絕密★啟用前2021-2022學(xué)年上海市浦東新區(qū)華東師大附屬東昌中學(xué)高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷  第I卷（選擇題） 一、單選題（本大題共4小題，共12.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）甲、乙、丙、丁四位同學(xué)在建立變量，的回歸模型時(shí)，分別選擇了種不同模型，計(jì)算可得它們的相關(guān)系數(shù)分別如表：學(xué)生甲乙丙丁則建立的回歸模型擬合效果最好的同學(xué)是(    )A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁下列命題中，錯(cuò)誤的命題為(    )A. 已知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，若，，則
B. 將一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)都加上同一個(gè)常數(shù)后，方差恒不變
C. 設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則
D. 某人在次射擊中，擊中目標(biāo)的次數(shù)為，，則當(dāng)時(shí)概率最大已知函數(shù)的圖象如圖所示，其中是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，則函數(shù)的大致圖象可以是(    )
A.  B.
C.  D. 下列關(guān)于曲線的結(jié)論正確的是(    )A. 曲線是橢圓 B. 的取值范圍是
C. 關(guān)于直線對(duì)稱 D. 曲線所圍成的封閉圖形面積大于第II卷（非選擇題） 二、填空題（本大題共12小題，共36.0分）函數(shù)在到之間的平均變化率為______．若方程表示雙曲線，則此雙曲線的虛軸長(zhǎng)為______．已知函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為______．在箱子中有個(gè)小球，其中有個(gè)紅球，個(gè)白球．從這個(gè)球中任取個(gè)，記表示白球的個(gè)數(shù)，則______．某地經(jīng)過多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水青山．為估計(jì)一林區(qū)某種樹木的總材積量，隨機(jī)選取了棵這種樹木，測(cè)量每棵樹的根部橫截面積單位：和材積量單位：，得到如下數(shù)據(jù)：樣本號(hào)根部橫截面積材積量則該林區(qū)這種樹木的根部橫截面積與材積量的樣本相關(guān)系數(shù)______精確到．設(shè)隨機(jī)變量行合二項(xiàng)分布服從，則______．現(xiàn)有張卡片，分別寫上數(shù)字，，，，從這張卡片中隨機(jī)抽取張，記所抽取卡片上數(shù)字的最小值為，則______．已知直線：與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值為______．從，，，，，，，，這個(gè)數(shù)字中不放回地依次取個(gè)數(shù)，事件“第一次取到的是偶數(shù)”，“第二次取到的是奇數(shù)”，則______．已知，為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，過點(diǎn)且垂直于軸的直線交雙曲線于點(diǎn)，且，則此雙曲線的漸近線方程為______．實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍是______．若在上嚴(yán)格增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______． 三、解答題（本大題共5小題，共52.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）本小題分
求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；
；
．本小題分
一醫(yī)療隊(duì)為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)查了例稱為病例組，同時(shí)在未患該疾病的人群中隨機(jī)調(diào)查了人稱為對(duì)照組，得到如下數(shù)據(jù)： 不夠良好良好病例組對(duì)照組問：能否有的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異？本小題分
甲、乙兩個(gè)學(xué)校進(jìn)行體育比賽，比賽共設(shè)三個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目勝方得分，負(fù)方得分，沒有平局．三個(gè)項(xiàng)目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍．已知甲學(xué)校在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的概率分別為，，，各項(xiàng)目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立．
求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；
用表示乙學(xué)校的總得分，求的分布與期望．本小題分
已知橢圓的離心率為，左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為、．
求的值；
點(diǎn)在橢圓上，求線段的長(zhǎng)度的最大值及取最大值時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；
不過點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，記直線，，的斜率分別為，，，若證明：直線過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．本小題分
已知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，其解析式為，其中，．
當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；
若函數(shù)有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍；
若對(duì)于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范圍．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于，
則擬合效果越好，，
故建立的回歸模型擬合效果最好的同學(xué)是甲．
故選：．
根據(jù)已知條件，結(jié)合相關(guān)系數(shù)的定義，即可求解．
