1．在下列四個(gè)實(shí)數(shù)中，最小的數(shù)是（ ）
A．﹣2B．C．0D．
2．在下列二次根式中，與是同類二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
3．將拋物線y＝x2向左平移2個(gè)單位后得到新的拋物線的表達(dá)式為（ ）
A．y＝x2+2B．y＝x2﹣2C．y＝（x+2）2D．y＝（x﹣2）2
4．下列圖形中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
5．在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)A（2，1）為圓心，1為半徑的圓與x軸的位置關(guān)系是（ ）
A．相離B．相切C．相交D．不確定
6．已知在四邊形ABCD中，AB∥CD，添加下列一個(gè)條件后，一定能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是（ ）
A．AD＝BCB．AC＝BDC．∠A＝∠CD．∠A＝∠B
二、填空題（本大題共12題，每題4分，滿分48分）【請(qǐng)將結(jié)果直接填入答題紙的相應(yīng)位置上】
7．當(dāng)x＜1時(shí)，化簡(jiǎn)：|x﹣1|＝ ．
8．計(jì)算：（2a+b）（2a﹣b）＝ ．
9．已知函數(shù)f（x）＝，那么f（10）＝ ．
10．正八邊形的中心角等于 度．
11．已知一斜坡的坡比為1：2，坡角為α，那么sinα＝ ．
12．已知一組數(shù)據(jù)24、27、19、13、23、12，那么這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是 ．
13．在英語(yǔ)句子“Wishyusuccess!”（祝你成功?。┲腥芜x一個(gè)字母，這個(gè)字母為“s”的概率為 ．
14．已知直線y＝kx+b在y軸上的截距為3，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，4），那么這條直線的表達(dá)式為 ．
15．用換元法解方程時(shí)，可設(shè)，則原方程可化為關(guān)于y的整式方程為 ．
16．已知在△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，BD＝2CD，設(shè)，那么用、表示＝ ．
17．我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一副“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”（如圖1）．圖2由弦圖變化得到，它是由八個(gè)全等的直角三角形拼接而成，記圖中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面積分別為S1、S2、S3，如果S1+S2+S3＝48，那么S2的值是 .
18．如圖，已知在等邊△ABC中，AB＝4，點(diǎn)P在邊BC上，如果以線段PB為半徑的⊙P與以邊AC為直徑的⊙O外切，那么⊙P的半徑長(zhǎng)是 ．

三、解答題（本大題共7題，滿分78分）
19．（10分）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中x＝．
20．（10分）解不等式組：，并將解集在數(shù)軸上表示出來(lái)．

21．（10分）如圖，已知在⊙O中，OD⊥AB，垂足為點(diǎn)D，DO的延長(zhǎng)線與⊙O相交于點(diǎn)C，點(diǎn)E在弦AB的延長(zhǎng)線上，CE與⊙O相交于點(diǎn)F，AB＝CD＝8，tanC＝1．
（1）求⊙O的半徑長(zhǎng)；
（2）求的值．

22．（10分）閱讀下列有關(guān)記憶的資料，分析保持記憶的措施和方法．資料：德國(guó)心理學(xué)家艾賓浩斯對(duì)人的記憶進(jìn)行了研究，他采用無(wú)意義的音節(jié)作為記憶的材料進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，獲得了如表中的相關(guān)數(shù)據(jù)，然后他又根據(jù)表中的數(shù)據(jù)繪制了一條曲線，這就是著名的艾賓浩斯遺忘曲線．其中橫軸表示時(shí)間，縱軸表示學(xué)習(xí)中的記憶量．
觀察表格和圖象，回答下列問(wèn)題：
（1）圖中點(diǎn)A的坐標(biāo)表示的實(shí)際意義是 ；
（2）在下面哪個(gè)時(shí)間段內(nèi)遺忘的速度最快 ．
A.0﹣20分鐘
B.20分鐘﹣1小時(shí)
C.1小時(shí)﹣9小時(shí)
D.1天﹣2天
（3）王老師每節(jié)數(shù)學(xué)課最后五分鐘都會(huì)對(duì)本節(jié)課進(jìn)行回顧總結(jié)，并要求學(xué)生每天晚上對(duì)當(dāng)天課堂上所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行復(fù)習(xí)．據(jù)調(diào)查這樣一天后記憶量能保持98%，如果小明同學(xué)一天沒(méi)有復(fù)習(xí)，那么記憶量大約會(huì)比復(fù)習(xí)過(guò)的記憶量減少多少？由此對(duì)你的學(xué)習(xí)有什么啟示？

