絕密★啟用前2021-2022學(xué)年江西省宜春市豐城九中高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷  第I卷（選擇題） 一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）已知復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位，則的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于(    )A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限已知向量，，，，則實(shí)數(shù)(    )A.  B.  C.  D. 如圖，已知等腰三角形是一個(gè)平面圖形的直觀圖，，斜邊，則這個(gè)平面圖形的面積是(    )A.
B.
C.
D. 的值等于(    )A.  B.  C.  D. 已知函數(shù)，其圖象相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸之間的距離為，且直線是其中一條對(duì)稱(chēng)軸，則下列結(jié)論正確的是(    )A. 函數(shù)的最小正周期為
B. 函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增
C. 點(diǎn)是函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心
D. 將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得到的圖象如圖所示，在空間四邊形中，點(diǎn)，分別是邊，的中點(diǎn)，點(diǎn)，分別是邊，上的點(diǎn)，且，則下列說(shuō)法正確的是(    )
，，，四點(diǎn)共面；與異面；
與的交點(diǎn)可能在直線上，也可能不在直線上；
與的交點(diǎn)一定在直線上．A.  B.  C.  D. 若，則(    )A.  B.  C.  D. 在中，，，，，分別是邊上的三等分點(diǎn)，則的值是(    )A.  B.  C.  D.  二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）下列函數(shù)周期為的是(    )A.  B.
C.  D. 已知，是兩個(gè)不重合的平面，，是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是(    )A. 若，，則
B. 若，，則
C. 若，，，則
D. 若，，，，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是(    )A. 若，，則
B. 若，則存在唯一實(shí)數(shù)使得
C. 兩個(gè)非零向量，，若，則與共線且反向
D. 已知向量，，且與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是下列結(jié)論正確的是(    )A. 在中，若，則
B. 在銳角三角形中，不等式恒成立
C. 在中，若，則是直角三角形
D. 在中，若，，，則的外接圓半徑為第II卷（非選擇題） 三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）計(jì)算          ．已知，，，則向量與向量的夾角為______．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個(gè)正四棱錐，以該四棱錐的高為邊長(zhǎng)的正方形面積等于該四棱錐一個(gè)側(cè)面三角形的面積，則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長(zhǎng)的比值為______ ．
 已知是斜三角形，角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，且，則的面積為______ ． 四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）已知復(fù)數(shù)，是虛數(shù)單位．
若在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)落在第一象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
若虛數(shù)是實(shí)系數(shù)一元二次方程的根，求實(shí)數(shù)的值．在長(zhǎng)方體中，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)．
求證：平面；
求異面直線和所成角的余弦值．
已知，，．
求的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；
求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值．如圖所示，，，，，．
若為中點(diǎn)，求；
是否存在實(shí)數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
在銳角中，角，，，的對(duì)邊分別為，，，從條件：，條件：，條件：這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知條件．
求角的大?。?/span>
若，求周長(zhǎng)的取值范圍．已知函數(shù)．
Ⅰ若函數(shù)是偶函數(shù)，求的最小值；
Ⅱ若，求的值；
Ⅲ求函數(shù)在上的最大值．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：，
，
的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限．
故選：．
根據(jù)已知條件，先對(duì)化簡(jiǎn)，再結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的定義，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解．
本題主要考查共軛復(fù)數(shù)的定義，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．
 2.【答案】 【解析】解：向量，，，，
向量，垂直，
所以，解得，
故選：．
根據(jù)向量垂直代入數(shù)量積即可求得答案．
本題主要考查向量的數(shù)量積的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題目．
 3.【答案】 【解析】解：是一平面圖形的直觀圖，斜邊，
直角三角形的直角邊長(zhǎng)是，
直角三角形的面積是，
原平面圖形的面積是，
故選：．
根據(jù)所給的直觀圖是一個(gè)等腰直角三角形且斜邊長(zhǎng)是，得到直角三角形的直角邊長(zhǎng)，做出直觀圖的面積，根據(jù)平面圖形的面積是直觀圖的倍，得到結(jié)果．
本題考查平面圖形的直觀圖，考查直觀圖與平面圖形的面積之間的關(guān)系，考查直角三角形的面積，是一個(gè)基礎(chǔ)題．
