2021-2022學(xué)年陜西省榆林市靖邊縣八年級(jí)（下）期末數(shù)學(xué)試卷 題號(hào)一二三總分得分      一、選擇題（本大題共8小題，共24分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）下面四個(gè)圖形體現(xiàn)了中華民族的傳統(tǒng)文化．其中既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是(    )A.  B.  C.  D. 要使分式的值為，則(    )A.  B.  C. 或 D. 把不等式組的解集表示在數(shù)軸上，下列選項(xiàng)正確的是(    )A.  B.
C.  D. 如圖，以點(diǎn)為中心，把逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到點(diǎn)、的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)、，連接，若，則的度數(shù)為(    )
A.  B.  C.  D. 下列結(jié)論中，正確的是(    )A. 若，，則 B. 若，則，
C. 若，，則 D. 若，則代數(shù)式，，中的公因式是(    )A.  B.
C.  D. 如圖，中，，，，點(diǎn)、、分別是、、的中點(diǎn)，則四邊形的周長是(    )A.
B.
C.
D. 如圖，四邊形是平行四邊形，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，且，交于點(diǎn)，是延長線上一點(diǎn)，則下列結(jié)論：
平分；
平分；
；
．
其中正確結(jié)論的有(    )
 A.  B.  C.  D.  二、填空題（本大題共5小題，共15分）分解因式：______．若一個(gè)多邊形的內(nèi)角和比外角和大，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為______．如圖，在中，點(diǎn)是邊，垂直平分線的交點(diǎn)，連接，若，則的度數(shù)為______．
 如圖，已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則關(guān)于的不等式的解集為______．
如圖，平行四邊形中，，，是邊上且，是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連接、，則的最小值______．
  三、解答題（本大題共13小題，共81分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）分解因式：．解不等式，并寫出它的所有非負(fù)整數(shù)解．化簡：如圖，已知四邊形是平行四邊形，請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，在上求作一點(diǎn)，使得保留作圖痕跡，不寫作法
如圖，在?中，，，垂足分別為、，求證：．
學(xué)校為打造書香校園，計(jì)劃購進(jìn)甲、乙兩種規(guī)格的書柜放置新購進(jìn)的圖書，甲種書柜每個(gè)的價(jià)格是元，乙種書柜每個(gè)的價(jià)格是元．若我校計(jì)劃購進(jìn)這兩種規(guī)格的書柜共個(gè)，其中乙種書柜的數(shù)量不少于甲種書柜的數(shù)量，學(xué)校至多能夠提供資金元，最少購買幾個(gè)甲種書柜？小紅從批發(fā)市場購進(jìn)、兩種材料用于手工制作，進(jìn)行“愛心義賣”若每個(gè)種材料的進(jìn)價(jià)比每個(gè)種材料的進(jìn)價(jià)少元，且用元購進(jìn)種材料的數(shù)量與用元購進(jìn)種材料的數(shù)量相等．求，兩種材料單個(gè)的進(jìn)價(jià)．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，
將經(jīng)過平移得到，若點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，畫出，直接寫出，的坐標(biāo)______，______，______，______；
畫出與關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱的；
若與是中心對(duì)稱圖形．則對(duì)稱中心的坐標(biāo)為______，______
如圖，在中，是邊上的中線，，，交的延長線于點(diǎn)，，．
求的長；
求證：垂直平分．
近年來，電商平臺(tái)直播帶貨成了火熱的一個(gè)新興職業(yè)．“大促”期間，某直播銷售員銷售一種童裝，這種童裝的進(jìn)價(jià)為每套元，若按原標(biāo)價(jià)銷售，則每周銷售額為元；若按原標(biāo)價(jià)的八五折銷售，則每周多賣出套，且銷售額還增加元．
求每套童裝的原標(biāo)價(jià)為多少元；
若按原標(biāo)價(jià)的九折銷售，該直播銷售員想要每周獲利不低于元，求該直播銷售員每周至少需賣出這種童裝多少套？如圖，在?中，是的中點(diǎn)，延長到點(diǎn)，使，連結(jié)，．
求證：四邊形是平行四邊形；
若，，，求的長．
“雙減”政策受到各地教育部門積極響應(yīng)，某校為加強(qiáng)學(xué)生體育鍛煉，決定購買羽毛球和羽毛球拍．甲、乙兩家體育用品商店出售相同的羽毛球和羽毛球拍，羽毛球每個(gè)定價(jià)元，羽毛球拍每副定價(jià)元．現(xiàn)兩家商店都搞促銷活動(dòng)：甲店每買一副球拍贈(zèng)個(gè)羽毛球；乙店按九折優(yōu)惠．某班級(jí)需購球拍副，羽毛球個(gè)．
若在甲店購買付款元，在乙店購買付款元，分別寫出、與的函數(shù)關(guān)系式；
請(qǐng)問該班在哪個(gè)商店購買更省錢？【問題提出】
如圖，點(diǎn)為線段外一動(dòng)點(diǎn)，且，當(dāng)線段的長取得最大值時(shí)，的長度為
______；用含，的式子表示
【問題探究】
如圖，點(diǎn)為線段外一動(dòng)點(diǎn)，且，，分別以，為邊作等邊三角形和等邊三角形，連接，．
請(qǐng)找出圖中與相等的線段，并說明理由；
求線段長的最大值；
【問題解決】
如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)為線段外一動(dòng)點(diǎn)，且，，，請(qǐng)求出線段長的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：不是中心對(duì)稱圖形，是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；
B.是中心對(duì)稱圖形，不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；
C.既是中心對(duì)稱圖形，也是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；
D.不是中心對(duì)稱圖形，是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；
故選：．
根據(jù)中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形的概念進(jìn)行判斷即可．
本題考查的是中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形的概念．軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對(duì)稱圖形是要尋找對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)度后與自身重合．
 2.【答案】 【解析】解：由題意可得，
解得：，
故選：．
根據(jù)分式值為零的條件列式求解．
本題考查分式值為零的條件，理解分式值為零的條件分子為零，且分母不等于零是解題關(guān)鍵．
 3.【答案】 【解析】解：由解得，
由解得，
不等式的解集是，
在數(shù)軸上表示如圖，
故選：．
先求出不等式組中每一個(gè)不等式的解集，再求出它們的公共部分，然后把不等式的解集表示在數(shù)軸上即可．
本題考查了在數(shù)軸上表示不等式的解集，把每個(gè)不等式的解集在數(shù)軸上表示出來向右畫；，向左畫，數(shù)軸上的點(diǎn)把數(shù)軸分成若干段，如果數(shù)軸的某一段上面表示解集的線的條數(shù)與不等式的個(gè)數(shù)一樣，那么這段就是不等式組的解集．有幾個(gè)就要幾個(gè)．在表示解集時(shí)“”，“”要用實(shí)心圓點(diǎn)表示；“”，“”要用空心圓點(diǎn)表示．
 4.【答案】 【解析】解：逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，
，，
，
，
，
，
故選：．
由逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，可得，，即得，而，得，從而．
本題考查三角形中的旋轉(zhuǎn)變換，涉及平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．
 5.【答案】 【解析】解：選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)不成立，故該選項(xiàng)不符合題意；
選項(xiàng)，也可能是，，故該選項(xiàng)不符合題意；
選項(xiàng)，若，，則，故該選項(xiàng)符合題意；
選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)不成立，故該選項(xiàng)不符合題意；
故選：．
根據(jù)不等式的基本性質(zhì)判斷，選項(xiàng)；根據(jù)有理數(shù)的乘法法則判斷，選項(xiàng)．
本題考查了不等式的性質(zhì)，掌握不等式的兩邊同時(shí)乘或除以同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變是解題的關(guān)鍵．
 6.【答案】 【解析】解：代數(shù)式，，中的公因式是．
故選：．
根據(jù)公因式的概念解答即可．
此題考查的是公因式，多項(xiàng)式中，各項(xiàng)都含有一個(gè)公共的因式，因式叫做這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式．
 7.【答案】 【解析】解：點(diǎn)、、分別是、、的中點(diǎn)，
，，，，
四邊形的周長，
故選：．
根據(jù)三角形中位線定理、線段中點(diǎn)的性質(zhì)得到，，，，根據(jù)四邊形的周長公式計(jì)算，得到答案．
本題考查的是三角形中位線定理，掌握三角形中位線等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．
 8.【答案】 【解析】解：證明：，
，
四邊形是平行四邊形，
，
，
，
平分，正確；
，，
，
平分，正確；
，
，
，
，
，
正確；
，，
點(diǎn)一定在的垂直平分線上，即垂直平分，
，故正確．
故選：．
分別利用平行線的性質(zhì)結(jié)合線段垂直平分線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)分別判斷得出答案．
此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，正確應(yīng)用等腰三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
 9.【答案】 【解析】解：，
，
．
先提公因式，再利用平方差公式繼續(xù)分解因式．平方差公式：．
本題考查了提公因式法，公式法分解因式，關(guān)鍵在于提取公因式后需要進(jìn)行二次分解因式．
 10.【答案】五 【解析】解：設(shè)多邊形的邊數(shù)是，
根據(jù)題意得，，
解得，
故答案為：五．
根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式，外角和等于列出方程求解即可．
本題考查了多邊形的內(nèi)角和公式與外角和定理，注意利用多邊形的外角和與邊數(shù)無關(guān)，任何多邊形的外角和都是是解題的關(guān)鍵．
 11.【答案】 【解析】解：連接，延長交于，
，
點(diǎn)是，的垂直平分線的交點(diǎn)，
，
，，
，
故答案為：．
連接，延長交于，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)證得，，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可求出．
本題主要考查了線段的垂直平分線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．
 12.【答案】 【解析】解：一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，，
所以，關(guān)于的不等式的解集為，
故答案為：．
一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，根據(jù)函數(shù)的圖象即可寫出不等式的解集．
本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式．?dāng)?shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．
 13.【答案】 【解析】解：如圖，取的中點(diǎn)連接，，，作交的延長線于，

