第1課時 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.掌握圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程. 2.會用待定系數(shù)法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，能準(zhǔn)確判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系.3.能用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解決一些實(shí)際應(yīng)用問題．
導(dǎo)語 人們向往圓滿的人生，對于象征著團(tuán)圓、和諧、美滿的中秋圓月更是情有獨(dú)鐘！有詩道：“明月四時有，何事喜中秋？瑤臺寶鑒，宜掛玉宇最高頭．放出白毫千丈，散作太虛一色，萬象入吾眸．星斗避光彩，風(fēng)露助清幽．”圓是完美的圖形，這節(jié)課我們繼續(xù)學(xué)習(xí)在平面直角坐標(biāo)系下有關(guān)圓的知識．
一、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
問題1 圓是怎樣定義的？確定它的要素又是什么呢？各要素與圓有怎樣的關(guān)系？
提示 平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合叫作圓，定點(diǎn)稱為圓心，定長稱為圓的半徑．
確定圓的要素：圓心和半徑，
圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大?。?br>問題2 已知圓的圓心為A(a，b)，半徑為r，你能推導(dǎo)出該圓的方程嗎？
提示 設(shè)圓上任一點(diǎn)M(x，y)，則MA＝r，由兩點(diǎn)間的距離公式，得eq \r(?x－a?2＋?y－b?2)＝r，
化簡可得(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
知識梳理
確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程需要兩個條件：圓心坐標(biāo)與半徑．
注意點(diǎn)：
(1)當(dāng)圓心在原點(diǎn)即A(0,0)，半徑長r＝1時，方程為x2＋y2＝1，稱為單位圓．
(2)相同的圓，建立坐標(biāo)系不同時，圓心坐標(biāo)不同，導(dǎo)致圓的方程不同，但是半徑是不變的．
(3)圓上的點(diǎn)都滿足方程，滿足方程的點(diǎn)都在圓上．
例1 (1)與y軸相切，且圓心坐標(biāo)為(－5，－3)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________________．
答案 (x＋5)2＋(y＋3)2＝25
解析 ∵圓心坐標(biāo)為(－5，－3)，又與y軸相切，
∴該圓的半徑為5，
∴該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋5)2＋(y＋3)2＝25.
(2)以兩點(diǎn)A(－3，－1)和B(5,5)為直徑端點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是________________．
答案 (x－1)2＋(y－2)2＝25
解析 ∵AB為直徑，
∴AB的中點(diǎn)(1,2)為圓心，
eq \f(1,2)AB＝eq \f(1,2)eq \r(?5＋3?2＋?5＋1?2)＝5為半徑，
∴該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y－2)2＝25.
反思感悟 直接法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的策略
確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程只需確定圓心坐標(biāo)和半徑，常用到中點(diǎn)坐標(biāo)公式、兩點(diǎn)間距離公式，有時還用到平面幾何知識，如“弦的中垂線必過圓心”“兩條弦的中垂線的交點(diǎn)必為圓心”等．
跟蹤訓(xùn)練1 求滿足下列條件的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：
(1)圓心是(4,0)，且過點(diǎn)(2,2)；
(2)圓心在y軸上，半徑為5，且過點(diǎn)(3，－4)．
解 (1)r2＝(2－4)2＋(2－0)2＝8，
∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－4)2＋y2＝8.
(2)設(shè)圓心為C(0，b)，則(3－0)2＋(－4－b)2＝52，
∴b＝0或b＝－8，∴圓心為(0,0)或(0，－8)，
又r＝5，
∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25.
二、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系
問題3 點(diǎn)M0(x0，y0)在圓x2＋y2＝r2內(nèi)的條件是什么？在圓x2＋y2＝r2外的條件又是什么？
提示 點(diǎn)在圓內(nèi)時，點(diǎn)到圓心的距離小于半徑，點(diǎn)在圓外時，點(diǎn)到圓心的距離大于半徑．
知識梳理
點(diǎn)與圓的位置關(guān)系
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其圓心為C(a，b)，半徑為r，點(diǎn)P(x0，y0)，設(shè)d＝PC＝eq \r(?x0－a?2＋?y0－b?2).
例2 已知圓的圓心M是直線2x＋y－1＝0與直線x－2y＋2＝0的交點(diǎn)，且圓過點(diǎn)P(－5,6)，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并判斷點(diǎn)A(2,2)，B(1,8)，C(6,5)是在圓上，在圓內(nèi)，還是在圓外？
解 解方程組eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y－1＝0，,x－2y＋2＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝1，))
∴圓心M的坐標(biāo)為(0,1)，
半徑r＝MP＝eq \r(52＋?1－6?2)＝5eq \r(2).
∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋(y－1)2＝50.
∵AM＝eq \r(?2－0?2＋?2－1?2)＝eq \r(5)r，
∴點(diǎn)C在圓外．
∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋(y－1)2＝50，且點(diǎn)A在圓內(nèi)，點(diǎn)B在圓上，點(diǎn)C在圓外．
反思感悟 判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的兩種方法
(1)幾何法：主要利用點(diǎn)到圓心的距離與半徑比較大?。?br>(2)代數(shù)法：把點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，判斷式子兩邊的大小，并作出判斷．
