2的坐標．

23．（7分）先閱讀下列材料：
我們已經(jīng)學(xué)過將一個多項式分解因式的方法有提公因式法和運用公式法，其實分解因式的方法還有分組分解法、拆項法、十字相乘法等等．
拆項法：將一個多項式的某一項拆成兩項后，可提公因式或運用公式繼續(xù)分解的方法．如：x2+2x﹣3＝x2+2x+1﹣4＝（x+1）2﹣22＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）．
請你仿照以上方法，探索并解決下列問題：
（1）分解因式：x2﹣6x﹣7；
（2）分解因式：a2+4ab﹣5b2．
24．（8分）如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O，過點O作EF∥BC，交AB于點E，交AC于點F．
（1）求證：點E在OB的垂直平分線上；
（2）過點O作OH⊥BC于點H，連接OA，當(dāng)∠BAC＝60°時，試探究OH與OA的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

25．（8分）如圖，四邊形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，AD＝1，BC＝3，點E是邊CD的中點，連接BE并延長與AD的延長線交于點F．
（1）求證：四邊形BDFC是平行四邊形；
（2）若BC＝BD，求BF的長．

26．（10分）為滿足廣大居民的常態(tài)性防疫需求，我市某藥店需儲備一定數(shù)量的醫(yī)用酒精和醫(yī)用口罩．已知每箱醫(yī)用酒精比每箱醫(yī)用口罩的進價多100元．該藥店用3600元去購買醫(yī)用酒精的箱數(shù)恰好與用2700元去購買醫(yī)用口罩的箱數(shù)相同．
（1）求每箱醫(yī)用酒精和每箱醫(yī)用口罩的進價各是多少元？
（2）由于疫情緊張，該藥店為了幫助大家共渡難關(guān)，決定再次購買醫(yī)用酒精和醫(yī)用口罩共50箱用于儲備，此時，每箱醫(yī)用口罩的進價已經(jīng)增長了20%，每箱醫(yī)用酒精的進價也已經(jīng)增長了10%，如果再次購買兩種防護用品的總費用不超過19400元，那么該藥店最多可購進多少箱醫(yī)用酒精？

陜西省榆林市榆陽區(qū)2021-2022學(xué)年八年級下學(xué)期期末質(zhì)量檢測
數(shù)學(xué)試題
參考答案與試題解析
一、選擇題（共8小題，每小題3分，計24分．每小題只有一個選項是符合題意的）
1．（3分）下列圖形中，屬于中心對稱圖形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根據(jù)中心對稱圖形的概念判斷．把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形．
【解答】解：選項A、C、D都不能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°后與原來的圖形重合，所以不是中心對稱圖形，
選項B能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°后與原來的圖形重合，所以是中心對稱圖形，
故選：B．
【點評】本題考查的是中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與自身重合．
2．（3分）下列各式中，是分式的是（　?。?br /> A．a(chǎn)+b B． C． D．
【分析】分式的分母必須含有字母．
【解答】解：A、a+b的分母中不含有字母，不是分式，不符合題意；
B、的分母中不含有字母，不是分式，不符合題意；
C、的分母中不含有字母，不是分式，不符合題意；
D、的分母中含有字母，是分式，符合題意．
故選：D．
【點評】本題考查了分式的定義，熟練掌握分式的定義是解題的關(guān)鍵．
3．（3分）命題“如果|x|＝|y|，那么x2＝y(tǒng)2”的逆命題是（　?。?br /> A．如果|x|≠|(zhì)y|，那么x2≠y2 B．如果|x|＝|y|，那么x2≠y2
C．如果x2＝y(tǒng)2，那么|x|＝|y| D．如果x2≠y2，那么|x|≠|(zhì)y|
【分析】交換題設(shè)和結(jié)論，即可得到答案．
【解答】解：“如果|x|＝|y|，那么x2＝y(tǒng)2”的逆命題是：如果x2＝y(tǒng)2，那么|x|＝|y|，
故選：C．
【點評】本題考查命題與定理，解題的關(guān)鍵是掌握求一個命題的逆命題，就是交換原命題的題設(shè)與結(jié)論．
4．（3分）下列因式分解中，結(jié)果正確的是（　　）
A．2m2﹣6m＝m（2m2﹣6） B．x2+y2＝（x+y）2
C．a(chǎn)2+ab+a＝a（a+b） D．﹣x2+2xy﹣y2＝﹣（x﹣y）2
【分析】各式分解得到結(jié)果，即可作出判斷．
【解答】解：A、原式＝2m（m﹣3），不符合題意；
B、原式不能分解，不符合題意；
C、原式＝a（a+b+1），不符合題意；
D、原式＝﹣（x﹣y）2，符合題意．
故選：D．
【點評】此題考查了因式分解﹣提公因式法，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵．
5．（3分）在?ABCD中，若∠A+∠C＝100°，則∠D的度數(shù)為（　?。?br /> A．100° B．130° C．140° D．150°
【分析】由在?ABCD中，若∠A+∠C＝100°，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可求得∠A的度數(shù)，又由平行線的性質(zhì)，求得答案．
【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠A＝∠C，AB∥CD，
∴∠A+∠D＝180°，
∵∠A+∠C＝100°，
∴∠A＝50°，
∴∠D＝180°﹣∠A＝130°．
故選：B．