23．（12分）已知：如圖，在△ABC中，AD⊥BC，垂足為點(diǎn)D，AD＝BD，點(diǎn)E為邊AD上一點(diǎn)，且DE＝DC，聯(lián)結(jié)BE并延長(zhǎng)，交邊AC于點(diǎn)F．
（1）求證：BF⊥AC；
（2）過(guò)點(diǎn)A作BC的平行線交BF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，聯(lián)結(jié)CG．如果DE2＝AE?AD，求證：四邊形ADCG是矩形．

24．（12分）如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0）和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C（0，2）．
（1）求這條拋物線的表達(dá)式；
（2）如果將拋物線向下平移m個(gè)單位，使平移后的拋物線的頂點(diǎn)恰好落在線段BC上，求m的值；
（3）如果點(diǎn)P是拋物線位于第一象限上的點(diǎn)，聯(lián)結(jié)PA，交線段BC于點(diǎn)E，當(dāng)PE：AE＝4：5時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

25．（14分）已知在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，csB＝，點(diǎn)D是邊BC上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為點(diǎn)E，點(diǎn)F是邊AC上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)DF、EF，以DF、EF為鄰邊作平行四邊形EFDG．
（1）如圖1，如果CD＝2，點(diǎn)G恰好在邊BC上，求∠CDF的余切值；
（2）如圖2，如果AF＝AE，點(diǎn)G在△ABC內(nèi)，求線段CD的取值范圍；
（3）在第（2）小題的條件下，如果平行四邊形EFDG是矩形，求線段CD的長(zhǎng).
2021年上海市楊浦區(qū)中考數(shù)學(xué)三模試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本大題共6題，每題4分，滿分24分）[下列各題的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的，選擇正確項(xiàng)的代號(hào)并填涂在答題紙的相應(yīng)位置上]
1．【分析】將﹣2，，0，在數(shù)軸上表示，根據(jù)數(shù)軸表示數(shù)的大小規(guī)律可得答案．
【解答】解：將﹣2，，0，在數(shù)軸上表示如圖所示：

于是有﹣2＜0＜＜，
故選：A．
2．【分析】先將各選項(xiàng)化簡(jiǎn)，再找到被開(kāi)方數(shù)為a的選項(xiàng)即可．
【解答】解：A、a與被開(kāi)方數(shù)不同，故不是同類二次根式；
B、＝|a|與被開(kāi)方數(shù)不同，故不是同類二次根式；
C、＝|a|與被開(kāi)方數(shù)相同，故是同類二次根式；
D、＝a2與被開(kāi)方數(shù)不同，故不是同類二次根式．
故選：C．
3．【分析】先得到拋物線y＝x2頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0），再利用點(diǎn)平移的規(guī)律得到點(diǎn)（0，0）平移后對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣2，0），然后利用頂點(diǎn)式寫出平移后的新的拋物線的解析式．
【解答】解：拋物線y＝x2頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0），把點(diǎn)（0，0）向左平移2個(gè)單位后所得對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣2，0），所以平移后的新的拋物線的表達(dá)式為y＝（x+2）2．
故選：C．
4．【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形與中心對(duì)稱圖形的概念求解．如果一個(gè)圖形沿著一條直線對(duì)折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸．
如果一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后能夠與自身重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對(duì)稱圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做對(duì)稱中心．
【解答】解：A、是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、是軸對(duì)稱圖形也是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)正確；
C、不是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形．故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、不是軸對(duì)稱圖形，也不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選：B．
5．【分析】本題可先求出圓心到x軸的距離，再根據(jù)半徑比較，若圓心到x軸的距離大于圓心距，x軸與圓相離；小于圓心距，x軸與圓相交；等于圓心距，x軸與圓相切．
【解答】解：∵點(diǎn)A（2，1）到x軸的距離為1，圓的半徑＝1，
∴點(diǎn)A（2，1）到x軸的距離＝圓的半徑，
∴圓與x軸相切；
故選：B．
6．【分析】利用平行線的判定與性質(zhì)結(jié)合平行四邊形的判定得出即可．
【解答】解：如圖所示：∵AB∥CD，
∴∠B+∠C＝180°，
當(dāng)∠A＝∠C時(shí)，則∠A+∠B＝180°，
故AD∥BC，
則四邊形ABCD是平行四邊形．
故選：C．