本題主要考查相關(guān)系數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．
 2.【答案】 【解析】解：選項(xiàng)，根據(jù)二項(xiàng)分布的期望，方差公式可得
解得選項(xiàng)錯(cuò)誤，根據(jù)方差的定義容易判斷選項(xiàng)正確，
根據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱性：，選項(xiàng)正確；
設(shè)，這里且，
當(dāng)時(shí)，并令，解得，又，
于是，時(shí)，，即，另一方面，，
結(jié)合可知時(shí)，
即，綜上可知最大，即時(shí)概率最大，選項(xiàng)正確．
故選：．
選項(xiàng)利用二項(xiàng)分布的期望和方差求解，選項(xiàng)根據(jù)方差的定義很容易判斷，選項(xiàng)利用正態(tài)曲線的對(duì)稱性求解，選項(xiàng)列出的概率，利用數(shù)列的單調(diào)性求解．
本題考查離散型隨機(jī)變量，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．
 3.【答案】 【解析】【分析】
本題考查函數(shù)圖象的判斷，考查導(dǎo)數(shù)性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查函數(shù)與方程思想，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題．
當(dāng)時(shí)，，是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，是減函數(shù)．由此能得到函數(shù)的大致圖象．
【解答】
解：由函數(shù)的圖象得到：
當(dāng)時(shí)，，是減函數(shù)，排除選項(xiàng)C和；
當(dāng)時(shí)，，是增函數(shù)，排除；
當(dāng)時(shí)，，是增函數(shù)，排除，；
當(dāng)時(shí)，，是減函數(shù)，排除．
由此得到函數(shù)的大致圖象可以是．
故選：．  4.【答案】 【解析】解：因?yàn)榍€，不是橢圓方程，
所以曲線不是橢圓，故A正確；
因?yàn)榍€，
所以，所以，故B錯(cuò)誤；
曲線與軸正半軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，
若曲線關(guān)于直線對(duì)稱，
則點(diǎn)也在曲線上，
又，所以點(diǎn)不在曲線上，
所以曲線不關(guān)于直線對(duì)稱，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于，曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，，
則以，四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為，
所以曲線所圍成的封閉圖形面積大于，故D正確．
故選：．
根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可判斷；易得，即可判斷；舉出反例即可判斷；求出曲線與坐標(biāo)軸的四個(gè)交點(diǎn)所構(gòu)成的四邊形的面積，即可判斷．
本題考查了曲線與方程的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．
 5.【答案】 【解析】解：函數(shù)在到之間的平均變化率為，
故答案為：．
利用平均變化率的定義求解．
本題主要考查了平均變化率的定義，屬于基礎(chǔ)題．
 6.【答案】 【解析】解：方程，
由方程表示雙曲線，所以，，
所以虛軸長(zhǎng)為．
故答案為：．
根據(jù)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程直接求解．
本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)，由雙曲線方程求解虛軸的長(zhǎng)度等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．
 7.【答案】 【解析】解：由，得，
，又，
曲線在點(diǎn)處的切線方程為，
即．
故答案為：．
求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)值，再求出，利用直線方程的點(diǎn)斜式得答案．
本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，是基礎(chǔ)題．
 8.【答案】 【解析】解：在箱子中有個(gè)小球，其中有個(gè)紅球，個(gè)白球．
從這個(gè)球中任取個(gè)，
基本事件總數(shù)，
記表示白球的個(gè)數(shù)，則包含的基本事件個(gè)數(shù)，
．
故答案為：．
從這個(gè)球中任取個(gè)，基本事件總數(shù)，記表示白球的個(gè)數(shù)，則包含的基本事件個(gè)數(shù)，由此能求出．
本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．
 9.【答案】 【解析】解：，
，
，
，
，
．
故答案為：．
根據(jù)相關(guān)系數(shù)的公式計(jì)算即可．
本題考查相關(guān)系數(shù)的計(jì)算，是基礎(chǔ)題．
 10.【答案】 【解析】解：由題意，，故D．
故答案為：．
根據(jù)二項(xiàng)分布的方差公式求解，再根據(jù)方差的性質(zhì)求解即可．
本題考查了二項(xiàng)分布的方差公式，屬于基礎(chǔ)題．
 11.【答案】 【解析】解：現(xiàn)有張卡片，分別寫上數(shù)字，，，，從這張卡片中隨機(jī)抽取張，
基本事件總數(shù)，
記所抽取卡片上數(shù)字的最小值為，則包含的基本事件個(gè)數(shù)，
．
故答案為：．
基本事件總數(shù)，記所抽取卡片上數(shù)字的最小值為，則包含的基本事件個(gè)數(shù)，由此能求出的值．
本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．
 12.【答案】或 【解析】解：由，得，
，
整理，得，
直線：與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，
，解得，
當(dāng)直線與軸平行時(shí)，所以直線與拋物線有一個(gè)交點(diǎn)．
故答案為：或．
由，結(jié)合已知條件，知，直線與拋物線的軸平行時(shí)，也滿足題意，由此能求出的值．
本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．
 13.【答案】 【解析】解：從，，，，，，，，這個(gè)數(shù)字中不放回地依次取個(gè)數(shù)，
事件“第一次取到的是偶數(shù)”，“第二次取到的是奇數(shù)”，
，，
則．
故答案為：．
利用條件概率求解．
本題考查概率的求法，考查條件概率等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．