【點評】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)．此題比較簡單，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
6．（3分）若關(guān)于x的方程﹣＝0有增根，則m的值為（　?。?br /> A．﹣5 B．0 C．1 D．2
【分析】根據(jù)題意可得x＝2，然后把x的值代入整式方程中進行計算即可解答．
【解答】解：﹣＝0，
m+1+2x＝0，
解得：x＝﹣，
∵方程有增根，
∴x＝2，
把x＝2代入x＝﹣中，
2＝﹣，
解得：m＝﹣5，
故選：A．
【點評】本題考查了分式方程的增根，根據(jù)題意求出x的值后代入整式方程中進行計算是解題的關(guān)鍵．
7．（3分）直線l1：y＝k1x+b與直線l2：y＝k2x在同一平面直角坐標系中的圖象如圖所示，則關(guān)于x的不等式k1x+b＜k2x＜0的解集是（　　）

A．﹣1＜x＜0 B．x＜﹣1 C．x＜﹣2 D．x＞﹣1
【分析】利用函數(shù)圖象，寫出在x軸下方，直線l1在直線l2下方所對應(yīng)的自變量的范圍即可．
【解答】解：由圖象可知，直線l1和直線l2的交點為（﹣1，﹣2），直線l1中y隨x的增大而減小，
∵y＝k2x過原點，
∴關(guān)于x的不等式k1x+b＜k2x＜0的解集是﹣1＜x＜0，
故選：A．
【點評】本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式：從函數(shù)圖象的角度看，就是確定直線y＝kx+b在x軸上（或下）方部分所有的點的橫坐標所構(gòu)成的集合，運用數(shù)形結(jié)合的思想解決此類問題．
8．（3分）如圖，在平行四邊形ABCD中，直線EF∥BD，并且與CD、CB的延長線分別交于E、F，交AD于M，交AB于N．下列結(jié)論：①EN＝FM；②CE＝CF；③AM+BF＝BC；④△BFN≌△DME，其中正確的結(jié)論有（　　）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【分析】由平行四邊形的性質(zhì)與判定和全等三角形的判定分別對各個選項進行判斷即可．
【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD‖BC，AB‖CD，AD＝BC，
又∵EF‖BD，
∴四邊形BDMF和四邊形BDEN是平行四邊形，
∴NE＝BD，F(xiàn)M＝BD，
∴EN＝FM，
故①正確，符合題意；
當(dāng)CD＝CB時，CE＝CF，
故②錯誤，不符合題意；
∵四邊形BDMF是平行四邊形，
∴DM＝BF，
∵AM+DM＝AD，
∴AM+BF＝AD，
∴AM+BF＝BC，
故③正確，符合題意；
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠ABC＝∠ADC，AD∥BC，
∴∠NBF＝∠EDM，∠F＝∠DME，
又∵BF＝DM，
∴△BFN≌△DME（ASA），
故④正確，符合題意；
正確的有3個，
故選：C．