二、填空題（本大題共12題，每題4分，滿分48分）【請(qǐng)將結(jié)果直接填入答題紙的相應(yīng)位置上】
7． 1﹣x ．
【分析】正數(shù)的絕對(duì)值等于它本身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值等于它的相反數(shù)，0的絕對(duì)值是0．
【解答】解：∵x＜1，
∴x﹣1＜0，
∴原式＝﹣（x﹣1）
＝1﹣x．
8． 4a2﹣b2 ．
【分析】根據(jù)平方差公式，即可解答．
【解答】解：（2a+b）（2a﹣b）＝4a2﹣b2，
故答案為：4a2﹣b2．
9． 2 ．
【分析】根據(jù)已知直接將x＝10代入求出答案．
【解答】解：∵f（x）＝，
∴f（10）＝＝2．
故答案為：2．
10． 45 度．
【分析】根據(jù)中心角是正多邊形相鄰的兩個(gè)半徑的夾角來(lái)解答．
【解答】解：正八邊形的中心角等于360°÷8＝45°；
故答案為45．
11． ．
【分析】坡比＝坡角的正切值，設(shè)豎直直角邊為x，水平直角邊為2x，由勾股定理求出斜邊，進(jìn)而可求出α的正弦值．
【解答】解：如圖所示：
由題意，得：tanα＝i＝，
設(shè)豎直直角邊為x，水平直角邊為2x，
則斜邊＝x，
則sinα＝．
故答案為．

12．已知一組數(shù)據(jù)24、27、19、13、23、12，那么這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是 21 ．
【分析】求中位數(shù)要把數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，位于最中間的一個(gè)數(shù)或兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)為中位數(shù)．
【解答】解：將這組數(shù)據(jù)從小到大的順序排列：12、13、19、23、24、27，處于中間位置的兩個(gè)數(shù)是19，23，那么由中位數(shù)的定義可知，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（19+23）÷2＝21．
故答案為：21．
13． ．
【分析】讓“s”的個(gè)數(shù)除以所有字母的個(gè)數(shù)即為所求的概率．
【解答】解：在英語(yǔ)句子“Wishyusuccess!”中共14個(gè)字母，其中有字母“s”4個(gè)；故其概率為＝．
14．y＝x+3 ．
【分析】根據(jù)“在y軸上的截距為3”計(jì)算求出b值，然后代入點(diǎn)（1，4）即可得解．
【解答】解：∵直線y＝kx+b在y軸上的截距為3，
∴b＝3，
∴y＝kx+3，
∵經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，4），
∴4＝k+3，
∴k＝1，
∴這條直線的解析式是y＝x+3．
故答案是：y＝x+3．
15．w y2+2y+1＝0 ．
【分析】換元法即是整體思想的考查，解題的關(guān)鍵是找到這個(gè)整體，此題的整體是，設(shè)，換元后整理即可求得．
【解答】解：∵，
∴y++2＝0，
整理得：y2+2y+1＝0．
故答案為：y2+2y+1＝0．
16． ．
【分析】首先根據(jù)題意畫出圖形，由BD＝2DC，可求得，再利用三角形法則求解即可求得答案．
【解答】解：如圖，∵＝，BD＝2DC，
∴＝，
∴．
故答案為：．

17． 16 .
【分析】根據(jù)正方形的面積和勾股定理即可求解．
【解答】解：設(shè)全等的直角三角形的兩條直角邊為a、b且a＞b，
由題意可知：S1＝（a+b）2，S2＝a2+b2，S3＝（a﹣b）2，
因?yàn)镾1+S2+S3＝48，
即（a+b）2+a2+b2+（a﹣b）2＝21，
∴3（a2+b2）＝48，
∴3S2＝48，
∴S2的值是16．
故答案為16．
18． ．
【分析】由等邊三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)可求CH，OH，由勾股定理可求解．
【解答】解：如圖，連接OP，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥BC于P，

在等邊△ABC中，AB＝4，
∴AC＝BC＝AB＝4，∠ACB＝60°，
∵點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，
∴AO＝OC＝2，
∵以線段PB為半徑的⊙P與以邊AC為直徑的⊙O外切，
∴PO＝2+BP，
∵OH⊥BC，
∴∠COH＝30°，
∴HC＝1，OH＝，
∵OP2＝OH2+PH2，
∴（2+BP）2＝3+（4﹣1﹣BP）2，
∴BP＝，
故答案為．
三、解答題（本大題共7題，滿分78分）
19．（10分）【分析】根據(jù)分式的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后將x的值代入原式即可求出答案．
【解答】解：原式＝
＝
＝，
當(dāng)x＝時(shí)，
原式＝
＝．
20．【分析】分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．
【解答】解：解不等式3（x+2）＞x﹣2，得：x＞﹣4，
解不等式x﹣≤，得：x≤，
則不等式組的解集為﹣4＜x≤，
將不等式組的解集表示在數(shù)軸上如下：

21．【分析】（1）連接OA，設(shè)半徑為r，利用垂徑定理結(jié)合勾股定理即可求出r；
（2）延長(zhǎng)CD交⊙O于點(diǎn)Q，連接QF，利用圓周角定理以及已知條件求出CE和CF的長(zhǎng)即可計(jì)算的值．
【解答】解：（1）連接OA，如圖所示：

設(shè)⊙O半徑為r，則由題意可知：OA＝OC＝r，OD＝CD﹣OC＝8﹣r，
又∵OD⊥AB，垂足為點(diǎn)D，
∴AD＝，
在Rt△AOD中，AO2＝OD2+AD2，
即，r2＝（8﹣r）2+42，
解得：r＝5，
∴⊙O的半徑長(zhǎng)為5；
（2）延長(zhǎng)CD交⊙O于點(diǎn)Q，連接QF，則∠CFQ＝90°，
由（1）可知CQ＝10，

∵tanC＝1，
∴∠C＝45°，
在Rt△CAF中：QF2+CF2＝CQ2，
而CQ＝CF，CQ＝10，
∴CF＝5，
在Rt△CDE中，∠C＝∠E＝45°，
CE＝，
∴EF＝CE﹣CF＝8-5＝3，
∴．
22．【分析】（1）依據(jù)圖象中點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得到A點(diǎn)表示的意義；
（2）根據(jù)圖象判斷即可；
（3）依據(jù)函數(shù)圖象，可得如果一天不復(fù)習(xí)，記憶量只能保持33.7%左右．
【解答】解：（1）由題可得，點(diǎn)A表示：2天大約記憶量保持了27.8%；
故答案為：27.8%；
（2）由圖可得，0﹣20分鐘 內(nèi)記憶保持量下降41.8%，故0﹣20分鐘內(nèi)內(nèi)遺忘的速度最快，
故選：A；
（3）如果一天不復(fù)習(xí)，記憶量只能保持33.7%，記憶量減少約66.3%；
學(xué)習(xí)計(jì)劃兩條：①每天上午、下午、晚上各復(fù)習(xí)10分鐘；②堅(jiān)持每天復(fù)習(xí)，勞逸結(jié)合（答案不唯一）．
23．【分析】（1）先證明△BDE和△ADC全等得出∠EBD＝∠CAD，再證△BDE≌△ADC，即可得證；
（2）先證四邊形ADCG是平行四邊形，再證一個(gè)角是直角即可得證．
【解答】（1）證明：∵AD⊥BC，
∠ADC＝∠BDE＝90°，
在△ACD和△BED中，
，
∴△ACD≌△BED（SAS），
∴∠EBD＝∠CAD，
又∵∠BED＝∠AEF，
∴△BED∽△AEF，
∴∠AFE＝∠EDB＝90°，
即BF⊥AC；
（2）證明：∵AG∥BC，
∴∠AGE＝∠EDB，
由（1）知∠EBD＝∠CAD，
∴∠AGE＝∠CAD，
又∵∠AEG＝∠BED＝∠ACD，
∴△AEG∽△DCA，
∴，
∴AE?AD＝DC?AG，
∵DE2＝AE?AD，DE＝DC，
∴DC?AG＝DE2＝DC2，
∴DC＝AG，
又∵AG∥DC，
∴四邊形ADCG是平行四邊形，
∵AD⊥BC，
∴四邊形ADCG是矩形（有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形）．