，
，，
點(diǎn)是的中點(diǎn)，
，
，
，
是等邊三角形，
，
，
，，
易證≌，
，
，
，
點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是射線，
，，
易證≌，
，
，
在中，，，，
，，
在中，，
，
的最小值為，
故答案為：．
如圖，取的中點(diǎn)連接，，，作交的延長線于利用全等三角形的性質(zhì)證明，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是射線，由“”可證≌，可得，推出，求出即可解決問題．
本題考查旋轉(zhuǎn)變換，軌跡，菱形的性質(zhì)，解直角三角形，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考常考題型．
 14.【答案】解：，
，
． 【解析】先提取公因式，再根據(jù)完全平方公式進(jìn)行二次分解．完全平方公式：．
本題考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式進(jìn)行二次分解，注意分解要徹底．
 15.【答案】解：去分母，得：，
移項(xiàng)，得：，
合并同類項(xiàng)，得：，
系數(shù)化為，得：，
該不等式的非負(fù)整數(shù)解為：，． 【解析】按照解不等式的基本步驟依次去分母、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為可得不等式的解集，根據(jù)解集確定其非負(fù)整數(shù)解即可．
本題主要考查解不等式的基本能力，嚴(yán)格遵循解不等式的基本步驟是解題的關(guān)鍵和基本素質(zhì)．
 16.【答案】解：原式

