2022年上海市楊浦區(qū)中考數(shù)學(xué)三模試卷 題號(hào)一二三四總分得分       一、選擇題（本大題共6小題，共24分）的倒數(shù)是(    )A.  B.  C.  D. 在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(    )A.  B.  C.  D. 下列運(yùn)算中，正確的是(    )A.  B.
C.  D. 如果二次函數(shù)的圖象全部在軸的上方，那么下列判斷中一定正確的是(    )A. ， B. ， C. ， D. ，一個(gè)事件的概率不可能是(    )A.  B.  C.  D. 如圖，已知，點(diǎn)、在射線上點(diǎn)在點(diǎn)、之間，半徑長(zhǎng)為的與直線相切，半徑長(zhǎng)為的與相交，那么的取值范圍是(    )
A.  B.  C.  D.  二、填空題（本大題共12小題，共48分）用代數(shù)式表示：的倍與的的差：______ ．分解因式： ______ ．已知函數(shù)，那么______．計(jì)算：______．已知中，設(shè)，，那么______結(jié)果用、表示如果二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在軸上，那么的值是______．已知二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸在軸右側(cè)，且在對(duì)稱軸左側(cè)函數(shù)的值隨的值增大而增大．請(qǐng)寫出一個(gè)符合上述條件的二次函數(shù)的解析式______只需寫一個(gè)如果梯形的下底長(zhǎng)為，中位線長(zhǎng)為，那么其上底長(zhǎng)為______ ．已知是的弦，如果的半徑長(zhǎng)為，長(zhǎng)為，那么圓心到弦的距離是______ ．從一棟二層樓的樓頂點(diǎn)處看對(duì)面的教學(xué)樓，探測(cè)器顯示，看到教學(xué)樓底部點(diǎn)處的俯角為，看到樓頂部點(diǎn)處的仰角為，已知兩棟樓之間的水平距離為米，那么教學(xué)樓的高______米．結(jié)果保留根號(hào)
 新定義：如果一個(gè)三角形一條邊上的高等于這條邊，那么這個(gè)三角形叫做等高底三角形，這條邊叫做等底．如圖，是等高底三角形，是等底，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，如果點(diǎn)是的重心，那么的值是______．
如圖，已知在中，，，，點(diǎn)是斜邊上一點(diǎn)，過點(diǎn)作交邊于點(diǎn)，過點(diǎn)作的平行線，與過點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn)如果點(diǎn)恰好在的平分線上，那么的長(zhǎng)為______．
  三、計(jì)算題（本大題共2小題，共20分）計(jì)算：．解方程：． 四、解答題（本大題共5小題，共58分）已知：如圖，在中，，，的垂直平分線交于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．
求的正弦值；
求點(diǎn)到直線的距離．
A、兩座城市之間有一條高速公路，甲、乙兩輛汽車同時(shí)分別從這條路兩端的入口處駛?cè)耄⑹冀K在高速公路上正常行駛．甲車從城駛往城，乙車從城駛往城，甲車在行駛過程中速度始終不變．甲車距城高速公路入口處的距離千米與行駛時(shí)間時(shí)之間的關(guān)系如圖．
求關(guān)于的函數(shù)解析式；
已知乙車以千米時(shí)的速度勻速行駛，當(dāng)乙車與甲車相遇后速度隨即改為千米時(shí)并保持勻速行駛，結(jié)果比甲車晚分鐘到達(dá)終點(diǎn)，求乙車變化后的速度．
已知：如圖，在中，，，點(diǎn)、分別是邊、的中點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．
求證：四邊形是菱形；
聯(lián)結(jié)，如果，求證：．
如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸、軸分別交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)在第二象限內(nèi)，，且．
求點(diǎn)的坐標(biāo)；
將沿軸向右平移，點(diǎn)、、的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)、、，如果點(diǎn)、都落在雙曲線上，求的值；
如果直線與第小題中的雙曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)和，求的值．
已知在中，，是的內(nèi)角的平分線，過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．
如圖，聯(lián)結(jié)，求證：；
如圖，如果，求的值；
如果以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑的圓恰好經(jīng)過的斜邊中線與邊的交點(diǎn)，且，求邊的長(zhǎng)．
 