24．【分析】（1）利用待定系數(shù)法可求解析式；
（2）求出平移前后的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求解；
（3）通過(guò)證明△AEF∽△APH，可證，即可求解．
【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，2）．
∴，
解得：，
∴拋物線解析式為y＝﹣x2+x+2；
（2）∵y＝﹣x2+x+2＝﹣（x﹣）2+，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，），
∵y＝﹣x2+x+2與x軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)B，
∴0＝﹣x2+x+2，
∴x1＝﹣1，x2＝4，
∴點(diǎn)B（4，0），
設(shè)直線BC解析式為y＝kx+n，
，
解得：，
∴直線BC解析式為y＝﹣x+2，
當(dāng)x＝時(shí)，y＝，
∴m＝；
（3）如圖，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB于F，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AB于H，

∴EF∥PH，
∴△AEF∽△APH，
∴，
∵PE：AE＝4：5，
∴，
∴AF＝5x，AH＝9x，
∴OF＝5x﹣1，OH＝9x﹣1，
∴∴點(diǎn)E坐標(biāo)為[5x﹣1，﹣（5x﹣1）+2]，點(diǎn)P坐標(biāo)為[9x﹣1，﹣（9x﹣1）2+（9x﹣1）+2]，
∴EF＝﹣（5x﹣1）+2，PH＝﹣（9x﹣1）2+（9x﹣1）+2，
∴，
∴x＝，
∴點(diǎn)P（2，3）．
25．【分析】（1）由銳角三角函數(shù)的定義求出BC＝8，由勾股定理求出AC＝6，由平行線分線段成比例定理得出，求出CF，則可得出答案；
（2）當(dāng)點(diǎn)G恰好在AB上時(shí)，解直角三角形求出CD的長(zhǎng)，則可得出答案；
（3）設(shè)CD＝x，則BE＝（8﹣x），設(shè)矩形EFDG的對(duì)角線FG與DE相交于點(diǎn)O，連接OA，證明△AFO≌△AEO（SSS），由全等三角形的性質(zhì)得出∠AFO＝∠AEO＝90°，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AC于點(diǎn)H，由梯形的中位線定理得出EH+CD＝2OF＝DE，解方程[10﹣（8﹣x）]+x＝（8﹣x）可得出答案．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，csB＝＝，
又BC＝8，
∴AB＝10，
∴AC＝＝6，
∵DE⊥AB，
∴在Rt△BDE中，
csB＝，
又CD＝2，BD＝6，
∴BE＝，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴EF∥DG，
∵點(diǎn)G在BC上，
∴EF∥BC，
∴，
∴，
∴CF＝，
在Rt△CFD中，cs；
（2）∵四邊形EFDG是平行四邊形，
∴DF∥EG，
當(dāng)點(diǎn)G恰好在AB上時(shí)，
∴DF∥AB，
∴，
設(shè)CD＝x，則，
∴CF＝，
在Rt△BDE中，csB＝，
又CD＝x，則BD＝8﹣x，
∴BE＝（8﹣x），
∵AE＝AF，
∴，
∴x＝，
當(dāng)點(diǎn)G在△ABC內(nèi)時(shí)，0≤CD；
（3）設(shè)CD＝x，則BE＝（8﹣x），
∴AE＝10﹣（8﹣x），
設(shè)矩形EFDG的對(duì)角線FG與DE相交于點(diǎn)O，連接OA，

∵平行四邊形EFDG是矩形，
∴OF＝OE＝DE，
∵AF＝AE，OA＝OA，
∴△AFO≌△AEO（SSS），
∴∠AFO＝∠AEO＝90°，
過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AC于點(diǎn)H，
又∠C＝90°，
∴EH∥HF∥CB，
∵OD＝OE，
∴CF＝HF，
∴EH+CD＝2OF＝DE，
∵（8﹣x），EH＝[10﹣（8﹣x）]，
∴[10﹣（8﹣x）]+x＝（8﹣x），
∴x＝，
∴CD＝．


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