第2章 圓與方程
第二課時　圓的一般方程
課標要求
1.在平面直角坐標系中，探索并掌握圓的一般方程.2.能根據(jù)某些具體條件，運用待定系數(shù)法求圓的方程，并能用圓的一般方程解決簡單問題.
素養(yǎng)要求
通過推導圓的一般方程，進一步提升數(shù)學抽象及數(shù)學運算素養(yǎng).
問題導學預習教材必備知識探究
內(nèi)容索引
互動合作研析題型關鍵能力提升
拓展延伸分層精練核心素養(yǎng)達成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
問題導學預習教材 必備知識探究
1
一、圓的一般方程的定義1.思考　(1)如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0能表示圓，有什么條件？
(2)如果方程Ax2＋By2＋Cxy＋Dx＋Ey＋F＝0能表示圓，有什么條件？
D2＋E2－4F>0
D2＋E2－4F0)，可以直接看出圓心坐標(a，b)和半徑r，圓的幾何特征明顯.(2)由圓的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，知道圓的方程是一種特殊的二元二次方程，圓的代數(shù)特征明顯.
(3)
3.做一做　若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以(2，－4)為圓心，4為半徑的圓，則F＝________.
4
二、點與圓的位置關系1.填空　已知點M(x0，y0)和圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，則其位置關系如下表：
>
＝
1
B
即26a0來判斷二元二次方程是否表示圓時，務必注意x2及y2的系數(shù)為1.
訓練1 (1)若方程2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)表示圓，則圓心坐標和半徑分別 為__________________；
(2)點M，N在圓x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且點M，N關于直線x－y＋1＝0對稱，則該圓的面積為________.
9π
例2 已知△ABC三個頂點的坐標為A(1，3)，B(－1，－1)，C(－3，5). (1)求這個三角形外接圓的一般方程；
題型二　圓的一般方程的求法
解　法一　設所求圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0).∵此圓過A，B，C三點，
∴r2＝10.∴圓的方程為(x＋2)2＋(y－2)2＝10，即圓的一般方程為x2＋y2＋4x－4y－2＝0.
聯(lián)立解得圓心坐標為(－2，2).設圓的半徑為r，則r2＝(1＋2)2＋(3－2)2＝10，∴圓的方程為(x＋2)2＋(y－2)2＝10，即圓的一般方程為x2＋y2＋4x－4y－2＝0.
∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC，∴△ABC是以∠A為直角的直角三角形，∴外接圓圓心為BC的中點，即(－2，2)，
∴圓的方程為(x＋2)2＋(y－2)2＝10，即圓的一般方程為x2＋y2＋4x－4y－2＝0.
(2)并判斷點M(1，2)，N(4，5)，Q(2，3)與圓的位置關系.
解　∵M(1，2)，∴12＋22＋4×1－4×2－2＝－10，∴點N(4，5)在圓外.∵Q(2，3)，∴22＋32＋4×2－4×3－2＝7>0，∴點Q(2，3)在圓外.
本題法一、法二中采用了待定系數(shù)法.用待定系數(shù)法求圓的方程時：(1)如果由已知條件容易求得圓心坐標、半徑或需利用圓心的坐標或半徑列方程的問題，一般采用圓的標準方程，再用待定系數(shù)法求出a，b，r.(2)如果已知條件和圓心或半徑都無直接關系，一般采用圓的一般方程，再用待定系數(shù)法求出常數(shù)D，E，F(xiàn).法三則是充分利用了圓的性質(zhì)：“弦的中垂線過圓心”.通過求兩條弦的中垂線的交點求出圓心，再求出半徑后寫出圓的標準方程，再將標準方程化成一般方程.
訓練2 已知△ABC的三個頂點坐標分別是A(0，5)，B(1，－2)，C(－3，－4)，求它的外接圓的方程，并求其外心坐標.
解　設△ABC的外接圓方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0).將A，B，C三點坐標代入上式得
∴△ABC外接圓的方程為x2＋y2＋6x－2y－15＝0，即(x＋3)2＋(y－1)2＝25，∴△ABC的外接圓圓心為(－3，1)，即△ABC的外心坐標為(－3，1).
題型三　求動點的軌跡方程
角度1　直接法求軌跡方程
角度2　代入法求軌跡方程
例4 已知點P在圓C：x2＋y2－8x－6y＋21＝0上運動，求線段OP的中點M的軌跡方程.
角度3　定義法求動點的軌跡方程
例5 已知直角△ABC的斜邊為AB，且A(－1，0)，B(3，0)，求直角頂點C的軌跡方程.
解　法一　設頂點C(x，y)，因為AC⊥BC，且A，B，C三點不共線，所以x≠3，且x≠－1.
化簡，得x2＋y2－2x－3＝0.所以直角頂點C的軌跡方程為x2＋y2－2x－3＝0(x≠3，且x≠－1).法二　同法一，得x≠3，且x≠－1.由勾股定理，得AC2＋BC2＝AB2，即(x＋1)2＋y2＋(x－3)2＋y2＝16，化簡得x2＋y2－2x－3＝0.所以直角頂點C的軌跡方程為x2＋y2－2x－3＝0(x≠3，且x≠－1).法三　設AB的中點為D，由中點坐標公式，得D(1，0).