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：的倒數(shù)，
故選：．
求一個(gè)數(shù)的倒數(shù)就是把這個(gè)數(shù)的分子分母交換位置即可，互為倒數(shù)的兩個(gè)數(shù)的乘積為．
本題考查實(shí)數(shù)的性質(zhì)，做此類型的題目關(guān)鍵在于對(duì)實(shí)數(shù)相關(guān)概念如倒數(shù)等的理解．
 2.【答案】 【解析】解：點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為．
故選：．
根據(jù)“關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)”解答即可．
本題考查了關(guān)于軸、軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，解決本題的關(guān)鍵是掌握好對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律：關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)；關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)．
 3.【答案】 【解析】解：、，故A不符合題意；
B、，故B不符合題意；
C、，故C符合題意；
D、，故D不符合題意；
故選：．
根據(jù)整式的加法、乘法，除法，冪的乘方與積的乘方法則進(jìn)行計(jì)算，逐一判斷即可解答．
本題考查了整式的混合運(yùn)算，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
 4.【答案】 【解析】解：當(dāng)拋物線開口向上，且拋物線與軸無交點(diǎn)時(shí)，圖象全部在軸上方，
，拋物線與軸交點(diǎn)在軸上方，即，
故選：．
由次函數(shù)的圖象全部在軸的上方，可得拋物線開口向上，拋物線與軸交點(diǎn)位置，從而可判定，的符號(hào)．
本題考查拋物線與軸的交點(diǎn)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．
 5.【答案】 【解析】解：一個(gè)事件的概率不可能是，
故選：．
根據(jù)概率的意義，概率公式，即可解答．
本題考查了概率的意義，概率公式，熟練掌握這些數(shù)學(xué)概念是解題的關(guān)鍵．
 6.【答案】 【解析】解：設(shè)與直線相切時(shí)切點(diǎn)為，連接，
，
，，
，
當(dāng)與相內(nèi)切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，如圖，
，
；
當(dāng)與相外切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，如圖，
，
半徑長(zhǎng)為的與相交，那么的取值范圍是：，
故選：．
作半徑，根據(jù)直角三角形度角的性質(zhì)得：，再確認(rèn)與相切時(shí)，的長(zhǎng)，可得結(jié)論．
本題考查了圓和圓的位置關(guān)系、切線的性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握?qǐng)A和圓相交和相切的關(guān)系是關(guān)鍵，還利用了數(shù)形結(jié)合的思想，通過圖形確定的取值范圍．
 7.【答案】 【解析】解：的倍與的的差為：
故答案為：
用的倍減去的列式得出答案即可．
此題考查列代數(shù)式，理解語言敘述的運(yùn)算順序與計(jì)算方法是解決問題的關(guān)鍵．
 8.【答案】 【解析】解：原式．
故答案為：．
原式利用十字相乘法分解即可．
此題考查了因式分解十字相乘法，熟練掌握十字相乘的方法是解本題的關(guān)鍵．
 9.【答案】 【解析】解：，
．
故答案為：．
根據(jù)已知直接將代入求出答案．
此題主要考查了函數(shù)值，正確將已知數(shù)據(jù)代入是解題關(guān)鍵，本題屬于基礎(chǔ)題．
 10.【答案】 【解析】解：原式．
分式的加減運(yùn)算中，如果是同分母分式，那么分母不變，把分子直接相加減即可；如果是異分母分式，則必須先通分，把異分母分式化為同分母分式，然后再相加減．
本題考查了分式的加減運(yùn)算．解決本題首先應(yīng)通分，最后要注意將結(jié)果化為最簡(jiǎn)分式．
 11.【答案】 【解析】解：，
．
故答案為：．
由可得出答案．
本題考查平面向量，熟練掌握平面向量的加減運(yùn)算是解答本題的關(guān)鍵．
 12.【答案】 【解析】解：拋物線的頂點(diǎn)在軸上，
，即，
解得．
故答案是：．
因?yàn)閽佄锞€頂點(diǎn)在軸上，故函數(shù)圖象與軸只有一個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)，即可求出的值．
此題考查了二次函數(shù)圖象與軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)與根的判別式的關(guān)系，要明確：時(shí)，圖象與軸有兩個(gè)交點(diǎn)；，圖象與軸有一個(gè)交點(diǎn)；，圖象與軸無交點(diǎn)．
 13.【答案】 【解析】解：根據(jù)題意，二次函數(shù)的解析式是，
故答案為：．
根據(jù)拋物線在對(duì)稱軸的右側(cè)，且在對(duì)稱軸左側(cè)函數(shù)的值隨的值增大而增大，則；根據(jù)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸在軸的右側(cè)，，則，即可得到解析式．
此題考查了二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，能夠根據(jù)變化規(guī)律確定的符號(hào)，能夠根據(jù)對(duì)稱軸的位置確定的符號(hào)．
 14.【答案】 【解析】解：設(shè)梯形的上底長(zhǎng)為；
由題意得：，
解得：，
故答案為．
設(shè)出梯形的上底長(zhǎng)，直接運(yùn)用梯形的中位線定理列出關(guān)于上底的方程，求出即可解決問題．
該題主要考查了梯形的中位線定理及其應(yīng)用問題；應(yīng)牢固掌握梯形的中位線定理并能靈活運(yùn)用．
 15.【答案】 【解析】解：如圖所示：
過點(diǎn)作于點(diǎn)，
，
，
在中，
，，
．
故答案為：．
根據(jù)題意畫出圖形，過點(diǎn)作于點(diǎn)，由垂徑定理可得出的長(zhǎng)，在中，利用勾股定理及可求出的長(zhǎng)．
本題考查的是垂徑定理及勾股定理，根據(jù)題意畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合求解是解答此題的關(guān)鍵．
 16.【答案】 【解析】解：過點(diǎn)作于點(diǎn)．