． 【解析】根據(jù)分式的加減運(yùn)算以及乘除運(yùn)算即可求出答案．
本題考查分式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用分式的加減運(yùn)算以及乘除運(yùn)算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型．
 17.【答案】解：如圖，點(diǎn)即為所求．
 【解析】作線段的垂直平分線交于點(diǎn)，連接，點(diǎn)即為所求．
本題考查作圖復(fù)雜作圖，線段的垂直平分線等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．
 18.【答案】證明：四邊形是平行四邊形，
，，
，
，，
，
在和中，，
≌，
． 【解析】證出，，由證≌即可得到結(jié)論．
此題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定、全等三角形的判定．熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．
 19.【答案】解：設(shè)計(jì)劃購進(jìn)甲種書柜個(gè)，則購進(jìn)乙種書柜個(gè)，依題意得：
，
解得：，
即最少購買個(gè)甲種書柜． 【解析】設(shè)計(jì)劃購進(jìn)甲種書柜個(gè)，則購進(jìn)乙種書柜個(gè)，根據(jù)“購進(jìn)乙種書柜的數(shù)量不少于甲種書柜的數(shù)量，學(xué)校至多能夠提供資金元”，即可得出關(guān)于的一元一次不等式組，解之即可得出的取值范圍，結(jié)合為正整數(shù)，即可得出答案．
本題考查了一元一次不等式組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式組．
 20.【答案】解：設(shè)每個(gè)種材料單個(gè)的進(jìn)價(jià)為元，則每個(gè)種材料單個(gè)的進(jìn)價(jià)為元，
由題意可得：，
解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，且符合題意，
則，
答：每個(gè)種材料單個(gè)的進(jìn)價(jià)為元，每個(gè)種材料單個(gè)的進(jìn)價(jià)為元． 【解析】設(shè)每個(gè)種材料單個(gè)的進(jìn)價(jià)為元，則每個(gè)種材料單個(gè)的進(jìn)價(jià)為元，由題意：用元購進(jìn)種材料的數(shù)量與用元購進(jìn)種材料的數(shù)量相等，列出分式方程，解方程即可．
本題考查了分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程．
 21.【答案】           【解析】解：如圖，即為所求．
點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為．
故答案為：；；；．
如圖，即為所求．