 4.【答案】 【解析】【分析】本題考查輔助角公式和誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，以及特殊角的三角函數(shù)值，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．
先利用輔助角公式和誘導(dǎo)公式將原式化為，再由特殊角的三角函數(shù)值，得解．【解答】解：
．
故選：．  5.【答案】 【解析】解：函數(shù)，
其圖象相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸之間的距離為，．
直線是其中一條對(duì)稱(chēng)軸，，，
令，可得，
故函數(shù)的周期為，故A錯(cuò)誤；
在區(qū)間上，，函數(shù)沒(méi)有單調(diào)性，故B錯(cuò)誤；
令，求得，可得點(diǎn)是函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，故C正確；
將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，可得的圖象，
再把得到的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得到的圖象，故D錯(cuò)誤，
故選：．
由題意利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)的圖象變換規(guī)規(guī)律，先求出函數(shù)的解析式，從而得出結(jié)論．
本題主要考查正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)圖象的變換規(guī)規(guī)律，屬于中檔題．
 6.【答案】 【解析】解：依題意，可得，，故FG，所以，，，四點(diǎn)共面，所以正確，錯(cuò)誤；
因?yàn)?/span>，，所以四邊形是梯形；
與必相交，設(shè)交點(diǎn)為．
因?yàn)辄c(diǎn)在上，故點(diǎn)在平面上，
同理，點(diǎn)在平面上，所以點(diǎn)是平面與平面的交點(diǎn)．
又是這兩個(gè)平面的交線，
所以點(diǎn)一定在直線上．所以正確，錯(cuò)誤．
故選：．
利用平面幾何的性質(zhì)及平行公理可得，且四邊形是梯形，結(jié)合公理可得答案．
本題考查了空間中兩直線的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．
 7.【答案】 【解析】解：，
．
故選：．
根據(jù)已知條件，結(jié)合三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和余弦函數(shù)的二倍角公式，即可求解．
本題主要考查了三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和余弦函數(shù)的二倍角公式，需要學(xué)生熟練掌握公式，屬于基礎(chǔ)題．
 8.【答案】 【解析】解：如圖，





．
故選：．
作圖，根據(jù)向量三角形法用表示出，結(jié)合已知條件得答案．
本題考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．
 9.【答案】 【解析】解：的最小正周期為，排除；
的最小正周期為，排除；
的最小正周期為，故C滿(mǎn)足條件；
的最小正周期為，故D滿(mǎn)足條件，
故選：．
利用周期公式求出個(gè)選項(xiàng)的周期即可．
本題主要考查三角函數(shù)的周期，屬于基礎(chǔ)題．
 10.【答案】 【解析】解：在中：若，，則與相交，平行或異面，故A錯(cuò)誤；
在中：若，，則或，故B錯(cuò)誤；
在中：若，，，根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，則，故C正確；
在中：若，，，，則，故D正確．
故選：．
根據(jù)空間中線面、線線的位置關(guān)系一一判斷即可．
本題考查了空間中直線與直線，直線與平面間的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．
 11.【答案】 【解析】解：對(duì)于：若，，則，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于：若，則存在唯一實(shí)數(shù)使得，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于：兩個(gè)非零向量，，若，則與共線且反向，故C正確；
對(duì)于：已知向量，，且與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是，故D錯(cuò)誤；
故選：．
直接利用向量的線性運(yùn)算，向量的坐標(biāo)運(yùn)算，共線向量的充要條件的應(yīng)用判斷、、、的結(jié)論．
本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：向量的線性運(yùn)算，向量的坐標(biāo)運(yùn)算，共線向量的充要條件，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于中檔題．
 12.【答案】 【解析】【分析】本題考查了三角函數(shù)的關(guān)系式的變換，正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于中檔題．
直接利用正弦定理、余弦定理和三角形的面積公式判斷、、、的結(jié)論．【解答】解：對(duì)于：在中，若，故，利用正弦定理：，故A正確；
對(duì)于：在銳角中，，所以，
故，所以恒成立，故B正確；
對(duì)于：在中，若，整理得：，
又，所以，即，
由于，，故，，所以，則是直角三角形，故C正確；
對(duì)于：在中，若，，三角形面積，
所以 ，解得，
所以，所以，則，故D錯(cuò)誤；
故選：．  13.【答案】 【解析】【分析】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算以及復(fù)數(shù)模的公式，需要熟練掌握公式，屬于基礎(chǔ)題．
根據(jù)已知條件，運(yùn)用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則以及復(fù)數(shù)模的公式，即可求解．【解答】解：，
故答案為：  14.【答案】 【解析】解：根據(jù)題意，設(shè)向量與向量的夾角為，
又由，，則，
解可得，
又由，則；
故答案為：．
根據(jù)題意，設(shè)向量與向量的夾角為，由數(shù)量積的計(jì)算公式可得，求出的值，分析可得答案．
本題考查向量數(shù)量積的計(jì)算，涉及向量夾角的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．
 15.【答案】 【解析】解：設(shè)正四棱錐的高為，底面邊長(zhǎng)為，側(cè)面三角形底邊上的高為，
則依題意有：，
因此有舍去；
故答案為：．
先根據(jù)正四棱錐的幾何性質(zhì)列出等量關(guān)系，進(jìn)而求解結(jié)論．
本題主要考查棱錐的幾何性質(zhì)，屬于中檔題．
 16.【答案】 【解析】【分析】
本題考查了正弦定理、余弦定理、三角形面積計(jì)算公式，考查了轉(zhuǎn)化思想，推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．
