絕密★啟用前2021-2022學(xué)年上海實驗學(xué)校高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷  第I卷（選擇題） 一、單選題（本大題共4小題，共16.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）設(shè)函數(shù)，若，則的值為(    )A.  B.  C.  D. 設(shè)某生產(chǎn)線所生產(chǎn)的螺母內(nèi)徑單位：服從正態(tài)分布，生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定：若產(chǎn)品的內(nèi)徑與標(biāo)準(zhǔn)值之間的偏差超過，則劃分為不合格品．現(xiàn)從總數(shù)足夠多的一大批產(chǎn)品中抽樣件估計合格率，由于技術(shù)原因，只能檢測出內(nèi)徑超過的樣本共件，內(nèi)徑在和之間的樣本共件，則應(yīng)當(dāng)估計這批產(chǎn)品的合格率約為(    )A.  B.  C.  D. 公安部新修訂的機動車登記規(guī)定正式實施后，小型汽車的號牌已經(jīng)可以采用“自主編排”的方式進(jìn)行編排．某人欲選由、、、、中的兩個不同字母，和、、、、、、、、、中的個不同數(shù)字，組成的三個數(shù)字都相鄰的一個號牌，則他選擇號牌的方法種數(shù)最多有(    )A. 種 B. 種 C. 種 D. 種設(shè)函數(shù)的圖像上的點處的切線斜率為，若，則函數(shù)的圖像大致為(    )A.  B.
C.  D. 第II卷（非選擇題） 二、填空題（本大題共10小題，共40.0分）______．展開式中的常數(shù)項是______．函數(shù)在的導(dǎo)數(shù)______．假設(shè)某種動物生存到歲的概率為，生存到歲的概率為，則一只恰好歲的該動物生存到歲的概率為______．某人每天上班通勤有的概率選擇騎車，另外各有的概率選擇自駕和地鐵，已知騎車和自駕的遲到概率各為和，而地鐵則保證準(zhǔn)時到崗，則該人每天的遲到概率為______用百分?jǐn)?shù)表示．已知關(guān)于的展開式中，只有第項的二項式系數(shù)最大，則展開式的系數(shù)之和為          ．函數(shù)的導(dǎo)數(shù)______．設(shè)隨機變量服從二項分布，隨機變量服從二項分布，若，則______．如圖，用種不同的顏色把圖中，，，，塊區(qū)域分開，若相鄰區(qū)域不能涂同一種顏色，則涂色方法共有______ 種用數(shù)字作答．設(shè)集合，若且，記為中元素的最大值與最小值之和，則對所有的，的平均值______． 三、解答題（本大題共6小題，共72.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）設(shè)件產(chǎn)品中有件次品，件正品，試求下列事件的概率：
從中任取件都是次品；
從中任取件恰有件次品；
從中有放回地任取件都是正品；
從中有放回地任取件至少有件次品．設(shè)函數(shù)，曲線在點處的切線方程為．
求的解析式；
證明：曲線上任一點處的切線與直線和直線所圍成的三角形面積為定值，并求此定值．已知展開式中第三項的系數(shù)比第二項的系數(shù)大．
求的值；
求展開式中含的項，并指出該項的二項式系數(shù)．已知函數(shù)，曲線在點處的切線方程為．
Ⅰ求，的值；
Ⅱ求在上的最大值．從、、、中等可能地獨立抽樣兩次，記兩次的結(jié)果分別為隨機變量和，記號表示、中的較大者．
若做放回抽樣，求；
若做不放回抽樣，求；
計算，比較與的大小，并嘗試定性解釋：為何會有這樣的變化趨勢？
可能需要用到的公式：用記號表示，，其中，．
設(shè)，求的值；
在條件下，記，且不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
答案和解析 1.【答案】 【解析】【分析】
先計算，再根據(jù)，列出關(guān)于的方程，即可解出的值本題考查導(dǎo)數(shù)的運算，正確計算出是計算的關(guān)鍵．
【解答】
解：，
，
，
已知，
，解得．
故選D．  2.【答案】 【解析】解：由正態(tài)分布曲線的對稱性可得，因為內(nèi)徑在和之間的樣本共件，故估計內(nèi)徑在和之間的樣本共件，故內(nèi)徑大于的樣本大約件，故估計這批產(chǎn)品的合格率約為．
故選：．
根據(jù)正態(tài)分布曲線的對稱性求解即可．
本題考查正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義，考查曲線的對稱性，屬于基礎(chǔ)題．
 3.【答案】 【解析】解：先選字母，有種方法，再選個數(shù)字，有種方法，
把三個數(shù)字看作一個整體進(jìn)行排列有種方法，
再把個數(shù)字做成的一個整體和個字母進(jìn)行全排列，有種方法，
再根據(jù)分步計數(shù)原理求得他選擇號牌的方法種數(shù)最多有種，
故選：．
先選字母，有種方法，再選個數(shù)字，有種方法，把三個數(shù)字看作一個整體進(jìn)行排列有種方法，再把個數(shù)字做成的一個整體和個字母進(jìn)行全排列，有種方法，再根據(jù)分步計數(shù)原理運算求得結(jié)果．
本題主要考查排列與組合及兩個基本原理的應(yīng)用，屬于中檔題．
 4.【答案】 【解析】解：根據(jù)題意，