跟蹤訓(xùn)練2 已知圓心為點(diǎn)C(－3，－4)，且經(jīng)過原點(diǎn)，求該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并判斷點(diǎn)P1(－1,0)，P2(1，－1)，P3(3，－4)和圓的位置關(guān)系．
解 因?yàn)閳A心是C(－3，－4)，且經(jīng)過原點(diǎn)，
所以圓的半徑r＝eq \r(?－3－0?2＋?－4－0?2)＝5，
所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x＋3)2＋(y＋4)2＝25.
因?yàn)镻1C＝eq \r(?－1＋3?2＋?0＋4?2)＝eq \r(4＋16)＝2eq \r(5)5，
所以P3(3，－4)在圓外．
三、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的實(shí)際應(yīng)用
例3 已知某圓拱橋，當(dāng)水面距拱頂2米時，水面寬12米，當(dāng)水面下降1米后，水面寬多少米？
解 以拱頂為坐標(biāo)原點(diǎn)，以過拱頂且與圓拱相切的直線為x軸，以過拱頂?shù)呢Q直直線為y軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則O(0,0)，A(6，－2)．
設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋(y＋r)2＝r2(r＞0)．
將A(6，－2)的坐標(biāo)代入方程得r＝10，
∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋(y＋10)2＝100.
當(dāng)水面下降1米后，可設(shè)點(diǎn)A′(x0，－3)(x0＞0)．
將A′(x0，－3)代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，解得x0＝eq \r(51)，
∴水面下降1米后，水面寬為2x0＝2eq \r(51)(米)．
反思感悟 解決圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的實(shí)際應(yīng)用題時應(yīng)注意以下幾個方面
跟蹤訓(xùn)練3 一輛卡車寬1.6 m，要經(jīng)過一個半圓形隧道(半徑為3.6 m)，則這輛卡車的平頂車篷篷頂距地面高度不得超過( )
A．1.4 m B．3.5 m
C．3.6 m D．2.0 m
答案 B
解析 建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)篷頂距地面的高度為h，
則A(0.8，h)，半圓所在圓的方程為x2＋y2＝3.62，
把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入上式可得，0.82＋h2＝3.62，
解得h＝4eq \r(0.77)≈3.5 m.
1．知識清單：
(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
(2)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．
(3)與圓有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用問題．
2．方法歸納：直接法、幾何法、待定系數(shù)法．
3．常見誤區(qū)：幾何法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時出現(xiàn)漏解情況．
1．圓C：(x－2)2＋(y＋1)2＝3的圓心坐標(biāo)為( )
A．(2,1) B．(2，－1)
C．(－2,1) D．(－2，－1)
答案 B
解析 結(jié)合圓的標(biāo)準(zhǔn)形式可知，圓C的圓心坐標(biāo)為(2，－1)．
2．以(2 020,2 020)為圓心，2 021為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為( )
A．(x－2 020)2＋(y－2 020)2＝2 0212
B．(x＋2 020)2＋(y＋2 020)2＝2 0212
C．(x－2 020)2＋(y－2 020)2＝2 021
D．(x＋2 020)2＋(y＋2 020)2＝2 021
答案 A
解析 由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程知(x－2 020)2＋(y－2 020)2＝2 0212.
3．若點(diǎn)(2a，a－1)在圓x2＋(y－1)2＝5的外部，則a的取值范圍為________．
答案 a＞1或a＜－eq \f(1,5)
解析 因?yàn)?2a，a－1)在圓x2＋(y－1)2＝5的外部，所以4a2＋(a－2)2＞5，解得a＞1或a＜－eq \f(1,5).
4．若點(diǎn)(1,1)在圓(x＋2)2＋y2＝m上，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是________________．
答案 (x＋2)2＋y2＝10
解析 因?yàn)辄c(diǎn)(1,1)在圓(x＋2)2＋y2＝m上，故(1＋2)2＋1＝m.
∴m＝10，即圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋2)2＋y2＝10.
課時對點(diǎn)練
1．已知兩直線x－2y＝0和x＋y－3＝0的交點(diǎn)為M，則以點(diǎn)M為圓心，半徑長為1的圓的方程是( )
A．(x＋1)2＋(y＋2)2＝1
B．(x－1)2＋(y－2)2＝1
C．(x＋2)2＋(y＋1)2＝1
D．(x－2)2＋(y－1)2＝1
答案 D
解析 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2y＝0，,x＋y－3＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝1，))即圓心M(2,1)，又半徑為1，所以圓的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝1.
2．圓(x－1)2＋(y－1)2＝2關(guān)于直線y＝kx＋3對稱，則k的值是( )
A．2 B．－2 C．1 D．－1
答案 B
解析 圓(x－1)2＋(y－1)2＝2關(guān)于直線y＝kx＋3對稱，則直線過圓心(1,1)，
即1＝k＋3，解得k＝－2.
3．圓心在直線2x＋y＝0上，并且經(jīng)過點(diǎn)A(1,3)和B(4,2)的圓的半徑為( )
A．3 B．4 C．5 D．6
答案 C
解析 設(shè)圓心坐標(biāo)為(a，b)，
則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(?a－1?2＋?b－3?2＝?a－4?2＋?b－2?2，,2a＋b＝0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝－2，))
所以該圓的半徑r＝eq \r(?1－1?2＋?－2－3?2)＝5.
4．若點(diǎn)(5eq \r(a)＋1，eq \r(a))在圓(x－1)2＋y2＝26的內(nèi)部，則a的取值范圍是( )
A．0

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高中數(shù)學(xué)蘇教版 (2019)選擇性必修第一冊電子課本

2.1 圓的方程

版本： 蘇教版 (2019)

年級： 選擇性必修第一冊

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