【點評】本題考查了平行四邊形大排檔與性質(zhì)、全等三角形的判定等知識，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
二、填空題（共5小題，每小題3分，計15分）
9．（3分）若分式有意義，則x的取值范圍為 　x≠2022?。?br /> 【分析】直接利用分式有意義的條件分析得出答案．分式有意義的條件是分母不等于零．
【解答】解：依題意得：x﹣2022≠0，
解得x≠2022．
故答案為：x≠2022．
【點評】此題主要考查了分式有意義的條件，正確把握分式有意義的條件是分母不等于零是解題的關(guān)鍵．
10．（3分）分解因式4x2y﹣9y＝　y（2x+3）（2x﹣3）?。?br /> 【分析】先提公因式，再利用平方差公式繼續(xù)分解即可解答．
【解答】解：4x2y﹣9y
＝y(tǒng)（4x2﹣9）
＝y(tǒng)（2x+3）（2x﹣3），
故答案為：y（2x+3）（2x﹣3）．
【點評】本題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，一定要注意如果多項式的各項含有公因式，必須先提公因式．
11．（3分）一個多邊形的內(nèi)角和是四邊形的內(nèi)角和的2倍，并且這個多邊形的各個內(nèi)角都相等，這個多邊形每個外角等于 　60°　．
【分析】本題首先由題意得出等量關(guān)系，即這個多邊形的內(nèi)角是四邊形的內(nèi)角和的2倍，由此列出方程解出邊數(shù)，進一步可求出它每個外角的度數(shù)．
【解答】解：設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為n，
則有（n﹣2）?180°＝360°×2，
解得n＝6．
∵這個多邊形的每個內(nèi)角都相等，
∴它每個外角的度數(shù)為360°÷6＝60°．
答：這個多邊形每個外角等于60°．
故答案為：60°．
【點評】本題主要考查多邊形的內(nèi)角和定理，解題的根據(jù)是已知等量關(guān)系列出方程，從而解決問題．
12．（3分）關(guān)于x的不等式組只有3個整數(shù)解，則a的取值范圍是 　﹣0.5＜a≤0?。?br /> 【分析】首先解每個不等式，然后根據(jù)不等式組只有3個整數(shù)解，得到整數(shù)解，進而得到關(guān)于a的不等式，求得a的范圍．
【解答】解：，
解①得x＜5，
解②得x＞1﹣2a．
不等式組有3個整數(shù)解，一定是4，3，2．
則1≤1﹣2a＜2
解得：﹣0.5＜a≤0．
故答案是：﹣0.5＜a≤0．
【點評】本題考查了不等式組的整數(shù)解，先把題目中除未知數(shù)外的字母當(dāng)做常數(shù)看待解不等式組，然后再根據(jù)題目中對結(jié)果的限制的條件得到有關(guān)字母的代數(shù)式，最后解代數(shù)式即可得到答案．
13．（3分）如圖，D為△ABC內(nèi)一點，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足為D，交AC于點E，∠A＝∠ABE，AC＝5，BC＝3，則BD的長為 　1　．