為該函數(shù)在點處切線的斜率


函數(shù)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱
再根據(jù)當(dāng)時，與均為正值
可得：時，，
故選：．
根據(jù)題意，為該函數(shù)在點處切線的斜率，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，得到，由此分析可得答案．
本題考查函數(shù)的圖象分析，涉及函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．
 5.【答案】 【解析】解：．
故答案為：．
根據(jù)組合數(shù)公式計算即可．
本題考查了組合數(shù)公式的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．
 6.【答案】 【解析】解：
令，得，
所以展開式中的常數(shù)項是10
故答案為：
寫出通項公式，令的系數(shù)為，求出的值，即可寫出常數(shù)項．
本題考查二項式定理的通項的應(yīng)用，屬基本題型、基本方法的考查．
 7.【答案】 【解析】解：因為，
所以，則，
故答案為：．
求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后令即可求解．
本題考查了導(dǎo)數(shù)的運算性質(zhì)，考查了學(xué)生的運算能力，屬于基礎(chǔ)題．
 8.【答案】 【解析】解：某種動物生存到歲為事件，生存到歲的概率為事件，
恰好歲的該動物生存到歲的概率為．
故答案為：．
根據(jù)條件概率公式計算即可．
本題考查條件概率，考查學(xué)生的計算能力，是基礎(chǔ)題．
 9.【答案】 【解析】解：該人每天的遲到概率為．
故答案為：．
分別求的騎車和自駕遲到的概率，再求和即可．
本題考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意相互獨立事件概率乘法公式的靈活運用．
 10.【答案】 【解析】【分析】本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，注意根據(jù)題意，分析所給代數(shù)式的特點，通過給二項式的賦值，求展開式的系數(shù)和，可以簡便的求出答案．
由題意求得，再令，可得展開式的系數(shù)之和，屬于中檔題．【解答】解：關(guān)于的展開式中，只有第項的二項式系數(shù)最大，即最大，解得，再根據(jù)，可得，令可得展開式的系數(shù)之和為．
故答案為．  11.【答案】 【解析】解：因為，所以，
故答案為：．
利用導(dǎo)數(shù)的運算性質(zhì)化簡即可求解．
本題考查了導(dǎo)數(shù)的運算性質(zhì)，考查了學(xué)生的運算能力，屬于基礎(chǔ)題．
 12.【答案】或 【解析】解：隨機變量服從二項分布，，
，解得或，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，．
故答案為：或．
根據(jù)已知條件，結(jié)合方差公式，求出或，再結(jié)合二項分布的概率公式，以及對立事件概率和為，即可求解．
本題主要考查離散型隨機變量方差公式，以及二項分布的概率公式，對立事件概率和為，屬于中檔題．
 13.【答案】 【解析】解：由題意知本題是一個分類計數(shù)問題，
只用三種顏色涂色時，有種．
用四種顏色涂色時，有種．
綜上得不同的涂法共有種．
故答案為：
本題是一個分類計數(shù)問題，只用三種顏色涂色時，有，用四種顏色涂色時，有種結(jié)果，根據(jù)分類計數(shù)原理得到結(jié)果．
本題以實際問題為載體，考查計數(shù)原理的運用．
 14.【答案】 【解析】解：當(dāng)時，，，所有的，的平均值為，
當(dāng)時，，，，，，，所有的，的平均值為，
當(dāng)時，，，，，，，
，，，，，，，，
所有的，的平均值為，
依此類推
集合，非空子集有個，所有的，的平均值為．
故答案為：．
集合有個元素，滿足條件的集合有個，為中元素的最大值與最小值之和，列舉出，，，，然后找規(guī)律可求出所求．
本題考查的知識點是集合的子集，其中正確理解的意義是解答的關(guān)鍵．解決新定義的題，關(guān)鍵是理解透新定義，新定義題型是近幾年高考?？嫉念}，要重視．
 15.【答案】解：取次，每次抽到的都是次品，故所求概率為；
件產(chǎn)品中取件的取法有種其中恰好件品的取法有種，所以從中任取件恰有件次品的概率為；
件產(chǎn)品中有件次品，件正品，故從中有放回地任取件都是正品的概率為；
有放回的抽取，每次去到次品的概率為，抽次至少有件次品的概率為． 【解析】取次，每次取到的都是次品，根據(jù)題意計算即可；
先求出取件恰有件次品的取法，再求出取出件的取法；
先計算從中有放回地任取件都是正品的概率為，再計算從中有放回地任取件都是正品的概率為；
有放回的抽取，每次取到次品的概率為，抽次至少有件次品分為件次品和件次品，件正品，計算對應(yīng)概率，相加即可．
本題主要考查古典概型的問題，熟記概率的計算公式即可，屬于?？碱}型．
 16.【答案】解析：方程可化為，當(dāng)時，，
又，于是，解得，故．