由，利用正弦定理可得，于是，即可得出的值，由，，可得，由正弦定理可知，由余弦定理，聯(lián)立解出，再利用三角形面積計(jì)算公式即可得出．
【解答】
解：，由正弦定理可得，
，
，
得，
，
．
又，
，
，
，
為斜三角形，
，
，由正弦定理可知，
由余弦定理，
，
由解得，，負(fù)值舍去
．
故答案為：．  17.【答案】解：，，，
在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)落在第一象限，
，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是；
由虛數(shù)是實(shí)系數(shù)一元二次方程的根，
得，即，
整理得，
，解得．
故． 【解析】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．
由已知結(jié)合復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，再由其實(shí)部與虛部均大于列不等式組求解的范圍；
把代入實(shí)系數(shù)一元二次方程，整理后利用復(fù)數(shù)相等的條件列式求得與值．
 18.【答案】證明：連接交于點(diǎn)，連接，
是中點(diǎn)，是中點(diǎn)，，
又平面，平面，
平面；
解：連接，，
在長(zhǎng)方體中，，，
四邊形是平行四邊形，
，
或其補(bǔ)角為異面直線與所成的角，
在中，，，，
，
異面直線與所成的角的余弦值為． 【解析】連接交于點(diǎn)，連接，由是中點(diǎn)，是中點(diǎn)，知，由此能證明平面．
連接，，在長(zhǎng)方體中，由，，知四邊形是平行四邊形，所以或其補(bǔ)角為異面直線與所成的角，由此能求出異面直線與所成的角的余弦值．
本題考查直線與平面平行的證明，考查異面直線所成角的余弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．
 19.【答案】解：，，
由
，
的最小正周期，
由，
得：，
的單調(diào)遞減區(qū)間為，；
由可得：
當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值為
當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值為
故得函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為． 【解析】本題考查三角函數(shù)化簡(jiǎn)及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，培養(yǎng)了學(xué)生分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．
由，根據(jù)向量的數(shù)量積的運(yùn)用可得的解析式，化簡(jiǎn)，利用周期公式求函數(shù)的最小正周期，最后將內(nèi)層函數(shù)看作整體，放到正弦函數(shù)的減區(qū)間上，解不等式得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；
在上時(shí)，求出內(nèi)層函數(shù)的取值范圍，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得出的最大值和最小值．
 20.【答案】解：以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．
因?yàn)?/span>，，，
所以，
所以，，．
因?yàn)?/span>，，所以，
又點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，所以點(diǎn)為線段中點(diǎn)，
所以，，
所以，，
所以．
因?yàn)?/span>，，
所以，
因?yàn)?/span>，，
所以，
若，
則，
所以或，
故存在或，使得． 【解析】本題考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算、向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示與向量的垂直關(guān)系、向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示，屬于中檔題．
以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．
根據(jù)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)得到點(diǎn)為線段中點(diǎn)，分別求出、的坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求出的值；
利用向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示分別求出、的坐標(biāo)，根據(jù)結(jié)合向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示與向量的垂直關(guān)系求出的值．
 21.【答案】解：選條件：因?yàn)?/span>，所以，即，
又因?yàn)?/span>為銳角三角形，所以，
，所以；
選條件：因?yàn)?/span>，所以，所以，
又因?yàn)?/span>，所以；
選條件：由正弦定理可得，
即，
又因?yàn)?/span>，所以，
，所以；

，
，，
所以，即
又，
周長(zhǎng)的取值范圍為． 【解析】選條件切化弦，得解；選條件等價(jià)轉(zhuǎn)換得解；選條件由正弦定理，邊化角得，再根據(jù)誘導(dǎo)公式等價(jià)轉(zhuǎn)化得解；
由正弦定理，邊化角得，結(jié)合的范圍求解．
本題考查了誘導(dǎo)公式和正弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．
 22.【答案】解：Ⅰ函數(shù)，
因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，且，
令，，解得，，
所以時(shí)取得最小值為；
Ⅱ因?yàn)?/span>，所以，
因?yàn)?/span>，所以，若，，不合題意，舍去；
所以，所以，
所以；
Ⅲ時(shí)，，
所以；
設(shè)，，
則，其中，
當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)；
當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)；
所以的最大值為． 【解析】Ⅰ化函數(shù)為正弦型函數(shù)，根據(jù)三角函數(shù)的奇偶性即可求出的最小值；
Ⅱ根據(jù)題意確定的取值范圍，利用三角恒等變換與同角的三角函數(shù)關(guān)系，即可求出的值；
Ⅲ求出時(shí)的取值范圍，利用換元法，即可求出的最大值．
本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了運(yùn)算求解能力和轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．
 

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