由圓的定義，知動點C的軌跡是以D(1，0)為圓心，以2為半徑長的圓(因為A，B，C三點不共線，所以應除去與x軸的交點).設C(x，y)，則直角頂點C的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝4(x≠3，且x≠－1).
求軌跡方程的三種常用方法(1)直接法：根據(jù)題目條件，建立坐標系，設出動點坐標，找出動點滿足的條件，然后化簡、證明.(2)定義法：當動點的運動軌跡符合圓的定義時，可利用定義寫出動點的軌跡方程.(3)代入法：若動點P(x，y)依賴于某圓上的一個動點Q(x1，y1)而運動，把x1，y1用x，y表示，再將Q點的坐標代入到已知圓的方程中，得點P的軌跡方程.
特別提醒　在解決此類問題時易出現(xiàn)不符合條件的點仍在所求的軌跡上，故應排除不合適的點.
訓練3 已知△ABC的邊AB長為4，若BC邊上的中線為定長3，求頂點C的軌跡方程.
解　以直線AB為x軸，AB的中垂線為y軸建立直角坐標系(如圖)，則點A(－2，0)，B(2，0).設C(x，y)，BC中點D(x0，y0).
∵點C不能在x軸上，∴y≠0.綜上，點C的軌跡是以(－6，0)為圓心，6為半徑的圓，去掉(－12，0)和(0，0)兩點.軌跡方程為(x＋6)2＋y2＝36(y≠0).
課堂小結(jié)
1.牢記2個知識點(1)圓的一般方程.(2)點與圓的位置關系.2.重點掌握3種方法(1)二元二次方程表示圓的判定方法.(2)待定系數(shù)法求圓的方程.(3)代入法求軌跡方程的一般步驟.3.注意1個易錯點易錯點是忽略二元二次方程表示圓的條件.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分層精練 核心素養(yǎng)達成
3
1.圓x2＋y2－2x＋6y＋8＝0的面積為(　　)A.8π B.4π C.2π D.π
C
2.(多選)下列結(jié)論正確的是(　　 )
ABD
解析　A，B顯然正確；C中方程可化為(x＋1)2＋(y－3)2＝0，所以表示點(－1，3)；D正確.
3.(多選)若圓x2＋y2－2ax＋3by＝0的圓心位于第三象限，則直線x＋ay＋b＝0一定經(jīng)過(　 　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
ABC
C
A.x2＋y2－2x＋4y＝0B.x2＋y2＋2x＋4y＝0C.x2＋y2＋2x－4y＝0D.x2＋y2－2x－4y＝0
∴圓的方程為(x＋1)2＋(y－2)2＝5，即x2＋y2＋2x－4y＝0.
5.圓C：x2＋y2－4x＋2y＝0關于直線y＝x＋1對稱的圓的方程是(　　)A.(x＋1)2＋(y－2)2＝5B.(x＋4)2＋(y－1)5＝5C.(x＋2)2＋(y－3)2＝5D.(x－2)2＋(y＋3)2＝5
C
6.已知點A(1，2)在圓x2＋y2＋2x＋3y＋m＝0內(nèi)，則實數(shù)m的取值范圍是____________.
(－∞，－13)
解析　因為A(1，2)在圓x2＋y2＋2x＋3y＋m＝0內(nèi)，所以1＋4＋2＋6＋m＜0，解得m＜－13.
7.過三點O(0，0)，M(1，1)，N(4，2)的圓的方程為__________________.
x2＋y2－8x＋6y＝0
8.過原點O作圓x2＋y2－8x＝0的弦OA，延長OA到N，使OA＝AN，則點N的軌跡方程為________________.
x2＋y2－16x＝0
化簡，得x2＋y2－16x＝0.所以點N的軌跡方程為x2＋y2－16x＝0.
9.已知P是圓x2＋y2＝16上的動點，A(12，0)，M為PA的中點，求點M的軌跡方程.
解　設M(x，y)，∵A(12，0)，M為PA的中點，∴P(2x－12，2y).∵P為圓x2＋y2＝16上的動點，∴(2x－12)2＋4y2＝16，即(x－6)2＋y2＝4.故所求軌跡方程為(x－6)2＋y2＝4.
解　法一　設圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，　　　 　 ?、?br>解②③⑤聯(lián)立成的方程組，
故所求圓的方程為x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x－8y＋4＝0.法二　求得PQ的中垂線方程為x－y－1＝0.①∵所求圓的圓心C在直線①上，故設其坐標為C(a，a－1)，
AC
12.已知點M(1，0)是圓C：x2＋y2－4x－2y＝0內(nèi)的一點，那么過點M的最短弦所在直線的方程是____________；最長弦所在直線的方程為____________.
x＋y－1＝0
x－y－1＝0
13.設定點M(－3，4)，動點N在圓x2＋y2＝4上運動，以OM，ON為鄰邊作?MONP，求點P的軌跡.
解　如圖所示，
又點N在圓x2＋y2＝4上，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4.
14.若直線l：ax＋by＋1＝0始終平分圓M：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0的周長，則(a－2)2＋(b－2)2的最小值為(　　)
B

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