【分析】由已知條件判定△BEC的等腰三角形，且BC＝CE；由等角對等邊判定AE＝BE，則易求BD＝BE＝AE＝（AC﹣CE）．
【解答】解：∵CD平分∠ACB，BE⊥CD，
∴∠CDB＝∠CDE＝90°，CD＝CD，∠BCD＝∠ECD，
∴△BCD≌△ECD，
∴BC＝CE．
又∵∠A＝∠ABE，
∴AE＝BE．
∴BD＝BE＝AE＝（AC﹣CE）．
∵AC＝5，BC＝3，
∴BD＝（5﹣3）＝1．
故答案為1．
【點評】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)．注意等腰三角形“三線合一”性質(zhì)的運用．
三、解答題（共13小題，計81分．解答應(yīng)寫出過程）
14．（5分）因式分解：2m3﹣4m2n+2mn2．
【分析】先提公因式，再利用完全平方公式繼續(xù)分解即可解答．
【解答】解：2m3﹣4m2n+2mn2
＝2m（m2﹣2mn+n2）
＝2m（m﹣n）2．
【點評】本題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，一定要注意如果多項式的各項含有公因式，必須先提公因式．
15．（5分）解方程：．
【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：4x+x2﹣1＝x（x+1），
解得：x＝，
檢驗：把x＝代入得：（x+1）（x﹣1）≠0，
∴分式方程的解為x＝．
【點評】此題考查了解分式方程，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解分式方程注意要檢驗．
16．（5分）平行四邊形ABCD如圖所示，請用尺規(guī)作圖法在BC上找一點E，使點E到AB、AD的距離相等．（保留作圖痕跡，不寫作法）

【分析】在BC上截取BE＝BA，則∠BAE＝∠BEA，再利用平行線的性質(zhì)得到∠DAE＝∠BEA，接著證明AE平分∠BAD，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)確定E點滿足條件．
【解答】解：如圖，E點為所作．

【點評】本題考查了作圖﹣復(fù)雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了平行四邊形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)．
17．（5分）如圖，△AEC繞A點順時針旋轉(zhuǎn)60°得△APB，∠PAC＝20°，求∠BAE．

【分析】充分運用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)前后三角形全等，即△ABP≌△ACE，根據(jù)對應(yīng)角相等，三角形內(nèi)角和定理，對應(yīng)邊的夾角為旋轉(zhuǎn)角，通過計算解答題目問題．
【解答】解：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得△ABP≌△ACE，AC與AB是對應(yīng)邊，∠BAC＝∠BAP+∠PAC＝60°，
∵∠PAC＝20°，
∴∠CAE＝∠BAP＝40°，
∴∠BAE＝∠BAC+∠CAE＝100°．
【點評】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變化前后，對應(yīng)角分別相等，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理求出相關(guān)的角．
18．（5分）已知：如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，BC的中點，點F在AC的延長線上，且CF＝DE．求證：DC∥EF．

【分析】由已知條件易證DE是△ACB的中位線，所以DE∥AC，又因為DE＝CF，所以四邊形DCFE是平行四邊形，進而可證明DC∥EF．
【解答】證明：∵D，E分別是AB，BC的中點，
∴DE是△ACB的中位線，
∴DE∥AC，
又∵DE＝CF，
∴四邊形DCFE是平行四邊形，
∴DC∥EF．
【點評】本題考查了三角形中位線定理的運用以及平行四邊形的判定，解題的關(guān)鍵是熟記平行四邊形的各種判定方法．
19．（5分）如圖，在△ABC中，點D為BC上一點，過點D作DE⊥AB、DF⊥AC，且BD＝CD，BE＝CF，∠BAC＝60°，求證：△ABC是等邊三角形．

【分析】由“HL”可證Rt△DBE≌Rt△DCF，可得∠B＝∠C，可得AB＝AC，即可得結(jié)論．
【解答】證明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB＝∠DFC＝90°，
在Rt△DBE和Rt△DCF中，
，
∴Rt△DBE≌Rt△DCF（HL），
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC，
∵∠BAC＝60°，
∴△ABC是等邊三角形．
【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．
20．（5分）解不等式組，并把解集在數(shù)軸上表示出來．
【分析】按照解一元一次不等式組的步驟，進行計算即可解答．
【解答】解：，
解不等式①得：x≥﹣1，
解不等式②得：x＜2，
∴原不等式組的解集為：﹣1≤x＜2，
該不等式組的解集在數(shù)軸上表示為：

