1.掌握相似三角形的判定定理2；（重點(diǎn)）2.能熟練運(yùn)用相似三角形的判定定理2．（難點(diǎn)）
問題1.有兩邊對應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似嗎?
問題2.類比三角形全等的判定方法（SAS,SSS），猜想可以添加什么條件來判定兩個(gè)三角形相似？
改變 k 和∠A 的值的大小，是否有同樣的結(jié)論？
我們來證明一下前面得出的結(jié)論：
如圖，在△ABC與△A′B′C′中，已知∠A= ∠A′，
證明：在 △A′B′C′ 的邊 A′B′ 上截取點(diǎn)D，使 A′D = AB．過點(diǎn) D 作 DE∥B′C′，交 A′C′ 于點(diǎn) E.
∵ DE∥B′C′，∴ △A′DE∽△A′B′C′.
求證：△ABC∽△A′B′C′.
∴ A′E = AC . 又 ∠A′ = ∠A.∴ △A′DE ≌ △ABC， ∴ △A′B′C′ ∽ △ABC.
由此得到利用兩邊和夾角來判定三角形相似的定理：兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似．
∴ △ABC ∽ △A′B′C′ .
對于△ABC和 △A′B′C′，如果 A′B′ : AB= A′C′ : AC. ∠B= ∠B′，這兩個(gè)三角形一定會(huì)相似嗎？
不會(huì)，如下圖，因?yàn)椴荒茏C明構(gòu)造的三角形和原三角形全等.
如果兩個(gè)三角形兩邊對應(yīng)成比例，但相等的角不是兩條對應(yīng)邊的夾角，那么兩個(gè)三角形不一定相似，相等的角一定要是兩條對應(yīng)邊的夾角.
例1 根據(jù)下列條件，判斷 △ABC 和 △A′B′C′ 是否相似，并說明理由：∠A=120°，AB=7 cm，AC=14 cm， ∠A′=120°，A′B′=3 cm ，A′C′=6 cm．
又 ∠A′ = ∠A，∴ △ABC ∽ △A′B′C′.
1. 在 △ABC 和 △DEF 中，∠C =∠F=70°，AC = 3.5 cm，BC = 2.5 cm，DF =2.1 cm，EF =1.5 cm. 求證：△DEF∽△ABC.
證明：∵ AC = 3.5 cm，BC = 2.5 cm，DF = 2.1 cm，EF = 1.5 cm，
又 ∵∠C =∠F = 70°，∴ △DEF ∽△ABC.
2. 如圖，△ABC 與 △ADE 都是等腰三角形，AD=AE， AB=AC，∠DAB=∠CAE. 求證：△ABC ∽△ADE.
證明：∵ △ABC 與 △ADE 是等腰三角形，∴ AD =AE，AB = AC，
又 ∵∠DAB = ∠CAE，∴ ∠DAB +∠BAE = ∠CAE +∠BAE，即 ∠DAE =∠BAC，∴△ABC ∽ △ADE.
解：∵ AE=1.5，AC=2，
例2 如圖，D，E分別是 △ABC 的邊 AC，AB 上的點(diǎn)，AE=1.5，AC=2，BC=3，且 ，求 DE 的長.
又∵∠EAD=∠CAB，∴ △ADE ∽△ABC，
提示：解題時(shí)要找準(zhǔn)對應(yīng)邊.
證明：∵ CD 是邊 AB 上的高， ∴ ∠ADC =∠CDB =90°.
∴△ADC ∽△CDB，∴ ∠ACD =∠B，∴ ∠ACB =∠ACD +∠BCD =∠B +∠BCD = 90°.
例3 如圖，在 △ABC 中，CD 是邊 AB 上的高，且 ，求證 ∠ACB=90°．
方法總結(jié)：解題時(shí)需注意隱含條件，如垂直關(guān)系，三角形的高等.
(1) 兩個(gè)等邊三角形相似 ( )(2) 兩個(gè)直角三角形相似 ( )(3) 兩個(gè)等腰直角三角形相似 ( )(4) 有一個(gè)角是50°的兩個(gè)等腰三角形相似 ( )
2. 如圖，D 是 △ABC 一邊 BC 上一點(diǎn)，連接 AD，使 △ABC ∽ △DBA的條件是 ( ) A. AC : BC=AD : BD B. AC : BC=AB : AD C. AB2 = CD · BC D. AB2 = BD · BC
3. 如圖 △AEB 和 △FEC (填 “相似” 或 “不相似”) .
解析：當(dāng) △ADP ∽△ACB 時(shí)，AP : AB =AD : AC ，∴ AP : 12 =6 : 8 ，解得 AP = 9；當(dāng) △ADP ∽△ABC 時(shí)，AD : AB =AP : AC ，∴ 6 : 12 = AP : 8 ，解得 AP = 4. ∴ 當(dāng) AP 的長度為 4 或 9 時(shí)，△ADP 和 △ABC 相似．
4. 如圖，已知 △ABC中，D 為邊 AC 上一點(diǎn)，P 為邊 AB上一點(diǎn)，AB = 12，AC = 8，AD = 6，當(dāng) AP 的長 度為 時(shí)，△ADP 和 △ABC 相似.
5. 如圖，在四邊形 ABCD 中，已知 ∠B =∠ACD， AB=6，BC=4，AC=5，CD= ，求 AD 的長．
又∵∠B=∠ACD，∴ △ABC ∽ △DCA，
6. 如圖，∠DAB =∠CAE，且 AB · AD = AE·AC，求證△ABC ∽△AED.
證明：∵ AB · AD = AE·AC，
又∵ ∠DAB =∠CAE，∴∠ DAB +∠BAE =∠CAE +∠BAE ，即∠DAE =∠BAC，∴ △ABC ∽△AED.
兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似
利用兩邊及夾角判定三角形相似
相似三角形的判定定理的運(yùn)用

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4 探索三角形相似的條件

版本： 北師大版

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