設(shè)為曲線上任一點，

由知，曲線在點處的切線方程為，
即
令，得，從而得切線與直線的交點坐標(biāo)為；令，得，從而得切線與直線的交點坐標(biāo)為；
所以點處的切線與直線，所圍成的三角形面積為．
故曲線上任一點處的切線與直線，所圍成的三角形面積為定值，此定值為． 【解析】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義及直線方程的相關(guān)知識，考查學(xué)生的運算能力，屬于中檔題．
已知曲線上的點，并且知道過此點的切線方程，容易求出斜率，又知點在曲線上，利用方程聯(lián)立解出，；
可以設(shè)為曲線上任一點，得到切線方程，再利用切線方程分別與直線和直線聯(lián)立，得到交點坐標(biāo)，接著利用三角形面積公式即可．
 17.【答案】解：展開式中第二項和第三項分別是：，．
根據(jù)題意得：，，又，．
故的值為．
設(shè)第項含項，則，，解得：．
含項為：二項式系數(shù)為：． 【解析】利用二項展開式通項寫出展開式中第三項的系數(shù)和第二項的系數(shù)，然后作差列方程可求解．
根據(jù)二項展開式通項解決．
本題考查二項式定理、方程思想，考查數(shù)學(xué)運算能力，屬于基礎(chǔ)題．
 18.【答案】解：Ⅰ，
由題設(shè)得，，
解得，．
Ⅱ由知，所以，
令，，
則，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，
即當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞增，
所以在上的最大值為． 【解析】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．
Ⅰ先求導(dǎo)，可得和，解得，．
Ⅱ求導(dǎo)，分析函數(shù)的單調(diào)性，從而求得函數(shù)的最值即可．
 19.【答案】解：若做放回抽樣，隨機變量的可能取值有，，，，
且，，，，



；
若做不放回抽樣，則的可能取值有，，，，
且，



；
，
且數(shù)列隨著的增大而減小，
故當(dāng)越大，有放回和無放回之間的差距越來越小，數(shù)據(jù)越大，
有無放回對第二次結(jié)果的影響越小，因此兩者之間期望差值就越?。?/span> 【解析】分析可知隨機變量的可能取值有，，，，求得，結(jié)合期望公式以及數(shù)列求和公式可求得；
分析可知的可能取值為，，，，計算出，結(jié)合期望公式以及數(shù)列求和公式可求得；
計算，對的變化對的影響，可得到結(jié)論．
本題考查有放回抽樣、無放回抽樣下離散型隨機變量數(shù)學(xué)期望、數(shù)列求和公式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題．
 20.【答案】解：將代入，得
，
令，則，
令，則，
所以；
令，則，
令，則，
所以，
根據(jù)已知條件可知，

，
所以，
將代入不等式，得
，
當(dāng)為偶數(shù)時，，
所以，
當(dāng)為奇數(shù)時，，
所以，
綜上，實數(shù)的取值范圍為． 【解析】將代入，再令，，即可求出的值；
求出代入不等式，分類討論，即可求出實數(shù)的取值范圍．
此題考査數(shù)列的應(yīng)用，考査二項式定理的應(yīng)用，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，解題的關(guān)鍵是利用賦值法求解，考查計算能力，屬于較難題．
 

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