考點一 極坐標直角坐標、參數(shù)方程之間的相互轉(zhuǎn)化
1．在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2＋2cs α，,y＝4＋2sin α))(α為參數(shù))，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρ＝4sin θ.
(1)把C1的參數(shù)方程化為極坐標方程；
(2)求C1與C2交點的極坐標(ρ≥0,0≤θ0，設(shè)A，B兩點對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，
則t1＋t2＝－eq \r(3)，t1·t2＝－3，且t1，t2異號．
∴eq \f(1,|PA|)＋eq \f(1,|PB|)＝eq \f(|t1－t2|,|t1·t2|)
＝eq \f(\r(?t1＋t2?2－4t1·t2),|t1·t2|)
＝eq \f(\r(?－\r(3)?2－4×?－3?),|－3|)＝eq \f(\r(15),3).
3．(2022·陜西長安一中模擬)在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2cs α＋2sin α，,y＝cs α－sin α))(α為參數(shù))，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為ρcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝2eq \r(2).
(1)求曲線C的普通方程及直線l的直角坐標方程；
(2)若A，B為直線l上距離為4的兩動點，點P為曲線C上的動點．求△PAB面積的最大值．
解 (1)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2cs α＋2sin α，,y＝cs α－sin α，))
得x2＋(2y)2＝8，即eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,2)＝1為曲線C的普通方程，
由ρcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝2eq \r(2)，
得ρeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)cs θ＋\f(\r(2),2)sin θ))＝2eq \r(2)，
所以x＋y＝4，即x＋y－4＝0為直線l的直角坐標方程．
(2)設(shè)曲線C上任一點P(2eq \r(2)cs θ，eq \r(2)sin θ)，則P到直線l的距離為d＝eq \f(|2\r(2)cs θ＋\r(2)sin θ－4|,\r(2))＝|2cs θ＋sin θ－2eq \r(2)|＝|eq \r(5)sin(θ＋φ)－2eq \r(2)|，其中φ為銳角，sin φ＝eq \f(2,\r(5))，cs φ＝eq \f(1,\r(5))，
所以sin(θ＋φ)＝－1時，dmax＝eq \r(5)＋2eq \r(2)，
S△PAB的最大值為eq \f(1,2)×4×(eq \r(5)＋2eq \r(2))＝2eq \r(5)＋4eq \r(2).
4．(2022·哈爾濱模擬)在直角坐標系中，曲線C的方程為eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為ρcs θ＋2ρsin θ＋a＝0.
(1)當a＝10時，在曲線C上求一點M，使點M到直線l的距離最大，并求出最大距離；
(2)當a＝1時，直線l與曲線C交于A，B兩點，弦AB的中點為Q，定點P(3，－2)，求eq \f(|PQ|,|PA|·|PB|)的值．
解 (1)曲線C方程為eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1，
轉(zhuǎn)換為參數(shù)方程為eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3cs θ，,y＝2sin θ))(θ 為參數(shù))，
當a＝10時，直線l的極坐標方程為ρcs θ＋2ρsin θ＋10＝0，
根據(jù)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝ρcs θ，,y＝ρsin θ，,))轉(zhuǎn)換為直角坐標方程為x＋2y＋10＝0.
設(shè)M(3cs θ，2sin θ)，
利用點到直線的距離公式d＝eq \f(|3cs θ＋4sin θ＋10|,\r(12＋22))
＝eq \f(|5cs?θ－α?＋10|,\r(5))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs α＝\f(3,5)，sin α＝\f(4,5)))，
當θ＝α?xí)r，dmax＝eq \f(15,\r(5))＝3eq \r(5)，
即點Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,5)，\f(8,5))).
(2)當a＝1時，直線的直角坐標方程為x＋2y＋1＝0.
轉(zhuǎn)換為參數(shù)方程為eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3－\f(2\r(5),5)t，,y＝－2＋\f(\r(5),5)t)) (t為參數(shù))，
代入eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1，
得到25t2－84eq \r(5)t＋180＝0，
所以t1＋t2＝eq \f(84\r(5),25)，t1t2＝eq \f(36,5)，
所以|PA||PB|＝|t1t2|＝eq \f(36,5)，|PQ|＝eq \f(|t1＋t2|,2)＝eq \f(42\r(5),25)，
所以eq \f(|PQ|,|PA|·|PB|)＝eq \f(\f(42\r(5),25),\f(36,5))＝eq \f(7\r(5),30).

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