【點評】本題考查了解一元一次不等式組，在數(shù)軸上表示不等式的解集，熟練掌握解一元一次不等式組是解題的關(guān)鍵．
21．（6分）先化簡，再求值：，其中a＝4．
【分析】根據(jù)分式的加減運算以及乘除運算法則即可求出答案．
【解答】解：原式＝[+1]÷
＝（）÷
＝?
＝?
＝，
當(dāng)a＝4時，
原式＝
＝4．
【點評】本題考查分式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是熟練運用分式的加減運算以及乘除運算，本題屬于基礎(chǔ)題型．
22．（7分）如圖，在平面直角坐標系中，△ABC三個頂點的坐標分別是A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
（1）若△ABC經(jīng)過平移后得到△A1B1C1，點A、B、C的對應(yīng)點分別是A1、B1、C1，已知點C1的坐標為（﹣2，4），畫出△A1B1C1；
（2）請畫出△ABC關(guān)于原點O對稱的△A2B2C2，點A、B、C的對應(yīng)點分別是A2、B2、C2，并寫出點C2的坐標．

【分析】（1）將三個頂點分別向左平移5個單位得到其對應(yīng)點，再首尾順次連接即可；
（2）分別作出三個頂點關(guān)于原點的對稱點，再首尾順次連接即可．
【解答】解：（1）如圖所示，△A1B1C1即為所求．

（2）如圖所示，△A2B2C2即為所求，點C2的坐標為（﹣3，﹣4）．
【點評】本題主要考查作圖—平移變換和旋轉(zhuǎn)變換，解題的關(guān)鍵是掌握平移變換和旋轉(zhuǎn)變換的定義與性質(zhì)，并據(jù)此得出變換后的對應(yīng)點．
23．（7分）先閱讀下列材料：
我們已經(jīng)學(xué)過將一個多項式分解因式的方法有提公因式法和運用公式法，其實分解因式的方法還有分組分解法、拆項法、十字相乘法等等．
拆項法：將一個多項式的某一項拆成兩項后，可提公因式或運用公式繼續(xù)分解的方法．如：x2+2x﹣3＝x2+2x+1﹣4＝（x+1）2﹣22＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）．
請你仿照以上方法，探索并解決下列問題：
（1）分解因式：x2﹣6x﹣7；
（2）分解因式：a2+4ab﹣5b2．
【分析】仿照閱讀材料中的方法將各式分解即可．
【解答】解：（1）原式＝x2﹣6x+9﹣16
＝（x﹣3）2﹣42
＝（x﹣7）（x+1）；
（2）原式＝a2+4ab+4b2﹣9b2
＝（a+2b）2﹣9b2
＝（a+2b+3b）（a+2b﹣3b）
＝（a+5b）（a﹣b）．
【點評】此題考查了因式分解﹣十字相乘法，提公因式法，以及運用公式法，弄清閱讀材料中的方法是解本題的關(guān)鍵．
24．（8分）如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O，過點O作EF∥BC，交AB于點E，交AC于點F．
（1）求證：點E在OB的垂直平分線上；
（2）過點O作OH⊥BC于點H，連接OA，當(dāng)∠BAC＝60°時，試探究OH與OA的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

【分析】（1）證明∠EOB＝∠CBO得到EB＝EO，同理可得FO＝FC，然后利用等線段代換得到△AEF的周長＝AB+AC；
（2）過O點作OG⊥AE于G，OQ⊥AC于Q，如圖2，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到OH＝OG，OH＝OQ，則OG＝OQ，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理的逆定理可判斷OA平分∠BAC，所以∠GAO＝30°，利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到OG＝OA，從而得到OH＝OA．
【解答】（1）證明：∵OB平分∠ABC，
∴∠CBO＝∠ABO，
∵EF∥BC，
∴∠EOB＝∠CBO，
∴△EBO為等腰三角形，
∴EB＝EO，
∴點E在OB的垂直平分線上；
（2）解：OH＝OA．
理由如下：
過O點作OG⊥AE于G，OQ⊥AC于Q，如圖2，
∵OB平分∠ABC，OH⊥BC，OG⊥AB，
∴OH＝OG，
∵OC平分∠ACB，
∴OH＝OQ，
∴OG＝OQ，
∴OA平分∠BAC，
∴∠GAO＝∠BAC＝30°，
∴OG＝OA，
∴OH＝OA．