 14.【答案】 【解析】解：如圖，
由得，；
；
；
，
；
；
；
此雙曲線的漸近線方程為．
故答案為：．
先將代入雙曲線方程，根據(jù)，轉(zhuǎn)化求解，這樣即可求得該雙曲線的漸近線方程．
考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，雙曲線的焦點(diǎn)及焦距，一元二次方程的求根公式，雙曲線的漸近線方程的概念及求法．
 15.【答案】 【解析】解：因?yàn)閷?shí)數(shù)滿足，
可設(shè)，，，
所以，其中，
當(dāng)時(shí)，有最大值為，
當(dāng)時(shí)，有最小值為，
所以的取值范圍是，
故答案為：．
根據(jù)題意可利用圓的參數(shù)方程，將所求的式子的最值問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題求解即可．
本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，利用圓的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值是解題關(guān)鍵，屬于中檔題．
 16.【答案】 【解析】解：因?yàn)?/span>在上嚴(yán)格增，
且，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
設(shè)，則在上恒成立，
當(dāng)，即時(shí)，只需，即，此時(shí)無解；
當(dāng)，即時(shí)，只需，即，此時(shí)無解；
當(dāng)，即時(shí)，只需，即．
綜上所述，．
故答案為：
由題意可得在上恒成立，設(shè)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．
本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生的邏輯思維能力和運(yùn)算能力，屬中檔題．
 17.【答案】解：．
． 【解析】利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求解．
本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．
 18.【答案】解：由題意得列聯(lián)表：   不夠良好 良好 合計(jì) 病例組    對(duì)照組    合計(jì)  ，
有的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異． 【解析】根據(jù)題目所給的數(shù)據(jù)填寫列聯(lián)表，計(jì)算，對(duì)照題目中的表格，得出統(tǒng)計(jì)結(jié)論．
本題主要考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
 19.【答案】解：甲學(xué)校要獲得冠軍，需要在場(chǎng)比賽種至少獲勝場(chǎng)，
當(dāng)甲場(chǎng)都獲勝時(shí)，概率為，
當(dāng)甲獲勝場(chǎng)時(shí)，概率為，
所以甲學(xué)校獲得冠軍的概率為；
解：可取，，，，
，
，
，
，
則的分布列為：           所以． 【解析】分甲場(chǎng)都獲勝和甲獲勝場(chǎng)兩種情況討論，再結(jié)合相互獨(dú)立事件的乘法公式計(jì)算即可得出答案；
寫出隨機(jī)變量的所有可能取值，分別求出對(duì)應(yīng)隨機(jī)變量的概率，即可得出分布列，再根據(jù)期望公式即可求出數(shù)學(xué)期望．
本題考查了離散型隨機(jī)變量的分布列與期望，屬于中檔題．
 20.【答案】解：由題意可知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，
則，所以，
所以．
由得橢圓的方程為，
則，設(shè)，
則，
因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，
所以，
則，
則，
所以當(dāng)時(shí)，的最大值為，此時(shí)，
所以
證明：，設(shè)設(shè)直線的方程為，，，
聯(lián)立方程組，消去得：
，
則，，
所以
，
因?yàn)槿?/span>，
所以，
即，
即，
即，
即，
化簡(jiǎn)可得：，
解得或，
又因直線不過點(diǎn)，
所以，
所以直線得方程為，
所以直線過定點(diǎn)． 【解析】易得橢圓的焦點(diǎn)在軸上，根據(jù)橢圓得離心率即可求得；
設(shè)，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案；
設(shè)直線的方程為，，，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理和兩點(diǎn)間的斜率公式化簡(jiǎn)，結(jié)合，即可求得與的關(guān)系，從而可得出結(jié)論．
本題考查直線與橢圓的綜合應(yīng)用，考查學(xué)生的邏輯思維能力和運(yùn)算能力，屬中檔題．
 21.【答案】解：．
當(dāng)時(shí)，．
令，解得，，．
當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下表：               極小值極大值 極小值 所以在，內(nèi)是增函數(shù)，在，內(nèi)是減函數(shù)．
，顯然不是方程的根．
因?yàn)楹瘮?shù)有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)，
所以成立，
即，所以，
這時(shí)是唯一極值．
因此滿足條件的的取值范圍是
因?yàn)?/span>，
所以當(dāng)時(shí)，，故恒成立．
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
因此函數(shù)在上的最大值是與兩者中的較大者．
為了使得，不等式在上恒成立，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，恒成立，
所以，
因此滿足條件的的取值范圍是． 【解析】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于時(shí)求原函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于時(shí)求原函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；
由于，若函數(shù)有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)，則恒成立，從而可求得的取值范圍；
依題意，可得函數(shù)在上的最大值是與兩者中的較大者，即，解之即可求出的范圍．
本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查不等式恒成立問題，突出轉(zhuǎn)化與化歸思想與綜合分析和解決問題的能力的考查，屬于難題．
 

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