則米，，，
在中，，
解得，
在中，，
解得，
米．
故答案為：
過點(diǎn)作于點(diǎn)則米，在中，，解得，在中，，解得，由可得出答案．
本題考查解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值是解答本題的關(guān)鍵．
 17.【答案】 【解析】解：延長(zhǎng)與交于點(diǎn)，

點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)，
，，，
是等高底三角形，是等底，
，
點(diǎn)是的重心，
，
設(shè)，則，
，

故答案為：．
延長(zhǎng)與交于點(diǎn)，根據(jù)軸對(duì)稱性質(zhì)得，，，再由是等高底三角形，是等底，得，再根據(jù)三角形的重心定理得，設(shè)，則，由勾股定理用表示，進(jìn)而計(jì)算的值便可．
本題主要考查了對(duì)稱變換，三角形的重心性質(zhì)，新定義，關(guān)鍵是根據(jù)三角形的重心性質(zhì)得出與的數(shù)量關(guān)系．
 18.【答案】 【解析】解：在中，，，，
，，
，
，
，
∽，
，
設(shè)，則，，
，
，
，
，，
平分，，
，
，
，，
四邊形是平行四邊形，
，
，
，
解得，
，
故答案為：．
根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系可求出，，再根據(jù)相似三角形，用含有的代數(shù)式表示、、，再根據(jù)角平分線的定義以及等腰三角形的判定得出，進(jìn)而列方程求出即可．
本題考查直角三角形的邊角關(guān)系，角平分線的定義，相似三角形的判定和性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)，掌握直角三角形的邊角關(guān)系以及相似三角形的判定和性質(zhì)是解決問題的前提，用含有的代數(shù)式表示、、是正確解答的關(guān)鍵．
 19.【答案】解：原式

． 【解析】利用絕對(duì)值的意義，零指數(shù)冪的意義，特殊角的三角函數(shù)值，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義解答即可．
本題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，絕對(duì)值的意義，零指數(shù)冪的意義，特殊角的三角函數(shù)值，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義，正確利用上述法則與性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．
 20.【答案】解：
方程兩邊同乘，
得，
整理得，，
檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，
是原方程的解． 【解析】根據(jù)解分式方程的一般步驟計(jì)算．
本題考查的是分式方程的解法，解分式方程時(shí)，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母為，所以應(yīng)如下檢驗(yàn)：
將整式方程的解代入最簡(jiǎn)公分母，如果最簡(jiǎn)公分母的值不為，則整式方程的解是原分式方程的解．
將整式方程的解代入最簡(jiǎn)公分母，如果最簡(jiǎn)公分母的值為，則整式方程的解不是原分式方程的解．
 21.【答案】解：過點(diǎn)作于點(diǎn)．
，，
．
在中，，，
，
是的垂直平分線，
，，
，
又，
，
，
即的正弦值為；