由圖可得，與的對(duì)稱中心為點(diǎn)．
故答案為：；．
由的坐標(biāo)可知，是向左平移個(gè)單位長度，向上平移個(gè)單位長度得到，即可得出答案．
根據(jù)中心對(duì)稱的性質(zhì)作圖即可．
由圖可得與的對(duì)稱中心為點(diǎn)．
本題考查作圖平移變換、中心對(duì)稱，熟練掌握平移和中心對(duì)稱的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
 22.【答案】解：是邊上的中線，
，
，
，
是的中位線，
，
的長為；
證明：，
，，
，
，
，
，
，
，
垂直平分． 【解析】根據(jù)三角形的中線定義可得，從而利用平行線分線段成比例可得，進(jìn)而可得是的中位線，然后利用三角形的中位線定理，進(jìn)行計(jì)算即可解答；
根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，從而結(jié)合已知可得，進(jìn)而可得，然后利用等量代換可得，從而利用等腰三角形的性質(zhì)，即可解答．
本題考查了三角形的中位線定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形的角平分線，高和中線，熟練掌握三角形的中位線定理，以及等腰三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 23.【答案】解：設(shè)每套童裝的原標(biāo)價(jià)為元，
依題意得：，
解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，且符合題意．
答：每套童裝的原標(biāo)價(jià)為元．
設(shè)該直播銷售員每周銷售這種童裝套，
依題意得：，
解得：．
答：該直播銷售員每周至少需賣出這種童裝套． 【解析】設(shè)每套童裝的原標(biāo)價(jià)為元，利用數(shù)量總價(jià)單價(jià)，結(jié)合打折后比打折前每周多賣出套，即可得出關(guān)于的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后即可得出結(jié)論；
設(shè)該直播銷售員每周銷售這種童裝套，利用每周銷售這種童裝獲得的利潤每套的銷售利潤每周的銷售量，結(jié)合每周銷售這種童裝獲得的利潤不低于元，即可得出關(guān)于的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出結(jié)論．
本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程；根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式．
 24.【答案】證明：四邊形是平行四邊形，
，且，
是的中點(diǎn)，
．
又，
，
，
四邊形是平行四邊形；
解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)．
在?中，，，
．
，，
，，
在中，，
，
，
由可知，四邊形是平行四邊形，
，則，
在中，根據(jù)勾股定理得：． 【解析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，且，再證，然后根據(jù)平行四邊形的判定定理即可得到結(jié)論；
過點(diǎn)作于點(diǎn)解直角三角形得到，，再根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．
本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
 25.【答案】解：由題意可得，
，
，
即，；
，
解得：，
時(shí)，在甲乙商店購買一樣合算，
，
解得，
時(shí)，在甲商店購買合算，
，
解得，
時(shí)，在乙商店購買合算；
綜上所述：時(shí)，在甲商店購買合算，時(shí)，在甲乙商店購買一樣合算，時(shí)，在乙商店購買合算． 【解析】根據(jù)題意，可以寫出、與的函數(shù)關(guān)系式；
根據(jù)得出的關(guān)系式，列方程、不等式，即可解得出答案．
此題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是理解兩家商店的優(yōu)惠條件，能用代數(shù)式表示甲店的費(fèi)用和乙店的費(fèi)用．
 26.【答案】 【解析】解：點(diǎn)為線段外一動(dòng)點(diǎn)，且，，
當(dāng)點(diǎn)位于的延長線上時(shí)，線段的長取得最大值，且最大值為，
故答案為：；

，
理由：與是等邊三角形，
，，，
，
即，
在與中，
，
≌，
；

是等邊三角形，
，
線段長的最大值線段的最大值，
由知，當(dāng)線段的長取得最大值時(shí)，點(diǎn)在的延長線上，
最大值為；

如圖中，連接，
將繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，則是等腰直角三角形，
，，
的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，
，，
，
線段長的最大值線段長的最大值，
當(dāng)在線段的延長線時(shí)，線段取得最大值，其最大值，
，
的最大值為；
如圖，過作軸于，
是等腰直角三角形，
，
，
，的最大值為．
根據(jù)點(diǎn)位于的延長線上時(shí)，線段的長取得最大值，即可得到結(jié)論；
根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到，，，推出≌，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到；
由于線段長的最大值線段的最大值，根據(jù)中的結(jié)論即可得到結(jié)果；
連接，將繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，得到是等腰直角三角形，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，，根據(jù)當(dāng)在線段的延長線時(shí)，線段取得最大值，即可得到最大值為；過作軸于，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，最大值問題，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．
 
 

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