【點評】本題考查了角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．也考查了平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)．
25．（8分）如圖，四邊形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，AD＝1，BC＝3，點E是邊CD的中點，連接BE并延長與AD的延長線交于點F．
（1）求證：四邊形BDFC是平行四邊形；
（2）若BC＝BD，求BF的長．

【分析】（1）證△BEC≌△FED（AAS），得BE＝FE，即可得出結(jié)論；
（2）由勾股定理得AB＝2，再由平行四邊形的性質(zhì)得DF＝BC＝3，則AF＝AD+DF＝4，然后由勾股定理即可求解．
【解答】（1）證明：∵∠A＝∠ABC＝90°，
∴∠A+∠ABC＝180°，
∴BC∥AD，
∴∠CBE＝∠DFE，
又∵E是邊CD的中點，
∴CE＝DE，
在△BEC與△FED中，
，
∴△BEC≌△FED（AAS），
∴BE＝FE，
∴四邊形BDFC是平行四邊形；
（2）解：∵BD＝BC＝3，∠A＝90°，
∴AB＝＝＝2，
由（1）可知，四邊形BDFC是平行四邊形，
∴DF＝BC＝3，
∴AF＝AD+DF＝4，
∴BF＝＝＝2．
【點評】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
26．（10分）為滿足廣大居民的常態(tài)性防疫需求，我市某藥店需儲備一定數(shù)量的醫(yī)用酒精和醫(yī)用口罩．已知每箱醫(yī)用酒精比每箱醫(yī)用口罩的進價多100元．該藥店用3600元去購買醫(yī)用酒精的箱數(shù)恰好與用2700元去購買醫(yī)用口罩的箱數(shù)相同．
（1）求每箱醫(yī)用酒精和每箱醫(yī)用口罩的進價各是多少元？
（2）由于疫情緊張，該藥店為了幫助大家共渡難關(guān)，決定再次購買醫(yī)用酒精和醫(yī)用口罩共50箱用于儲備，此時，每箱醫(yī)用口罩的進價已經(jīng)增長了20%，每箱醫(yī)用酒精的進價也已經(jīng)增長了10%，如果再次購買兩種防護用品的總費用不超過19400元，那么該藥店最多可購進多少箱醫(yī)用酒精？
【分析】（1）設(shè)每箱醫(yī)用口罩的進價是x元，則每箱醫(yī)用酒精的進價為（x+100）元，由題意：該藥店用3600元去購買醫(yī)用酒精的箱數(shù)恰好與用2700元去購買醫(yī)用口罩的箱數(shù)相同．列出分式方程，解方程即可；
（2）設(shè)該藥店可購進y箱醫(yī)用酒精，由題意：每箱醫(yī)用口罩的進價已經(jīng)增長了20%，每箱醫(yī)用酒精的進價也已經(jīng)增長了10%，如果再次購買兩種防護用品的總費用不超過19400元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）設(shè)每箱醫(yī)用口罩的進價是x元，則每箱醫(yī)用酒精的進價為（x+100）元，
由題意得：＝，
解得：x＝300，
經(jīng)檢驗，x＝300是原方程的解，且符合題意，
則x+100＝400，
答：每箱醫(yī)用口罩的進價是300元，每箱醫(yī)用酒精的進價是400元；
（2）設(shè)該藥店可購進y箱醫(yī)用酒精，
由題意得：300×（1+20%）×（50﹣y）+400×（1+10%）×y≤19400，
解得：y≤17.5，
∵y為正整數(shù)，
∴y的最大值為17，
答：該藥店最多可購進17箱醫(yī)用酒精．
【點評】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準等量關(guān)系，正確列出分式方程；（2）找出數(shù)量關(guān)系，正確列出一元一次不等式．

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