過點(diǎn)作于點(diǎn)．
在中，，，，
，
．
在中，，，
，
即點(diǎn)到的距離為． 【解析】過點(diǎn)作于點(diǎn)由等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出在中，根據(jù)正弦函數(shù)的定義得出，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，則；
過點(diǎn)作于點(diǎn)解直角，求出，則再解直角，求出，即點(diǎn)到的距離為．
本題考查了解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，準(zhǔn)確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
 22.【答案】解：設(shè)與的函數(shù)解析式：，
將點(diǎn)，代入函數(shù)解析式，
得，
解得，
；
當(dāng)時(shí)，，
兩車相遇時(shí)，，
解得，
根據(jù)題意，得，
解得，
答：乙車變化后的速度為千米時(shí)． 【解析】待定系數(shù)法求解析式；
先求出甲車從到所用時(shí)間，再求出兩車的相遇時(shí)間，根據(jù)題意列方程，求解即可．
本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法求解析式，理解題意并根據(jù)題意建立方程是解題的關(guān)鍵．
 23.【答案】證明：點(diǎn)、分別是邊、的中點(diǎn)，
是的中位線，
，，
，
，
，
，，
四邊形為平行四邊形，
，
，
，
，
四邊形是平行四邊形，
，
四邊形是菱形；
如圖，設(shè)，，則，
，

，
，
，
，
∽，
，即，
，
由勾股定理得：，
，
，
，
． 【解析】先根據(jù)三角形的中位線定理可得：，，證明四邊形為平行四邊形，可得，再證明，根據(jù)對(duì)角線互相平分且垂直的四邊形是菱形可得結(jié)論；
如圖，設(shè)，，則，證明∽，得，并結(jié)合勾股定理可得結(jié)論．
本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)和判定，三角形的中位線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，第有難度，證明∽是解題的關(guān)鍵．
 24.【答案】解：過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，如圖所示：

則，
，
，
，
，
，
，
≌，
，，
當(dāng)時(shí)，，
，
，
當(dāng)時(shí)，，
，
，
，，
點(diǎn)坐標(biāo)為；
設(shè)沿軸向右平移距離為，
則，，
點(diǎn)、都落在雙曲線上，
，
解得，
點(diǎn)，
；
聯(lián)立，
解得或，
點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，


． 【解析】過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，易證≌，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得點(diǎn)坐標(biāo)；
設(shè)沿軸向右平移距離為，則，，根據(jù)點(diǎn)、都落在雙曲線上，列方程求出的值，進(jìn)一步可求出的值；
聯(lián)立直線解析式與反比例函數(shù)解析式可得點(diǎn)和點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)可求出的面積．
本題考查了反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，全等三角形的判定和性質(zhì)，平移的性質(zhì)，三角形的面積等，本題綜合性較強(qiáng)，構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．
 25.【答案】證明：如圖，
延長(zhǎng)，相交于點(diǎn)，
是的平分線，
，
，
，
，
≌，
，
，
在中，，
；

解：如圖，
在中，，
設(shè)，則，
根據(jù)勾股定理得，，
過點(diǎn)作于，
是的平分線，，
，
，
，

，
，
，
在中，根據(jù)勾股定理得，，
，，
∽，
，
，
；

解：如備用圖，
設(shè)，則，
是的斜邊的中線，
，
，
，
以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑的圓恰好經(jīng)過的斜邊中線與邊的交點(diǎn)，
，
，
，
，
，
在中，．
【注】如圖，在中，，，平分，
證明：，
證明：設(shè)，，
在中，，，
，
平分，
，
，
，
，
，
．
，
，
∽，
，
，
或舍去，
過點(diǎn)作于，則，
，
． 【解析】延長(zhǎng)，相交于點(diǎn)，判斷出≌，得出，再判斷出，即可得出結(jié)論；
設(shè)，則，，過點(diǎn)作于，利用面積法判斷出，進(jìn)而求出，，進(jìn)而求出，再判斷出∽，得出，即可求出答案；
設(shè)，則，進(jìn)而求出，進(jìn)而求出，即可求出答案．
此題是圓的綜合題，主要考查了角平分線定理，勾股定理，面積法，相似三角形的判定和性質(zhì)，作出輔助線是解本題的關(guān)鍵．
 

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